Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu"

Väljavõte

1 Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust k üheliste numbri ärajätmisel. Siis k = 10a + b ja k = 100a + b. Olgu k = kt, s.t. 100a + b = (10a + b)t, siis 10a(10 t) = b(t 1). (1) Ilmselt t 1, seega võrrandi (1) pooled on mittenegatiivsed ning järelikult t 10. Juht t = 1 ei ole võimalik, kuna siis a = 0, mis on eeldustega välistatud. Kui t = 10, siis b = 0. Siit saame ühe lahendite pere: kõik 0-ga lõppevad arvud. Vaatleme edasi juhtu, kus b 0; siis t 9. Kuna b(t 1) jagub 10-ga, siis üks arvudest b ja t 1 jagub 5-ga ning järelikult on võrdne 5-ga. Kui b = 5, jääb võrrandist (1) järele a(10 t) = t 1. Siit (10 t) t 1, millest t 7 ehk t = 7 või t = 9. Kui t = 7, saame a = 1, mis annab lahendi k = 15. Kui t = 9, saame a = 4, mis annab lahendi k = 45. Kui t 1 = 5, jääb võrrandist (1) järele 8a = b. Ainukeseks võimaluseks siin on a = 1, b = 8, mis annab lahendi k = 18.. Vastus: ei. Ülesande tingimusest saame ( a = ) a = a a Kuna a on täisarv, siis a 1 1 jagub arvuga 004 = Seega a 1 on paaritu. Olgu a 1 = m + 1, siis a 1 1 = (a 1 1)(a 1 + 1) = m(m + ) = 4m(m + 1). Järelikult m(m + 1) jagub 17-ga. Kui m > 0, peaks seepärast olema m 1, mis annaks a ja vastuolu ülesandes seatud piiranguga a 1 suurusele. Seega m = 0, millest a 1 = 1. Kui nüüd mingi k 1 korral a k = k, siis ( a k+1 = k k ) k k = k + 1. Induktsiooniga k järgi saame, et a k = k iga k 1 korral. Kuna algarvude hulk on lõpmatu, siis jada (a k ) sisaldab algarve kuitahes suurte indeksite k korral. 3. a) Paneme tähele, et kui a b, siis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3a)! (4b)! Z (a,b) = (a!) 4 (b!) 3 = 3a a 4b 3b b a + b (b a)!, a a b b a + b a seega Z (a, b) on täisarv. 1

2 b) Olgu b mistahes mittenegatiivne täisarv. Valime suvalise sellise algarvu p, et p > 3 ja p > 4b. Algarvu p astendaja arvu (3p)! (4b)! esituses algarvude astmete korrutisena on p valiku põhjal ilmselt 3. Samas p 4 jagab arvu (p!) 4. Seega Z (p,b) ei ole täisarv. 4. Võtame a 1 = 3, a = 4 ja iga i korral a i+1 = a i (a i + ). Tähistame iga k jaoks s k = a a k. Siis s 1 = a 1. Edasi paneme tähele, et a on paarisarv ning s = s 1 + a = = 5 = (4 + 1) = (a + 1). Nüüd alati, kui a k on paarisarv ja s k = (a k + 1), on a k+1 = a k (a k + ) paarisarv ning s k+1 = s k + a k+1 = (a k + 1) + a k+1 = = (a k + 1) + (a k+1 + 1) a k+1 1 = = (a k + 1) + (a k+1 + 1) a k (a k + ) 1 = = (a k+1 + 1). Induktsiooniga k järgi saame siit, et iga k korral on a k paarisarv ja s k = (a k + 1). 5. Vastus: (3,, 5), (, 5, 3) ja (5, 3, ). Paneme kõigepealt tähele, et ülesande tingimusi rahuldavad algarvud p, q, r peavad olema paarikaupa erinevad, sest nad paarikaupa ei jaga üksteist. Tõestame nüüd lemma: kui p, q, r on ülesande tingimusi rahuldavad algarvud ning p > ja r >, siis q 1 jagub p -ga. Tõepoolest, kuna q r + 1 jagub p -ga, siis q r 1 1 (mod p), samas kui q r ( 1) = 1 (mod p). Olgu d vähim positiivne täisarv, mille korral q d 1 (mod p); siis eespool tõestatu põhjal d on r jagaja, kuid mitte r jagaja. Kuna r on algarv, siis d = r või d =. Oletame kõigepealt, et d = r. Fermat väikesest teoreemist saame, et q p 1 1 (mod p), seega p 1 peab jaguma r -ga, millest p 1 (modr ). Nüüd aga 0 p q + 1 (modr ) vastuolu. Kui d =, siis d valiku põhjal q 1 (mod p). Lemma on tõestatud. Tulles tagasi esialgse ülesande juurde, näeme, et kui p, q, r on kõik paaritud, siis lemma põhjal q 1 = (q 1)(q +1) jagub p -ga. Kuna q 1 ja q +1 on mõlemad paarisarvud, peab p -ga jaguma arv q 1 või arv q + 1. Mõlemal juhul p q + 1 < q. Analoogiliselt saame q < r ja r < p, millest p < q < r < p vastuolu. Seega võime eeldada üldisust kitsendamata (vajadusel vaadeldavaid algarve tsükliliselt ümber nimetades), et q = ning p ja r on paaritud. Lemma põhjal siis arv 1 = 3 jagub p -ga, seega p = 3. Nüüd 3 +1 = 10 jagub r -ga, kust r = 5. Kontroll näitab, et kolmik (3,, 5) rahuldab ülesande tingimusi. Samuti sobivad selle kõik tsüklilised ümberjärjestused.. Vastus: sirge peab lõikama kolmnurga hüpotenuusi 3 + ning lühemat kaatetit 3 ühiku kaugusel samast tipust. ühiku kaugusel pikema kaateti vastastipust

3 Olgu vaadeldav kolmnurk ABC, kus AC = 3 ja BC = 4. Selle kolmnurga pindala on ja ümbermõõt 1. Olgu D ja E vaadeldava sirge lõikepunktid kolmnurga külgedega ning K nende külgede ühiseks otspunktiks olev kolmnurga tipp. Olgu x = DK, siis EK = x ning 1 x( x)sin K = 3. () Vaatleme kolme võimalust vastavalt sellele, milline kolmnurga tippudest on K. 1) Olgu K = C, punkt D asugu küljel AC ja punkt E küljel BC. Siis sin K = 1, võrrand () omandab kuju x x + = 0 ning selle lahenditeks on x = 3 ± 3. Kuna ilmselt x 3 ja x 4, millest x, siis kumbki lahend ei sobi. ) Olgu K = B, punkt D asugu küljel BC ja punkt E küljel AB. Siis sin K = 3, võrrand () omandab kuju 5 x x + 10 = 0 ning sellel puuduvad reaalarvulised lahendid. 3) Olgu K = A, punkt D asugu küljel AB ja punkt E küljel AC. Siis sin K = 4, võrrand () omandab kuju 5 x x + 15 = 0 ning selle lahenditeks on x = 3 ±. Kuna ilmselt x 5 ja x 3, millest x 3, siis sobib parajasti x = 3 +. Seega ainus sobiv võimalus on tõmmata sirge nii, et ta lõikaks hüpotenuusi 3+ kaateti vastastipust ja lühemat kaatetit 3 ühiku kaugusel samast tipust. ühiku kaugusel pikema 7. Olgu O nelinurga ABCD ümberringjoone keskpunkt ning olgu H 1, H, H 3, H 4 vastavalt kolmnurkade AK N, BK L, CLM, DM N kõrguste lõikepunktid. Kuna N on külje AD keskpunkt, siis ON AD. Kuna samas K H 1 AD, saame K H 1 ON. Analoogiliselt ka N H 1 OK. Seega ON H 1 K on rööpkülik ning analoogiliselt ka ON H 4 M on rööpkülik. Niisiis K H 1 H 4 M on rööpkülik. Analoogiliselt ka MK H H 3 on rööpkülik ning kokkuvõttes H 1 H H 3 H 4 on rööpkülik. 8. Arvestades, et võrdsetele kaartele toetuvad piirdenurgad on võrdsed, saame α = ACB = ADB = AEB = AF B = B AC = BDC = BEC = BFC, β = C AD = CBD = CED = CF D = D AE = DBE = DCE = DF E, γ = E AF = EBF = ECF = EDF = F B A = FC A = F D A = F E A. Kõikide ülalpool loetletud nurkade summa võrdub kuusnurga sisenurkade summaga, järelikult 8α + 8β + 8γ = 4π, millest α + β + γ = π. Vaatleme nüüd kolmnurka BPD, kus P on diagonaalide BE ja DF lõikepunkt. Saame BPD = π ( DBP + PDB) = π (β + α + γ) = π π = π. Järelikult BE F D. Analoogiliselt saame, et D A BF ja FC DB. 9. Pikendame lõiku DM üle otspunkti M punktini G, mis rahuldab tingimust FG CD. Siis MF = MC parajasti siis, kui nelinurk CDFG on rööpkülik, s.t. ED A = CGF ehk samaväärselt EB A + CGF = π. See tingimus omakorda kehtib parajasti siis, kui F BCG on kõõlnelinurk, s.t. CBM = CFG ehk samaväärselt CBM = DC M. Viimane võrdus aga on samaväärne sellega, et kolmnurgad BC M ja CDM on C M sarnased, ehk BM = DM C M, ehk MB MD = MC. 3

