Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
|
|
- Mihkel Rosin
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu a D selle intervalli sisepunkt. Teatavasti nimetatakse funktsiooni f punktis a diferentseeruvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus f (a) : mida nimetatakse funktsiooni f tuletiseks punktis a. f (a + ) f (a), 0 Meenutame nende mõistete geomeetrilist sisu. Võtame läbi funktsiooni f graafiku punktide (a, f (a)) ja (x, f (x)) sirge (ek lõikaja), selle võrrand on Y = f (a) + (X a), kus (X, Y ) on vaadeldava sirge punkt. Protsessis x a võtab see võrrand kuju Y = f (a) + f (a) (X a) ek Y f (a) X a = f (a). Selle võrrandiga määratud sirge läbib punkti (a, f (a)), teda nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujaks punktis a. Niisiis, punktis a diferentseeruva funktsiooni f korral defineeritakse selles punktis tema graafiku puutuja kui punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x a. Tuletis f (a) on võrdne puutuja tõusunurga tangensiga. Funktsiooni diferentseeruvuse mõiste analüütiline sisu seisneb selles, et punktis a diferentseeruvat funktsiooni saab lokaalselt (s.t. selle punkti ümbruses) lineaarselt läendada. Nimelt, kui täistame T (x) := f (a)+f (a) (), siis T : R R on lineaarne funktsioon (selgitada!) ja f (x) T (x) = 0 (veenduda!). Seega saab suvalise ε > 0 korral leida punkti a sellise ümbruse U δ (a) = (a δ, a + δ), et iga x U δ (a) puul ketib võrratus f (x) T (x) < f(x) T (x) x a < ε. Diferentseeruvate funktsioonide uurimiseks vajame järgmist lemmat, mida mõnedes õpikutes nimetatakse ka diferentsiaalarvutuse põilemmaks. Lemma. Funktsioon f on punktis a diferentseeruv parajasti siis, kui leidub selline punktis a pidev funktsioon G f : D R, et f (x) = f (a) + G f (x) (). () Sel juul f (a) = G f (a). Tõestus. Tarvilikkus. Olgu f diferentseeruv punktis a. Defineerime { f(x) f(a), kui x a, G f (x) := x a f (a), kui x = a,
2 2 4. Diferentseeruvad funktsioonid siis G f on punktis a pidev (kontrollida!) ja ketib võrdus () (veenduda!). Piisavus. Kui võrdus () ketib ning G f on punktis a pidev, siis seega on f koal a diferentseeruv ja f (a) = G f (a). G f (x) = G f (a), Järeldus 2. Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis on ta selles punktis pidev. Tõestus (iseseisvalt!). Tuletise definitsioonist lätudes saab leida litsamate elementaarfunktsioonide tuletised. Näited.. Kui f (x) = c =const, siis f (a) = 0 iga a korral (kontrollida!). 2. Kui f (x) = cx, kus c on konstant, siis f (a) = c iga a korral (kontrollida!). 3. Kui f (x) = x n, siis f x (a) n a n n x a k=0 xn k a k (kontrollida!) = na n (selgitada!). 4. Funktsioon f (x) = x ei ole punktis a = 0 diferentseeruv (veenduda!). 5. Leiame eksponentfunktsiooni f (x) = e x tuletise. Selleks arvutame suvalise a R puul piirväärtuse f (a) 0 e a+ e a 0 e a+ e a = e a 0 e = e a. (2) e (Piirväärtuse 0 arvutamiseks teeme muutujavaetuse z := e, siis = ln (z + ). e Kui 0, siis ka z 0, ning z 0 z 0 =.) Seosest (2) saame, et ln(z+) (e x ) = e x iga x R korral. 6. Funktsiooni f (x) = sin x korral on f sin (a + ) sin a (a) 0 ( cos a + ) ( ) 2 cos a + 2 sin 2 0 sin 2 2 = cos a. Niisiis, (sin x) = cos x iga x R korral. 7. Analoogiliselt veendutakse, et (cos x) = sin x iga x R korral (kontrollida!). 2. Diferentseerimisreeglid. Allpool toodud diferentseerimisreeglid on meile matemaatilise analüüsi eelnevatest kursustest ästi tuttavad. (I) Kui funktsioonid f : D R ja g : D R on punktis a diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f+g ja f g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g) (a) = f (a)±g (a). Tõestus (iseseisvalt!). (II) Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis ka funktsioon λf on iga λ R korral selles punktis diferentseeruv ning (λf) (a) = λf (a). Tõestus (iseseisvalt!).
3 Matemaatiline analüüs III 3 (III) Kui funktsioonid f : D R ja g : D R on punktis a diferentseeruvad, siis ka nende korrutis fg : D R, x f (x) g (x) on selles punktis diferentseeruv funktsioon ning (fg) (a) = f (a) g (a) + f (a) g (a). Tõestus. Kuna f on punktis a pidev, siis (fg) (x) (fg) (a) f (x) g (x) f (a) g (a) f (x) (g (x) g (a)) + g (a) () g (x) g (a) f (x) = f (a) g (a) + f (a) g (a). + g (x) (IV) Kui funktsioonid f : D R ja g : D R on punktis a diferentseeruvad ning g (a) 0, siis ka funktsioon f g : D R, x f (x) g (x), kus D := {x D g (x) 0}, on selles punktis diferentseeruv ja ( ) f (a) = f (a) g (a) f (a) g (a) g g (a) 2. Tõestus. Kõigepealt märgime, et a on mingi alamintervalli D D sisepunkt (selgitada!). Vaatleme algul jutu, kus f on konstantne funktsioon väärtusega. Siis (x) (a) g g g(x) g(a) g (x) g (a) g (a) g (x) = g (a) 2 ( g (a)). Rakendades nüüd eelmist väidet, saame ( ) ( f (a) = f ) ( ) (a) = f (a) (a) + f (a) g g g g (a) = f (a) g (a) g (a) 2 + f (a) g (a) = f (a) g (a) f (a) g (a) g (a) 2. Näited.. Iga polünoom P (x) = a n x n + a n x n a 0 on igas punktis x R diferentseeruv ning P (x) = na n x n + (n ) a n x n a
4 4 4. Diferentseeruvad funktsioonid (veenduda!). 2. Kui f (x) = tan x ( x R { π ± kπ k = 0,, 2,...}), siis 2 f (x) = ( ) sin x = (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = cos 2 x. 3. Analoogiliselt saadakse, et (cot x) = (veenduda!). sin 2 x iga x R {±kπ k = 0,, 2,...} korral Meile ästi tuntud liitfunktsiooni diferentseerimise reegli (nn. aelareegli) tõestamiseks kasutame lemmat. Lause 3. Olgu funktsioon f : D R punktis a diferentseeruv. Kui f (D) E ja funktsioon g : E R on punktis b := f (a) diferentseeruv, siis ka liitfunktsioon on punktis a diferentseeruv ja g f : D R, x g (f (x)) (g f) (a) = g (b) f (a). Tõestus. Lemma koaselt leiduvad sellised vastavalt punktides a ja b pidevad funktsioonid G f : D R ja G g : E R, et Seega f (x) = f (a) + G f (x) () ja g (y) = g (b) + G g (y) (y b). g (f (x)) = g (b) + G g (f (x)) (f (x) b) = g (f (a)) + G g (f (x)) (f (a) + G f (x) () f (a)) = g (f (a)) + G g f (x) G f (x) (). Täistame G g f := (G g f) G f, see funktsioon on punktis a pidev (põjendada!), niisiis saame võrdusest g (f (x)) = g (f (a)) + G g f (x) () lemma põjal, et g f on punktis a diferentseeruv ja (g f) (a) = G g f (x) = g (f (a)) f (a) (kontrollida!). Lõpuks tõestame pöördfunktsiooni diferentseerimise reegli. Meenutame, et (vt. 3, teoreem 8) kui f : D R on intervallis D pidev rangelt monotoonne funktsioon, siis tal on pidev pöördfunktsioon, mille määramispiirkonnaks on mingi intervall D. Seejuures, kui a on intervalli D sisepunkt, siis b := f (a) on intervalli D sisepunkt (kontrollida!). Lause 4. Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon g : D R on punktis b := f (a) diferentseeruv parajasti siis f (a) 0. Sel juul g (b) = f (a). (3) Tõestus. Tarvilikkus. Kuna g (f (x)) = x iga x D korral, siis lause 3 koaselt g (f (a)) f (a) =. Siit järeldub, et f (a) 0 ja ketib võrdus (3).
5 Matemaatiline analüüs III 5 Piisavus. Olgu f (a) 0. Kuna f (x) f (a) iga x D korral, siis on funktsioon F : D {a} R, x korrektselt defineeritud, seejuures F (x) = (selgitada!). Täistades y = f (x) f (a) (ek x = g (y)), saame funktsioonide f ja g pidevusest, et y b parajasti siis, kui x a (selgitada!). Seega g (y) g (b) y b y b F (x) = f (a). Näited. 4. Leiame valemi (3) abil logaritmfunktsiooni y = f (x) = ln x (x (0, )) tuletise. Kuna f on eksponentfunktsiooni g (y) = e y (y R) pöördfunktsioon, siis f (x) = g (y) = e y = e ln x = x (x (0, )). 5. Olgu y = f (x) = arcsin x (x [, ]). Tegemist on pideva rangelt monotoonse funktsiooni x = g (y) = sin y ( y [ π 2, π 2 ]) pöördfunktsiooniga, seega valemi (3) koaselt f (x) = cos y = sin 2 y = x 2 (x (, )). 6. Analoogiliselt tuletatakse valem (arccos x) = x 2 (x (, )) (iseseisvalt!). 7. Analoogiliselt saame, et (arctan x) = ja (arccot x) = (isesisvalt!). +x 2 +x 2 3. Lagrange i keskväärtusteoreem. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Alustame litsa, kuid olulise täelepanekuga tuletise seosest funktsiooni ekstreemumitega. Meenutame, et kui funktsiooni f määramispiirkonna D sisepunktil a on ümbrus U δ (a) omadusega f (x) f (a) iga x U δ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. Kui f (x) f (a) iga x U δ (a) korral, siis kõneldakse lokaalsest miinimumist. Kui funktsioonil on vaadeldavas punktis kas lokaalne maksimum või lokaalne miinimum, siis öeldakse, et tal on lokaalne ekstreemum. Lause 5 (Fermat teoreem, tarvilik tingimus lokaalseks ekstreemumiks). Olgu funktsioon f : D R intervalli D sisepunktis a diferentseeruv ning olgu tal selles punktis lokaalne ekstreemum. Siis f (a) = 0. Tõestus. Konkreetsuse mõttes olgu funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. Olgu δ > 0 selline arv, et f (x) f (a) iga x U δ (a) korral. Siis ja 0 kõikide x (a δ, a) korral 0 kõikide x (a, a + δ) korral
6 6 4. Diferentseeruvad funktsioonid f(x) f(a) (selgitada!). Diferentseeruvuse eelduse tõttu eksisteerivad piirväärtused x a f(x) f(a) 0 ja + 0 ning need peavad olema võrdsed (selgitada!). Seega f (a) = x a f(x) f(a) = 0. x a Lokaalse miinimumi korral on tõestus analoogiline. Geomeetriliselt täendab lause 5 väide seda, et kui punktis a diferentseeruval funktsioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud tuletis on paralleelne x-teljega (selgitada!).rõutame, et tegemist on vaid tarviliku, üldjuul mitte piisava tingimusega. Litsaks kontranäiteks on funktsioon y = x 3, mis on punktis a = 0 diferentseeruv, tuletis selles punktis ja funktsioon is võrduvad nulliga, kuid punkti 0 igas ümbruses saab funktsioon nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Lause 6 (Rolle i teoreem). Olgu f : [a, b] R pidev funktsioon, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruv. Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c (a, b), et f (c) = 0. Tõestus. Kõigepealt märgime seda, et Weierstrassi tuntud teoreemi koaselt (vt. 3, teoreem 7) on funktsioonil f lõigus [a, b] nii globaalne maksimum kui ka globaalne miinimum. Kui f on konstantne funktsioon, siis f (x) = 0 iga x [a, b] puul. Mittekonstantse funktsiooni f korral saab leida sellise z (a, b), et kas f (z) > f (a) või f (z) < f (a). Mõlemal juul peab väemalt üks globaalsetest ekstreemumitest paiknema vaemikus (a, b), olgu see punktis c (a, b). Lause 5 koaselt f (c) = 0. Geomeetriliselt täendab tõestatud väide seda, et kui funktsiooni f graafiku punkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbib selline lõikaja, mis on x-teljega paralleelne, siis on nende vael selline graafiku punkt (c, f (c)), milles võetud puutuja on x-teljega paralleelne. Ei ole mingit põjust arvata, et see väide vaid x-teljega paralleelsete lõikajate ja puutujate puul ketib. Järgmine väide - nn. keskväärtusteoreem - ütlebki, et läbi graafiku punktide (a, f (a)) ja (b, f (b)) tõmmatud lõikajaga saab teatud punktis graafikule võtta selle lõikajaga paralleelse puutuja. Lause 7 (Lagrange i keskväärtusteoreem). Olgu f : [a, b] R pidev funktsioon, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c (a, b), et f (c) = Tõestuseks defineerime uue funktsiooni g (x) := f (x) f (b) f (a) b a f (b) f (a). (4) b a (), (x [a, b]). See on lõigus [a, b] pidev ning vaemikus (a, b) diferentseeruv, sealjuures g (a) = g (b), niisiis saame funktsioonile g rakendada Rolle i teoreemi. (Geomeetriliselt kõneldes, me pöörame funktsiooni f graafikut punkti (a, f (a)) ümber nii, et lõikaja, mis läbib punkte (a, f (a)) = (a, g (a)) ja (b, g (b)), oleks x-teljega paralleelne). Rolle i teoreemi koaselt leidub selline punkt c (a, b), et s.t. ketib (4). 0 = g (c) = f (c) f (b) f (a) b a
7 Matemaatiline analüüs III 7 Märkus. Tingimus (4) esitatakse titi kujul (selgitada!). f (a + ) f (a) = f (a + θ) mingi θ (0, ) korral Keskväärtusteoreemi abil on mugav kirjeldada funktsiooni f : [a, b] R monotoonsusomadusi. Lause 8. Olgu f : [a, b] R pidev funktsioon, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruv. (a) Kui leiduvad sellised arvud m ja M, et m f (x) M iga x (a, b) korral, siis m (z y) f (z) f (y) M (z y) (a y z b). (b) Kui f (x) = 0 iga x (a, b) korral, siis f on konstantne. (c) Kui f (x) > 0 (f (x) 0) iga x (a, b) korral, siis f on rangelt kasvav (kasvav) funktsioon. (d) Kui f (x) < 0 (f (x) 0) iga x (a, b) korral, siis f on rangelt kaanev (kaanev) funktsioon. Tõestus. (a) Juul z = y on väide triviaalne. Kui z > y, siis keskväärtusteoreemi koaselt leidub c (a, b) omadusega m f (c) = f (z) f (y) z y M, mis on samaväärne tõestatava tingimusega. (b) Kui f (x) = 0 iga x (a, b) korral, siis rakendame väidet (a), võttes m = M = 0. (c) Kui f (x) > 0 iga x (a, b) korral, siis (keskväärtusteoreemi koaselt ketivas) tingimuses (4) on f (c) > 0, mistõttu f (z) f (y) = f (c) (z y) > 0, kui z > y. Seega on f rangelt kasvav. Analoogiliselt tõestatakse väite teine pool (iseseisvalt!). (d) (Iseseisvalt!). 4. Caucy keskväärtusteoreem ja L Hospitali reegel. Lause 9 (Caucy keskväärtusteoreem). Olgu f : [a, b] R ja g : [a, b] R pidevad funktsioonid, mis vaemikus (a, b) on diferentseeruvad, ning olgu g (x) 0 iga x (a, b) korral. Siis leidub selline c (a, b), et f (b) f (a) g (b) g (a) = f (c) g (c). (5) Tõestus. Kõigepealt märgime, et g (b) g (a), sest vastasel juul rauldaks g Rolle i teoreemi tingimusi ning g (x) võrduks nulliga väemalt ües punktis x (a, b). Moodustame funktsiooni f (b) f (a) (x) := f (x) (g (x) g (a)) g (b) g (a)
8 8 4. Diferentseeruvad funktsioonid ja paneme täele, et : [a, b] R on pidev ja vaemikus (a, b) diferentseeruv, seejuures (b) = (a) (kontrollida!). Rolle i teoreemi koaselt (c) = 0 mingis punktis c (a, b). Kuna (x) = f f (b) f (a) (x) g (b) g (a) g (x), siis saamegi seose (5). Märkus. Analoogiliselt Lagrange i keskväärtusteoreemiga saab ka valemile (5) anda teistsuguse kuju: f (a + ) f (a) g (a + ) g (a) = f (a + θ) g (a + θ) mingi θ (0, ) korral. Caucy keskväärtusteoreem annab litsa meetodi funktsioonide piirväärtuse arvutamiseks määramatuste 0 0 ja puul. või Lause 0 (L Hospitali reegel). Olgu a R. Kui kas f (x) g (x) = 0 (6) + + f (x) g (x) = (7) + + f ning eksisteerib piirväärtus (x) + =: L, siis g (x) + f(x) = L. g(x) Analoogiline tulemus ketib ka vasakpoolse ja kaepoolse piirväärtuse puul. f Tõestus. Piirväärtuse (x) + olemasolust tuleneb, et avaldis f (x) on määratud g (x) g (x) ulgas (a, a + ] mingi > 0 korral, seega on funktsioonid f ja g ulgas (a, a + ] diferentseeruvad, seejuures g (x) 0 iga x (a, a + ] korral. A. Vaatleme algul jutu (6). Defineerime uued funktsioonid F : [a, a + ] R ja G : [a, a + ] R seostega F (x) := { f (x), kui x (a, a + ], 0, kui x = a ja G (x) := { g (x), kui x (a, a + ], 0, kui x = a. Siis F ja G on pidevad ning vaemikus (a, a + ) diferentseeruvad (selgitada!), seejuures on G (x) = g (x) 0 iga x (a, a + ) korral. Caucy keskväärtusteoreemi koaselt saab iga x (a, a + ) korral leida c (a, x) omadusega f (x) g (x) F (x) F (a) = G (x) G (a) = F (c) G (c) = f (c) g (c) (selgitada!). Protsessis x a+ ketib c a+ (sest c on punktide a ja x vael), niisiis f (x) + g (x) f (c) c a+ g (c) = L. B. Juul (7) on tõestus keerulisem. Olgu ε suvaline positiivne arv, vae > 0 nii väikese, et
9 Matemaatiline analüüs III 9 ) funktsioonid f ja g oleksid ulgas (a, a + ) diferentseeruvad, 2) f (x), g (x) ja g (x) on nullist erinevad iga x (a, a + ) korral ja 3) f (c) L g (c) < ε iga x (a, a + ) korral. Fikseerime x 0 (a, a + ) ning olgu x (a, a + ) suvaline. Rakendame lõigus otspunktidega x ja x 0 Caucy keskväärtusteoreemi. Selle koaselt leidub nende punktide vael punkt c omadusega f (x) f (x 0 ) g (x) g (x 0 ) = f (c) g (c), järelikult (põjendada!). Täistades f (x) f (t) g (x) g (t) L < ε kõikide x, t (a, a + ) korral (8) ϕ (x) := g(x 0) g(x) f(x 0) f(x) ning märkides, et + ϕ (x) = (kontrollida!), saame seostest (8) ja f (x) f (x 0 ) g (x) g (x 0 ) = f (x) f(x 0) f(x) g (x) g(x 0) g(x) võrratuse f (x) ϕ (x) g (x) L < ε ek f (x) g (x), = f (x) ϕ (x) g (x) (x (a, a + )) Lϕ (x) < ε ϕ (x) (x (a, a + )), millest omakorda järeldub f (x) g (x) L f (x) Lϕ (x) g (x) + Lϕ (x) L (9) < ε ϕ (x) + L ϕ (x) (x (a, a + )) Vae δ > 0 nii väikese, et δ ja iga x (a, a + δ) korral ketib võrratus ϕ (x) < ε ek ϕ (x) < ε + (x (a, a + δ)). (0) Võrratustest (9) ja (0) tuleneb tingimus f (x) g (x) L < ε (ε + ) + L ε (x (a, a + δ)), mis täendabki, et + f(x) g(x) = L. Analoogiliselt tõestatakse väited vasakpoolsete piirväärtuste korral. Litne on näa, et kui väited ketivad nii parem- kui vasakpoolsete piirväärtuste jaoks, siis ketivad nad ka kaepoolsete piirväärtuste puul.
10 0 4. Diferentseeruvad funktsioonid Märkus 2. Analoogilised väited (analoogiliste tõestustega) ketivad juul, kui piirprotsess on kas x või x. 5. Kõrgemat järku tuletised. Taylori valem. Olgu funktsioon f : D R intervalli D sisepunktis a ja selle ümbruses U δ (a) = (a δ, a + δ ) diferentseeruv. juul on määratud funktsioon f : (a δ, a + δ ) R, x f (x) ja me võime püstitada küsimuse tema diferentseeruvusest punktis a. Kui vastus on positiivne, s.t. eksisteerib funktsiooni f tuletis f (a) := (f ) (a), siis seda nimetame esialgse funktsiooni f teiseks (ek teist järku) tuletiseks punktis a ja ütleme, et f on punktis a kaks korda diferentseeruv. Eeldades, et f on kaks korda diferentseeruv punkti a mingis ümbruses U δ2 (a) = (a δ 2, a + δ 2 ) U δ (a), uurime funktsiooni f : (a δ 2, a + δ 2 ) R, x f (x) diferentseeruvust punktis a. Positiivse vastuse korral saame funktsiooni f kolmanda (ek kolmandat järku) tuletise f (a) := (f ) (a). Üldiselt, kui funktsioonil f on punkti a ümbruses U δn (a) = (a δ n, a + δ n ) olemas (n )-järku tuletis f (n ) : (a δ n, a + δ n ) R, x f (n ) (x), mis punktis a on diferentseeruv, siis öeldakse, et f on punktis a n korda diferentseeruv, ja funktsiooni f (n ) tuletist ( f (n )) (a) nimetatakse funktsiooni f n-järku tuletiseks punktis a. Olgu f : D R punktis a n korda diferentseeruv funktsioon. Me seame endale eesmärgiks leida niisugune polünoom, mis võimalikult ästi läendaks seda funktsiooni punkti a mingis ümbruses. Kui n =, siis sobib selleks esimese astme polünoom T (x) := f (a)+f (a) () (vt. punkt ). Kui f on punktis a kaks korda diferentseeruv (s.t. n = 2), siis defineerime T 2 (x) := f (a) + f (a) () + 2 f (a) () 2 ja paneme täele, et T 2 (a) = f (a), T 2 (a) = f (a) ja T 2 (a) = f (a), mis muuulgas ütleb, et funktsioonide f ja T 2 väärtused punktis a langevad kokku ja neil on üine puutuja. See annab põjust arvata, et punkti a teatavas ümbruses on T 2 funktsioonile f eaks läendiks. Üldjuul, kui f on n korda diferentseeruv, moodustame polünoomi T n (x) := f (a) + f (a) () + 2 f (a) () n! f (n) (a) () n = n k=0 k! f (k) (a) () k Sel
11 Matemaatiline analüüs III (siin f (0) := f), mida nimetatakse n-järku Taylori polünoomiks. Vaetu kontroll näitab, et T n (k) (a) = f (k) (a) kõikide k = 0,,..., n korral. Samal ajal on litne veenduda, et kui mingi n-astme polünoom P (x) = a 0 + a () a n () n rauldab tingimust P (k) (a) = f (k) (a) iga k = 0,,..., n korral, siis P = T n, s.t. a k = f (k) (a) (kontrollida!). See asjaolu õigustabki sellist polünoomide T k! n valikut. Allpool (vt. lause 2) näeme, et tegelikult on T n kõikide n-astme polünoomide ulgas (teatavas mõttes) parim läend funktsioonile f punkti a ümbruses. Täistame R n+ (a, x) := f (x) T n (x), seega f (x) = f (a) +! f (a) () n! f (n) (a) () n + R n+ (a, x). Seda valemit nimetatakse funktsiooni f Taylori valemiks punktis a ja avaldist R n+ (a, x) nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks, sellele saab anda erinevaid esitusi. Toome järgnevas mõned tätsamad jääkliikme kujud. Olgu b U δ (a) fikseeritud ja t U δ (a) muutuv suurus. Täistame F (t) := R n+ (t, b) = f (b) n k=0 k! f (k) (t) (b t) k, siis F (t) = n k=0 n = + n k= k=0 k! f (k+) (t) (b t) k n k= k! f (k) (t) ( ) k (b t) k k! f (k+) (t) (b t) k n! f (n+) (t) (b t) n (k )! f (k) (t) (b t) k = n! f (n+) (t) (b t) n (kontrollida!). Moodustame abifunktsiooni G (t) := (b t) r, kus r on mingi naturaalarv. Olgu := b a. Caucy keskväärtusteoreemi koaselt leidub selline arv θ (0, ), et F (a) F (b) G (a) G (b) = F (a + θ) G (a + θ). Seejuures F (a) = R n+ (a, b), F (b) = G (b) = 0, G (a) = (b a) r, F (a + θ) = n! f (n+) (a + θ) ( θ) n n, G (a + θ) = r ( θ) r r, täendab, F (a) (b a) r = rn! f (n+) (a + θ) ( θ) n r+ n r+,
12 2 4. Diferentseeruvad funktsioonid millest R n+ (a, b) = F (a) = rn! f (n+) (a + θ) ( θ) n r+ n+ Me saime (asendades fikseeritud b muutujaga x U δ (a)) jääkliikme nn Sclömilci üldkujul R n+ (a, x) = rn! f (n+) (a + θ ()) ( θ) n r+ () n+. Sellest saadakse juul r = jääkliige Caucy kujul ja juul r = n + Lagrange i kujul R n+ (a, x) = n! f (n+) (a + θ ()) ( θ) n () n+ R n+ (a, x) = (n + )! f (n+) (a + θ ()) () n+. Märgime, et kuna eelduse koaselt on f (n+) ulgas U δ (a) pidev, siis on mingis väiksemas ümbruses U δ (a) U δ (a) tõkestatud (põjendada!). Seega (põjendada!). Võtame eelneva arutelu kokku järgmiseks teoreemiks. R n+ (a, x) () n = 0 () Teoreem (Taylori teoreem). Kui funktsioon f : D R on intervalli D sisepunkti a mingis ümbruses U δ (a) n+ korda pidevalt diferentseeruv, siis leidub selline arv θ (0, ), et f (x) = f (a) +! f (a) () n! f (n) (a) () n + (n + )! f (n+) (a + θ ()) () n+. (2) Seejuures rauldab jääkliige R n+ (a, x) = f (n+) (a + θ ()) () n+ (n+)! (). tingimust Järgmise lause koaselt on esitus (2) teatavas mõttes üeselt määratud. Lause 2. Olgu funktsioon f : D R on intervalli D sisepunkti a mingis ümbruses U δ (a) n + korda pidevalt diferentseeruv ja olgu P (x) = n k=0 a kx k selline polünoom, et k=0 f (x) n k=0 a k () k () n = 0. (3) Siis a k = f (k) (a) (k = 0,..., n). k! Tõestus. Asendame valemisse (3) f (x) seosest (2), saame ( n ( ) ) () k k! f (k) (a) a k () n + (n + )! f (n+) (a + θ ()) () = 0.
13 Matemaatiline analüüs III 3 See võrdus on võimalik vaid juul a k = k! f (k) (a) (k = 0,..., n) (selgitada!). Näide. Leiame eksponentfunktsiooni f (x) = e x esituse Taylori valemi abil punkti a = 0 ümbruses. Valemi (2) koaselt e x = +! x + 2! x n! xn + eθx (n + )! xn+ (kontrollida!). Jääkliige R n+ (0, x) = eθx (n+)! xn+ kirjeldab viga, mida me teeme, kui asendame funktsiooni väärtuse e x polünoomiga + x +! 2! x n! xn. Selle vea indamiseks paneme täele, et kui b > 0, siis e θx (n + )! xn+ bn+ (n + )! e3 ( x b). b Seejuures n+ n = 0 (selgitada!), niisiis (n+)! n R n+ (0, x) = 0 iga x R korral (selgitada!) ek e x x k = iga x R korral. k! k=0
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemMittekorrektsed ülesanded 2008
Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemKontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa
Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti
Rohkem(Tõrked ja töökindlus \(2\))
Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemOsakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.
Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste
RohkemAutomaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2
Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus
RohkemM16 Final Decision_Recalculation of MTR for Elisa
OTSUS Tallinn 20.06.2007 J.1-45/07/4 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine Elisa Eesti AS- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemMicrosoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc
7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus
RohkemM16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT
1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi
Rohkem1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad
1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemPALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo
PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
RohkemIVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon jaan lk Dok IVXV-SVR-1.4.0
IVXV võtmerakendus Spetsifikatsioon Versioon 1.4.0 18. jaan 2019 11 lk Dok IVXV-SVR-1.4.0 Sisukord Sisukord........................................ 2 1 Võtmerakendus.................................. 3
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemMicrosoft Word - 1-1_toojuhend.doc
1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil
RohkemTARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritö
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Cliona Georgia Dalberg Eesti elektritarbimise prognoos Magistritöö finants- ja kindlustusmatemaatika erialal (30 EAP)
Rohkem(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )
1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
RohkemAili_A-mf-4_adiab.doc
4. ADIABAAILINE ROSESS 4.. emperatuuri adiabaatiline radient ermodünaamilisi protsesse, mis toimuvad soojusvahetuseta ümbritseva esonnaa, nimetatase adiabaatilistes. emperatuuri adiabaatilise radiendi
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
Rohkemelastsus_opetus_2015_ptk5.dvi
Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
RohkemFailiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu
Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:
Rohkempkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi
Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete
RohkemISS0010_5osa_2018
Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!
RohkemVilistlaste esindajate koosolek
13.04.2012 VILISTLASKOGU ÜLDKOGU ÕPILASTE KÜSITLUSE TULEMUSTEST UURING Uuringus osalesid 8 kooli 8. ja 9.klasside õpilased: Räpina ÜG, Mikitamäe, Mehikoorma, Kauksi, Ruusa, Orava, Viluste, Värska Küsimustiku
RohkemScala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta
Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.
RohkemKeemia koolieksami näidistöö
PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
Rohkem1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine
http://kodu.ut.ee/~kiho/ads/praktikum/ 4. PSK Paisksalvestus. Loendamine Mõisteid Paisktabel (Hashtable, HashMap) Paisktabeli kasutamine loendamisülesannetes Paiskfunktsioon, kollisoonid (põrked) Praktikumitööd
RohkemMicrosoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx
Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu
RohkemMining Meaningful Patterns
Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Võrgupeo külastaja uurimine Andmeanalüüs I projekt Koostajad: Urma
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Võrgupeo külastaja uurimine Andmeanalüüs I projekt Koostajad: Urmas Kvell Riivo Talviste Gert Palok Juhendaja: Mare Vähi
Rohkem29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda:
9 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 1. Kasuta ainult korraldajate antud sulepead.. Kasuta
RohkemMicrosoft Word - VG loodus
Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
RohkemÜlesanded
Virumaa Kollež Reaal ja tenikateauste keskus Gennai rjassov Koutöö 3 õppeaines Eitusmeaanika RR030 Sõrestiku Kotla-Järve 07 KODUTÖÖ 3 Sõrestiku (Фермы). Kontrollia süsteemi staatikaga määratavust ja geomeetrilist
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemProgrammeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.
Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -
RohkemAndmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud
Andmebaasid, MTAT.03.264 6. loeng Normaalkujud E-R teisendus relatsiooniliseks Anne Villems Meil on: Relatsiooni mõiste Relatsioonalgebra Kus me oleme? Funktsionaalsete sõltuvuse pere F ja tema sulund
RohkemVL1_praks2_2009s
Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
Rohkem