Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
|
|
- Andres Kirss
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust k üheliste numbri ärajätmisel. Siis k = 10a + b ja k = 100a + b. Olgu k = kt, s.t. 100a + b = (10a + b)t, siis 10a(10 t) = b(t 1). (1) Ilmselt t 1, seega võrrandi (1) pooled on mittenegatiivsed ning järelikult t 10. Juht t = 1 ei ole võimalik, kuna siis a = 0, mis on eeldustega välistatud. Kui t = 10, siis b = 0. Siit saame ühe lahendite pere: kõik 0-ga lõppevad arvud. Vaatleme edasi juhtu, kus b 0; siis t 9. Kuna b(t 1) jagub 10-ga, siis üks arvudest b ja t 1 jagub 5-ga ning järelikult on võrdne 5-ga. Kui b = 5, jääb võrrandist (1) järele a(10 t) = t 1. Siit (10 t) t 1, millest t 7 ehk t = 7 või t = 9. Kui t = 7, saame a = 1, mis annab lahendi k = 15. Kui t = 9, saame a = 4, mis annab lahendi k = 45. Kui t 1 = 5, jääb võrrandist (1) järele 8a = b. Ainukeseks võimaluseks siin on a = 1, b = 8, mis annab lahendi k = 18.. Vastus: ei. Ülesande tingimusest saame ( a = ) a = a a Kuna a on täisarv, siis a 1 1 jagub arvuga 004 = Seega a 1 on paaritu. Olgu a 1 = m + 1, siis a 1 1 = (a 1 1)(a 1 + 1) = m(m + ) = 4m(m + 1). Järelikult m(m + 1) jagub 17-ga. Kui m > 0, peaks seepärast olema m 1, mis annaks a ja vastuolu ülesandes seatud piiranguga a 1 suurusele. Seega m = 0, millest a 1 = 1. Kui nüüd mingi k 1 korral a k = k, siis ( a k+1 = k k ) k k = k + 1. Induktsiooniga k järgi saame, et a k = k iga k 1 korral. Kuna algarvude hulk on lõpmatu, siis jada (a k ) sisaldab algarve kuitahes suurte indeksite k korral. 3. a) Paneme tähele, et kui a b, siis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3a)! (4b)! Z (a,b) = (a!) 4 (b!) 3 = 3a a 4b 3b b a + b (b a)!, a a b b a + b a seega Z (a, b) on täisarv. 1
2 b) Olgu b mistahes mittenegatiivne täisarv. Valime suvalise sellise algarvu p, et p > 3 ja p > 4b. Algarvu p astendaja arvu (3p)! (4b)! esituses algarvude astmete korrutisena on p valiku põhjal ilmselt 3. Samas p 4 jagab arvu (p!) 4. Seega Z (p,b) ei ole täisarv. 4. Võtame a 1 = 3, a = 4 ja iga i korral a i+1 = a i (a i + ). Tähistame iga k jaoks s k = a a k. Siis s 1 = a 1. Edasi paneme tähele, et a on paarisarv ning s = s 1 + a = = 5 = (4 + 1) = (a + 1). Nüüd alati, kui a k on paarisarv ja s k = (a k + 1), on a k+1 = a k (a k + ) paarisarv ning s k+1 = s k + a k+1 = (a k + 1) + a k+1 = = (a k + 1) + (a k+1 + 1) a k+1 1 = = (a k + 1) + (a k+1 + 1) a k (a k + ) 1 = = (a k+1 + 1). Induktsiooniga k järgi saame siit, et iga k korral on a k paarisarv ja s k = (a k + 1). 5. Vastus: (3,, 5), (, 5, 3) ja (5, 3, ). Paneme kõigepealt tähele, et ülesande tingimusi rahuldavad algarvud p, q, r peavad olema paarikaupa erinevad, sest nad paarikaupa ei jaga üksteist. Tõestame nüüd lemma: kui p, q, r on ülesande tingimusi rahuldavad algarvud ning p > ja r >, siis q 1 jagub p -ga. Tõepoolest, kuna q r + 1 jagub p -ga, siis q r 1 1 (mod p), samas kui q r ( 1) = 1 (mod p). Olgu d vähim positiivne täisarv, mille korral q d 1 (mod p); siis eespool tõestatu põhjal d on r jagaja, kuid mitte r jagaja. Kuna r on algarv, siis d = r või d =. Oletame kõigepealt, et d = r. Fermat väikesest teoreemist saame, et q p 1 1 (mod p), seega p 1 peab jaguma r -ga, millest p 1 (modr ). Nüüd aga 0 p q + 1 (modr ) vastuolu. Kui d =, siis d valiku põhjal q 1 (mod p). Lemma on tõestatud. Tulles tagasi esialgse ülesande juurde, näeme, et kui p, q, r on kõik paaritud, siis lemma põhjal q 1 = (q 1)(q +1) jagub p -ga. Kuna q 1 ja q +1 on mõlemad paarisarvud, peab p -ga jaguma arv q 1 või arv q + 1. Mõlemal juhul p q + 1 < q. Analoogiliselt saame q < r ja r < p, millest p < q < r < p vastuolu. Seega võime eeldada üldisust kitsendamata (vajadusel vaadeldavaid algarve tsükliliselt ümber nimetades), et q = ning p ja r on paaritud. Lemma põhjal siis arv 1 = 3 jagub p -ga, seega p = 3. Nüüd 3 +1 = 10 jagub r -ga, kust r = 5. Kontroll näitab, et kolmik (3,, 5) rahuldab ülesande tingimusi. Samuti sobivad selle kõik tsüklilised ümberjärjestused.. Vastus: sirge peab lõikama kolmnurga hüpotenuusi 3 + ning lühemat kaatetit 3 ühiku kaugusel samast tipust. ühiku kaugusel pikema kaateti vastastipust
3 Olgu vaadeldav kolmnurk ABC, kus AC = 3 ja BC = 4. Selle kolmnurga pindala on ja ümbermõõt 1. Olgu D ja E vaadeldava sirge lõikepunktid kolmnurga külgedega ning K nende külgede ühiseks otspunktiks olev kolmnurga tipp. Olgu x = DK, siis EK = x ning 1 x( x)sin K = 3. () Vaatleme kolme võimalust vastavalt sellele, milline kolmnurga tippudest on K. 1) Olgu K = C, punkt D asugu küljel AC ja punkt E küljel BC. Siis sin K = 1, võrrand () omandab kuju x x + = 0 ning selle lahenditeks on x = 3 ± 3. Kuna ilmselt x 3 ja x 4, millest x, siis kumbki lahend ei sobi. ) Olgu K = B, punkt D asugu küljel BC ja punkt E küljel AB. Siis sin K = 3, võrrand () omandab kuju 5 x x + 10 = 0 ning sellel puuduvad reaalarvulised lahendid. 3) Olgu K = A, punkt D asugu küljel AB ja punkt E küljel AC. Siis sin K = 4, võrrand () omandab kuju 5 x x + 15 = 0 ning selle lahenditeks on x = 3 ±. Kuna ilmselt x 5 ja x 3, millest x 3, siis sobib parajasti x = 3 +. Seega ainus sobiv võimalus on tõmmata sirge nii, et ta lõikaks hüpotenuusi 3+ kaateti vastastipust ja lühemat kaatetit 3 ühiku kaugusel samast tipust. ühiku kaugusel pikema 7. Olgu O nelinurga ABCD ümberringjoone keskpunkt ning olgu H 1, H, H 3, H 4 vastavalt kolmnurkade AK N, BK L, CLM, DM N kõrguste lõikepunktid. Kuna N on külje AD keskpunkt, siis ON AD. Kuna samas K H 1 AD, saame K H 1 ON. Analoogiliselt ka N H 1 OK. Seega ON H 1 K on rööpkülik ning analoogiliselt ka ON H 4 M on rööpkülik. Niisiis K H 1 H 4 M on rööpkülik. Analoogiliselt ka MK H H 3 on rööpkülik ning kokkuvõttes H 1 H H 3 H 4 on rööpkülik. 8. Arvestades, et võrdsetele kaartele toetuvad piirdenurgad on võrdsed, saame α = ACB = ADB = AEB = AF B = B AC = BDC = BEC = BFC, β = C AD = CBD = CED = CF D = D AE = DBE = DCE = DF E, γ = E AF = EBF = ECF = EDF = F B A = FC A = F D A = F E A. Kõikide ülalpool loetletud nurkade summa võrdub kuusnurga sisenurkade summaga, järelikult 8α + 8β + 8γ = 4π, millest α + β + γ = π. Vaatleme nüüd kolmnurka BPD, kus P on diagonaalide BE ja DF lõikepunkt. Saame BPD = π ( DBP + PDB) = π (β + α + γ) = π π = π. Järelikult BE F D. Analoogiliselt saame, et D A BF ja FC DB. 9. Pikendame lõiku DM üle otspunkti M punktini G, mis rahuldab tingimust FG CD. Siis MF = MC parajasti siis, kui nelinurk CDFG on rööpkülik, s.t. ED A = CGF ehk samaväärselt EB A + CGF = π. See tingimus omakorda kehtib parajasti siis, kui F BCG on kõõlnelinurk, s.t. CBM = CFG ehk samaväärselt CBM = DC M. Viimane võrdus aga on samaväärne sellega, et kolmnurgad BC M ja CDM on C M sarnased, ehk BM = DM C M, ehk MB MD = MC. 3
4 10. Tähistame a = BC, b = C A, c = AB ning α = C AB, β = ABC, γ = BC A. Olgu r kolmnurga ABC siseringjoone raadius. Lõikugu sirged BL ja C K punktis D. Siis Seega BK L = APK ABK = π α β = α + β + γ α β = γ = ACB. I K L = BK L = ACB = AC I, mistõttu punktid I, K, Q, C asuvad ühel ringjoonel. Niisiis I KC = IQC = π. Analoogiliselt I LB = π. Järelikult punktid B, L, K, C asuvad ühel ringjoonel ning samuti punktid I, L, D, K asuvad ühel ringjoonel. Seejuures BC on kolmnurga C LK ümberringjoone diameeter ning I D on kolmnurkade I LK ja DLK ühise ümberringjoone diameeter. LK Siinusteoreemist kolmnurgas DLK saame, et I D = sin LDK = LK, ning siinusteoreemist kolmnurgas C LK saame, et a = cos LCK LK sin LCK. Seega I D = a tan LCK. Kuna sin LCK = sin IQK = sin IQP = sin α, leiame siit, et I D = a tan α. Teiselt poolt aga r = AQ tan α ja AQ = b + c a. Kolmnurga I LK ümberringjoon puutub ABC siseringjoont parajasti siis, kui kolmnurga I LK ümberringjoone diameeter võrdub ABC siseringjoone raadiusega, s.t. r = I D, mis vastavalt eespool tõestatule on samaväärne sellega, et b + c a = a, ehk b + c = 3a. 11. Vastus: vähim väärtus on 0, mille avaldis omandab x = 1 korral. Teisendame antud avaldist: x 8 x 5 1 x + 1 x 4 = x1 x 9 x x 4 = (x9 1)(x 3 1) x 4. Et x 9 1 ja x 3 1 on alati ühe ja sama märgiga ning x 4 > 0, siis on avaldise väärtus mittenegatiivne mistahes x 0 korral. Väärtuse 0 omandab avaldis parajasti siis, kui x 9 = 1 või x 3 = 1, s.t. x = 1 korral. 1. Vastus: parabooli kaarte projektsioonide pikkuste vahe on 1. Ülesande tingimuste kohaselt on võrranditel x = x + px + q (ehk x + (p 1)x + q = 0) ja x = x + px + q (ehk x + (p )x + q = 0) kummalgi kaks mittenegatiivset reaalarvulist lahendit. Olgu võrrandi x + (p 1)x + q = 0 lahendid a b ning võrrandi x + (p )x + q = 0 lahendid c d, siis a + b = 1 p ja c + d = p. Et vaadeldavate parabooli kaarte projektsioonid x -teljele on vastavalt pikkusega a c ja d b, siis nende projektsioonide pikkuste vahe on (d b) (a c) = (c + d) (a + b) = ( p) (1 p) = Vastus: b = 0 ja 0 a < 4. Olgu z võrrandi f (x) = 0 mingi lahend, siis f (z) = 0 ja vastavalt ülesande tingimustele ka f (f (z)) = 0, kust b = f (0) = f (f (z)) = 0. Seega f (x) = x(x + a) ning võrrandite f (x) = 0 ja f (f (x)) = 0 ühine lahendite hulk on {0, a}. Et f (f (x)) = f (x)(f (x) + a) = x(x + a)(x + ax + a), siis on meil vaja leida sellised a väärtused, mille korral ruutkolmliikmel x + ax + a ei ole muid reaalarvulisi nullkohti peale 0 ja a. Kui 0 või a on ruutkolmliikme x + ax + a nullkoht, siis a = 0 ning ruutkolmliikmel x + ax + a ei ole tõepoolest muid reaalarvulisi nullkohti. Teine võimalus on, et ruutkolmliikmel x + ax + a reaalarvulised nullkohad üldse puuduvad, s.t. a 4a < 0, kust 0 < a < 4. 4
5 14. Näitame kõigepealt induktsiooniga n järgi, et jada (a n ) on rangelt kasvav. Selleks paneme kõigepealt tähele, et a 1 < a < a 3 = 5 < a 4. Olgu nüüd a 1 < a <... < a k mingi k 4 korral, siis a k+1 a k 1 = a k ± 1 a k 1 > a k a k = a k (a k 1) a k a k 1, kust a k+1 > a k. Seega on jada (a n ) rangelt kasvav ning a n 1 5 mistahes n 4 korral, mistõttu arvudest a n + 1 ja a n 1 ülimalt üks saab olla a n 1 kordne. Niisiis eksisteerib ülimalt üks ülesande tingimusi rahuldav jada. Näitame nüüd, et jada (b n ), kus b 1 = 1, b = ja b n+ = b n+1 + b n iga n 1 korral, rahuldab ülesande tingimusi. Tõepoolest, b 3 = + 1 = 5 ja b 4 = 5 + = 1. Näitame nüüd induktsiooniga n järgi, et b n+1 b n 1 = b n +( 1)n iga n korral. Väite kehtivuses n = ja n = 3 korral on lihtne vahetult veenduda. Olgu nüüd b k+1 b k 1 = b k +( 1)k mingi k 3 korral. Siis väide, et b k+ b k = b k+1 +( 1)k+1, on samaväärne sellega, et b k+ b k + b k+1 b k 1 = b k+1 + b k, ehk (b k+ b k )b k = (b k+1 b k 1 )b k+1. Et vastavalt jada (b n ) definitsioonile b k+ b k = b k+1 ja b k+1 b k 1 = b k, siis see võrdus tõepoolest kehtib. 15. Vastus: 11 dollarit. Vaatleme Fibonacci jada (F n ), mis on defineeritud seostega F 0 = F 1 = 1 ja F n+1 = F n + F n 1 iga n 1 korral. Paneme tähele, et 144 = F 11 ning näitame, et mistahes n korral vähim rahahulk, mis tagab Jackil hulgast {1,,..., F n } valitud arvu äraarvamise vastavalt ülesandes kirjeldatud reeglitele, on n dollarit. Tähistagu f (k) vähimat dollarite arvu, mis garanteerib hulgast {1,,..., k} valitud arvu äraarvamise vastavalt ülesande reeglitele. Siis f on mittekahanev funktsioon (sest kui k m, siis hulgast {1,,..., k} valitud arvu äraarvamiseks võime rakendada sama strateegiat nagu hulgast {1,,..., m} valitud arvu äraarvamiseks, unustades teadmise, et valitud arv ei saa olla hulgast {k+1,..., m} seega f (k) f (m)). Samuti paneme tähele, et mistahes k < m korral kehtib seos f (m) max ( f (k) +, f (m k) + 1 ). (3) Tõepoolest, esitades kõigepealt küsimuse Kas valitud arv kuulub alamhulka {1,,..., k}?, saame jaatava vastuse korral arvu leidmiseks kulutada ülimalt f (k) + dollarit, eitava vastuse korral aga ülimalt f (m k) + 1 dollarit. Järgmiseks näitame induktsiooniga n järgi, et f (F n ) n mistahes n korral. Tõepoolest, f (F ) = f () (piisab nt. küsimusest Kas valitud arv kuulub alamhulka {1}? ). Kehtigu nüüd võrratus f (F i ) i iga i k korral, siis arvestades (3) ning seost F k+1 = F k + F k 1 saame f (F k+1 ) max ( f (F k 1 ) +, f (F k ) + 1 ) max(k + 1, k + 1) = k + 1. Lõpuks näitame induktsiooniga x järgi, et mistahes sellise positiivse täisarvu x korral, kus F n 1 < x F n ja n, on f (x) n. See väide kehtib x = korral et F 1 = 1 ja F =, siis n = ning tõepoolest f (), sest hulgast {1, } valitud arvu leidmiseks on vajalik vähemalt üks küsimus ja vastus sellele võib olla jah, mis läheb maksma dollarit. Olgu nüüd x 3, F n 1 < x F n (siin n 3) ning kehtigu väide iga y < x korral. Esitades kõigepealt küsimuse mingi ülimalt F n 3 -elemendilise alamhulga kohta, kulutaksime vastuse ei korral vähemalt f (x F n 3 ) + 1 f (F n F n 3 ) + 1 = f (F n + 1) + 1 (n 1) + 1 = n dollarit. Esitades aga kõigepealt küsimuse mingi vähemalt (F n 3 +1)-elemendilise alamhulga kohta, kulutaksime vastuse jah korral vähemalt f (F n 3 + 1) + (n ) + = n dollarit. Seega f (x) n iga F n 1 < x F n korral ning muuhulgas ka f (F n ) n. Kokkuvõttes olemegi näidanud, et f (F n ) = n iga n korral. 5
6 1. Vastus: alustajal. Nummerdame mälupesad arvudega 0, 1,..., 003 nii, et algul on mälupesas k arv k. Valigu alustaja oma esimesel käigul mälupesad 0 ja 1998 kuni 003 ning oma igal järgmisel käigul needsamad mälupesad, mis valis tema vastane oma viimasel käigul. Näitame, et siis ühegi alustaja käigu tulemusena ei saa üheski mälupesas mittenegatiivne arv muutuda negatiivseks. Selleks paneme tähele, et igal käigul vähendatakse arvu vähemalt ühes mälupesas, mille number ei ole suurem kui Et neis mälupesades algul olevate arvude summa on = , siis hiljemalt 1998 käigu järel saab mingis mälupesas arv negatiivseks ja mäng lõpeb. Kuid 1998 käiguga ei saa muutuda negatiivseks ükski arv mälupesades 1998 kuni 003, ning kõigis ülejäänud mälupesades on alustaja ülaltoodud strateegia korral tema iga käigu järel paarisarvud. 17. Vastus: paigutus ning sellest pöörete ja peegelduste abil saadavad paigutused. Tähistame tabelisse kirjutatavad arvud a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 ning olgu S ülesandes mainitud ühine summa. Liites arvud neljale nurgaruudule vastavates tabeli lahtrites, saame 4S = (a 11 + a 13 + a 31 + a 33 ) + (a 1 + a 1 + a 3 + a 3 ) + 4a = 3S + 4a. Liites aga arvud ülejäänud kahele ruudule vastavates tabeli lahtrites, saame S = (a 11 + a 13 + a 31 + a 33 ) + (a 1 + a 1 + a 3 + a 3 ) = 45 a. Neist kahest võrdusest leiame, et a = 5 (s.t. 5 on tabeli keskmises lahtris) ja S = 0. Mistahes ruudu korral, mille tippudele vastavates lahtrites esinevad arvud 1 ja 5, peab ülejäänud kahes lahtris olevate arvude summa olema 14 ainsad sobivad arvud on ja 8. Samuti mistahes ruudu korral, mille tippudele vastavates lahtrites esinevad arvud 3 ja 5, peab ülejäänud kahes lahtris olevate arvude summa olema 1 ainsad sobivad arvud on 4 ja 8. Seega peavad 1 ja 3 paiknema tabeli kahes naabernurgas, 8 nende vahel ning ja 4 vastavalt 1 ja 3 kõrval tabeli servades. Vaadeldes tabeli servadega 45 all paiknevat ruutu näeme, et 8 vastas peab olema, ning vaadeldes arve 5 ja hõlmavaid nurgaruute veendume, et ka ülejäänud arvude 7 ja 9 paigutus on eelnevaga üheselt määratud. 18. Vastus: 4(M V ). Olgu murdjoone sisepiirkonda kuuluvate mustade ruutude jaoks nende samuti murdjoone sisepiirkonda kuuluvate naaberruutude arvud vastavalt a 1, a,..., a M, ning olgu b 1, b,..., b V analoogilised naaberruutude arvud murdjoone sisepiirkonda kuuluvate valgete ruutude jaoks. Iga vaadeldava musta ruuduga i külgneb siis 4 a i murdjoone musta ühiklõiku ning iga vaadeldava valge ruuduga j külgneb 4 b j murdjoone valget ühiklõiku. Otsitav mustade ja valgete ühiklõikude arvude vahe on niisiis M V M V (4 a i ) (4 b j ) = 4(M V ) a i + b j. i=1 j =1 i=1 j =1
7 M V Siinjuures a i = b j (sest mistahes musta ruudu iga naaberruut on valge ja vaadeldav must ruut on i=1 j =1 omakorda selle valge ruudu naaberruuduks), millest saame, et otsitav vahe on 4(M V ). 19. Vaatleme suvalist 9 antud punkti et ülesande tingimuste kohaselt leiduvad kaks ringjoont, mis koos sisaldavad kõik need 9 punkti, siis üks neist ringjoontest sisaldab vähemalt 5 vaadeldavat punkti. Olgu see ringjoon c ning need 5 punkti A, B, C, D, E. Vaatleme nüüd kõiki neid antud punkte, mis ei asu ringjoonel c. Paneme tähele, et mistahes selliste punktide kolmik X, Y, Z ei saa olla ühel sirgel ning järelikult määrab mingi ringjoone. Selles veendumiseks vaatleme punkte X, Y, Z koos punktidega A, B, C, D, E ja veel ühe suvalise punktiga ning rakendame ülesande tingimust peavad leiduma kaks ringjoont, mis koos sisaldavad kõik need 9 punkti. Et vähemalt kolm punktidest A, B, C, D, E peavad paiknema ühel neist ringjoontest, siis see üks ringjoon on c ; et ükski punktidest X, Y, Z ei asu ringjoonel c, siis peavad need kõik asuma teisel ringjoonel. Kui nüüd ringjoonel c mittepaiknevaid punkte on kokku ülimalt 3, siis leidub neid kõiki läbiv ringjoon ja väide on tõestatud. Kui selliseid punkte on aga rohkem kui 3, siis fikseerime suvalised kolm neist olgu need F, G, H ning nendega määratud ringjoone c. Vaatleme nüüd suvalist antud punkti P, mis on erinev punktidest A,..., H. Vastavalt ülesande tingimusele leiduvad kaks ringjoont, mis koos sisaldavad kõiki punkte A,..., H ja P. Eelmises lõigus esitatud arutlusega veendume jällegi, et üks neist ringjoontest on c ; et punktid F, G, H ei paikne ringjoonel c, siis peab teine neist ringjoontest olema c. Niisiis paikneb mistahes punktidest A,..., H erinev antud punkt P kas ringjoonel c või ringjoonel c ning järelikult need kaks ringjoont koos sisaldavad kõik antud punktid. 0. Vastus: 4. Näitame kõigepealt, et leidub 101 ruudust koosnev kujund, mida ei saa ruudulise paberi tükist välja lõigata rohkem kui 4 eksemplari. Selliseks kujundiks sobib rist, mis koosneb kahest teineteise keskkohtades ristuvast 51 ruudu pikkusest ribast. Iga sellise risti keskmine ruut peab asuma ruudulise paberi keskmises 5 5 osas, mille saame omakorda jagada neljaks tükiks. Igal sellisel tükil saab ilmselt asuda ainult ühe vaadeldava risti keskmine ruut. Näitame nüüd, et mistahes 101 ruudust koosnevat kujundit saab ruudulise paberi tükist välja lõigata vähemalt 4 eksemplari. Selleks paneme tähele, et mistahes sidusa (ülesande tekstis kirjeldatud mõttes) n ruudust koosneva kujundi jaoks leidub selline arv k (kus 1 k n ), et vaadeldava kujundi saab tervenisti paigutada k (n + 1 k) ruudust koosnevale ristkülikule selle väite saame kergesti tõestada induktsiooniga n järgi. Järelikult leidub selline k, et meie 101 ruudust koosneva kujundi saame saab tervenisti paigutada k (10 k) ruudust koosnevale ristkülikule. Jääb üle veenduda, et ruudu servadesse saab paigutada 4 sellist lõikumatut ristkülikut (mis teisenduvad üksteiseks ruudu 90 pööretel). 7
lvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemMicrosoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx
Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.
RohkemKontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa
Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemMining Meaningful Patterns
Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemloogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd
. Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemÜlesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased
Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemAINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi
AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine
RohkemMatemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase
Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete
RohkemEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu
Eesti koolioorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. Lahedused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu M tipust A lõigule KL tõmmatud ristlõigu aluspukt (vt.
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
RohkemУ : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986
У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU
RohkemTaskuprinter KASUTUSJUHEND
Taskuprinter KASUTUSJUHEND Täname, et ostsite taskuprinteri Polaroid Mint. Käesoleva kasutusjuhendi eesmärk on anda teile juhiseid toote ohutuks kasutamiseks ja et see ei kujutaks endast kasutajale mingit
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
RohkemPythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo
Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi
RohkemVL1_praks2_2009s
Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber
RohkemEDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj
EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja 2017-2018 EDL Liiga tulemuste põhjal nelja liigasse. a. Premium Liiga (9 osalejat) b.
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
Rohkem(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc)
ALGKLASSILAPSED 1 MINU NIMI ON MINA OLEN PRAEGU TÄNA ON 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED KIRJUTA VÕI JOONISTA SIIA KAKS KÄRNERI TÖÖRIISTA KIRJUTA SIIA SELLE TAIME 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST NIMI MIDA ISTUTASID MÕISTA,
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
RohkemMicrosoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc
Mudeliklassi F3A Eesti meistrivõistluste reeglistik (2010) Reeglid põhinevad Rahvusvahelise Lennuspordi Föderatsiooni (FAI) määrustel, kuid on mugandatud arvestades kohalike võistlejate lennuvahendeid
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
RohkemVäljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:
Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete
RohkemLõppvoor 2016
Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............
RohkemVäljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: algtekst-terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:
Väljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: algtekst-terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 01.06.2002 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 22.06.2002 Avaldamismärge: RT I 2000, 49, 314 Meditsiinilisel
RohkemKiekim mees kirjeldus.docx
KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
RohkemMittekorrektsed ülesanded 2008
Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............
RohkemAM_Ple_NonLegReport
9.1.2019 A8-0475/36 36 Põhjendus BG BG. arvestades, et kahjuks ei leidnud see vastuolu erikomisjonis lahendust; 9.1.2019 A8-0475/37 37 Põhjendus BI BI. arvestades, et niinimetatud Monsanto dokumendid ja
Rohkem(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)
4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid
RohkemPärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kass
Pärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel 19. 06. 2018 Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kassariik Jõelähtme Osavõtjaid: vaba arv paare Lähteasend:
RohkemNR-2.CDR
2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemKaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning
Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning seda saab kombineerida teiste Carcassonne laiendustega.
RohkemMicrosoft Word - Toetuste veebikaardi juhend
Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika
RohkemMicrosoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx
Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemAutomaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2
Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemMicrosoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc
Tallinna Linnavalitsuse sõnumisaatja kasutusjuhend asutuse juhatajale Sisukord 1. Süsteemi sisenemine...2 2. Parooli lisamine ja vahetamine...2 3. Ametnike lisamine ametiasutuse juurde...2 4. Saatjanimede
RohkemKuidas vahetada esimesi suspensiooni vedrusid autol VOLKSWAGEN TOURAN 1
Sooritage asendamine järgnevas järjekorras: 1 Vahetage Volkswagen Touran 1 vedrud paarikaupa. 2 Pingutage seisupiduri hooba. 3 Asetage tõkiskingad tagumiste rataste taha. Lõdvendage ratta kinnituspolte.
RohkemManuals Generator
Sooritage asendamine järgnevas järjekorras: 1 Vahetage vedrud paarikaupa. Pingutage seisupiduri hooba. 2 3 Asetage tõkiskingad tagumiste rataste taha. Lõdvendage ratta kinnituspolte. 4 5 Tõstke esimest
RohkemISS0010_5osa_2018
Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!
RohkemG OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS
G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS GS1 Järgnevalt on kirjeldatud lühidalt mõningaid inimesi. Palun lugege iga kirjeldust ja märkige igale reale, kuivõrd Teie see inimene on. Väga Minu Mõnevõrra
RohkemMicrosoft Word Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord.doc
Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord I ÜLDSÄTTED 1. Reguleerimisala Kord sätestab kutseliste hindajate (edaspidi Hindaja) kutsetegevuse aruandluse, täiendõppe aruandluse ja auditeerimise
RohkemMida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier
Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
Rohkem