4 10. Tähistame a = BC, b = C A, c = AB ning α = C AB, β = ABC, γ = BC A. Olgu r kolmnurga ABC siseringjoone raadius. Lõikugu sirged BL ja C K punktis D. Siis Seega BK L = APK ABK = π α β = α + β + γ α β = γ = ACB. I K L = BK L = ACB = AC I, mistõttu punktid I, K, Q, C asuvad ühel ringjoonel. Niisiis I KC = IQC = π. Analoogiliselt I LB = π. Järelikult punktid B, L, K, C asuvad ühel ringjoonel ning samuti punktid I, L, D, K asuvad ühel ringjoonel. Seejuures BC on kolmnurga C LK ümberringjoone diameeter ning I D on kolmnurkade I LK ja DLK ühise ümberringjoone diameeter. LK Siinusteoreemist kolmnurgas DLK saame, et I D = sin LDK = LK, ning siinusteoreemist kolmnurgas C LK saame, et a = cos LCK LK sin LCK. Seega I D = a tan LCK. Kuna sin LCK = sin IQK = sin IQP = sin α, leiame siit, et I D = a tan α. Teiselt poolt aga r = AQ tan α ja AQ = b + c a. Kolmnurga I LK ümberringjoon puutub ABC siseringjoont parajasti siis, kui kolmnurga I LK ümberringjoone diameeter võrdub ABC siseringjoone raadiusega, s.t. r = I D, mis vastavalt eespool tõestatule on samaväärne sellega, et b + c a = a, ehk b + c = 3a. 11. Vastus: vähim väärtus on 0, mille avaldis omandab x = 1 korral. Teisendame antud avaldist: x 8 x 5 1 x + 1 x 4 = x1 x 9 x x 4 = (x9 1)(x 3 1) x 4. Et x 9 1 ja x 3 1 on alati ühe ja sama märgiga ning x 4 > 0, siis on avaldise väärtus mittenegatiivne mistahes x 0 korral. Väärtuse 0 omandab avaldis parajasti siis, kui x 9 = 1 või x 3 = 1, s.t. x = 1 korral. 1. Vastus: parabooli kaarte projektsioonide pikkuste vahe on 1. Ülesande tingimuste kohaselt on võrranditel x = x + px + q (ehk x + (p 1)x + q = 0) ja x = x + px + q (ehk x + (p )x + q = 0) kummalgi kaks mittenegatiivset reaalarvulist lahendit. Olgu võrrandi x + (p 1)x + q = 0 lahendid a b ning võrrandi x + (p )x + q = 0 lahendid c d, siis a + b = 1 p ja c + d = p. Et vaadeldavate parabooli kaarte projektsioonid x -teljele on vastavalt pikkusega a c ja d b, siis nende projektsioonide pikkuste vahe on (d b) (a c) = (c + d) (a + b) = ( p) (1 p) = Vastus: b = 0 ja 0 a < 4. Olgu z võrrandi f (x) = 0 mingi lahend, siis f (z) = 0 ja vastavalt ülesande tingimustele ka f (f (z)) = 0, kust b = f (0) = f (f (z)) = 0. Seega f (x) = x(x + a) ning võrrandite f (x) = 0 ja f (f (x)) = 0 ühine lahendite hulk on {0, a}. Et f (f (x)) = f (x)(f (x) + a) = x(x + a)(x + ax + a), siis on meil vaja leida sellised a väärtused, mille korral ruutkolmliikmel x + ax + a ei ole muid reaalarvulisi nullkohti peale 0 ja a. Kui 0 või a on ruutkolmliikme x + ax + a nullkoht, siis a = 0 ning ruutkolmliikmel x + ax + a ei ole tõepoolest muid reaalarvulisi nullkohti. Teine võimalus on, et ruutkolmliikmel x + ax + a reaalarvulised nullkohad üldse puuduvad, s.t. a 4a < 0, kust 0 < a < 4. 4

5 14. Näitame kõigepealt induktsiooniga n järgi, et jada (a n ) on rangelt kasvav. Selleks paneme kõigepealt tähele, et a 1 < a < a 3 = 5 < a 4. Olgu nüüd a 1 < a <... < a k mingi k 4 korral, siis a k+1 a k 1 = a k ± 1 a k 1 > a k a k = a k (a k 1) a k a k 1, kust a k+1 > a k. Seega on jada (a n ) rangelt kasvav ning a n 1 5 mistahes n 4 korral, mistõttu arvudest a n + 1 ja a n 1 ülimalt üks saab olla a n 1 kordne. Niisiis eksisteerib ülimalt üks ülesande tingimusi rahuldav jada. Näitame nüüd, et jada (b n ), kus b 1 = 1, b = ja b n+ = b n+1 + b n iga n 1 korral, rahuldab ülesande tingimusi. Tõepoolest, b 3 = + 1 = 5 ja b 4 = 5 + = 1. Näitame nüüd induktsiooniga n järgi, et b n+1 b n 1 = b n +( 1)n iga n korral. Väite kehtivuses n = ja n = 3 korral on lihtne vahetult veenduda. Olgu nüüd b k+1 b k 1 = b k +( 1)k mingi k 3 korral. Siis väide, et b k+ b k = b k+1 +( 1)k+1, on samaväärne sellega, et b k+ b k + b k+1 b k 1 = b k+1 + b k, ehk (b k+ b k )b k = (b k+1 b k 1 )b k+1. Et vastavalt jada (b n ) definitsioonile b k+ b k = b k+1 ja b k+1 b k 1 = b k, siis see võrdus tõepoolest kehtib. 15. Vastus: 11 dollarit. Vaatleme Fibonacci jada (F n ), mis on defineeritud seostega F 0 = F 1 = 1 ja F n+1 = F n + F n 1 iga n 1 korral. Paneme tähele, et 144 = F 11 ning näitame, et mistahes n korral vähim rahahulk, mis tagab Jackil hulgast {1,,..., F n } valitud arvu äraarvamise vastavalt ülesandes kirjeldatud reeglitele, on n dollarit. Tähistagu f (k) vähimat dollarite arvu, mis garanteerib hulgast {1,,..., k} valitud arvu äraarvamise vastavalt ülesande reeglitele. Siis f on mittekahanev funktsioon (sest kui k m, siis hulgast {1,,..., k} valitud arvu äraarvamiseks võime rakendada sama strateegiat nagu hulgast {1,,..., m} valitud arvu äraarvamiseks, unustades teadmise, et valitud arv ei saa olla hulgast {k+1,..., m} seega f (k) f (m)). Samuti paneme tähele, et mistahes k < m korral kehtib seos f (m) max ( f (k) +, f (m k) + 1 ). (3) Tõepoolest, esitades kõigepealt küsimuse Kas valitud arv kuulub alamhulka {1,,..., k}?, saame jaatava vastuse korral arvu leidmiseks kulutada ülimalt f (k) + dollarit, eitava vastuse korral aga ülimalt f (m k) + 1 dollarit. Järgmiseks näitame induktsiooniga n järgi, et f (F n ) n mistahes n korral. Tõepoolest, f (F ) = f () (piisab nt. küsimusest Kas valitud arv kuulub alamhulka {1}? ). Kehtigu nüüd võrratus f (F i ) i iga i k korral, siis arvestades (3) ning seost F k+1 = F k + F k 1 saame f (F k+1 ) max ( f (F k 1 ) +, f (F k ) + 1 ) max(k + 1, k + 1) = k + 1. Lõpuks näitame induktsiooniga x järgi, et mistahes sellise positiivse täisarvu x korral, kus F n 1 < x F n ja n, on f (x) n. See väide kehtib x = korral et F 1 = 1 ja F =, siis n = ning tõepoolest f (), sest hulgast {1, } valitud arvu leidmiseks on vajalik vähemalt üks küsimus ja vastus sellele võib olla jah, mis läheb maksma dollarit. Olgu nüüd x 3, F n 1 < x F n (siin n 3) ning kehtigu väide iga y < x korral. Esitades kõigepealt küsimuse mingi ülimalt F n 3 -elemendilise alamhulga kohta, kulutaksime vastuse ei korral vähemalt f (x F n 3 ) + 1 f (F n F n 3 ) + 1 = f (F n + 1) + 1 (n 1) + 1 = n dollarit. Esitades aga kõigepealt küsimuse mingi vähemalt (F n 3 +1)-elemendilise alamhulga kohta, kulutaksime vastuse jah korral vähemalt f (F n 3 + 1) + (n ) + = n dollarit. Seega f (x) n iga F n 1 < x F n korral ning muuhulgas ka f (F n ) n. Kokkuvõttes olemegi näidanud, et f (F n ) = n iga n korral. 5

6 1. Vastus: alustajal. Nummerdame mälupesad arvudega 0, 1,..., 003 nii, et algul on mälupesas k arv k. Valigu alustaja oma esimesel käigul mälupesad 0 ja 1998 kuni 003 ning oma igal järgmisel käigul needsamad mälupesad, mis valis tema vastane oma viimasel käigul. Näitame, et siis ühegi alustaja käigu tulemusena ei saa üheski mälupesas mittenegatiivne arv muutuda negatiivseks. Selleks paneme tähele, et igal käigul vähendatakse arvu vähemalt ühes mälupesas, mille number ei ole suurem kui Et neis mälupesades algul olevate arvude summa on = , siis hiljemalt 1998 käigu järel saab mingis mälupesas arv negatiivseks ja mäng lõpeb. Kuid 1998 käiguga ei saa muutuda negatiivseks ükski arv mälupesades 1998 kuni 003, ning kõigis ülejäänud mälupesades on alustaja ülaltoodud strateegia korral tema iga käigu järel paarisarvud. 17. Vastus: paigutus ning sellest pöörete ja peegelduste abil saadavad paigutused. Tähistame tabelisse kirjutatavad arvud a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 ning olgu S ülesandes mainitud ühine summa. Liites arvud neljale nurgaruudule vastavates tabeli lahtrites, saame 4S = (a 11 + a 13 + a 31 + a 33 ) + (a 1 + a 1 + a 3 + a 3 ) + 4a = 3S + 4a. Liites aga arvud ülejäänud kahele ruudule vastavates tabeli lahtrites, saame S = (a 11 + a 13 + a 31 + a 33 ) + (a 1 + a 1 + a 3 + a 3 ) = 45 a. Neist kahest võrdusest leiame, et a = 5 (s.t. 5 on tabeli keskmises lahtris) ja S = 0. Mistahes ruudu korral, mille tippudele vastavates lahtrites esinevad arvud 1 ja 5, peab ülejäänud kahes lahtris olevate arvude summa olema 14 ainsad sobivad arvud on ja 8. Samuti mistahes ruudu korral, mille tippudele vastavates lahtrites esinevad arvud 3 ja 5, peab ülejäänud kahes lahtris olevate arvude summa olema 1 ainsad sobivad arvud on 4 ja 8. Seega peavad 1 ja 3 paiknema tabeli kahes naabernurgas, 8 nende vahel ning ja 4 vastavalt 1 ja 3 kõrval tabeli servades. Vaadeldes tabeli servadega 45 all paiknevat ruutu näeme, et 8 vastas peab olema, ning vaadeldes arve 5 ja hõlmavaid nurgaruute veendume, et ka ülejäänud arvude 7 ja 9 paigutus on eelnevaga üheselt määratud. 18. Vastus: 4(M V ). Olgu murdjoone sisepiirkonda kuuluvate mustade ruutude jaoks nende samuti murdjoone sisepiirkonda kuuluvate naaberruutude arvud vastavalt a 1, a,..., a M, ning olgu b 1, b,..., b V analoogilised naaberruutude arvud murdjoone sisepiirkonda kuuluvate valgete ruutude jaoks. Iga vaadeldava musta ruuduga i külgneb siis 4 a i murdjoone musta ühiklõiku ning iga vaadeldava valge ruuduga j külgneb 4 b j murdjoone valget ühiklõiku. Otsitav mustade ja valgete ühiklõikude arvude vahe on niisiis M V M V (4 a i ) (4 b j ) = 4(M V ) a i + b j. i=1 j =1 i=1 j =1

7 M V Siinjuures a i = b j (sest mistahes musta ruudu iga naaberruut on valge ja vaadeldav must ruut on i=1 j =1 omakorda selle valge ruudu naaberruuduks), millest saame, et otsitav vahe on 4(M V ). 19. Vaatleme suvalist 9 antud punkti et ülesande tingimuste kohaselt leiduvad kaks ringjoont, mis koos sisaldavad kõik need 9 punkti, siis üks neist ringjoontest sisaldab vähemalt 5 vaadeldavat punkti. Olgu see ringjoon c ning need 5 punkti A, B, C, D, E. Vaatleme nüüd kõiki neid antud punkte, mis ei asu ringjoonel c. Paneme tähele, et mistahes selliste punktide kolmik X, Y, Z ei saa olla ühel sirgel ning järelikult määrab mingi ringjoone. Selles veendumiseks vaatleme punkte X, Y, Z koos punktidega A, B, C, D, E ja veel ühe suvalise punktiga ning rakendame ülesande tingimust peavad leiduma kaks ringjoont, mis koos sisaldavad kõik need 9 punkti. Et vähemalt kolm punktidest A, B, C, D, E peavad paiknema ühel neist ringjoontest, siis see üks ringjoon on c ; et ükski punktidest X, Y, Z ei asu ringjoonel c, siis peavad need kõik asuma teisel ringjoonel. Kui nüüd ringjoonel c mittepaiknevaid punkte on kokku ülimalt 3, siis leidub neid kõiki läbiv ringjoon ja väide on tõestatud. Kui selliseid punkte on aga rohkem kui 3, siis fikseerime suvalised kolm neist olgu need F, G, H ning nendega määratud ringjoone c. Vaatleme nüüd suvalist antud punkti P, mis on erinev punktidest A,..., H. Vastavalt ülesande tingimusele leiduvad kaks ringjoont, mis koos sisaldavad kõiki punkte A,..., H ja P. Eelmises lõigus esitatud arutlusega veendume jällegi, et üks neist ringjoontest on c ; et punktid F, G, H ei paikne ringjoonel c, siis peab teine neist ringjoontest olema c. Niisiis paikneb mistahes punktidest A,..., H erinev antud punkt P kas ringjoonel c või ringjoonel c ning järelikult need kaks ringjoont koos sisaldavad kõik antud punktid. 0. Vastus: 4. Näitame kõigepealt, et leidub 101 ruudust koosnev kujund, mida ei saa ruudulise paberi tükist välja lõigata rohkem kui 4 eksemplari. Selliseks kujundiks sobib rist, mis koosneb kahest teineteise keskkohtades ristuvast 51 ruudu pikkusest ribast. Iga sellise risti keskmine ruut peab asuma ruudulise paberi keskmises 5 5 osas, mille saame omakorda jagada neljaks tükiks. Igal sellisel tükil saab ilmselt asuda ainult ühe vaadeldava risti keskmine ruut. Näitame nüüd, et mistahes 101 ruudust koosnevat kujundit saab ruudulise paberi tükist välja lõigata vähemalt 4 eksemplari. Selleks paneme tähele, et mistahes sidusa (ülesande tekstis kirjeldatud mõttes) n ruudust koosneva kujundi jaoks leidub selline arv k (kus 1 k n ), et vaadeldava kujundi saab tervenisti paigutada k (n + 1 k) ruudust koosnevale ristkülikule selle väite saame kergesti tõestada induktsiooniga n järgi. Järelikult leidub selline k, et meie 101 ruudust koosneva kujundi saame saab tervenisti paigutada k (10 k) ruudust koosnevale ristkülikule. Jääb üle veenduda, et ruudu servadesse saab paigutada 4 sellist lõikumatut ristkülikut (mis teisenduvad üksteiseks ruudu 90 pööretel). 7

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx

Microsoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased

Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase

Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase Matemaatika 1.Valdkonnapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste tundmist, suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja meetoditega erinevate ülesannete

Rohkem

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu Eesti koolioorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. Lahedused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu M tipust A lõigule KL tõmmatud ristlõigu aluspukt (vt.

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU

Rohkem

Taskuprinter KASUTUSJUHEND

Taskuprinter KASUTUSJUHEND Taskuprinter KASUTUSJUHEND Täname, et ostsite taskuprinteri Polaroid Mint. Käesoleva kasutusjuhendi eesmärk on anda teile juhiseid toote ohutuks kasutamiseks ja et see ei kujutaks endast kasutajale mingit

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj

EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja 2017-2018 EDL Liiga tulemuste põhjal nelja liigasse. a. Premium Liiga (9 osalejat) b.

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm algklassilastele tr\374kk 2.doc) ALGKLASSILAPSED 1 MINU NIMI ON MINA OLEN PRAEGU TÄNA ON 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED KIRJUTA VÕI JOONISTA SIIA KAKS KÄRNERI TÖÖRIISTA KIRJUTA SIIA SELLE TAIME 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST NIMI MIDA ISTUTASID MÕISTA,

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Microsoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc

Microsoft Word - F3A_Reeglistik_2010.doc Mudeliklassi F3A Eesti meistrivõistluste reeglistik (2010) Reeglid põhinevad Rahvusvahelise Lennuspordi Föderatsiooni (FAI) määrustel, kuid on mugandatud arvestades kohalike võistlejate lennuvahendeid

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:

Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp: Väljaandja: Keskkonnaminister Akti liik: määrus Teksti liik: terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 0.02.2009 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 3.0.206 Avaldamismärge: Kiirgustegevuses tekkinud radioaktiivsete

Rohkem

Lõppvoor 2016

Lõppvoor 2016 Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............

Rohkem

Väljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: algtekst-terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp:

Väljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: algtekst-terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: Redaktsiooni kehtivuse lõpp: Väljaandja: Vabariigi Valitsus Akti liik: määrus Teksti liik: algtekst-terviktekst Redaktsiooni jõustumise kp: 01.06.2002 Redaktsiooni kehtivuse lõpp: 22.06.2002 Avaldamismärge: RT I 2000, 49, 314 Meditsiinilisel

Rohkem

Kiekim mees kirjeldus.docx

Kiekim mees kirjeldus.docx KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

AM_Ple_NonLegReport

AM_Ple_NonLegReport 9.1.2019 A8-0475/36 36 Põhjendus BG BG. arvestades, et kahjuks ei leidnud see vastuolu erikomisjonis lahendust; 9.1.2019 A8-0475/37 37 Põhjendus BI BI. arvestades, et niinimetatud Monsanto dokumendid ja

Rohkem

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc)

(Microsoft Word - T\366\366leht m\365isaprogramm 4-6 kl tr\374kkimiseks.doc) 4-6 KLASS 1 Minu nimi on Ma olen praegu Täna on 1. KÄRNERIMAJA JA LILLED Kirjuta või joonista siia kolm kärneri tööriista Kirjuta siia selle taime nimi, 1. TÖÖRIIST 2. TÖÖRIIST 3. TÖÖRIIST mida istutasid

Rohkem

Pärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kass

Pärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kass Pärimustantsud ja laulumängud esimeses kooliastmes Liikumisõpetajate suvekool LIISU 2018 Jõulumäel 19. 06. 2018 Rita Veeremets Pärimustantsud: 1. Kassariik Jõelähtme Osavõtjaid: vaba arv paare Lähteasend:

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning

Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning Kaupmehed ja ehitusmeistrid Selle laiendusega mängimiseks on vajalik Carcassonne põhimäng. Laiendit võib mängus kasutada täielikult või osaliselt ning seda saab kombineerida teiste Carcassonne laiendustega.

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc

Microsoft Word - TallinnLV_lihtsustatud_manual_asutuse_juhataja_ doc Tallinna Linnavalitsuse sõnumisaatja kasutusjuhend asutuse juhatajale Sisukord 1. Süsteemi sisenemine...2 2. Parooli lisamine ja vahetamine...2 3. Ametnike lisamine ametiasutuse juurde...2 4. Saatjanimede

Rohkem

Kuidas vahetada esimesi suspensiooni vedrusid autol VOLKSWAGEN TOURAN 1

Kuidas vahetada esimesi suspensiooni vedrusid autol VOLKSWAGEN TOURAN 1 Sooritage asendamine järgnevas järjekorras: 1 Vahetage Volkswagen Touran 1 vedrud paarikaupa. 2 Pingutage seisupiduri hooba. 3 Asetage tõkiskingad tagumiste rataste taha. Lõdvendage ratta kinnituspolte.

Rohkem

Manuals Generator

Manuals Generator Sooritage asendamine järgnevas järjekorras: 1 Vahetage vedrud paarikaupa. Pingutage seisupiduri hooba. 2 3 Asetage tõkiskingad tagumiste rataste taha. Lõdvendage ratta kinnituspolte. 4 5 Tõstke esimest

Rohkem

ISS0010_5osa_2018

ISS0010_5osa_2018 Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!

Rohkem

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS GS1 Järgnevalt on kirjeldatud lühidalt mõningaid inimesi. Palun lugege iga kirjeldust ja märkige igale reale, kuivõrd Teie see inimene on. Väga Minu Mõnevõrra

Rohkem

Microsoft Word Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord.doc

Microsoft Word Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord.doc Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord I ÜLDSÄTTED 1. Reguleerimisala Kord sätestab kutseliste hindajate (edaspidi Hindaja) kutsetegevuse aruandluse, täiendõppe aruandluse ja auditeerimise

Rohkem

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem