Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo"

Väljavõte

1 Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib üles kvalitatiivselt uusi probleeme, eeskätt just seoses diferentsiaal- ja integraalarvutusega. Täelepanuväärne on, et nende probleemide olemus ei sõltu oluliselt ruumi dimensioonist m, kuigi suurema m puul on probleemid teniliselt keerulisemad. Nendel kaalutlustel piirdume me järgnevas enamasti kae muutuja funktsioonide vaatlemisega. Osatuletised. Olgu A (a, b) kae muutuja funktsiooni w f (x, y) määramispiirkonna D R sisepunkt. Kui fikseerida teine muutuja y b, siis seosega f 1 (x) : f (x, b). on määratud üe muutuja funktsioon f 1 (nn. osafunktsioon) määramispiirkonnaga {x R (x, b) D}. Kuna A on ulga D sisepunkt, siis leidub tal ümbrus U δ (A), mis sisaldub ulgas D. Funktsioon f 1 on seega määratud punkti a R ümbruses (a δ, a δ) (kontrollida!). Kui funktsioonil f 1 on punktis a tuletis f 1 f (a, b) f (a, b) (a), (1) 0 siis seda nimetatakse kae muutuja funktsiooni f osatuletiseks punktis A (a, b) muutuja x järgi ning täistatakse Seega f (a, b) või f (a, b) (samuti ka f x (a, b) või f x (A) ). df (x, b) dx xa f (x, b) xa. Analoogiliselt, kui fikseerida esimese muutuja väärtus x a, saame üe muutuja y osafunktsiooni f (x) : f (a, x), see on määratud punkti b ümbruses (b δ, b δ). Kui eksisteerib tuletis f f (a, b ) f (a, b) (b), () 0 siis seda arvu nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks punktis A muutuja y järgi ning täistatakse f (a, b), (samuti ka f y (a, b) või f y (A) ).

2 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Näide 1. Olgu f (x, y) : e xy sin (xy). Siis f on määratud kogu xy-tasandil R ning f (x, y) y (e xy cos (xy)) ja f (x, y) x (e xy cos (xy)). Osatuletiste olemasolu ei garanteeri funktsiooni pidevust. Näiteks seosega { xy, kui (x, y) (0, 0), x w(x, y) : y 0, kui (x, y) (0, 0) määratud funktsioonil w on punktis 0 mõlema muutuja järgi osatuletised (veenduda!), kuid ta ei ole selles punktis pidev. Nimelt, punktide X n : ( 1, 1 n n) korral 1 X n 0 n 1 n 1 0 (n ) n (s.t. jada (X n ) koondub punktiks 0), kuid w (X n ) 1 n n 1 iga n korral, seega w (X n ) 0 w (0). Lause koaselt paragravist ei ole w punktis 0 pidev. Osatuletiste geomeetriline täendus. Olgu D R kae muutuja funktsiooni z f (x, y) määramispiirkond. Punktide ulka {(x, y, f (x, y)) (x, y) D} kolmemõõtmelises ruumis R 3 nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Funktsiooni f graafikut nimetatakse tavaliselt pinnaks, seost z f (x, y) selle pinna võrrandiks. Olgu A (a, b) määramispiirkonna D punkt. Moodustame tasandi x a, see on tasand, mis läeb läbi punkti A ja on paralleelne yz-tasandiga. Ta lõikab pinda z f (x, y), täistame nende lõikejoone sümboliga l 1. Litne on näa, et l 1 on osafunktsiooni f 1 graafik. Kui punktis A eksisteerib osatuletis f(a,b) f 1 (a), siis see on joone l 1 puutuja tõusunurga tangens punktis A (a, b, f (a, b)) (selgitada!). Samamoodi, kui lõigata pinda z f (x, y) tasandiga y b, siis lõikejoon l on muutuja y osafunktsiooni f graafik ning osatuletis f(a,b) on punktis A (a, b, f (a, b)) joonele võetud puutuja tõusunurga tangens.. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus Funktsioonide uurimisel on nii teoreetilisest kui ka praktilisest seisukoast lätudes oluline küsimus, milline on funktsiooni väärtuste muutumise iseloom argumendi vaadeldaval muutumisel. Just selle probleemi käsitlemiseks defineeritakse üe muutuja funktsioonide jaoks pidevus ja diferentseeruvus. Pidevus on üldtopoloogiline mõiste, selle defineerimine on ka mitme muutuja funktsioonide puul litne.

3 Matemaatiline analüüs IV 3 Diferentseeruvusega on asi keerulisem. Eelmises punktis tõime näite funktsioonist w, millel on ruumis R olemas osatuletised, kuid ta ei ole punktis 0 pidev. Samas teame, et üe muutuja funktsioonide puul on diferentseeruvus oluliselt tugevam tingimus kui pidevus. Niisiis, putformaalselt võttes võime väita, et osatuletiste olemasolu ei ole see omadus, mis vastaks üe muutuja funktsioonide diferentseeruvusele. Sisuliselt asjale läenedes märgime, et osatuletised kirjeldavad funktsiooni käitumist antud punkti ümbruses vaid üe konkreetse argumendi muutumisel. Seejuures ei anna nad mingit informatsiooni funktsiooni väärtuste muutumise kota argumentide samaaegsel muutumisel. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvuse mõiste defineerimisel lätume nn. diferentsiaalarvutuse põilemmast: üe muutuja funktsioon g on punktis a diferentseeruv parajasti siis, kui leidub selline punktis a pidev funktsioon G g, et g (x) g (a) G g (x) (x a), sel juul g (a) G g (a). Olgu f : D R kae muutuja funktsioon ja olgu A (a, b) määramispiirkonna D sisepunkt. Täistame sümboliga f funktsiooni f muudu punktis A, mis vastab argumentide muutudele ja, s.t. f : f (A (, )) f (A) f (a, b ) f (a, b). Definitsioon. Funktsiooni f nimetatakse diferentseeruvaks punktis A (a, b), kui 1) tema muut f avaldub kujul f M N, (3) kus M ja N on arvud, mis ei sõltu argumentide muutudest ja, ning ) (, ) on kõrgemat järku lõpmata väike suurus kui (, ) 1, s.t. (, ) (, ) (4) Avaldist d A f : M N nimetatakse funktsiooni f täisdiferentsiaaliks punktis A. Definitsiooni tingimusi (3) ja (4) kokku võttes võime öelda, et funktsioon f on punktis A diferentseeruv parajasti siis, kui leiduvad sellised arvud M ja N, et f (X) f (A) M (x a) N (y b) X A X A 0. Lause 1 Punktis A diferentseeruv funktsioon f on selles punktis pidev. Tõestus. Eeldame, et on täidetud tingimused (3) ja (4), ning näitame, et X A f (X) f (A) ek X A (f (X) f (A)) 0. Täistame : x a ja : y b. Kuna X A, siis 0 ja 0. Seose (4) põjal (1, ) 0 0 (põjendada!), mistõttu seosest (3) saame Lause on tõestatud. (f (X) f (A)) X A f 0. (, ) 0

4 4 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Lause Kui funktsioon f on punktis A diferentseeruv, siis on tal selles punktis osatuletised ning muut f esitub kujul f. (5) Tõestus. Kui võtta seoses (3) : 0 ja 0, siis eksisteerib piirväärtus f (a, a) f (a, b) 1 0 M 0 M Analoogiliselt veendutakse, et f(a) N. Täisdiferentsiaal. Kui funktsioon f on punktis A diferentseeruv, siis lause koaselt avaldub tema täisdiferentsiaal d A f kujul d A f : dx dy. Seega f d A f. Nagu teame, ei garanteeri osatuletiste f(a) ja f(a) olemasolu üldjuul veel funktsiooni f diferentseeruvust punktis A (selgitada!). Küll aga garanteerib selle, nagu selgub järgmisest lausest, pidevate osatuletiste olemasolu. Lause 3 Kui funktsioonil f on punktis A (a, b) pidevad osatuletised f punktis A diferentseeruv. f ja, siis f on Tõestus. Eeldame, et osatuletised f f ja on punktis A pidevad. Esitame Lagrange i keskväärtusvalemi abil funktsiooni f muudu kujul f f (a, b ) f (a, b) f (a, b ) f (a, b ) f (a, b ) f (a, b) f (a θ 1, b ) kus θ 1, θ (0, 1) (selgitada!). Kui täistada siis saame seose 1 : f (a θ 1, b ) f f (a, b) f (a, b θ ), f (a, b), : f (a, b θ ) f (a, b) 1. See on avaldis (3), väite tõestuseks on vaja veenduda, et (1, ) f (a, b), 0.

5 Matemaatiline analüüs IV 5 Paneme täele, et ning (tänu osatuletiste pidevusele) f (a θ 1, b ) f (a, b) 1 0, (, ) 0 (, ) 0 f (a, b θ ) f (a, b) 0 (, ) 0 (, ) 0 (põjendada!). Seega 1 0 protsessis (, ) 0. Lause on tõestatud. 1 Lause 3 ütleb, et kui kae muutuja funktsioonil on antud punktis A (a, b) pidevad osatuletised, siis need kirjeldavad funktsiooni käitumist mitte ainult sirgetel x a ja y b, vaid selle punkti teatavas ümbruses. Näide. Osatuletiste pidevus ei ole tarvilik tingimus funktsiooni diferentseeruvuseks. Olgu { (x y) sin 1, kui x y, f (x, y) : x y 0, kui x y. Siis ning f (x, y) f (x, x) millest järeldub, et osatuletis f Analoogiliselt kontrollitakse, et f (x y) sin 0 f (x ) f (x, x) 1 x y cos 1 x y (x y) 0 sin 1 0 0, ei ole pidev punktis 0 (tegelikult kogu sirgel x y). ei ole punktis 0 pidev. Nimelt, f (x, y) (x y) sin 1 x y cos 1 x y (x y) ja f(y,y) 0 (kontrollida!). Näitame, et f on punktis 0 diferentseeruv. Tõepoolest, f (X) f (0) f(0) x f(0) y X { (x y) x sin 1, y x y kui x y, 0, kui x y (kontrollida!), võrratuse (x y) x y sin 1 x y (x y ) x y ( x y x y )

6 6 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine tõttu saame (veenduda!). X 0 f (X) f (0) f(0) X x f(0) y 0 Graafiku puutujatasand. Eeldame, et funktsioon f on punktis A diferentseeruv. Täistades X (x, y) : (a, b ) (s.t. x : a ja y : b ), c : f (a, b) ja z : f (x, y), saame tingimuse (3) kirjutada kujul kus X A 0. Võrrand (x a) (y b) z c M (x a) N (y b), (6) z c M (x a) N (y b) (7) kirjeldab teatavat tasandit, millel paikneb punkt A : (a, b, c) (kontrollida!). Lause koaselt M f(a,b) ja N f(a,b), seega määrab seos (6) (ek (3)) üeselt tasandi (7). Seda tasandit nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujatasandiks punktis A. Esitame puutujatasandi definitsiooni. Definitsioon. Kae muutuja funktsiooni z f (x, y) graafiku puutujatasandiks punktis A : (a, b, c) nimetatakse sellist tasandit, mille applikaadi (s.o. z-koordinaadi) ja funktsiooni väärtuse vae on protsessis X A, kus X (x, y) ja A (a, b), kõrgemat järku lõpmata väike kui X A (x a) (y b). Puutujatasandi võrrandist (7) saame muuulgas, et d A f f(a) f(a) m z c. Seega kirjeldab funktsiooni f täisdiferentsiaal punktis A (a, b) funktsiooni graafikule punktis A : (a, b, f (a, b)) võetud puutujatasandi applikaadi muutu, mis vastab argumentide muutudele ja. m-muutuja funktsiooni osatuletised ja diferentseeruvus. Analoogiliselt kae muutuja funktsioonidega defineeritakse m muutuja funktsiooni w f (x 1,..., x m ) osatuletised f f 1,..., m. Öeldakse, et f on punktis A (a 1,..., a m ) diferentseeruv, kui ketib võrdus f : f (a 1,..., a m m ) f (a 1,..., a m ) kus (1,..., m) Avaldist... m, 1 m d A f :... 1 m : m dx dx m m nimetatakse funktsiooni f täisdiferentsiaaliks punktis A. Definitsioon. Kui funktsioonil f : D R, kus D R m on latine piirkond, on ulgas D pidevad osatuletised f f 1,..., m, siis öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas D pidevalt diferentseeruv.

7 Matemaatiline analüüs IV 7 3. Liitfunktsiooni diferentseerimine Olgu w f (u, v) kae muutuja funktsioon määramispiirkonnaga Q, kus argumendid u, v on omakorda kae muutuja funktsioonid u ϕ 1 (x, y), v ϕ (x, y). Eeldame, et funktsioonidel ϕ 1 ja ϕ on üine määramispiirkond D ning (ϕ 1 (X), ϕ (X)) Q iga X D korral. Defineerime ulgas D liitfunktsiooni F seosega F (x, y) : f (ϕ 1 (X), ϕ (X)) f (ϕ 1 (x, y), ϕ (x, y)). (8) ja ϕ (A) Lause 4 Kui funktsioonidel ϕ 1 ja ϕ on punktis A (a, b) osatuletised ϕ 1(A) ning funktsioon f on punktis B : (ϕ 1 (A), ϕ (A)) diferentseeruv, siis liitfunktsioonil F on punktis A osatuletis ϕ 1 (A) u ϕ (A). Tõestus. Olgu argumendi x muut punktis A. Täistame u : ϕ 1 (a, b) ϕ 1 (a, b), v : ϕ (a, b) ϕ (a, b) ja F : F (a, b) F (a, b). Seejuures Paneme täele, et F f (ϕ 1 (a, b), ϕ (a, b)) f (ϕ 1 (a, b), ϕ (a, b)) f (b 1 u, b v) f (b 1, b ) f. u v 0 (9) 0 0 (põjendada!). Kuna funktsioon f on punktis B diferentseeruv, siis (vrd. (5)) kus Seega ning kuna eksisteerib 0 u v F f F u v, u 1 u 0. (10) u 1 0 u v u 0 u u ( u ) ( ) v 1 0 v (11) ( 0 ) ( u 0 ) v ( ϕ1 ) ( ) (A) ϕ (A),

8 8 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine siis (eeldusel, et u v 0) tingimustest (9) ja (10) järeldub u v u v 1 0 u v u v 0 u 0 u v u v 0 0 v 0 (selgitada!). Võrdusest (11) saame Lause on tõestatud. F 1 0 u ϕ 1 (A) u u 0 u ϕ (A). v 1 0 Analoogiliselt veendutakse, et ketib valem ϕ 1 (A) u ϕ (A), kui on olemas osatuletised ϕ 1(A) ja ϕ (A) ning funktsioon f on punktis B diferentseeruv. Lause 5 Kui funktsioonid ϕ 1 ja ϕ on punktis A diferentseeruvad ning funktsioon f on diferentseeruv punktis B (ϕ 1 (A), ϕ (A)), siis liitfunktsioon F on punktis A diferentseeruv. Tõestus. Olgu ja funktsiooni F argumentide muudud punktis A (a, b). Meie eesmärk on veenduda, et kus (1, ) 0 β 1 F : F 1 (a, b ) F 1 (a, b) β, 0. Täistame (erinevalt eelmise tõestuse täistustest!) u : ϕ 1 (a, b ) ϕ 1 (a, b), v : ϕ (a, b ) ϕ (a, b). Funktsioonide ϕ 1 ja ϕ diferentseeruvusest tulenevad seosed kus u ϕ 1 (A) ϕ 1 (A) (, ) , v ϕ (A) 0, (, ) 0 1 ϕ (A), (1) 0. (13) Punktis B võtame funktsiooni f argumentide muutudeks u 1 ja u, tänu eeldusele diferentseeruvusest saame F f u v, (14) u 1 u

9 Matemaatiline analüüs IV 9 kusjuures ( u, v) 0 0. (15) u v Asendame u ja v seostest (1) valemisse (14): ( ϕ1 (A) F ϕ ) ( 1 (A) ϕ (A) 1 ϕ ) (A) u ( ) ( ) ϕ 1 (A) ϕ (A) ϕ 1 (A) ϕ (A) β u u 1 β, kus β : u 1 Väite tõestuseks on vaja veenduda, et (, ) 0 β Kõigepealt paneme täele, et (vrd. (1)) u 1 ϕ 1 (A) ϕ 1 (A) 1 ϕ 1 (A) ϕ 1 (A) 1, 1 v 1 ϕ (A) ϕ (A), seega on u v 1 u 1 ja v 1 protsessis (, ) 0 tõkestatud suurused. on selles protsessis tõkestatud, järelikult Täendab, ka (, ) 0 1 tingimuse (15) tõttu. Seepärast (vrd. (13)) (, ) 0 u β 1 (, ) 0 Lause on tõestatud. 1 1 u v (, ) 0 u v 1 (, ) 0 1 (, )

10 10 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Järeldus 6 Kui üe muutuja funktsioonid u ϕ 1 (x) ja v ϕ (x) on punktis a R diferentseeruvad ning kae muutuja funktsioon w f (u, v) on diferentseeruv punktis B : (ϕ 1 (a), ϕ (a)), siis seosega F (x) : f (ϕ 1 (x), ϕ (x)) määratud üe muutuja funktsioon F on diferentseeruv punktis a. Seejuures F (a) u ϕ 1 (a) ϕ (a). (16) Lause 7 (keskväärtusteoreem). Olgu funktsioon f pidev punktides A (a, b) ja A (a, b ) ning diferentseeruv neid punkte üendaval sirglõigul [A, A ]. Siis leidub selline punkt C (c, d) [A, A ], et f (A ) f (A) f (C) (a a) f (C) (b b) (d C f) (A A). Tõestus. Lõik [A, A ] on esitatav võrrandiga X X (t) ta (1 t) A (0 t 1) (vt. 1). Moodustame üe muutuja liitfunktsiooni F (t) : f (X (t)), see on lõigus [0, 1] pidev ja vaemikus (0, 1) diferentseeruv. Kuna siis valemi (16) koaselt x (t) ta (1 t) a ja y (t) tb (1 t) b, F (t) f (X (t)) (a a) f (X (t)) (b b) (0 < t < 1). Üe muutuja funktsiooni keskväärtusteoreemi põjal leidub t 0 (0, 1) omadusega F (t 0 ) F (1) F (0). Võtame C : X (t 0 ), siis Lause on tõestatud. f (B) f (A) F (1) F (0) F (t 0 ) f (C) (a a) f (C) (b b). Liitfunktsiooni täisdiferentsiaal. Vaatleme (nii nagu käesoleva punkti alguses) seosega (8) määratud kae muutuja liitfunktsiooni F. Eeldame, et funktsioonid ϕ 1 ja ϕ on punktis A D ning funktsioon f punktis B : (ϕ 1 (A), ϕ (A)) diferentseeruvad. Lause 5 koaselt eksisteerib df dx dy ( ϕ 1 (A) ϕ (A) u ( ϕ1 (A) dx ϕ ) 1 (A) dy u u dϕ 1 (A) dϕ (A) ) dx ( ϕ 1 (A) u ( ϕ (A) dx ϕ (A) dy ϕ (A) ) ) dy

11 Matemaatiline analüüs IV 11 ek lüemalt df f f du dv. (17) u See on sama valem, mille me saaksime funktsiooni f täisdiferentsiaali jaoks juul, kui u ja v oleksid sõltumatud muutujad. Seetõttu öeldakse, et täisdiferentsiaali kuju on invariantne muutuja vaetuse sutes. Näide 3. Kuna f df, kusjuures on protsessis (, ) 0 kõrgemat järku lõpmatu väike suurus kui 1, siis saab täisdiferentsiaali abil arvutada funktsiooni ligikaudseid väärtusi. Olgu vaja arvutada 1, 0 3 1, Vaatleme funktsiooni f (x, y) : x 3 y 3, punkt A : (1, ) on tema määramispiirkonna sisepunkt. Olgu : 0, 0, : 0, 03, siis 1, 03 1, 97 3 f (a, b ) f (a, b) f [ 3 3x x 3 y 0, 0 3y 3 0, 03 x 3 y3 ], 95 x1 y Sõnastame mõned eespool tõestatud väited ka üldisel juul. Olgu w f (u 1,..., u l ) ulgas Q R l määratud l muutuja funktsioon, kusjuures u k ϕ k (x 1,..., x m ) on iga k 1,..., l korral määratud ulgas D R m ja (ϕ 1 (x 1,..., x m ),..., ϕ l (x 1,..., x m )) Q iga (x 1,..., x m ) D korral Kui eksisteerivad osatuletised ϕ k(a) i (k 1,..., l) ja f on punktis B : (ϕ 1 (A),..., ϕ l (A)) diferentseeruv, siis ketib valem i ϕ 1 (A)... u 1 i ϕ l (A). u l i 0. Kui funktsioonid ϕ k on diferentseeruvad punktis A ja funktsioon f on diferentseeruv punktis B, siis funktsioon F on samuti punktis A diferentseeruv. 4. Tuletis antud suunas. Gradient Olgu kolme muutuja funktsioon w f (x, y, z) määratud punkti A (a, b, c) mingis ümbruses { } U δ (A) X (x, y, z) X A (x a) (y b) (z c) < δ ja olgu A 1 mingi fikseeritud punkt selles ümbruses. Tõmbame läbi punktide A ja A 1 sirge, millel loeme positiivse suunaks vektori AA 1 : l suuna. Fikseerime sellel sirgel mingi punkti X, täistame { X A, kui AX suund ütib vektori l suunaga, AX : X A vastupidisel juul.

12 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine Definitsioon. Kui eksiteerib piirväärtus f (X) f (A) X A AX :, siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks punktis A suunas l. Kui vektori l suund ütib x-telje (y-telje, z-telje) suunaga, siis tuletis selles suunas on osatuletis muutuja x (muutuja y, muutuja z) järgi (põjendada!). Tuletise f(a) arvutamiseks täistame tätedega, β ja γ nurgad, mille vektor l moodustab vastavalt x-, y- ja z-teljega. Täistame veel t : AX. Pidades silmas, et x a, y b ja z c on vektori AX projektsioon vastavalt x-, y- ja z-teljele (kontrollida!), saame võrdused x a t cos, y b t cos β, z c t cos γ. Me saame funktsiooni f esitada üe muutuja funktsioonina seosega F (t) : f (a t cos, b t cos β, c t cos γ), seejuures F (0) t 0 F (t) F (0) t X A f (X) f (A) AX Teisalt on F liitfunktsioon, selle diferentseerimise reeglite koaselt. F (0) x (t) cos cos β y (t) z z (t) (18) z cos γ. Märgime e : (cos, cos β, cos γ), see on vektori l suunaline üikvektor. Definitsioon. Kolme muutuja funktsiooni w f (x, y, z) gradiendiks ) punktis A (a, b, c) nimetatakse kolmemõõtmelist vektorit : grad f (A). ( f(a), f(a), f(a) z Võrdusest (18) saame ( grad f (A), ) e (skalaarkorrutis) grad f (A) e cos ϕ, kus ϕ on nurk vektorite grad f (A) ja e vael. Niisiis, 1) tuletise f(a) väärtus on maksimaalne parajasti siis, kui ϕ 0, s.t. kui vektori l suund ütib gradiendi suunaga, ) juul l grad f (A) ketib võrdus f(a) gradf (A). Teiste sõnadega, grad f (A) määrab suuna, mille sutes punktis A võetud tuletis on maksimaalne, seejuures see maksimaalne väärtus on gradiendi pikkus.

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

elastsus_opetus_2017_ptk3

elastsus_opetus_2017_ptk3 1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

Programmi Pattern kasutusjuhend

Programmi Pattern kasutusjuhend 6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

Ülesanded

Ülesanded Virumaa Kollež Reaal ja tenikateauste keskus Gennai rjassov Koutöö 3 õppeaines Eitusmeaanika RR030 Sõrestiku Kotla-Järve 07 KODUTÖÖ 3 Sõrestiku (Фермы). Kontrollia süsteemi staatikaga määratavust ja geomeetrilist

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:

Rohkem

EESTI STANDARD EVS :2003 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2:

EESTI STANDARD EVS :2003 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2: EESTI STANDARD TERASKONSTRUKTSIOONID Osa 4-2:Vedelikumahutid Steel structures Part 4-2: Tanks EESTI STANDARDIKESKUS AMETLIK VÄLJAANNE EESSÕNA Eesti standard Teraskonstruktsioonid. Vedelikumahutid on välja

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Aili_A-mf-4_adiab.doc

Aili_A-mf-4_adiab.doc 4. ADIABAAILINE ROSESS 4.. emperatuuri adiabaatiline radient ermodünaamilisi protsesse, mis toimuvad soojusvahetuseta ümbritseva esonnaa, nimetatase adiabaatilistes. emperatuuri adiabaatilise radiendi

Rohkem

BioMech_2011_1.dvi

BioMech_2011_1.dvi Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Biomehaanika (Sissejuhatavad loengud mehaanika) Tallinn 2011 2 Peatükk 1 Sissejuhatus 1.1 Mis on biomehaanika Biomehaanika

Rohkem

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...

Rohkem

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid 1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus

Rohkem

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

NR-2.CDR

NR-2.CDR 2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor

Rohkem

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc 1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

EUROOPA KOMISJON Brüssel, COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 LISAD järgmise dokumendi juurde: Ettepanek: Euroopa Parlamendi ja nõukogu määru

EUROOPA KOMISJON Brüssel, COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 LISAD järgmise dokumendi juurde: Ettepanek: Euroopa Parlamendi ja nõukogu määru EUROOPA KOMISJON Brüssel, 17.5.2018 COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 LISAD järgmise dokumendi juurde: Ettepanek: Euroopa Parlamendi ja nõukogu määrus, millega kehtestatakse uute raskeveokite CO2-heite

Rohkem

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986

У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Linux süsteemi administreerimine

Linux süsteemi administreerimine Protsesside, mälu jm haldamine Linuxi ehitus (struktuur) Lihtsustatult Protsess Multitasking - palju protsesse töötab paralleelselt Tuumas asub protsesside tabel igal protsessil on identifikaator PID igal

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

my_lauluema

my_lauluema Lauluema Lehiste toomisel A. Annisti tekst rahvaluule õhjal Ester Mägi (1983) Soran Alt q = 144 Oh se da ke na ke va de ta, ae ga i lust üü ri kes ta! üü ri kes ta! 3 Ju ba on leh tis lei na kas ke, hal

Rohkem

1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine

1. AKE Ajalise keerukuse empiiriline hindamine http://kodu.ut.ee/~kiho/ads/praktikum/ 4. PSK Paisksalvestus. Loendamine Mõisteid Paisktabel (Hashtable, HashMap) Paisktabeli kasutamine loendamisülesannetes Paiskfunktsioon, kollisoonid (põrked) Praktikumitööd

Rohkem

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid ) 1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi

Rohkem

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.

Rohkem

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid

Rohkem

Microsoft Word - Karu 15 TERMO nr 527.doc

Microsoft Word - Karu 15 TERMO nr 527.doc Termoülevaatus nr.57 (57/1. Märts 8) Hoone andmed Aadress Lühikirjeldus Karu 15, Tallinn Termopildid Kuupäev 6.1.8 Tuule kiirus Õhutemperatuur -1,1 o C Tuule suund Osalesid Kaamera operaator Telefoni nr.

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

10. peatükk Perevägivald See tund õpetab ära tundma perevägivalda, mille alla kuuluvad kõik füüsilise, seksuaalse, psühholoogilise või majandusliku vä

10. peatükk Perevägivald See tund õpetab ära tundma perevägivalda, mille alla kuuluvad kõik füüsilise, seksuaalse, psühholoogilise või majandusliku vä Perevägivald See tund õpetab ära tundma perevägivalda, mille alla kuuluvad kõik füüsilise, seksuaalse, psühholoogilise või majandusliku vägivalla aktid, mis leiavad aset perekonnas. Tunni eesmärgid Teada

Rohkem

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele Magistritöö (30 EAP) Finants- ja kindlustusmatemaatika

Rohkem

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Maamaksu infosüsteem (MAKIS) Maksustamishind Talumistasud Andres Juss Maa-ameti kinnisvara hindamise osakonna juhataja 13.11.2018 MAKIS eesmärk Kõik omavalitsused kasutavad veebipõhist maamaksu infosüsteemi

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

Microsoft Word - VG loodus

Microsoft Word - VG loodus Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke

Rohkem

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Eesti pensionisüsteem võrdluses teiste Euroopa riikidega: olukord, väljakutsed ja kesksed valikud Lauri Leppik 7.06.2019 Pension kui vanadusea sissetulek Pension on ühiskondliku tööjaotuse kaasanne tekkis

Rohkem

Panganduse tekkimine Loe läbi tekst lk Panganduse tekkimisest ja vasta järgmistele küsimustele: 1. Millisest itaaliakeelsest sõnast tul

Panganduse tekkimine Loe läbi tekst lk Panganduse tekkimisest ja vasta järgmistele küsimustele: 1. Millisest itaaliakeelsest sõnast tul 10.4.1 Panganduse tekkimine Loe läbi tekst lk 195 197 Panganduse tekkimisest ja vasta järgmistele küsimustele: 1. Millisest itaaliakeelsest sõnast tuleb sõna pank?... 2. Miks hoiustati kulda kullassepa

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem