PIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE

Väljavõte

1 5. Lõpliku siirdega filtrid (I) SIGNAALITÖÖTLUS II Loegumaterjal 5 (I/II) Toomas uube I filter omab lõpliku pikkusega diskreetset impulsskaja hi iltri väljudsigaal y o kovolutsioo impulsskajast ja diskreetsest sisedsigaalist x (üldjuhul lõpmatu kestvusega). iltri väljudigaal o määratud valemiga (kovolutsiooisumma): I filtri struktuur o järgmie: N y hix Lõpliku siirdega filtrid (I) 5. I (LS) filtri Pööratud struktuur saadakse kasutades väljusigaali arvutamiseks valemit: y xih i N Vastav struktuurskeem o järgmie: Lähtume esimesest y valemist: N y hix Kovolutsioo võib olla arvutatud ka kasutades ourier teisedusi kui impulsskaja ja sisedsigaal o diskreeditud ühesuguse sammuga Δt /. Võttes ourier teiseduse impulsskajast h() saame süsteemi sagedusülekadefuktsiooi. N T f hexp jπ f/ Sisedsigaali spekter avaldub: X f xexp jπ f/ 3 4 I (LS) filtri I (LS) filtri iltri väljudsigaali spekter avaldub: iltri väljudsigaal: Y f T f X f y Y f exp jπ f/ df iltri sageduskarakteristik võib olla arvutatud ka z- teiseduse kaudu. z exp jπ f / Kõigepealt kirjutame I filtri aluseks oleva valemi lahti (vt. Järgmie slaid). I filtri struktuurvalem: N y hix y hx h x hx hn x N Võtame eeleva võrduse mõlemast poolest ourier teiseduse arvestades, et sigaali viide sagedusruumis o määratud z teiseuse kaudu saame filtri väljudsigaali spektri: Y f hx f h X f exp jπ f / hx f exp jπ f / hn X f exp jπ f N / X f h h z hz hn z N 5 6

2 I (LS) filtri Lähtudes eelevast, saame valemi sagedusülekade leidmiseks z teiseduse kaudu: N T f Y f / X f h( ) z hexp jπ f / Eelevas valemis taadub sisedsigaali spekter välja. Järgevalt vaatleme filtri sagedus ja faasikarakteristikut juhul kui filtri impulsskarakteristiku kõikide elemetide väärtused võrduvad -ga. N hi, i Arvestades rea summa valemit võime kirjutada: N z exp jπ fn / N T f z z z z exp jπ f / I (LS) filtri Teisedades eelevat valemit võime kirjutada si π fn / T( f ) N exp jπ f N / N f si π / N exp j f T f, f /, Siit tuleb välja filtri amplituudi T A f ja faasikarakteristik f : si π fn / T f f f πn t A N siπ f / I filtri sageduskarakteristik T A f o perioodilie fuktsioo perioodiga. A I filtri faasikarakteristik o lieaare, mis tähedab sigaali viidet filtri pikkuse võrra diskreetides. 7 8 I (LS) filtri 5. Sümmeetrilise struktuuriga I filter Lähtudes valemist: si π fn / T f A N siπ f / tuleeb filtri pääsuriba ullisel ivool võrdusest: I filtri sageduskarakteristik kui hi siπ f N /, f N / π, f / N. π, i Idee seiseb selles, et likvideerida viide sised ja väljudsigaalide vahel. Nihutame ajaarvamise impulsskaja keskpukti. Selleks teostame sagedusülekade avaldises summeerimise vastavalt: Kui o paarisarv: N N / T f hexp jπ f sig,5/, N N Kui o paaritu arv: /, h. N / T f hexp jπ f/. N Arvutusmahtu o võimalik kokku hoida juhul kui I filtri impulsskaja o paaris või paaritu h s fuktsioo. h 9 Sümmeetrilise struktuuriga I filter Sümmeetrilise struktuuriga I filter Paarisfuktsiooi korral h h h h N paarisarvu korral avaldub filtri väljudsigaal: N / y hix i,5sig i h ix i,5 x i,5 i N / N paaritu arvu korral avaldub filtri väljudsigaal järgevalt: N / Aaloogilises valemid saadakse ka paaritute impulsskarakteristikute korral h h h h Sellisel juhul tuleb üksteise suhtes ihutatud sisedsigaalid summeerimise alusel lahutada. Struktuurskeemid o toodud järgmistel slaididel. N i y h i x x s s / s I filtri struktuurskeem kui N o paarisarv. Sii N /

