Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Väljavõte

1 Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja c ülesehitatud rööptahuka ruumala V ( p) Avaldada vektor b vektorite a, c ja d lineaarkombinatsioonina ( p) a ) cos α b a b, cos α ( ) + + ( ) + ( ) + + 5, α arccos(, 745) 38 o V rü ) b α a + β c + γd α α + β β + γ α + β α + γ, γ β γ α + β α + γ β γ α 3 9, β 8 9, γ 9 3 b 9 a c d 9 Lahendada järgmine võrrandisüsteem 3x + 4y + z 4 x + y + z 3x + y z 3 kasutades näiteks maatriksite abi, determinatide abil lahendamist, asendusvõtet jne (3 p) Lahendame esmalt determinantide abil: 3 4 D 3 3 D 4 4 x D y 3 3 D z 3 3 6, x D x D 5 3 y D y D 3 z D z D 6 3 Lahendame nüüd maatriksite abil Koostame laiendatud maatriksi ning viime selle kujule, kus diagonaali all on nullid R R + 3R R R R 3 R 3 6 3x + 4y + z 4 y + 5z 8 z 6 3, y 3, x 5 3 3z 6 3 Leida D A B ning C B A, kui võimalik (p) A ( 3 3 ), B 3

2 D on 4 ja 4 maatriksite korrutis Tulemuseks on seega -maatriks D A B ( 3 3 ) 3 ( ( 3)) (6) C on 4 ja 4 maatriksite korrutis Tulemuseks on seega 4 4-maatriks: C B A 3 ( 3 3 ) 3 ( 3) 3 ( 3) ( 3) Isendite populatsioon on järgmine: vastsündinuist elab aastaseks umbes 3%, aastastest elab kaheaastaseks 8%, kaheaastastest kolmeaastaseks % isendeist Eeldame, et vanemaks kui 3-aastaseks ei ela ükski isenditest (või tühiselt väike osa, mille võime arvestamata jätta) Eeldame, et iga -aastase (vastsündinu) kohta tuleb keskmiselt järeltulijat, -aastase kohta keskmiselt 8, iga kaheaastase kohta 3 ning 3-aastase kohta,5 järeltulijat Moodustada Leslie maatriks ning leida järgmise kahe põlvkonna isendite arv, kui alguses oli populatsiooni jaotus järgmine: -aastaseid -, -aastaseid, -aastaseid 6, 3-aastaseid 3 Kas antud tulemuste põhjal saab otsustada selle üle, kas populatsioon jääb püsima või mitte - põhjendada vastust (3p) 8 3, 5, 3 L N(), 8 6, 3 N() LN() N() LN() , 5 3, 3, 8, , 5, 3 395, 8 6, Populatsiooni koguarvukus kasvab Kuigi - ja 3-aastaste arvukus on esimeste aastate vältel vähenenud, siis tänu sellele, et ka -aastased saavad järglasi, kasvab -aastaste arv igal aastal ning seetõttu hakkab järgmistel aastatel ka - ja 3-aastaste arvukus suurenema 5 Bakterite koloonia algarvukus on umbes miljon isendit Bakterite paljunemist iseloomustab eksponentsiaalne kasv vastavalt seosele n n e rt, kus n on algarvukus Milline peab olema suurus r, et bakterite arvukus kahekordistuks tunniga? (p) Algarvukus n 6 Aja t h jooksul suureneb populatsiooni arvukus kaks korda, st n n 6 Paneme need arvud arvukuse kasvu seosesse ja leiame r: n n e r, e r Võtame saadud võrduse mõlemalt poolt naturaallogaritmi ln: ln ln(e r ) r r ln, 69, 6 Radioaktiivse aine lagunemist iseloomustab seos n(t) n e,t Alguses on ainet grammi (n, kg) Kui pika aja jooksul jääb alles grammi radioaktiivset ainet? (p) n, kg, ajahetkel t on n, kg Seeg saame võrrandi:,, e,t,,, e,t

3 Võtame võrduse mõlemalt poolt naturaallogaritmi ln: ln, ln(e,t ln, ), t, t 6 ajaühikut, 7 On antud funktsioon y 3 4 x Lineariseerida see funktsioon ning skitseerida tema graafik log-log skaalas (või esitada sõltuvuse log y f(log x) graafik (ka see on sirge) ( p) y 3 4 x 3x 4 Lineariseerimiseks võtame mõlemalt poolt (kümnend)logaritmi, saame log y log 3 + log x 4 log log x log y, 477 +, 5 log x Oleme saanud lineaarse seose log y ja log x vahel Antud sõltuvuse graafik on sirge Sirge joonistamiseks piisab kahest punktist Koostame tabeli: log x log y, 477, 77 8 Teisendada funktsioon z ϕ πrad (p) log y log x Kasutame seoseid polaarkoordinaatide kohta: 4x x polaarkoordinaatidesse Leida selle funktsiooni väärtus kohal ρ, + y ρ x + y, x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ Kaht viimast seost on vaja, et funktsioon viia f(x, y) f(ρ, ϕ) Esimest on sobiv kasutada vahel, kui x ja y ruutude summa kusagil ilmneb, ntud ülesande puhul murru nimetajas Saame z 4ρ cos ϕ ρ 4 cos ϕ ρ z(; π) 4 cos π 4 9 On antud maatriksid: A 3 5, B, C 7 Leida maatriks D A + B 4C, kui võimalik ning E AC ( p) D A + B 4C

4 E AC ( 3 ) + ( 3) Kehale mõjub kolm jõudu: F (; ; 4), F ( ; 3; 7) ja F 3 (; ; 5) Milline on kehale mõjuv resultantjõud? Milline on selle resultantjõu suurus? (p) F res F + F + F 3 Fres ( + ; ; ) (; 5; ) F res , 39 N 4

5 Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö II variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; 3; ), c ( 3; ; ), d (; 3; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja c ülesehitatud rööptahuka ruumala V ( p) Avaldada vektor b vektorite a, c ja d lineaarkombinatsioonina ( p) ) cos α a b a b ( ) ( ) + ( ) , 8367, α arccos(, 8367) 47 o V 3 rü 3 ) b α a + β c + γd, 3 α α + 3β + 3γ γ α 3β α + 3γ γ α 3β α + 3β 3 γ α 9, β 7 6, γ, b 9 a 7 6 c d Lahendada järgmine võrrandisüsteem 3x + y z 4 x + y + 3z x + y z kasutades näiteks maatriksite abi, determinatide abil lahendamist, asendusvõtet jne (3 p) Lahendame esmalt determinantide abil 3 D 3 4 D 4 x D y 3 4 D 3 4 z 4 x D x D 6 4 6, 5 y D y D z D z D 4 3, 5 4 Lahendame nüüd maatriksite abil Koostame laiendatud maatriksi ning viime selle kujule, kus diagonaali all on nullid 3 4 R 3 R R 3 R + 3R R 3 + R R 3 3R 4 4 Saadud maatriksile vastab algse võrrandisüsteemiga ekvivalentne võrrandisüsteem x + y + 3z 5y + 8z z 3, 5, y 6 x 6, 5 4z 4 5

6 3 Leida D A B ning C B A, kui võimalik (p) A ( 3 9 ), B 3 5 D on 4 ja 4 maatriksite korrutis Tulemuseks on seega -maatriks D A B ( 3 9 ) 3 5 ( ( ) + ) ( 6) C on 4 ja 4 maatriksite korrutis Tulemuseks on seega 4 4-maatriks: C B A 3 5 ( 3 9 ) 3( ) ( ) ( ) 3 9 ( ) Isendite populatsioon on järgmine: vastsündinuist elab aastaseks umbes %, aastastest elab kaheaastaseks %, kaheaastastest kolmeaastaseks 3% isendeist Eeldame, et vanemaks kui 3-aastaseks ei ela ükski isenditest (või tühiselt väike osa, mille võime arvestamata jätta) Eeldame, et iga -aastase (vastsündinu) kohta tuleb keskmiselt järeltulijat, -aastase kohta keskmiselt 5, iga kaheaastase kohta 3 ning 3-aastase kohta järeltulija Moodustada Leslie maatriks ning leida järgmise kahe põlvkonna isendite arv, kui alguses oli populatsiooni jaotus järgmine: -aastaseid -, -aastaseid 3, -aastaseid, 3-aastaseid 5 Kas antud tulemuste põhjal saab otsustada selle üle, kas populatsioon jääb püsima või mitte - põhjendada vastust (3p) N() LN() N() LN() 5 3, L, N(),, ,, 3, , 45,, Populatsiooni koguarvukus kasvab Kuigi - ja 3-aastaste arvukus on esimeste aastate vältel vähenenud, siis tänu sellele, et ka -aastased saavad järglasi, kasvab -aastaste arv igal aastal ning seetõttu hakkab järgmistel aastatel ka - ja 3-aastaste arvukus suurenema 5 Bakterite paljunemist iseloomustab eksponentsiaalne kasv vastavalt seosele n e rt Milline peab olema suurus r, et bakterite arvukus jõuaks -ni tunniga? (p) n(t) n e rt e r 5 e r Võtame saadud võrduse mõlemalt poolt naturaallogaritmi ln: ln 5 ln(e r ) r r ln 5, 8 /h 6 Radioaktiivse aine lagunemist iseloomustab seos n(t) n e,t Millal on radioaktiivse aine kogus vähenenud korda algsega võrreldes? (p) 6

7 n(t) n /, n Seda arvestades saame, n n e,t n, e,t Võtame nüüd saadud võrduse mõlemalt poolt naturaallogaritmi ln: ln(, ) ln(e,t ln(, ) ), t t 3 ajaühikut, 7 On antud funktsioon y e,3x Lineariseerida see funktsioon ning skitseerida tema graafik log-log skaalas (või esitada sõltuvuse log y f(log x) graafik (ka see on sirge) ( p) Lineariseerimiseks võtame mõlemalt poolt (kümnend)logaritmi, saame log y log( e,3x ) log + log e,3x +, 3x log e +, 3x, 434 +, 3x Saime lineaarse seose log y ja x vahel log y +, 3x Antud sõltuvuse graafik on sirge Sirge joonistamiseks piisab kahest punktist Koostame tabeli: x log y, 3 log y x Teine võimalus antud funktsiooni lineariseerimiseks on see, et võtame mõlemalt poolt naturaallogaritmi ln Siis saame ln y ln(e,3x ) ln + ln e,3x, 3 +, 3x Saadud seos on lineaarne seos ln y ja x vahel Selle sõltuvuse graafik on samuti sirge, kuid vertikaalteljel on antud juhul ln y Koostame tabeli: x ln y, 3, 6 8 Teisendada funktsioon z 4x 4y ϕ πrad (p) ln y x Kasutame seoseid polaarkoordinaatide kohta: x + y polaarkoordinaatidesse Leida selle funktsiooni väärtus kohal ρ, ρ x + y, x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ 7

8 Kaht viimast seost on vaja, et funktsioon viia f(x, y) f(ρ, ϕ) Esimest on sobiv kasutada vahel, kui x ja y ruutude summa kusagil ilmneb, ntud ülesande puhul murru nimetajas Saame z 4(ρ cos ϕ ρ sin ϕ) ρ 4ρ (cos ϕ sin ϕ) ρ 4(cos ϕ sin ϕ) z(; π) 4(cos π sin π) 4 9 On antud maatriksid: ( A ), B 3 5, C 7 Leida maatriks D A + B 4C, kui võimalik ning E AC ( p) 3 3 D A + B 4C ( ( ) ( ) ) + E A C ( ) Kehale mõjub kolm jõudu: F (; 3; 5), F (; 5; 7) ja F 3 (3; ; 5) Milline on kehale mõjuv resultantjõud? Milline on selle resultantjõu suurus? (p) F res F + F + F 3 ( + + 3; ; ) (7; ; 3) F res , 95N 8