3 Sümmeetrilise struktuuriga I filter I filtri struktuur kui N o paaritu arv. Sii N / 5.3 Sümmeetrilise struktuuriga I filtri. Lähtume valemist N / T f hexpjπ f /. N / ig oletame, et impulsskarakteristik o paarisfuktsioo h h Sellisel juhul avaldub sageduskarakteristik järgevalt: sest N / f T f T f h osπ f / N f / N / N / h siπ f / 3 4 Sümmeetrilise struktuuriga I filtri Sümmeetrilise struktuuriga I filtri iltri impulsskaja ja sageduskarakteristik o omavahel seotud ourier teisedusega. iltri impulsskaja o avaldatav sageduskarakteristikust järgevalt: / h T f os π f / d f. / Kui h, siis ka ja I filtri saab süteesida h T f T f järgevalt: N -paaritu arv: N / / T f h osπ f /, h T f os π f / d f ; N -paaris arv: N / / T f h osπ f,5 /, h T f osπ f,5 / df Praktikas pakub I filtrite juures huvi ede lieaare faasikarakteristik ja mooutuste puudumie. Selleks peaks aga ülekadefuktsioo T f olema reaale. Ülekadefutsiooi reaalsuse tagab see, kui impulsskarakteristiku h koefitsiedid o reaalsed. ealisatsiooi filtri sisedis kirjeldatua spektri abil: j X f X f jx f A f e I X A f X f X f X I XI f X f artg X f X f 5 6 Sümmeetrilise struktuuriga I filtri Sümmeetrilise struktuuriga I filtri Lähtuvalt eelevast, väljudrealisatsiooi spekter: Y f X f T f X f T f jx f T f Y ( f ) jy f, I I Y f X f T f, Y f X f T f I I iltri väljusigaali faasikarakteristik avaldub üüd: YI f Y f artg Y f XI f artg X f X f 7 Lieaarfaasiga filtri sageduskarakteristik avaldub: T f T f e / π j f Sellise filtri impulsskaja saame jällegi võttes eelevast ourier teiseduse: / jπ f / h T f e df / Eeldame, et viide o diskreete sammuga /. Tehes eelevas aseduse m, m / / jπ fm hm T f e df T f osπ fm/ d f. / Ühildades impulsskarakteristiku sümmeetriatelje sigaali alguspuktiga saame lieaarseid faasimuutusi elimieerida. 8 3

4 6.5 Ideaale digisigaali hilberti muudur Vaadeldakse puhtalt imagiaarse sageduskarakteristikuga filtreid mille sageduskarakteristik avaldub: T f jt f, T f T f s s s Sellisel juhul h hs ja / hs Ts f siπ f / df Süsteemi väljudsigaali spekter avaldub: Y f X f jx I f j Ts f X f Y f artg XI f Taolie filter teostab kõikidel sagedustel 9 kraadise faasiihke ehk realiseerib Hilberti muuduse. Ideaale digisigaali Hilberti muudur Kui süsteemi sageduskarakteristik o T s f,, saame arvutada vastavalt valemile / hs Ts f siπ f / df ideaalse Hilberti muuduri impulsskaja väärtused vastavalt: Kua impulsskaja o paaritu, siis: / / osπ h siπ f / df os π / f, π π h, h / π, h, h3 /3π h h 9 Ideaale digisigaali Hilberti muudur Digisigaali Hilberti muudur iltri väljudsigaal o seega sisedsigaali Hilberti teisedus: sii N / 4 y xˆh hi x i x i N i - paaritu arv (struktuurskeem o toodud järgm. slaidil) N 4i, i,,3,, Q ; N 3,7,,,4Q Hilberti muuduri struktuurskeem x i x i, N / Q - Hilberti muuduri järk. Kui Q, saame ideaalse Hilberti muuduri ja xˆh x H Lõpliku järgu korral tekivad vead, hi leitakse x H miimiseerimise tigimusest. x xˆ x H H H 5.4 II filtri struktuurid ja II filtri struktuurid ja II (lõpmatu impulsskarakteristikuga) filter põhieb summaatoril ja kahel I filtril. II filtri väljudsigaal o arvutatav valemiga: II filtri detailsem struktuur I filtriga sisedis: N H y hi x be y e e II filtri struktuurskeem üldisel kujul: N I 3 4 4

5 II filtri struktuurid ja II modifitseeritud struktuur kus kasutusel o üks ihkeregister kuid toimelt o samavääre eelevaga. See o saavutatud vahetades omavahel filtri tagasisidestatud osa ja eelfiltreerimise: II filtri struktuurid ja Struktuuride võrdlus: 5 6 II filtri struktuurid ja II filtri struktuurid ja II filtri põhiliseks ohuks o mia. geereerima. Süsteem võib kaotada e. Et seda ei juhtuks, o esmaseks tigimuseks: b Lähtudes II filtri struktuurskeemist ig mies üle sagedusruumi avaldub spekter II filtri väljudis ja sagedusülekade fuktsioo järgevalt: Y f H f X f f Y f, Y f f H f X f, Y f H f T f X f f Lähtudes eelevast o II filtri sagedusülekadefutsioo vaadeldav põhimõtteliselt kui eelfiltreriva osa sagedusülekade ja tagasisidesüsteemi sagedusülekade fuktsiooide korrutis: T f TH f T f T f TH f Siijuures: Ja TH f H f, T f / f f / T f II filter läheb geereerima tigimusel kui kehtib võrdus: N y bey e e 7 8 II filtri struktuurid ja 5.5 Esimest järku II filtri toime. Et II filter oleks stabiile, peab olema täidetud tigimus: bey e Eeldusel, et sisedsigaal o uipolaare y, võib olla tagatud ka lihtsama kuid ragema tigimuse täitmisel: ipolaarse väljudsigaali korral y o II filtri tagatud järgmise võrratuse täitmisel: Järgevalt uurime II filtri tagasisideahelat. N e N be e N be e Vaatleme lihtsat filtrit mis omab vaid ühte arvestatavat koefitsieti tagasisideahelas T f T f, T f h, hi, i, b ; be, e. H 9 3 5

6 Esimest järku II filtri toime. Sisedsigaaliks kasutame. ühikhüpet!!!! x, x,. Aalüüsides eelmisel slaidil toodu struktuuskeemi kujueb siirdeprotsess süsteemis järgevalt: x() y() - Esimest järku II filtri toime Siirdeprotsess kirjeldatud ahelas o määratud valemiga: y Kui, siis lim y y / Väljudsigaali kujuemie eeleva alusel: 3 3 : : Esimest järku II filtri toime sagedusruumis Esimest järku II filtri toime Suvalise sisedsigaali spektriga X f korral kujueb väljusigaali spekter vastavalt: jπ f t lim / Y f Y f X f e Y f jπ f t T f T f / e X f aasispekter avadub: T f artg si π f t / os π f t Väljusigaali spektri kujuemise tabel o toodud järgmisel slaidil. Süsteemi väljusigaali spektri kujuemie : : X f X f X f X f X f Y f X f j t j t X f X f e X f e j t t j X f e e j t j t X f e e Esimest järku II filtri toime Esimest järku II filtri toime Esimest jëku II filtri sageduskarakteristik t / : Pöörame veel tähelepau asjaolule et: / T f max T f / / mi f, T /, f /, T / /. Kui ei ole kasutatud eelfiltreerimist, puudub II süsteemil tõkkepiirkod ja ta tekitab positiivse tagasiside tõttu teatud sagedustel efektiivsema läbipääsu, See toob kaasa sagedusselektiivse võimeuse

7 MATLA examples (II) MATLA examples (II) [M,W]=buttord(Wp,Ws,p,s) [M,W]=hebord(Wp,Ws,p,s) [M,W]=hebord(Wp,Ws,p,s) [M,W]=ellipord(Wp,Ws,p,s) Here:..Wp - pass bad (ormalized by f s /) Ws -stop bad (ormalized by f s /) p -biggest waviess i pass bad (d) s -miimal atteuatio i stop bad (d) M -ilter order W -Predistorted frequey Calulatig the filter oeffiiets A ad [,A]=butter(M,W) [,A]=heby(M,p,W) [,A]=heby(M,s,W) [,A]=ellip(M,p,s,W) MATLA examples (II) MATLA examples (II) How to defie filter types Example: LP: Wp =., Ws =. HP: Wp =., Ws =. : Wp = [..7], Ws = [..8] S: Wp = [..8], Ws = [..7] To filter she sigal x, followig ommad may be used Wp = [6 ]/5; Ws = [5 5]/5; p = 3; s = 4; [,W] = buttord(wp,ws,p,s); %=6, W= [b,a] = butter(,w); freqz(b,a,8,) title('=6 utterworth adpass ilter') y=filter(,a,x) 39 4 MATLA examples (II) 4 7