D J TAL TOPOLOJ DE KÜME DE ERL FONKS YONLAR

Väljavõte

1 T.C. EGE ÜN VERS TES Fen Bilimleri Enstitüsü D J TAL TOPOLOJ DE KÜME DE ERL FONKS YONLAR SMET ÇINAR Tez Dan³man: Prof. Dr. smet KARACA Matematik Anabilim Dal Matematik Doktora Program zmir 2020

2

3 smet ÇINAR tarafndan DOKTORA tezi olarak sunulan "Dijital Topolojide Küme De erli Fonksiyonlar" ba³lkl bu çal³ma E.Ü. Fen Bilimleri Lisansüstü E itim ve Ö retim Yönetmeli i ile E.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü E itim ve Ö retim Yönergesi'nin ilgili hükümleri uyarnca tarafmzdan de erlendirilerek savunmaya de er bulunmu³ ve tarihinde yaplan tez savunma snavnda oybirli i/oyçoklu u ile ba³arl bulunmu³tur. Jüri üyeleri mza Jüri Ba³kan : Prof. Dr. smet KARACA Raportör Üye : Doç. Dr. Özgür EGE Üye : Prof. Dr. Urfat NUR YEV Üye : Doç. Dr. Cihangir ALACA Üye : Dr. Ö r. Üyesi Simge ÖZTUNÇ

4

5 EGE ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ET K KURALLARA UYGUNLUK BEYANI EÜ Lisanüstü E itim ve Ö retim Yönetmeli i'nin ilgili hükümleri uyarnca Doktora Tezi olarak sundu um "Dijital Topolojide Küme De erli Fonksiyonlar" ba³lkl bu tezin kendi çal³mam oldu unu, sundu um tüm sonuç, doküman, bilgi ve belgeleri bizzat ve bu tez çal³mas kapsamnda elde etti imi, bu tez çal³masyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara atf yapt m ve bunlar kaynaklar listesinde usulüne uygun olarak verdi imi, tez çal³mas ve yazm srasnda patent ve telif haklarn ihlal edici bir davran³mn olmad n, bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya di er bir üniversitede ba³ka bir tez çal³mas içinde sunmad m, bu tezin planlanmasndan yazmna kadar bütün safhalarda bilimsel etik kurallarna uygun olarak davrand m ve aksinin ortaya çkmas durumunda her türlü yasal sonucu kabul edece imi beyan ederim. 09/01/2020 smet ÇINAR

6

7 vii ÖZET D J TAL TOPOLOJ DE KÜME DE ERL FONKS YONLAR ÇINAR, smet Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dal Tez Dan³man: Prof. Dr. smet KARACA Ocak 2020, 76 sayfa Bu tez çal³masnda, iki dijital yüzeyin ba lantl toplam ve dijital basit kapal yüzeyler in³a edildi. Bu yüzeylerin dijital simpleksler homoloji gruplar belirlendi. Baz dijital ba lantl toplam yüzeylerinin Euler karakteristi i hesapland ve bu dijital yüzeyler ile ilgili baz özellikler ifade edildi. Tezin dördüncü bölümünde, dijital görüntüler için sime³ çarpm tantld. Bu operatörün birle³meli, da lmal ve de i³meli oldu u gösterildi. Bu operatör yardmyla bir dijital görüntünün dijital süspansiyonu ve dijital koni uzaylar tanmland. Be³inci bölümde, Khalimsky topolojisi ile donatlm³ dijital uzaylarn singüler kohomoloji gruplar incelendi. Bu kohomoloji teorisi için Eilenberg- Steenrod aksiyomlar, evrensel katsay teoremi ve Künneth formülü ara³trld. Khalimsky topolojisi üzerinde cup çarpm in³a edildi ve bu operatörün baz özellikleri verildi. Tezin son bölümünde, dijital küme de erli fonksiyonlar arasnda yakla³k sabit nokta özelli i tanmland. Evrensel dijital küme de erli fonksiyon kavram ifade edildi. Sime³ çarpmn baz özellikleri tantld. Son olarak baz morfolojik operatörlerin güçlü ve zayf süreklili e sahip oldu u gösterildi. Anahtar sözcükler: Dijital ba lantl toplam, Euler karakteristi i, dijital sime³ çarpm, küme de erli fonksiyon, güçlü-zayf süreklilik, morfolojik operatör.

8

9 ix ABSTRACT MULTIVALUED FUNCTIONS IN DIGITAL TOPOLOGY ÇINAR, smet PhD in Mathematics Department Supervisor: Prof. Dr. Ismet KARACA January 2020, 76 pages In this thesis, some digital minimal simple surfaces are constructed by the connected sum of two digital surfaces. The digital simplicial homology groups of these digital surfaces are determined. The Euler characteristics of certain digital connected sum surfaces are computed and some properties are stated on these digital surfaces. In the fourth part of the thesis, the smash product is introduced for digital images. It is shown that this operator is associative, distributive and commutative. A digital suspension and a digital cone of a digital image are dened by this operator. In the fth section, the digital singular cohomology groups of the digital spaces equipped with Khalimsky topology are studied. Eilenberg-Steenrod axioms, universal coecient theorem and Künneth formula are investigated for this cohomology theory. The cup product is constructed on Khalimsky topology and some properties of this operation are given. In the last section of the thesis, the approximate xed point property is dened between digital multivalued functions. The notion of universal digital multivalued function is stated. Some properties of smash product are introduced. Finally, it is shown that some morphological operators have strong and weak continuity. Key Words: Digital connected sum, Euler characteristics, digital smash product, multivalued function, strong-weak continuity, morphological operator.

10

11 xi ÖNSÖZ Dijital topoloji, görüntü analizi, bilgisayar bilimleri ve tp dünyasnda önemli bir kullanm alanna sahiptir. Bu alandaki temel dü³ünce, dijital görüntülerin topolojik özelliklerini belirlemektir. Dijital topoloji krinin olu³ma nedeni, dijital görüntü analizinde baz geometrik invaryant yaplarn yetersiz kalmas ve bunun üzerine cebirsel geometrideki kavramlar ile dijital görüntülerin incelenmesine olanak sa lamaktr. Doktora tez konumu belirlerken dijitalle³en dünyann etkisinde kaldm ve küme de erli fonksiyonlar dijital topolojide incelemeyi tercih ettim. Ayrca bu konunun ülkemizde çok da yaygn çal³lmamas benim bu konuya olan ilgimi arttrd. Konuyu birçok konferans ve sempozyumda sunarak konunun yeni ara³trmaclara ula³mas için çaba sarfettim. Bu tezin ba³langcndan tamamlanncaya kadar geçen süreçte kar³la³t m birçok zorlukta kymetli hocalarm ve de erli arkada³larmn deste iyle sorunlarn üstesinden geldim ve literatüre katk sa layaca na inand m bu tezi hazrladm. ZM R 09/01/2020 smet Çnar

12

13 xiii Ç NDEK LER Sayfa Ç KAPAK KABUL ONAY SAYFASI ii iii ET K KURALLARA UYGUNLUK BEYANI v ÖZET vii ABSTRACT ix ÖNSÖZ xi Ç NDEK LER D Z N xiii S MGELER VE KISALTMALAR D Z N xvi 1 G R ÖN B LG LER Dijital Görüntü ve Yaknlk Ba nts BAZI BA LANTILI TOPLAM YÜZEYLER N S MPLEKSLER HOMOLOJ GRUPLARI D J TAL S ME (SMASH) ÇARPIM KHALIMSKY D J TAL UZAYLARI Ç N KOHOMOLOJ GRUP- LARI Khalimsky Topolojisi Baz Dijital Görüntülerin Singüler Homoloji Gruplar Dijital Singüler Kohomoloji Gruplar Khalimsky Dijital Singüler Kohomoloji için Evrensel Katsay Teoremi Khalimsky Dijital Singüler Kohomoloji için Künneth Formülü.. 43

14 xiv Ç NDEK LER (devam) Sayfa 5.6 Khalimsky Dijital Uzaylar için Singüler Cup Çarpm D J TAL TOPOLOJ DE KÜME DE ERL FONKS YONLAR Ba lantll Koruyan Dönü³ümler Evrensel Küme De erli Fonksiyonlar Yakla³k Sabit Nokta Teoremi Küme De erli Fonksiyonlarda Dijital Sime³ Çarpm çin Baz Sonuçlar Morfolojik Operatörler SONUÇ KAYNAKLAR D Z N TE EKKÜR ÖZGEÇM

15 xv EK LLER D Z N ekil Sayfa 2.1 (a)msc 4, (b)msc 8, (c)msc S 0 dijital 0-küresi S 1 dijital 1-küresi MSS MSS MSS MSS 6 MSS MSS 6 MSS (2, 0), (2, 1), (8, 2) ve (26, 3)-simpleksler MSS 6 MSS S 1 S 0 ve S 1 S S 0 I ve S 0 I B(n) kümesinin görüntüsü , 1, 2 ve Bir dijital görüntünün 1. alt bölüntü kümesi Bir dijital görüntünün baz morfolojik operatörleri (Soille, 1999) p ve q nun 4-yakn kom³uluklar

16 xvi S MGELER VE KISALTMALAR D Z N Simgeler Açklama (X, κ) κ-yaknl a sahip dijital görüntü N κ (x) x noktasnn κ-kom³uluklarnn kümesi c Basit kapal κ-e ri S κ Basit κ-yüzey MSS κ Minimal basit kapal yüzey MSS κ MSS κ Minimal basit kapal yüzeylerin ba lantl toplam δ q q. snr homomorzmas Z κ q ( ) q-devir grubu B κ q ( ) q-snr grubu H κ q ( ) q. boyutta simpleksler homoloji grubu (C, δ) Zincir kompleks H κ n(x, A) n. relatif homoloji grubu χ κ (X) X dijital görüntüsünün Euler karakteristi i Cup çarpm (X m,κ, τ X ) Khalimsky dijital uzay

17 xvii S MGELER VE KISALTMALAR D Z N (Devam) Simgeler Açklama Hom Hom funktoru Ext Ext funktoru T or Tor funktoru X Y Wedge birle³im X Y Sime³(smash) çarpm cx X dijital görüntüsünün koni uzay sx X dijital görüntüsünün süspansiyon uzay S(X, r) X dijital görüntüsünün r. alt bölüntüsü AF P P Yakla³k sabit nokta özelli i D κ Dilasyon operatörü Ē κ Erozyon operatörü C κ Kapama operatörü Ō κ Açma operatörü

18

19 1 1 G R Dijital topolojide iki ve üç boyutlu dijital uzaylarn topolojik ve geometrik özellikleri ele alnr. Temel dü³ünce, genel topoloji ve cebirsel topoloji ile dijital topoloji arasndaki farklar belirlemektir. Görüntüleme analizi ve bilgisayar graklerinin neredeyse her alanda kullanld bu ça da, dijital topolojinin önemi oldukça artmaktadr. Dijital topoloji, bir hastanedeki röntgen cihazlarndan bilgisayar bilimlerindeki birçok i³leme temel olu³turmaktadr. Önümüzdeki on yl içerisinde dijital topolojinin kullanm artarak geni³leyecektir. Dijital topoloji alannn olu³masnda en büyük adm Azriel Rosenfeld tarafndan atlm³tr ylnda yaynlanan "Arc and Curves in Digital Pictures" adl makale bu alann olu³masnda büyük katk sa lam³tr. Süreklilik kavram diskret yaplar için "Digital Topology" (Rosenfeld, 1979) adl makalede yaknlk ba nts kullanlarak tanmlanm³tr. Böylece tamsaylar kümesi üzerindeki yaplar arasnda süreklilik kavram in³a edilmi³tir. Laurence Boxer, cebirsel topolojideki invaryant kavramlarn dijital topolojideki kar³lklarn ara³trm³tr. Dijital süreklilik, dijital homotopi, dijital temel grup ve dijital büzülebilirlik gibi kavramlar Boxer tarafndan tanmlanm³tr. ki ayrk yapnn izomork temel gruplara sahip olup olmamas görüntü analizi için çok önemli oldu undan Stout bu konuda çal³malar yapm³tr (Stout, 1983). Arslan, Karaca ve Öztel (Arslan, Karaca and Öztel, 2008) dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarn tanmlam³lardr. Boxer ve Karaca (Boxer and Karaca, 2010) dijital örtü uzaylarn snandrm³lardr. Boxer, Karaca ve Öztel (Boxer, Karaca and Öztel, 2011) cebirsel topolojideki invaryant yaplar dijital görüntüler için tanmlam³lardr. Ege ve Karaca (Ege and Karaca, 2013b) dijital görüntüler için kohomoloji teorisini tanmlam³lardr. Künneth formülünün dijital topolojide geçerli olmad n göstermi³lerdir. Ege ve Karaca, 2016 ylndaki bir çal³masnda (Ege and Karaca, 2016) Steenrod cebirinin dijital versiyonunu ifade etmi³tir. Ayrca dijital kohomoloji operatörlerini ve dijital Steenrod karelerinin temel özelliklerini vermi³tir. Vergili ve Karaca (Vergili and Karaca, 2015) Khalimsky topolojisi ile donatlm³ baz dijital görüntülerin singüler homoloji gruplarn hesaplam³tr. Vergili ve Karaca (Vergili and Karaca, 2018) Eilenberg-Steenrod

20 2 aksiyomlarndan biri olan excision aksiyomunun Khalimsky dijital uzaylar için geçerli oldu unu göstermi³tir. Demir ve Karaca (Demir and Karaca, 2015) baz dijital yüzeylerin simpleksler homoloji gruplarn hesaplam³ ve (Demir and Karaca, 2016) sonlu boyutlu dijital görüntülerin dijital kohomoloji gruplarnn hesaplanmas için bir algoritma vermi³tir. Burak ve Karaca (Burak and Karaca, 2017) cup çarpmn tanml oldu u dijital kohomolojinin cebir ve halka yaplarn tanmlam³tr. Kovalevsky (Kovalevsky, 1994) tarafndan küme de erli fonksiyon kavram tantlm³tr. Daha sonra Tsaur ve Smyth (Tsaur and Smyth, 2001) tarafndan sürekli küme de erli fonksiyon tanm verilmi³tir. Bu çal³mann üzerine ek olarak daha esnek bir yap sa layan zayf ve güçlü sürekli dönü³ümler in³a edilmi³tir. Escribano, Giraldo ve Sastre (Escribano, Giraldo and Sastre, 2008) süreklilik kavramn daha ayrntl ³ekilde karakterize etmi³lerdir. Dijital görüntüler üzerinde alt bölüntüler yardmyla sürekli küme de erli fonksiyonlar in³a edilebilmi³tir. Daha sonraki çal³malarda (Escribano, Giraldo and Sastre, 2012) dilasyon, erozyon, açma ve kapama gibi morfolojik i³lemler ele alnarak çok geni³ yapya sahip olan sürekli küme de erli fonksiyonlarn snandrma yoluna gidilmi³tir. Basit noktalarn silinmesi kavram sürekli küme de erli fonksiyonlar tarafndan karakterize edilmi³tir. Ayrca küme de erli dijital retraksiyon tanm verilip, tek de erli dijital retraksiyon ile arasndaki farka de inilmi³tir. Boxer (Boxer, 2014) çekinik dönü³ümler yardmyla sürekli küme de erli fonksiyonlar snandrma yoluna gitmi³tir. Bir ba³ka (Boxer and Staecker, 2016a) çal³masnda Boxer, ba lantll koruyan dönü³ümler ile sürekli küme de erli fonksiyonlar arasnda çe³itli ba ntlar sunmu³tur. Ayrca (Boxer, 2017c) ba lantll koruyan dönü³ümlere ek olarak zayf ve güçlü süreklilik kavramlarn vererek, bu yaplar arasndaki çe³itli ba ntlar ele alnm³tr. Bu tez çal³masnn birinci ve ikinci bölümlerinde tezin ilerleyen ksmlarnda kullanlacak olan temel kavramlar tantld. Üçüncü bölümde iki minimal basit kapal yüzeyin ba lantl toplamlarnn simpleksler homoloji gruplar hesapland. Dördüncü bölümde, Khalimsky topolojisi ile donatlm³ baz dijital uzaylarn singüler kohomoloji gruplar belirlendi. Khalimsky topolojisi üzerinde dijital görüntülerin cup çarpmlar in³a edildi ve bu operatörün baz

21 3 özellikleri üzerinde çal³ld. Be³inci bölümde dijital görüntüler için sime³ çarpm tanmland. Bu operatör yardmyla bir dijital görüntünün dijital süspansiyon ve dijital koni uzaylar incelendi. Dijital küme de erli fonksiyonlar arasnda yakla³k sabit nokta özelli i verildi. Evrensel küme de erli fonksiyon kavram incelendi. Son olarak, morfolojik operatörlerinin güçlü sürekli oldu u gösterildi.

22 4 2 ÖN B LG LER 2.1 Dijital Görüntü ve Yaknlk Ba nts Z tamsaylar kümesi olmak üzere Z n, n-boyutlu Euclid uzayndaki kafes noktalarnn kümesini temsil etsin. Bir n tamsays için Y Z n ve λ, Y kümesinin elemanlar için bir yaknlk ba nts olmak üzere (Y, λ) ikilisine bir dijital görüntü denir (Boxer, 1999). Z n deki dijital görüntüler için yaknlk ba nts kavram a³a daki gibi tanmlanm³tr. Tanm (Boxer, 1994) l bir pozitif tamsay (1 l n) ve x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) Z n birbirinden farkl iki nokta için, x i y i = 1 olacak ³ekilde en fazla l sayda i indisi var, ve x j y j 1 olacak ³ekilde di er tüm j indisleri için x j = y j, ko³ullar sa lanyorsa x ve y ya c l -yakn denir. c l -yakn ile bir noktann yakn olan noktalarnn says anla³lacak ve genel olarak bu yaknl a κ-yaknlk denilecektir. X 1 ve X 2 dijital görüntülerinin kartezyen çarpmlar için normal yaknlk ba nts a³a daki gibi tanmldr (Boxer and Karaca, 2012): x i, y i (X i, κ i ) için (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 1 ) noktalar X 1 X 2 dijital görüntü üzerinde k (κ 1, κ 2 )-yakndr ancak ve ancak a³a daki durumlardan birisi sa lanr: x 0 = x 1 ve y 0 ile y 1, κ 1 -yakn; x 0 ile x 1, κ 0 -yakn ve y 0 = y 1 ; x 0 ile x 1, κ 0 -yakn ve y 0 ile y 1, κ 1 -yakn. Tanm (Herman, 1993) Bir (X, κ) dijital görüntüsünün dijital ba - lantl olmas için gerek ve yeter ³art her {x, y} X için x y olmak üzere x = x 0, x c = y ve i {0, 1,..., c 1} için x i ile x i+1 κ-yakn olacak ³ekilde bir {x 0, x 1,..., x c } X kümesinin var olmasdr. κ-yaknlk ba ntsna sahip bir X dijital görüntüsünde x noktasndan y noktasna bir κ-yol, c 1 ve 1 i c 1 için her x i noktas x i+1 noktasna

23 5 κ-yakn olacak ³ekilde bir (x = x 0, x 1,..., x c = y) dizisidir. Burada c says yolun uzunlu unu temsil eder (Han, 2006). a, b Z, a < b olmak üzere [a, b] Z = {z Z a z b} kümesine dijital aralk denir (Boxer, 1994). Tanm (Boxer, 1994) (X, κ 0 ) ve (Y, κ 1 ) dijital görüntüler olsun. X in her κ 0 -ba lantl alt kümesi U için f(u), Y de κ 1 -ba lantl ise f : X Y fonksiyonuna dijital (κ 0, κ 1 )-sürekli denir. (X, κ 0 ) ve (Y, κ 1 ) dijital görüntüler olmak üzere f : X Y fonksiyonunun (κ 0, κ 1 )-sürekli olmas için gerek ve yeter ³art x 0 ve x 1, κ 0 -yakn olmak üzere her {x 0, x 1 } X için ya f(x 0 ) = f(x 1 ) ya da f(x 0 ) ile f(x 1 ) in κ 1 -yakn olmasdr (Boxer, 1999). (X, κ 0 ) ve (Y, κ 1 ) dijital görüntüler olmak üzere f : (X, κ 0 ) (Y, κ 1 ) fonksiyonu (κ 0, κ 1 )-sürekli, bijeksiyon ve f 1 : (Y, κ 1 ) (X, κ 0 ) dijital (κ 1, κ 0 )-sürekli ise f fonksiyonuna dijital (κ 0, κ 1 )-izomorzma denir (Boxer, 2006). (X, κ) ve (Y, λ) dijital görüntülerinin X Y wedge birle³imi, a³a daki özelliklere sahip (X, µ) ve (Y, µ) kümelerinin birle³imi olarak tanmlanr. X ve Y kümeleri p tek noktay içerir; x X ve y Y kümeleri µ-yakn ise x = p veya y = p; (X, µ) ve (X, κ) kümeleri izomorktir; ve (Y, µ) ve (Y, λ) kümeleri izomorktir (Boxer, 2006). f : X Y (κ, λ)-sürekli ve örten bir dönü³üm olsun. A³a daki ko³ullar sa layan f dönü³ümüne çekinik(shy) dönü³üm denir (Boxer, 2005): Her y Y için f 1 ({y}) kümesi κ-ba lantldr. Her y 0, y 1 Y için y 0 ve y 1 noktalar λ-yakn iken f 1 ({y 0, y 1 }) kümesi κ-ba lantldr. Teorem (Boxer, 2017a) f : (X, κ) (Y, λ) dönü³ümü bir izomorzma ise f bir çekinik dönü³ümdür. Ayrca f dönü³ümü çekinik ve bire-bir ise f bir izomorzmadr. f : (A, α) (C, γ) ve g : (B, β) (D, δ) sürekli ve örten dönü³ümlerinin çekinik dönü³üm olmas için gerek ve yeter ³art f g : (A B, k (α, β)) (C D, k (γ, δ))

24 6 dönü³ümünün çekinik dönü³üm olmasdr. Tanm (Boxer, 1994) (X, κ) ve (Y, λ) birer dijital görüntü ve f, g : X Y (κ, λ)-sürekli iki fonksiyon olsun. Pozitif bir m tamsays ve a³a daki özellikleri sa layan bir H : X [0, m] Z Y fonksiyonu varsa f ve g ye (κ, λ)-homotopik fonksiyonlar denir ve f (κ,λ) g ile gösterilir. Ayrca H fonksiyonuna (κ, λ)-homotopi fonksiyonu denir. Her x X için H(x, 0) = f(x) ve H(x, m) = g(x) dir. Her x X için H x : [0, m] Z Y t H x (t) = H(x, t) indirgenmi³ fonksiyonu (2, λ)-süreklidir. Her t [0, m] Z için H t : X Y x H t (x) = H(x, t) indirgenmi³ fonksiyonu (κ, λ)-süreklidir. Bir f : X Y dijital sürekli fonksiyonu Y üzerinde tanml bir sabit fonksiyona dijital homotopik ise f fonksiyonuna Y de dijital nullhomotopik denir. Bir X dijital gorüntüsü için 1 X : X X birim dönü³ümü dijital nulhomotopik ise X e dijital büzülebilir denir (Boxer, 1994). (X, κ) ve (Y, λ) iki dijital görüntü olsun. f : X Y (κ, λ)-sürekli fonksiyonu için g h (κ,κ) 1 X ve h g (λ,λ) 1 Y olacak ³ekilde bir (λ, κ)-sürekli g : Y X fonksiyonu varsa h fonksiyonuna (κ, λ)-homotopi denklik denir ve X ile Y dijital görüntülerine ayn (κ, λ)-homotopi tipine sahiptir denir (Boxer, 1994). Z dijital görüntüsü ve z 0 Z için (Z, z 0 ) ikilisine noktal dijital görüntü denir. h : (Z, z 0 ) (Y, y 0 ) dijital sürekli fonksiyonu h(z 0 ) = y 0 ko³ulunu sa lyorsa buna noktal dijital sürekli fonksiyon denir (Boxer, 1999).

25 7 f ve g, (X, x 0 ) dan (Y, y 0 ) a tanml noktal dijital sürekli fonksiyonlar ve H, f ile g arasnda dijital (κ 0, κ 1 )-homotopi olsun. Her t [0, m] Z için H(x 0, t) = y 0 ise H fonksiyonuna (κ 0, κ 1 )-noktal dijital homotopi denir (Boxer, 1999). f, g : [0, m 0 ] Z Y, (2, κ)-sürekli fonksiyonlar arasnda bir H : [0, m 0 ] Z [0, m 1 ] Z Y, (2, κ)-homotopi fonksiyonu her t [0, m 1 ] Z için H(0, t) = f(0) = g(0) ve H(m 0, t) = f(m 0 ) = g(m 0 ) ise H fonksiyonuna uç noktalar sabit tutan homotopi denir (Boxer, 2006). Tanm (Boxer, 1999) (X, κ) bir dijital görüntü olsun. Bir m > 3 tamsays ve h : [0, m 1] Z X (2, κ)-sürekli fonksiyonu için a³a daki durumlar sa lansn: h bire-bir ve örtendir. h(0) ile h(m 1) noktalar κ-yakndr. Her t [0, m 1 ] Z için h([0, m 1 ] Z ) kümesinde h(t) nin κ-kom³uluklar sadece h((t 1) mod m) ve h((t + 1) mod m) ³eklindedir. Bu durumda X e bir dijital kapal κ-e ri denir. (A, κ) bir dijital görüntü olsun. a 1, a 2, a 3 A ve a 2 ile a 3 κ-yakn noktalar olsun. a 1 noktas yalnz a 2 ile a 3 noktasna κ-yakn ise a 1 noktasna κ-kö³e noktas denir. a 2 ve a 3, κ-kö³e noktalar de il ve a 1 noktas a 2 ve a 3 ün her ikisine de κ-yakn olan tek nokta ise a 1 e basit κ-kö³e noktas denir. A dijital görüntüsünün tüm basit κ-kö³eleri çkarld nda bir basit kapal κ-e ri elde ediliyorsa A ya genelle³tirilmi³ basit kapal κ-e ri denir (Boxer, 1999). Örnek (Han, 2006) 8-yaknl a sahip bir X = {(1, 0), (0, 1), ( 1, 0)), (0, 1)} dijital görüntüsü verilsin. f : [0, 3] Z X 0 (1, 0) 1 (0, 1) 2 ( 1, 0) 3 (0, 1)

26 8 ³eklinde tanml f fonksiyonu (2, 8)-süreklidir ve basit kapal e ri ko³ullarn sa lar. ekil 2.1 de basit kapal κ-e rilere örnekler verilmi³tir. ekil 2.1: (a)msc 4, (b)msc 8, (c)msc 8 Tanm (Han, 2006) c = (x 0, x 1,..., x n ), Z 2 de bir basit kapal κ-e ri olsun. c, c basit kapal e risinin Z 2 deki tümleyeni olmak üzere c nin bir x noktas c nin snr κ-ba lantl bile³enine ait ise, o noktaya c n iç noktas denir ve Int(c ) ile gösterilir. Aksi halde c n d³ noktas denir ve Ext(c ) ile gösterilir. MSC 4, MSC 8 ve MSC 8 basit kapal e rileri yardmyla MSC 4 = MSC 4 Int(MSC 4 ), MSC 8 = MSC 8 Int(MSC 8), MSC 4 = MSC 8 Int(MSC 8 ) dijital görüntüleri tanmlanm³tr. Bu dijital görüntüler κ-e rilerin ba lantl toplamlarn hesaplamada kullanlacaktr. Küreye-benzer dijital görüntüler a³a daki gibi tanmlanr (Boxer, 2006): 0 n, Z n nin orjini olmak üzere dijital S n küresi ³eklinde ifade edilir. Örne in, S n = [ 1, 1] n+1 Z \{0 n+1 } Z n+1 S 0 = {c 0 = (1, 0), c 1 = ( 1, 0)} (Bkz ekil 2.2).

27 9 ekil 2.2: S 0 dijital 0-küresi S 1 = {c 0 = (1, 0), c 1 = (1, 1), c 2 = (0, 1), c 3 = ( 1, 1), c 4 = ( 1, 0), c 5 = ( 1, 1), c 6 = (0, 1), c 7 = (1, 1)} (Bkz ekil 2.3). ekil 2.3: S 1 dijital 1-küresi Tanm (Han, 2007) (A, λ), Z n de bir dijital görüntü, n 3 ve Ā = Z n A olsun. A³a daki ko³ullar sa lanyorsa A ya kapal κ-yüzey denir: 1) (λ, λ) {(λ, 2n), (2n, 3 n 1)} ve λ 3 n 2 n 1 için her a A için A x kümesi a noktasna λ-yakn olan sadece bir λ- bile³ene sahiptir; Ā a kümesi a noktasna λ-yakn iki λ-bile³enine sahiptir. Bu bile³enler C aa ve D aa olmak üzere her b N λ (a) A için N λ(b) C aa 0 ve N λ(b) D aa 0 dr. Ayrca A kapal κ-yüzeyi için, A basit λ-noktaya sahip de il ise A ya basit kapal κ-yüzey denir. 2) (λ, λ) = (3 n 2 n 1, 2n) için A, λ-ba lantldr. Her a A için A a bir genelle³tirilmi³ basit kapal λ-e ridir. Ayrca, A a bir basit kapal λ-e ri ise A ya basit kapal κ-yüzey denir.

28 10 Örnek (Han, 2006) Basit kapal e riler yardmyla minimal basit kapal yüzeyler a³a daki gibi ifade edilebilir: MSS 6 (6,6) (MSC 4 [0, 2] Z ) (Int(MSC 4 {0, 2})) (Bkz ekil 2.4) olup burada MSC 4, {(1, 0), (1, 1), (0, 1), ( 1, 1), ( 1, 0), ( 1, 1), (0, 1), (1, 1)} kümesine 4-izomork bir e ridir. ekil 2.4: MSS 6 MSS 6 (6,6) X [0, 1] Z olup burada X kümesi {(0, 0), (1, 1), (0, 1), (1, 0)} ³eklindedir. MSS 18 (18,18) (MSC 8 {1}) (Int(MSC 8 {0, 2})) (Bkz ekil 2.5) olup burada MSC 8 e rsi {(0, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 2, 1), ( 1, 2), (0, 1)} kümesine 8-izomorktir. ekil 2.5: MSS 18 MSS 18 (18,18) (MSC 8 {1}) (Int(MSC 8 {0, 2})) (Bkz ekil 2.6) olup burada MSC 8 e risi {(0, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 1, 1)} kümesine 8-izomorktir.

29 11 ekil 2.6: MSS 18 Tanm (Han, 2006) n 0, n 1 3 için S κ0, Z n 0 A κ 0 A κ0 S κ0 ve S κ1, Z n 1 de kapal bir κ 1 -yüzey olsun öyle ki da kapal bir κ 0 -yüzey, A κ 0 (κ0,8) Int(MSC 8), A κ 0 (κ0,4) Int(MSC 4) veya A κ 0 (κ0,8) Int(MSC 8 ) izomorzmalar vardr. f : A κ0 f(a κ0 ) S κ1 bir (κ 0, κ 1 )-izomorzma olmak üzere S κ 1 = S κ1 f(a κ 0 ) ve S κ 0 = S κ0 A κ 0 dr. S κ S 0 κ ayrk birle³imi üzerinde i : A κ0 A κ 1 0 S κ 0 kapsama dönü³ümü olsun. S κ0 dan A κ 0 n çkarlmasyla ve A κ0 A κ 0 ile f(a κ0 A κ 0 ) nün denkli inden a³a daki gibi tanmlanan bir S κ 0 S κ 1 / bölüm uzay elde edilir: x A κ0 A κ 0 ve i(x) f(x) = y S κ 1 denklik snarnn kümesine ba lantl toplam denir ve S κ0 S κ1 ile gösterilir. Örnek MSS 6 ve MSS 6 minimal basit kapal 6-yüzeyler olsun. MSS 6 MSS 6 ve MSS 6 MSS 6 ba lantl toplam yüzeyleri srasyla ekil 2.7 ve ekil 2.8 deki gibi olu³turulabilir: ekil 2.7: MSS 6 MSS 6

30 12 ekil 2.8: MSS 6 MSS 6 Tanm (Spanier, 1966) S, (X, κ) dijital görüntüsünün bo³tan farkl bir alt kümesi olsun. s S ve p ile q, S nin ayrk noktalar olmak üzere p ve q, κ-yakn, s S ve t s ise t S, ko³ullar sa lanyor ise S nin elemanlarna (X, κ) nn dijital simpleksleri denir. Bir m-simpleks S nin kardinalitesi m + 1 dir. S, S nin bo³tan farkl bir öz alt kümesi ise S kümesine S nin yüzü denir. ekil 2.9 de baz dijital simpleksler verilmi³tir. ekil 2.9: (2, 0), (2, 1), (8, 2) ve (26, 3)-simpleksler Tanm (Arslan, Karaca and Öztel, 2008) (X, µ) dijital m-simplekslerin bir sonlu koleksiyonu ve negatif olmayan bir d tamsays için 0 m d olsun. A³a daki ko³ullar sa lanyorsa, (X, µ) ya bir sonlu dijital simpleksler kompleks denir: A, X e ait bir simpleks ise A nn her bir yüzü de X e aittir. A, B X ise A B ya bo³tur ya da A ve B nin bir ortak yüzüdür. Bir X dijital simpleksler kompleksinin boyutu, X in sahip oldu u bir m- simpleks olacak ³ekildeki en büyük m tamsaysdr. Cq κ (X) in baz elemanlar X kümesindeki tüm dijital (X, κ)-simpleksler olan bir serbest de i³meli gruptur. (X, κ) m-boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. Bu durumda her q > m için Cq κ (X) bir a³ikar gruptur (Arslan, Karaca and Öztel, 2008).

31 13 (X, κ), m-boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. ˆp i, p i elemannn simpleksten çkarlmas olmak üzere q i=0 q (< p 0, p 1,..., p q >) = ( 1)i < p 0, p 1,..., ˆp i,..., p q >, q m 0, q > m. ile tanml q : Cq κ (X) Cq 1(X) κ homomorzmasna bir snr homomorzmas denir. Her 1 q m için q 1 q = 0 dr. (X, κ) Z n, m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olmak üzere C κ (X) : 0 m+1 Cm(X) κ m Cm 1(X) κ m C κ 0 (X) 0 0 bir zincir komplekstir. (X, κ) bir dijital simpleksler kompleks olmak üzere Z κ q (X) = Ker q grubuna dijital simpleksler q-devirlerin grubu, B κ q (X) = Im q+1 grubuna dijital simpleksler q-snrlarn grubu, H κ q (X) := Zκ q (X) B κ q (X) grubu denir (Arslan, Karaca and Öztel, 2008). bölüm grubuna q. dijital simpleksler homoloji Teorem (Boxer, Karaca and Öztel, 2011) (X, κ) m-boyutlu bir yönlü dijital simpleksler kompleks olsun. 1) Her q 0 için H κ q (X) sonlu üretilmi³ bir abel gruptur. 2) Her q > m için H κ q (X) a³ikar gruptur. 3) H κ q (X) bir serbest abel gruptur ve muhtemelen sfrdr. Teorem (Han, 2006) A 18, MSS 18 nün bir alt kümesi ve A 18 (18,8).h MSC 18 olmak üzere MSS 18 MSS 18 MSS 18 izomorzmas vardr. Ayrca MSC 18 üzere ifadesi vardr. e risi {(0, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 1, 1)} kümesine 8-izomork olmak MSC 18 = MSC 18 Int(MSC 18) (X, κ) bir m-boyutlu dijital görüntü ve her q 0 için α q, X deki dijital (κ, q)-simplekslerin says olsun. X in Euler karakteristi i χ(x, κ) = m ( 1) q α q q=0

32 14 ³eklinde tanmlanr. (X, κ) bir m-boyutlu dijital görüntü olsun. X in Euler karakteristi i χ(x, κ) = m ( 1) q rankhq κ (X) olarak (Boxer, Karaca and Öztel, 2011) tarafndan gösterilmi³tir. Teorem (Boxer, Karaca and Öztel, 2011) (X, κ 0 ) Z n 0 (Y, κ 1 ) Z n 1 q=0 dijital görüntüleri (κ 0, κ 1 )-izomork ise χ(x, κ 0 ) = χ(y, κ 1 ) dr. Teorem (Boxer, Karaca and Öztel, 2011) MSS 18 minimal basit kapal yüzeyi için homoloji gruplar a³a daki gibidir: Z, n = 0, 2 Hn(MSS 6 18) = 0, n 0, 2. Örnek (Boxer, Karaca and Öztel, 2011) Baz minimal basit kapal yüzeylerin Euler karakteristi i, χ(mss 6, 6) = α 0 α 1 = = 22, χ(mss 6 MSS 6, 6) = α 0 α 1 = = 38, χ(mss 18, 18) = α 0 α 1 + α 2 = = 2, χ(mss 18 MSS 18, 18) = α 0 α 1 + α 2 = = 6. ³eklinde hesaplanm³tr. Sonuç ) MSS 18 MSS 18 MSS 18. 2) MSS 6 MSS 6 MSS 6 MSS 6. ve spat. Ba lantl toplamn de i³melili inden, MSS 18 MSS 18 MSS 18 MSS 18 yazlabilir. MSS 18 MSS 18 MSS 18 oldu undan sonuç sa lanr. Di er taraftan iki minimal yüzeyin ba lantl toplam de i³meli oldu undan, MSS 6 MSS 6 MSS 6 MSS 6 izomorzmas vardr.

33 15 3 BAZI BA LANTILI TOPLAM YÜZEYLE- R N S MPLEKSLER HOMOLOJ GRUPLARI Teorem MSS 6 MSS 6 ba lantl toplam yüzeyinin dijital simpleksler homoloji gruplar a³a daki gibidir: H 6 0(MSS 6 MSS 6) = Z, H 6 1(MSS 6 MSS 6) = Z 6 ve her n 0, 1 için H 6 n(mss 6 MSS 6) = {0}. spat. MSS 6 MSS 6 = {c 0 = (0, 0, 0), c 1 = (1, 0, 0), c 2 = (1, 1, 0), yüzeyi c 3 = (1, 2, 0), c 4 = (0, 0, 1), c 5 = (1, 0, 1), c 6 = (1, 1, 1), c 7 = (0, 1, 1), c 8 = (0, 2, 1), c 9 = (1, 2, 1), c 10 = (0, 2, 0)} c 1 < c 6 < c 8 < c 3 < c 0 < c 5 < c 4 < c 7 < c 10 < c 9 < c 2 ³eklinde yönlendirilebilir. Dijital simpleksler zincir kompleksler a³a daki gibi olu³turulabilir: C 6 0(MSS 6 MSS 6) zincirinin bir baz {< c 0 >, < c 1 >, < c 2 >,..., < c 10 >} ve C 6 1(MSS 6 MSS 6) zincirinin bir baz {< c 1 c 0 >, < c 0 c 4 >, < c 1 c 2 >, < c 1 c 5 >, < c 6 c 2 >, < c 3 c 2 >, < c 3 c 9 >, < c 3 c 10 >, < c 5 c 4 >, < c 4 c 7 >, < c 6 c 5 >, < c 8 c 7 >, < c 8 c 9 >, < c 8 c 10 >, < c 6 c 7 >, < c 6 c 9 >} ³eklindedir. Böylece 0 2 C1(MSS 6 6 MSS 6) 1 C0(MSS 6 6 MSS 6) 0 0 ksa dizisi elde edilir. Teorem 2.1.2'den her n 2 için H 6 n(mss 6 MSS 6) a³ikar gruptur. Ayrca yukardaki ksa diziden, Im 2 = {0} ve Ker 0 = Z 11 sonucuna ula³lr. imdi homomorzm 1 in görüntüsünü hesaplayalm: 1 (α 1 < c 1 c 0 > +α 2 < c 0 c 4 > +α 3 < c 1 c 2 > +α 4 < c 1 c 5 > +α 5 < c 6 c 2 > +α 6 < c 3 c 2 > +α 7 < c 3 c 9 > +α 8 < c 3 c 10 > +α 9 < c 5 c 4 > +α 10 < c 4 c 7 > + α 11 < c 6 c 5 > +α 12 < c 8 c 7 > +α 13 < c 8 c 9 > +α 14 < c 8 c 10 > +α 15 < c 6 c 7 > +α 16 < c 6 c 9 >) = α 1 < c 0 > α 1 < c 1 > +α 2 < c 4 > α 2 < c 0 > +α 3 < c 2 > α 3 < c 1 >

34 16 +α 4 < c 5 > α 4 < c 1 > +α 5 < c 2 > α 5 < c 6 > +α 6 < c 2 > α 6 < c 3 > +α 7 < c 9 > α 7 < c 3 > +α 8 < c 10 > α 8 < c 3 > +α 9 < c 4 > α 9 < c 5 > +α 10 < c 7 > α 10 < c 4 > +α 11 < c 5 > α 11 < c 6 > +α 12 < c 7 > α 12 < c 8 > +α 13 < c 9 > α 13 < c 8 > +α 14 < c 10 > α 14 < c 8 > + α 15 < c 7 > α 15 < c 6 > +α 16 < c 9 > α 16 < c 6 > = (α 1 α 2 ) < c 0 > +( α 1 α 3 α 4 ) < c 1 > +(α 3 + α 5 + α 6 ) < c 2 > + ( α 6 α 7 α 8 ) < c 3 > +(α 2 + α 9 α 10 ) < c 4 > +(α 4 α 9 + α 11 ) < c 5 > + ( α 5 α 11 α 15 α 16 ) < c 6 > +(α 10 + α 12 + α 15 ) < c 7 > + ( α 12 α 13 α 14 ) < c 8 > +(α 7 + α 13 + α 16 ) < c 9 > +(α 8 + α 14 ) < c 10 > ifadesini göz önünde bulunduralm. E er α 1 α 2 = a 1, α 1 α 3 α 4 = a 2, α 3 + α 5 + α 6 = a 3, α 6 α 7 α 8 = a 4, α 2 + α 9 α 10 = a 5, α 4 α 9 + α 11 = a 6, α 5 α 11 α 15 α 16 = a 7, α 10 + α 12 + α 15 = a 8, α 12 α 13 α 14 = a 9, α 7 + α 13 + α 16 = a 10, α 8 + α 14 = a 11, olarak alnrsa, a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 8 +a 9 +a 10 +a 11 = a 7 e³itli i elde edilir. Buradan Im 1 = Z 10 dur. 1 in çekirde i a³a daki gibi hesaplanabilir. 1 (α 1 < c 1 c 0 > +α 2 < c 0 c 4 > +α 3 < c 1 c 2 > +α 4 < c 1 c 5 > +α 5 < c 6 c 2 > +α 6 < c 3 c 2 > +α 7 < c 3 c 9 > +α 8 < c 3 c 10 > +α 9 < c 5 c 4 > +α 10 < c 4 c 7 > +α 11 < c 6 c 5 > +α 12 < c 8 c 7 > +α 13 < c 8 c 9 > +α 14 < c 8 c 10 > +α 15 < c 6 c 7 > +α 16 < c 6 c 7 >) = 0

35 17 denkleminden a³a daki ifadeler elde edilir: α 1 α 2 = 0, α 1 α 3 α 4 = 0, α 3 + α 5 + α 6 = 0, α 6 α 7 α 8 = 0, α 2 + α 9 α 10 = 0, α 4 α 9 + α 11 = 0, α 5 α 11 α 15 α 16 = 0, α 10 + α 12 + α 15 = 0, α 12 α 13 α 14 = 0, α 7 + α 13 + α 16 = 0, α 8 + α 14 = 0. Buradan Z1(MSS 6 6 MSS 6) = {α 1 < c 1 c 0 > +α 2 < c 0 c 4 > +α 3 < c 1 c 2 > + ( α 1 α 4 ) < c 1 c 5 > +α 5 < c 6 c 2 > +( α 3 α 5 ) < c 3 c 2 > + α 7 < c 3 c 9 > +(α 3 + α 5 α 7 ) < c 3 c 10 > +α 9 < c 5 c 4 > +(α 1 + α 9 ) < c 4 c 7 > +(α 9 + α 1 + α 3 ) < c 6 c 5 > +α 12 < c 8 c 7 > +(α 3 + α 5 α 7 α 12 ) < c 8 c 9 > +( α 3 α 5 + α 7 ) < c 8 c 10 > +( α 1 α 9 α 12 ) < c 6 c 7 > + ( α 3 α 5 + α 12 ) < c 6 c 7 > α i Z, i = 1, 3, 5, 7, 9, 12} = Z 6 elde edilir. Böylece istenilen sonuca ula³lr. Önerme MSS 6 MSS 6 dijital yüzeyinin Euler karakteristi i 22 dir. spat. ekil 3.1: MSS 6 MSS 6 MSS 6 MSS 6 dijital ba lantl toplam yüzeyi (Bkz ekil 3.1) a³a daki gibi yönlendirilebilir:

36 18 d 20 < d 7 < d 0 < d 1 < d 2 < d 3 < d 4 < d 5 < d 28 < d 11 < d 25 < d 26 < d 27 < d 13 < d 17 < d 16 < d 18 < d 19 < d 21 < d 6 < d 8 < d 9 < d 10 < d 12 < d 14 < d 15 < d 22 < d 23 < d 24. MSS 6 MSS 6 yüzeyi {< d 0 >, < d 1 >, < d 2 >,..., < d 28 >} 29 tane 0-simplekse ve {< d 7 d 0 >, < d 0 d 13 >, < d 0 d 1 >, < d 0 d 8 >, < d 1 d 2 >, < d 1 d 22 >, < d 1 d 27 >, < d 2 d 3 >, < d 2 d 26 >, < d 2 d 23 >, < d 3 d 4 >, < d 3 d 25 >, < d 3 d 24 >, < d 4 d 5 >, < d 4 d 11 >, < d 4 d 10 >, < d 5 d 15 >, < d 5 d 28 >, < d 6 d 8 >, < d 6 d 14 >, < d 7 d 6 >, < d 7 d 17 >, < d 20 d 7 >, < d 8 d 9 >, < d 8 d 22 >, < d 9 d 10 >, < d 9 d 14 >, < d 9 d 23 >, < d 10 d 24 >, < d 28 d 10 >, < d 11 d 12 >, < d 11 d 15 >, < d 11 d 25 >, < d 13 d 12 >, < d 16 d 12 >, < d 26 d 12 >, < d 28 d 14 >, < d 16 d 15 >, < d 17 d 16 >, < d 16 d 18 >, < d 17 d 19 >, < d 18 d 19 >, < d 18 d 21 >, < d 20 d 19 >, < d 22 d 23 >, < d 23 d 24 >, < d 25 d 26 >, < d 26 d 27 >, < d 13 d 17 >, < d 27 d 13 >, < d 20 d 21 >} 51 tane 1 simplekse sahiptir. MSS 6 MSS 6 daki (6, q)-simplekslerin says α q olmak üzere m χ(mss 6 MSS 6, 6) = ( 1) q α q = ( 1) 0.29+( 1) 1.51+( 1) 2.0+ = 22 q=0 elde edilir. Teorem MSS 6 MSS 6 nn dijital simpleksler homoloji gruplar H0(MSS 6 6 MSS 6 ) = Z, H1(MSS 6 6 MSS 6 ) = Z 23 ve her n 0, 1 için Hn(MSS 6 6 MSS 6 ) = {0} dr. spat. MSS 6 MSS 6 = {d 0 = (1, 2, 0), d 1 = (1, 3, 0), d 2 = (0, 3, 0), d 3 = ( 1, 3, 0), d 4 = ( 1, 2, 0), d 5 = ( 1, 1, 0), d 6 = (1, 1, 1), d 7 = (1, 1, 0), d 8 = (1, 2, 1), d 9 = (0, 2, 1), d 10 = ( 1, 2, 1), d 11 = ( 1, 2, 1), d 12 = (0, 2, 1), d 13 = (1, 2, 1), d 14 = (0, 1, 1), d 15 = ( 1, 1, 1), d 16 = (0, 1, 1), d 17 = (1, 1, 1), d 18 = (0, 0, 1), d 19 = (1, 0, 1), d 20 = (1, 0, 0), d 21 = (0, 0, 0), d 22 = (1, 3, 1), d 23 = (0, 3, 1), d 24 = (1, 3, 1), d 25 = ( 1, 3, 1), d 26 = (0, 3, 1), d 27 = (1, 3, 1), d 28 = (1, 1, 1)} yüzeyi a³a daki gibi yönlendirilsin: d 20 < d 7 < d 0 < d 1 < d 2 < d 3 < d 4 < d 5 < d 28 < d 11 < d 25 < d 26 < d 27 <

37 19 d 13 < d 17 < d 16 < d 18 < d 19 < d 21 < d 6 < d 8 < d 9 < d 10 < d 12 < d 14 < d 15 < d 22 < d 23 < d 24. C 6 0(MSS 6 MSS 6 ) zincir grubunun bir baz {< d 0 >, < d 1 >, < d 2 >,..., < d 28 >} ve C 6 1(MSS 6 MSS 6 ) zincir grubunun bir baz {< d 7 d 0 >, < d 0 d 13 >, < d 0 d 1 >, < d 0 d 8 >, < d 1 d 2 >, < d 1 d 22 >, < d 1 d 27 >, < d 2 d 3 >, < d 2 d 26 >, < d 2 d 23 >, < d 3 d 4 >, < d 3 d 25 >, < d 3 d 24 >, < d 4 d 5 >, < d 4 d 11 >, < d 4 d 10 >, < d 5 d 15 >, < d 5 d 28 >, < d 6 d 8 >, < d 6 d 14 >, < d 7 d 6 >, < d 7 d 17 >, < d 20 d 7 >, < d 8 d 9 >, < d 8 d 22 >, < d 9 d 10 >, < d 9 d 14 >, < d 9 d 23 >, < d 10 d 24 >, < d 28 d 10 >, < d 11 d 12 >, < d 11 d 15 >, < d 11 d 25 >, < d 13 d 12 >, < d 16 d 12 >, < d 26 d 12 >, < d 28 d 14 >, < d 16 d 15 >, < d 17 d 16 >, < d 16 d 18 >, < d 17 d 19 >, < d 18 d 19 >, < d 18 d 21 >, < d 20 d 19 >, < d 22 d 23 >, < d 23 d 24 >, < d 25 d 26 >, < d 26 d 27 >, < d 13 d 17 >, < d 27 d 13 >, < d 20 d 21 >} ³eklindedir. 0 2 C1(MSS 6 6 MSS 6 ) 1 C0(MSS 6 6 MSS 6 ) 0 0 ksa dizisini göz önünde bulunduralm. Teorem 2.1.2'den, her n 2 için H 6 n(mss 6 MSS 6 ) a³ikar gruptur. Ksa diziden Im 2 = 0 ve Ker 0 = Z 29 oldu u açktr boyutlu matris için MATLAB program kullanlarak bu matrisin ranknn 28 oldu u sonucuna ula³lr. Buradan Im 1 = Z 28 dir. Önerme 3.0.1'den χ(mss 6 MSS 6, 6) = 22 oldu unu biliyoruz. Euler karakteristi inin tanmndan χ(mss 6 MSS 6, 6) = n q=0 ( 1)q rank H 6 q (MSS 6 MSS 6 ) 22 = ( 1) ( 1) 1.H 6 1(MSS 6 MSS 6 ) + ( 1) olup buradan rank(h 6 1(MSS 6 MSS 6 )) = 23 elde edilir. Sonuç MSS 18 MSS 18 dijital yüzeyinin Euler karakteristi i 2 dir. spat. Teorem ve Teorem den e³itli i mevcuttur. χ(mss 18 MSS 18) = χ(mss 18) = 2

38 20 Sonuç MSS 18 MSS 18 yüzeyinin dijital simpleksler homoloji gruplar a³a daki gibidir: H 6 0(MSS 18 MSS 18) = Z, H 6 2(MSS 18 MSS 18) = Z ve her n 0, 2 için H 6 n(mss 18 MSS 18) = {0}. spat. Teorem 2.1.3' den, MSS 18 MSS 18 (18,18) MSS 18 izomorzmas vardr. Teorem ve Teorem den ispat tamamlanr. Teorem MSS 6 MSS 6 nin dijital simplekler homoloji gruplar a³a daki gibidir. Hn(MSS 6 6 MSS 6) = Z, n = 0 Z 23, n = 1 0, n 0, 1. spat. Sonuç den, MSS 6 MSS 6 (6,6) MSS 6 MSS 6 izomorzmas mevcuttur. Di er taraftan iki dijital görüntü birbirine izomork ise simpleksler homoloji gruplar birbirine e³it oldu undan istenen sonuç elde edilir. Sonuç χ(mss 6 MSS 6) = 5 dir. spat. Teorem ve Euler karakteristi inin tanmndan χ(mss 6 MSS 6) = n ( 1) q rank Hq 6 (MSS 6 MSS 6) q=0 = ( 1) ( 1) ( 1) = 5 bulunur.

39 21 4 D J TAL S ME (SMASH) ÇARPIM Sime³ çarpm cebirsel topoloji alannda oldukça kullanlmaktadr. Ayrca sime³ çarpmlar snandrma programlarnda önemli bir yere sahiptir. Bu operatör sime³ çarpm cebirleri arasndaki homoloji boyutlarnn ba lantsn vermektedir. Hopf cebir teorisinin geli³mesiyle, bu alandaki çal³malar sime³ çarpm cebiri altnda toplanm³tr. Sime³ çarpmn birle³meli ve da lmal olmas devirli homoloji gruplarnn kolaylkla hesaplanmasn sa lar. Noktal simpleksler kümesi kategorisinde, sime³ çarpmlar bir simetrik monomial çarpmdr. Ayrca simetrik spektrann sime³ çarpmlar, simetrik küre spektrumu üzerinde tensör çarpm olarak tanmlanr. Sime³ çarpm ve fonksiyon spektra arasndaki denklik istikrarl homotopi kategorisi ve bir modülün türev kategorisi arasndaki denklik tarafndan sa land ndan homoloji ve kohomoloji teorisi in³a edilebilir. Bu bölümde dijital görüntüler için sime³ çarpm tanmlanacaktr. Bu operatörün birle³meli, da lmal ve de i³meli oldu u gösterilecektir. Son olarak sime³ çarpm yardmyla dijital koni ve dijital süspansiyon tanmlar verilecektir. Tanm (X, κ) ve (Y, λ) dijital görüntüler olsun. X Y kümesi X Y nin bir alt kümesi olmak üzere X Y sime³(smash) çarpm (X Y )/(X Y ) dijital bölüm uzay olarak tanmlanr. Teorem Bir A indeks kümesinin tüm a elemanlar için (X a, κ) ve (Y a, λ) dijital görüntüler olsun. Her a A için f a (κ,λ) g a : X a Y a iken A kümesinin kardinalitesi n olmak üzere a A f a (κ n,λ n ) a A g a dr. spat. Her a A için [0, m] Z bir dijital aralk olmak üzere F a : X a [0, m] Z Y a dönü³ümü f a ile g a arasnda bir dijital (κ, λ)-homotopi olsun. Her a A için F a dijital sürekli fonksiyon oldu undan t [0, m] Z olmak üzere F : ( a A X a ) [0, m] Z a A Y a F ((x a ), t) (F a (x a, t))

40 22 ³eklinde tanmlanan dönü³üm dijital süreklidir. Bu nedenle F dönü³ümü, a A f a ve a A g a arasnda bir (κ n, λ n )-homotopidir. Teorem Her a A için f a : (X a, κ) (Y a, λ) dönü³ümü (κ, λ)- homotopi denk ise, A kümesinin kardinalitesi n olmak üzere a A f a bir dijital (κ n, λ n )-homotopi denkliktir. spat. Her a A için g a : Y a X a dönü³ümü f a nn (λ, κ)-homotopi tersi olsun. Böylece a³a daki homotopiler mevcuttur: ( a A ( a A g a ) ( a A f a ) ( a A f a ) = a A(g a f a ) (λ n,κ n ) (1 Xa ) = 1, a A Xa a A g a ) = a A(f a g a ) (κ n,λ n ) (1 Ya ) = 1. a A Ya a A Böylece a A f a bir dijital (κ n, λ n )-homotopi denkliktir. Teorem (X, κ), (Y, λ) ve (Z, σ) birer dijital görüntü olsun. p : (X, κ) (Y, λ) bir (κ, λ)-çekinik dönü³üm ve (Z, σ) bir σ-ba lantl dijital görüntü ise 1 Z : (Z, σ) (Z, σ) birim dönü³üm olmak üzere p 1 : (X Z, k (κ, σ)) (Y Z, k (λ, σ)) ((κ, σ), (λ, σ))-çekinik dönü³ümdür. spat. (Z, σ), σ-ba lantl dijital görüntü oldu undan her y Y ve z Z için (p 1 Z ) 1 (y, z) = (p 1 (y), 1 1 Z (z)) = (p 1 (y), z) e³itli i vardr. Dijital görüntüler üzerinde kartezyen çarpm yaknl ndan her y Y ve z Z için (p 1 Z ) 1 (y, z) kümesi κ-ba lantldr. z 0 ve z 1, σ-yakn olacak ³ekilde her z 0, z 1 Z için 1 Z ({z 0, z 1 }) = {z 0, z 1 } kümesi σ-ba lantldr. Bu durumdan a³a daki e³itlik (p 1 Z ) 1 ({y 0, y 1 }, {z 0, z 1 }) = (p 1 ({y 0, y 1 }), 1 1 Z ({z 0, z 1 })) = (p 1 ({y 0, y 1 }), ({z 0, z 1 })) elde edilir. Sonuç olarak her y 0, y 1 Y ve z 0, z 1 Z için (p 1 Z ) 1 ({y 0, y 1 }, {z 0, z 1 }) bir (κ, λ)-ba lantl kümedir.

41 23 Teorem (X, κ) ile (Y, λ) dijital görüntüler ve A ile B srasyla X ve Y nin alt kümeleri olsun. f (κ,λ) g olacak ³ekilde f, g : (X, A) (Y, B) dönü³ümleri (κ, λ)-sürekli ise bu dönü³ümlerin indirgedi i dönü³ümler f, ḡ : (X/A, κ) (Y/B, λ) dijital (κ, λ)-homotopiktir. spat. I = [0, m] Z olmak üzere F : (X I, A I) (Y, B) dönü³ümü f ve g arasnda bir (κ, λ)-homotopi olsun. p ve q çekinik dönü³ümler olmak üzere F dönü³ümü, a³a daki diyagram de i³meli yapan bir F : (X/A) I Y/B dönü³ümünü indirger. X I F Y p 1 (X/A) 1 F q Y/B q F dijital sürekli oldu undan, p 1 bir çekinik dönü³üm ve F (p 1) = q F dir. Böylece F bir dijital sürekli dönü³ümdür. Sonuç olarak F, f ile ḡ arasnda bir (κ, λ)-homotopi dönü³ümüdür. imdi dijital sime³ çarpma ait baz özellikleri verece iz. A³a daki teorem dijital sime³ çarpmlar ile dijital homotopi arasndaki ili³kiyi ifade etmektedir. Teorem (X, κ), (Y, λ), (A, σ) ve (B, α) dijital görüntüler olsun. f : X A ve g : Y B dijital fonksiyonlar olmak üzere a³a daki özellikleri sa layan bir f g : X Y A B dönü³ümü vardr. (i) h : A C ve k : B D dijital fonksiyonlar ise (h k) (f g) = (h f) (k g) e³itli i vardr. (ii) f (κ,σ) f : X A ve g (λ,α) g : Y B ise f g (k (κ,λ),k (σ,α)) f g homotopisi mevcuttur. spat. f g : X Y A B dijital fonksiyonu (f g)(x Y ) A B

42 24 özelli ine sahiptir. f g fonksiyonu f g : X Y A B dönü³ümünü indirger. Di er taraftan, f g ve f g arasnda bir F dijital homotopi dönü³ümü a³a daki gibi tanmlanr. f (κ,σ) f ve g (λ,α) g oldu undan Teorem 4.0.1' den f g (k (κ,λ),k (σ,α)) f g elde edilir. F dönü³ümü, (X Y, X Y ) den (A B, A B) ye bir dijital homotopidir. Böylece Teorem 'den f g ile f g arasnda bir dijital homotopi in³a edilebilir. Teorem f ve g dijital homotopi denklikler ise f g de bir dijital homotopi denkliktir. spat. f : (X, κ) (Y, λ) dönü³ümü (κ, λ)-homotopi denklik olsun. Bu durumda f f (λ,λ) 1 Y ve f f (κ,κ) 1 X olacak ³ekilde bir (λ, κ)-sürekli f : (Y, λ) (X, κ) fonksiyonu vardr. g : (A, σ) (B, α) dönü³ümü (σ, α)-homotopi denklik olsun. O halde g g (α,α) 1 B ve g g (σ,σ) 1 A olacak ³ekilde bir (α, σ)-sürekli g : (B, α) (A, σ) fonksiyonu vardr. Teorem 'den (f g) (f g ) = 1 Y B, (f f ) (g g ) = 1 Y B, (f g ) (f g) = 1 X A, (f f) (g g) = 1 X A olacak ³ekilde f g : X A Y B ve f g : Y B X A dönü³ümleri vardr. Sonuç olarak, f g bir dijital homotopi denkliktir. A³a daki teoremde dijital sime³ çarpmn birle³meli oldu u gösterilmi³tir.

43 25 Teorem (X, κ), (Y, λ) ve (Z, σ) dijital görüntüler olsun. (X Y ) Z ile X (Y Z) dijital izomork görüntülerdir. spat. X Y X Y formundaki dijital çekinik dönü³ümler p ile temsil edilsin. A³a daki gibi bir diyagram olu³turulabilir: X Y Z p 1 (X Y ) Z 1 X Y Z 1 p X (Y Z) p (X Y ) Z f X (Y Z) Burada p 1 ve 1 p Teorem 'den dolay birer çekinik dönü³ümdür. 1 : X Y Z X Y Z dönü³ümü f : (X Y ) Z X (Y Z) p ve g : X (Y Z) (X Y ) Z dijital fonksiyonlarn indirger. Bu dönü³ümlerin injektif oldu u açktr. Teorem 'den f bir dijital izomorzmadr. Teorem (X, κ), (Y, λ) ve (Z, σ) dijital görüntüler olsun. (X Y ) Z ve (X Z) (Y Z) dijital izomork görüntülerdir. spat. X Y X Y formundaki dijital çekinik dönü³ümler p ve X Y X Y formundaki dijital çekinik dönü³ümler q ile gösterilsin. A³a daki diyagram göz önünde bulunduralm. (X Y ) Z m (X Z) (Y Z) p (X Y ) Z p p (X Z) (Y Z) q 1 (X Y ) Z f (X Z) (Y Z) Teorem 4.4'den (Boxer, 2017a), p p bir dijital çekinik dönü³ümdür. Ayrca q 1 de Teorem 4.0.3'den dolay bir dijital çekinik dönü³ümdür. m : (X Y ) Z (X Z) (Y Z) dijital fonksiyonu f : (X Z) (Y Z) (X Z) (Y Z) q

44 26 dijital dönü³ümünü indirger. f injektiftir ve Teorem 'den f bir dijital izomorzmadr. Teorem (X, κ), (Y, λ) ve (Z, σ) dijital görüntüler olsun. X Y ile Y X dijital izomork görüntülerdir. spat. X Y X Y formundaki dijital çekinik dönü³ümler p ve Y X Y X formundaki dijital çekinik dönü³ümler q ile gösterilsin. A³a daki diyagram elde edilebilir: X Y p X Y u : X Y Y X dijital dönü³ümü u f Y X q Y X f : X Y Y X dijital fonksiyonunu indirger. f injektiftir ve Teorem 2.1.1'den f bir dijital izomorzmadr. Tanm Bir X dijital görüntünün sx dijital süspansiyonu X S 1 olarak tanmlanr. Örnek X = S 0 gösterilmektedir. dijital 0-küresinin dijital süspansiyonu ekil 4.1'de ekil 4.1: S 1 S 0 ve S 1 S 0 Teorem X bir dijital görüntü ve x 0 bu görüntünün baz noktas olsun. [a, b] Z dijital aral nn kardinalitesi 8 olmak üzere sx dijital görüntüsü (X [a, b] Z )/(X {a} {x 0 } [a, b] X {b}) dijital bölüm uzayna izomorktir.

45 27 spat. c i S 1 ve i {0, 1,..., 7} olmak üzere θ(t i ) = c i mod 8 ile tanmlanan [a, b] Z θ S 1 dijital fonksiyonlarn bile³kesi bir dijital çekinik dönü³ümdür. p : X S 1 X S 1 dijital çekinik dönü³üm ise 1 θ p X [a, b] Z X S 1 X S 1 bile³ke dönü³ümü de çekinik dönü³ümdür. Bu nedenle, p(1 θ) dönü³ümü (X [a, b] Z )/(X {a} {x 0 } [a, b] Z X {b}) X S 1 = sx dijital izomorzmasn indirger. Tanm Bir X dijital görüntüsünün cx dijital koni uzay I = [0, 1] Z olmak üzere X I olarak tanmlanr. Örnek X = S 0 gibidir: dijital 0-küresinin dijital koni uzay ekil 4.2'deki ekil 4.2: S 0 I ve S 0 I Teorem (X, κ) herhangi bir dijital görüntü olmak üzere cx büzülebilirdir. spat. I = [0, 1] Z dijital aral büzülebilir oldu undan cx = X I (κ,2) X {0} bir tek noktadr. Sonuç Her m N için I = [0, 1] Z dijital aralk ve S 0 dijital 0-küre olmak üzere S m I = S m S 0 dr. spat. S 0 ve I iki nokta içerdi inden iki dijital görüntü birbirine e³ittir.

46 28 5 KHALIMSKY D J TAL UZAYLARI Ç N KOHOMOLOJ GRUPLARI Khalimsky topolojisi tam saylar do rusu üzerinde tanmlanan bir topolojidir. Dijital ortamda kullanlan bu topoloji 1960'l yllarda Em Khalimsky tarafndan ortaya atlm³tr. Vergili ve Karaca (Vergili and Karaca, 2015) dijital uzaylarn dijital singüler homoloji gruplarn incelemi³tir. kinci boyuta kadar baz dijital uzaylarn homoloji gruplarn hesaplam³lardr. Ayrca (Vergili and Karaca, 2018) bir Khalimsky dijital uzayn singüler relatif homoloji gruplarn incelemi³tir. Bu bölümde, Khalimsky topolojisi ile donatlm³ dijital uzaylarn kohomoloji gruplar incelenecektir. Ayrca kohomoloji teorisi için Eilenberg- Steenrod aksiyomlar, evrensel katsay teoremi ve Künneth formülü ele alnacaktr. Son olarak, cup çarpm in³a edilecek ve bu çarpmn baz özellikleri incelenecektir. 5.1 Khalimsky Topolojisi Bu bölümde, Khalimsky dijital topolojisi tantlacak ve böylece dijital görüntüler bir topoloji ile donatlm³ olacaktr. {n}, n tek B(n) = {n 1, n, n + 1}, n çift. ekil 5.1: B(n) kümesinin görüntüsü B = {B(n) : n Z} baz kümesi tarafndan üretilen topolojiye Khalimsky dijital do ru topolojisi (Khalimsky, Kopperman and Meyer, 1991) denir. m > 1 için Z m üzerindeki topoloji a³a daki gibi bir çarpm topolojisi

47 29 olarak dü³ünülebilir. m B = { B(n i ) : B(n i ), Z üzerinde bir baz}. i=1 (X, κ) Z m bir dijital görüntü olsun. X üzerindeki topolojinin bir baz a³a daki gibidir: m B = {X B(n i ) : B(n i ), Z üzerinde bir baz}. i=1 Khalimsky topolojisi ile donatlm³ X dijital görüntüsü üzerindeki topolojik uzay (X m,κ, τ X ) ile gösterilecektir. (X m,κ, τ X ) bir dijital uzay ve x bu uzayda bir nokta olsun. x noktasnn kom³ulu u x noktasnn bir G aç n içeren N x kümesidir. (X m1,κ 1, τ X ) ve (X m2,κ 2, τ Y ) Khalimsky dijital uzaylar olsun. f : (X m1,κ 1, τ X ) (X m2,κ 2, τ Y ) dönü³ümü f(x) i içeren Y nin tüm açk G f(x) alt kümeleri için, f 1 (G f(x) ) kümesi x i içeren X in açk bir alt kümesi ise f dönü³ümüne x noktasnda sürekli fonksiyon denir (Han, 2007). Tanm (Han, 2007) Bir f : (X m1,κ 1, τ X ) (X m2,κ 2, τ Y ) dönü³ümü için a³a daki ko³ullar sa lansn: i) f, x noktasnda süreklidir, ii) Her N κ2 (f(x), ɛ) Y için ɛ, δ N olmak üzere f(n κ1 (x, δ)) N κ2 (f(x), ɛ) olacak ³ekilde bir N κ1 (x, δ) X vardr. Bu durumda f dönü³ümüne x noktasnda KD-(κ 1, κ 2 ) sürekli fonksiyon denir. f, X in her noktasnda KD- (κ 1, κ 2 ) sürekli ise f ye KD-(κ 1, κ 2 ) sürekli denir. Ayrca f dönü³ümü bijektif ve tersi de KD-(κ 1, κ 2 ) sürekli ise bu dönü³üme KD-(κ 1, κ 2 ) izomorzma denir. n 0 için e 0 = (0, 0,..., 0) ve 1 < i n için e i = (i 1, i 2,..., i n ) olsun. e i nin bile³enleri 1, m i i m = 0, m > i ³eklinde tanmlanr (Vergili and Karaca, 2015). Ayrca standart n simpleksler n = [e 0, e 1,..., e n ]

48 30 ile temsil edilecektir. ekil 5.2 de n = 0, 1, 2, 3 için n resmedilmektedir. ekil 5.2: 0, 1, 2 ve 3 n = [e 0, e 1,..., e n ] standart n-simpleks olsun. Bu simpleksin kö³eleri üzerinde lineer sralama varsa n bir yönlü simpleks denir. Ayrca simpleksin yüzlerinin indirgedi i yönlendirme ( 1) i [e 0,..., ê i,..., e n ] ³eklinde ifade edilir. Burada ê i, i. bile³enin silinmesi anlamna gelmektedir (Vergili and Karaca, 2015). (X m,κ, τ X ) Khalimsky dijital uzay olsun. KD-(2 n 1, κ)-sürekli σ n : X dönü³ümüne X üzerinde dijital singüler n-simpleks denir (Vergili and Karaca, 2015). n 0 için S n (X), bir Khalimsky dijital uzay X deki tüm dijital singüler n simpleksleri baz kabul eden serbest abel grup olsun. S n (X) in elemanlarna dijital singüler n-zincir denir. Tanm (Vergili and Karaca, 2015) ɛ i := ɛ n i kö³e noktalar üzerinde : n 1 n dönü³ümü ɛ n i : (t 0, t 1,..., t n 1 ) (t 0, t 1,..., t i 1, 0, t i,..., t n 1 ) ³eklinde tanmlansn. ɛ i dönü³ümüne i. yüz dönü³ümü denir. Tanm (Vergili and Karaca, 2015) (X m,κ τ X ) bir Khalimsky dijital uzay ve σ n : X singüler dijital n-simpleks olsun. n : S n (X) S n 1 (X) σ n n (σ n ) = n ( 1) j σ n ɛ n j j=0

49 31 dönü³ümüne snr homomorzmas denir ve... n+1 S n (X) n S n 1 (X) n S 1 (X) 1 S 0 (X) 0 0 dizisine X uzaynn singüler zincir kompleksi denir ve S (X) ile gösterilir. Tanm (Vergili and Karaca, 2015) (X m,κ τ X ) bir Khalimsky dijital uzay olsun. Z q (X m,κ τ X ) := Ker q dijital singüler q-devir grubu, B q (X m,κ τ X ) := Im q+1 dijital singüler q-snr grubu, H q (X m,κ τ X ) := Zq(X) B q(x) dijital singüler q. homoloji grubu denir. (X m1,κ 1, τ X ) ve (X m2,κ 2, τ Y ) Khalimsky dijital uzaylar olsun. Bu iki uzay KD-(κ 1, κ 2 ) izomork ise her n 0 için H n (X) = H n (Y ) dir (Vergili and Karaca, 2018). X, Z m de tek noktal bir dijital görüntü ise her n > 0 için H n (X) = {0} dr. X yol ba lantl Khalimsky dijital uzay olmak üzere H 0 (X) = Z dir (Vergili and Karaca, 2015). 5.2 Baz Dijital Görüntülerin Singüler Homoloji Gruplar Teorem X = {a = (0, 1), b = ( 1, 0), c = (0, 0), d = (1, 0)} Z 2 bir dijital görüntü olsun. X uzaynn singüler homoloji gruplar Z, n = 0 H n (X) = 0, n = 1, 2 ³eklindedir. spat. X üzerindeki Khalimsky topolojisinin bir baz B(X) = {{a}, {b}, {d}, X} olsun. X uzaynn dijital singüler zincir dönü³ümleri a³a daki gibidir: S 0 (X) serbest abel grubunun bazlar, σ 0 1 : e 0 a σ 0 2 : e 0 b σ 0 3 : e 0 c σ 0 4 : e 0 d S 1 (X) serbest abel grubunun bazlar, σ 1 1 : e 0 a σ 1 2 : e 0 b σ 1 3 : e 0 c σ 1 4 : e 0 d e 1 a e 1 b e 1 c e 1 d

50 32 σ 1 5 : e 0 c e 1 a σ 1 6 : e 0 c e 1 b σ 1 7 : e 0 c e 1 d S 2 (X) serbest abel grubunun bazlar, σ 2 1 : e 0 a σ 2 2 : e 0 b σ 2 3 : e 0 c σ 2 4 : e 0 d e 1 a e 1 b e 1 c e 1 d e 2 a e 2 b e 2 c e 2 d σ 2 5 : e 0 c σ 2 6 : e 0 c σ 2 7 : e 0 c σ 2 8 : e 0 c e 1 c e 1 c e 1 c e 1 a e 2 a e 2 b e 2 d e 2 a σ 2 9 : e 0 c σ 2 10 : e 0 c e 1 b e 1 d e 2 b e 2 d S 3 (X) serbest abel grubunun bazlar, σ 3 1 : e 0 a σ 3 2 : e 0 b σ 3 3 : e 0 c σ 3 4 : e 0 d e 1 a e 1 b e 1 c e 1 d e 2 a e 2 b e 2 c e 2 d e 3 a e 3 b e 3 c e 3 d σ 3 5 : e 0 c σ 3 6 : e 0 c σ 3 7 : e 0 c σ 3 8 : e 0 c e 1 c e 1 c e 1 a e 1 c e 2 c e 2 a e 2 a e 2 c e 3 a e 3 a e 3 a e 3 b σ 3 9 : e 0 c σ 3 10 : e 0 c σ 3 11 : e 0 c σ 3 12 : e 0 c e 1 c e 1 b e 1 c e 1 c e 2 b e 2 b e 2 c e 2 d e 3 b e 3 b e 3 d e 3 d

51 33 σ13 3 : e 0 c e 1 d e 2 d e 3 d ³eklindedir. Bu baz elemanlar dikkate alnrsa a³a daki izomorzmalar elde edilir: S 0 (X) = Z 4, S 1 (X) = Z 7, S 2 (X) = Z 10, S 3 (X) = Z 13. imdi her bir dijital singüler n-zincirin devir ve snr gruplar belirlenebilir. Her σ 1 i S 1 (X) için 1 : S 1 (X) S 0 (X) dönü³ümü 1 (σ 1 i ) = σ 1 i (e 1 ) σ 1 i (e 0 ), i = 1, 2,..., 7 ³eklinde tanmlanmasndan 1 (σ1) 1 = σ1 0 σ1 0 = 0 1 (σ2) 1 = σ2 0 σ2 0 = 0 1 (σ3) 1 = σ3 0 σ3 0 = 0 1 (σ4) 1 = σ4 0 σ4 0 = 0 1 (σ5) 1 = σ1 0 σ3 0 1 (σ6) 1 = σ2 0 σ3 0 1 (σ7) 1 = σ4 0 σ3 0 e³itlikleri mevcuttur. Böylece Im 1 = Z 3 dür. imdi 1 in çekirde ini bulalm. s i Z olmak üzere 7 1 ( s i σi 1 ) = 0 olsun. 1 lineer oldu undan dr. Bu ifadeden 12 i=1 i=1 s i 1 (σ 1 i ) = 0 σ 0 1(s 5 ) + σ 0 2(s 6 ) + σ 0 3( s 5 s 6 s 7 ) + σ 0 4(s 7 ) = 0 denklemine ula³lr. Böylece s 5 = s 6 = s 7 = 0 dr ve Ker 1 = Z 4 bulunur.

52 34 2 : S 2 (X) S 1 (X) dönü³ümü σ 2 i S 2 (X) için 2 (σ 2 i ) = σ 2 i [e 1, e 2 ] σ 2 i [e 0, e 2 ] + σ 2 i [e 0, e 1 ], i = 1, 2,..., 10 ³eklinde tanmland ndan, 2 (σ1) 2 = σ1 1 σ1 1 + σ1 1 = σ1, 1 2 (σ2) 2 = σ2 1 σ2 1 + σ2 1 = σ2, 1 2 (σ3) 2 = σ3 1 σ3 1 + σ3 1 = σ3, 1 2 (σ4) 2 = σ4 1 σ4 1 + σ4 1 = σ4, 1 2 (σ5) 2 = σ5 1 σ5 1 + σ3 1 = σ3, 1 2 (σ6) 2 = σ6 1 σ6 1 + σ3 1 = σ3, 1 2 (σ7) 2 = σ7 1 σ7 1 + σ3 1 = σ3, 1 2 (σ8) 2 = σ1 1 σ5 1 + σ5 1 = σ1, 1 2 (σ9) 2 = σ2 1 σ6 1 + σ6 1 = σ2, 1 2 (σ10) 2 = σ4 1 σ7 1 + σ7 1 = σ4 1 olur ve Im 2 = Z 4 bulunur. s i Z olmak üzere 10 2 ( s i σi 2 ) = 0 ve 2 nin lineerli inden 10 i=1 i=1 s i 2 (σ 2 i ) = 0 yazlabilir. Bu e³itlik düzenlenirse, σ1(s s 8 ) + σ2(s s 9 ) + σ3(s s 5 + s 6 + s 7 ) + σ4(s s 10 ) = 0 elde edilir. Böylece s 1 + s 8 = 0 s 2 + s 9 = 0 s 3 + s 5 + s 6 + s 7 = 0 s 4 + s 10 = 0 bulunur. Sonuç olarak, Ker 2 = Z 6 dr. 3 : S 3 (X) S 2 (X) snr homomorzmas σi 3 S 3 (X) için i = 1, 2,..., 13 olmak üzere 3 (σi 3 ) = σi 3 [e 1, e 2, e 3 ] σi 3 [e 0, e 2, e 3 ] + σi 3 [e 0, e 1, e 3 ] σi 3 [e 0, e 1, e 2 ]

53 35 ise 3 (σ1) 3 = σ1 2 σ1 2 + σ1 2 σ1 2 = 0, 3 (σ2) 3 = σ2 2 σ2 2 + σ2 2 σ2 2 = 0, 3 (σ3) 3 = σ3 2 σ3 2 + σ3 2 σ3 2 = 0, 3 (σ4) 3 = σ4 2 σ4 2 + σ4 2 σ4 2 = 0, 3 (σ5) 3 = σ5 2 σ5 2 + σ5 2 σ3 2 = σ5 2 σ3, 2 3 (σ6) 3 = σ8 2 σ8 2 + σ5 2 σ5 2 = 0, 3 (σ7) 3 = σ1 2 σ8 2 + σ8 2 σ8 2 = σ1 2 σ8, 2 3 (σ8) 3 = σ6 2 σ6 2 + σ6 2 σ3 2 = σ6 2 σ3, 2 3 (σ9) 3 = σ9 2 σ9 2 + σ6 2 σ6 2 = 0, 3 (σ10) 3 = σ2 2 σ9 2 + σ9 2 σ9 2 = σ2 2 σ9, 2 3 (σ11) 3 = σ7 2 σ7 2 + σ7 2 σ3 2 = σ7 2 σ3, 2 3 (σ12) 3 = σ10 2 σ σ7 2 σ7 2 = 0, 3 (σ 3 13) = σ 2 4 σ σ 2 10 σ 2 10 = σ 2 4 σ 2 10 elde edilir. Böylece Im 3 = Z 6 dr. Sonuç olarak H 0 (X) = Z, H 1 (X) = {0}, H 2 (X) = {0} bulunur. Teorem X = {k = ( 1, 0), l = (1, 0), m = (1, 1), n = (0, 1), p = (2, 1)} Z 2 bir dijital görüntü olmak üzere X uzaynn 2. boyuta kadar olan homoloji gruplar H 0 (X) = Z 3, H 1 (X) = {0}, H 2 (X) = {0} ³eklindedir. spat. X üzerindeki Khalimsky topolojisinin bir baz B(X) = {{k}, {m}, {n}, {l, m}, {m, p}, {l, m, p}, {k, l, m, n}} olarak alnabilir. Dijital singüler zincir dönü³ümler a³a daki gibidir. S 0 (X) serbest abel grubunun bazlar, σ 0 1 : e 0 k σ 0 2 : e 0 l σ 0 3 : e 0 m σ 0 4 : e 0 n σ 0 5 : e 0 p

54 36 S 1 (X) serbest abel grubunun baz elemanlar, σ 1 1 : e 0 k σ 1 2 : e 0 l σ 1 3 : e 0 m σ 1 4 : e 0 n e 1 k e 1 l e 1 m e 1 n σ 1 5 : e 0 p σ 1 6 : e 0 l σ 1 7 : e 0 p e 1 p e 1 m e 1 m S 2 (X) serbest abel grubunun bazlar, σ 2 1 : e 0 k σ 2 2 : e 0 l σ 2 3 : e 0 m σ 2 4 : e 0 n e 1 k e 1 l e 1 m e 1 n e 2 k e 2 l e 2 m e 2 n σ 2 5 : e 0 p σ 2 6 : e 0 l σ 2 7 : e 0 l σ 2 8 : e 0 p e 1 p e 1 m e 1 l e 1 m e 2 p e 2 m e 2 m e 2 m σ 2 9 : e 0 p e 1 p e 2 p S 3 (X) serbest abel grubunun baz elemanlar, σ 3 1 : e 0 k σ 3 2 : e 0 l σ 3 3 : e 0 m σ 3 4 : e 0 n e 1 k e 1 l e 1 m e 1 n e 2 k e 2 l e 2 m e 2 n e 3 k e 3 l e 3 m e 3 n σ 3 5 : e 0 p σ 3 6 : e 0 l σ 3 7 : e 0 l σ 3 8 : e 0 l e 1 p e 1 m e 1 l e 1 l e 2 p e 2 m e 2 m e 2 l e 3 p e 3 m e 3 m e 3 m

55 37 σ9 3 : e 0 p e 1 m e 2 m e 3 m σ10 3 : e 0 p e 1 p e 2 m e 3 m σ11 3 : e 0 p e 1 p e 2 p e 3 m Böylece a³a daki izomorzmalar elde edilir: S 0 (X) = Z 5, S 1 (X) = Z 7, S 2 (X) = Z 9, S 3 (X) = Z 11. Her bir dijital singüler n-zincirin devir ve snr gruplar a³a daki gibidir. 1 snr homomorzmas kullanlarak 7 farkl denklem elde edilir. Bu denklemler yardmyla Im 1 = Z 2 elde edilir. Di er taraftan s i Z olmak üzere 7 s i 1 (σi 1 ) = 0 i=1 denkleminden σ2( s 0 6 ) + σ3(s s 7 ) + σ5( s 0 7 ) = 0 ve böylece s 6 = s 7 = 0 bulunur. Sonuç olarak Ker 1 = Z 5 dir. imdi 2 snr dönü³ümü ele alnrsa, elde edilen denklemler çözülerek Im 2 = Z 5 bulunur. Her s i Z için 9 2 ( s i σi 2 ) = 0 e³itli inden hareketle 2 nin lineer olmas kullanlarak 9 s i 2 (σi 2 ) = 0 i=1 i=1 yazlabilir. Bu denklemin düzenlenmesi ile σ 1 1(s 1 ) + σ 1 2(s 2 + s 7 ) + σ 1 3(s 3 + s 6 + s 8 ) + σ 1 4(s 4 ) + σ 1 5(s 5 + s 9 ) = 0 elde edilir. Buradan s 2 + s 7 = 0, s 3 + s 6 + s 8 = 0,

56 38 s 5 + s 9 = 0, denklem sistemi olu³ur. Böylece, Ker 2 = Z 4 dür. Son olarak, 3 dönü³ümü kullanlarak bir denklem sistemi elde edilir. Uygun bir paket program kullanlarak bu denklem sistemi çözülürse Im 3 = Z 4 bulunur. Böylece ispat tamamlanm³ olur. 5.3 Dijital Singüler Kohomoloji Gruplar Bir Khalimsky dijital uzay (X m,κ, τ X ) için, S (X m,κ, τ X ) :... S q+1 (X m,κ, τ X ) q+1 S q (X m,κ, τ X ) q S q (X m,κ, τ X ) bir singüler zincir kompleks olsun. Burada S q (X m,κ, τ X ) serbest de i³meli grup ve her q 0 için q q+1 = 0 dr. Bu bölümde S(X m,κ, τ X ) uzay S(X) ile gösterilecektir. A bir de i³meli grup olsun. Yukardaki zincir komplekse Hom(., A) funktoru uygulanrsa a³a daki uzun dizi elde edilir: Hom(S (X), A) : 0 Hom(S 0 (X), A)... Hom(S q 1 (X), A) Hom( q 1,A) Hom(S q (X), A) Hom( q,a) Hom(S q+1 (X), A)... q 0 için Hom(S q (X), A) = S q (X) ve Hom( q, A) = δ q olarak alnrsa bu dizi S (X) : 0 S 0 (X)... S q 1 (X) δq 1 S q (X) δq S q+1 (X)... ³eklinde yazlabilir. S q (X) in elemanlarna Khalimsky dijital e³zincir denir. s q S q ve d q+1 bir zincir olmak üzere q+1 operatörünün δ q : Sκ(X) q Sκ q+1 (X) dual homomorzmas ³eklinde tanmlanr. Her q 0 için < δ q s q, d q+1 >:=< s q, q+1 d q+1 > δ q+1 δ q = Hom( q+1, A) Hom( q, A) = Hom( q q+1, A) = Hom(0, A) = 0

57 39 e³itli i vardr. Burada S (X) kompleksine (X m,κ, τ X ) Khalimsky dijital uzaynn singüler e³zincir kompleksi denir. (X m,κ, τ X ) Khalimsky dijital uzay olsun. X uzaynn q. e³devir grubu olan Ker δ q kümesi Z q κ(x m, τ X ) olarak tanmlanr. X uzaynn q. e³snr grubu Im δ q 1 B q κ(x m, τ X ³eklinde ifade edilir. Böylece X uzaynn q. singüler kohomoloji grubu H q κ(x m, τ X ) := Z q κ(x m, τ X )/B q κ(x m, τ X ) bölüm grubudur. Teorem Her q 0 için H q κ, Khalimsky dijital singüler kompleksler kategorisinden de i³meli gruplar kategorisine giden bir kontravaryant funktordur. spat. (X m1,κ 1, τ X ) ve (Y m2,κ 2, τ Y ) Khalimsky dijital uzaylar ve f : (X m1,κ 1, τ X ) (Y m2,κ 2, τ Y ) KD-(κ 1, κ 2 ) sürekli fonksiyon olsun. Notasyonu sadele³tirmek açsndan (X m1,κ 1, τ X ) uzay X ve (Y m2,κ 2, τ Y ) uzay Y ile gösterilecektir. z Z q κ 1 (X) için f : H q κ 1 (X) H q κ 2 (Y ) dönü³ümü f (z +Bκ q 1 (X)) = f (z)+bκ q 2 (Y ) ³eklinde tanmldr. 1 X : X X birim dönü³üm olmak üzere [1 X ] (z + Bκ q 1 (X)) = (1 X ) (z) + Bκ q 1 (X) = (1 X z) + Bκ q 1 (X) = z + Bκ q 1 (X) = 1 H q κ1 (X)(z + Bκ q 1 (X)) sonucuna ula³lr. f : (X m1,κ 1, τ X ) (Y m2,κ 2, τ Y ) ve g : (Y m2,κ 2, τ Y ) (Z m3,κ 3, τ Z ) srasyla KD-(κ 1, κ 2 ) ve KD-(κ 2, κ 3 ) sürekli

58 40 fonksiyonlar olsun. z Bκ q 3 (Z) olmak üzere Hκ q 3 (g f)(z + Bκ q 3 (Z)) = (g f) (z + Bκ q 3 (Z)) = (g f) (z) + Bκ q 1 (X) = f g (z) + Bκ q 1 (X) = f (g (z) + Bκ q 2 (Y )) = f g (z + Bκ q 3 (Z)) = Hκ q 2 (f) Hκ q 3 (g)(z + Bκ q 3 (Z)) e³itliklerinden Hκ q 3 (g f) = Hκ q 2 (f) Hκ q 3 (g) bulunur. Önerme X = {a = (0, 1), b = ( 1, 0), c = (0, 0), d = (1, 0)} dijital görüntüsünün dijital singüler kohomoloji gruplar H 0 κ(x) = Z, H 1 κ(x) = {0}, H 2 (X) = {0} ³eklindedir. spat. Teorem 5.2.1' den Z, n = 0 Hn(X) κ = 0, n = 1, 2 oldu u bilinmektedir. q = 1, 2 için S q κ(x) = Hom(S κ q (X), Z) = {0} olup H q κ(x) = 0 dr. Di er taraftan q = 0 için S 0 κ(x) = Hom(S κ 0 (X), Z) = Z dir. Böylece 0 δ 1 Sκ(X) 0 δ0 0 ksa tam dizisi elde edilir. Ker δ 0 = S 0 κ(x) = Z ve Im δ 1 = 0 oldu undan X in 0. boyuttaki singüler kohomoloji grubu H 0 κ(x) = Z olarak bulunur. imdi Khalimsky dijital uzaylarn singüler kohomoloji gruplar için Eilenberg-Steenrod aksiyomlar ifade edilecektir (Munkres, 1984). (1) Birim Aksiyomu (X m,κ, τ X ) bir Khalimsky dijital uzay olmak üzere i : (X m,κ, τ X ) (X m,κ, τ X ) birim dönü³ümünün indirgedi i dönü³üm

59 41 i : Hκ(X) Hκ(X), birim homomorzmasdr. (2) Bile³ke Aksiyomu (X m1,κ 1, τ X ), (Y m2,κ 2, τ Y ) ve (Z m3,κ 3, τ Z ) birer Khalimsky dijital uzay olmak üzere f : (X m1,κ 1, τ X ) (Y m2,κ 2, τ Y ) ve g : (Y m2,κ 2, τ Y ) (Z m3,κ 3, τ Z ) srasyla KD-(κ 1, κ 2 ) ve KD-(κ 2, κ 3 ) sürekli dönü³ümler ise (f g) = f g dr. (3) Boyut Aksiyomu (X m,κ, τ X ) bir noktal Khalimsky dijital uzay olsun. G bir grup olmak üzere dr. G, q = 0 Hκ(X, q G) = 0, q > 0 (4) Excision Aksiyomu (X, A) bir relatif Khalimsky dijital uzay olsun. G, X in bir açk alt kümesi ve Ḡ IntA olmak üzere j : (X G, A G) (X, A) dönü³ümü H (j) : H κ(x, A) H κ(x G, A G) izomorzmasn indirger. (5) Tamlk Aksiyomu (X, A) bir relatif Khalimsky dijital uzay ve i : A X ile j : X (X, A) kapsama dönü³ümleri olmak üzere... H q κ(x, A) j H q κ(x) i H q κ(a) δ H q+1 κ (X, A)... uzun tam dizisi mevcuttur. 5.4 Khalimsky Dijital Singüler Kohomoloji için Evrensel Katsay Teoremi Bu bölümde, Khalimsky dijital uzaylarn singüler kohomoloji gruplar için evrensel katsay teoremi ele alnacaktr. lk olarak Ext funktorunun baz özellikleri verilecektir. De i³meli gruplar arasndaki homomorzmalardan olu³an A f B g C dizisinin tam olmas için gerek ve yeter ³art

60 42 Im f = Ker g olmasdr. Bir serbest de i³meli grup, baz elemanlarnn sonlu lineer kombinasyonu olarak tek türlü yazlabilen bir de i³meli gruptur. Her A de i³meli grubu için F serbest de i³meli grup ve i kapsama dönü³ümü olmak üzere 0 R i F A 0 ksa tam dizisi vardr. M bir de i³meli grup olmak üzere Hom(, M) kontravaryant funktoru yukardaki tam diziye uygulanrsa 0 Hom(A, M) Hom(F, G) i# Hom(R, M) A 0 dizisi elde edilir. Bu diziden Ext(A, M) funktoru olarak tanmlanr. Ext(A, M) = cokeri # = Hom(R, M)/i # (Hom(F, M)). Teorem (Prasolov, 2007) (X m,κ, τ X ) bir Khalimsky dijital uzay olsun. G bir de i³meli grup ve H κ q (X) = H κ q (X; Z) olmak üzere 0 Ext(H κ q 1(X), G) H κ q (X, G) Hom(H κ q (X), G) 0 ksa tam dizisi vardr. Ayrca izomorzmas vardr. H q κ(x, G) = Hom(H κ q (X), G) Ext(H κ q 1(X), G) Önerme X = {a = ( 1, 0), b = (1, 0), c = (1, 1), d = (0, 1), e = (2, 1)} dijital görüntüsünün Z 2 a³a daki gibidir: katsayl singüler kohomoloji gruplar H 0 (X, Z 2 ) = Z 3 2, H 1 (X, Z 2 ) = {0}, H 2 (X, Z 2 ) = {0}. spat. Teorem 5.2.2'den Z 3, n = 0 H n (X) = 0, n = 1, 2 oldu u bilinmektedir. Evrensel katsay teoremini kullanarak, X in Z 2 katsayl singüler kohomoloji gruplarn a³a daki ³ekilde hesaplayabiliriz: H 0 (X, Z 2 ) = Hom(Z 3, Z 2 ) Ext(0, Z 2 ) = Z 3 2, H 1 (X, Z 2 ) = Hom(0, Z 2 ) Ext(Z 3, Z 2 ) = {0}, H 2 (X, Z 2 ) = Hom(0, Z 2 ) Ext(0, Z 2 ) = {0}.

61 Khalimsky Dijital Singüler Kohomoloji için Künneth Formülü Bu bölümde singüler kohomoloji teorisi için Künneth formülü verilecektir. lk olarak T or funktorunun baz özellikleri hatrlatlacaktr. A ve B de i³meli gruplar olsun. A B tensör çarpm, A B üretecine sahip ve her a, a A ile b, b B için (a + a, b) = (a, b) + (a, b) ve (a, b + b ) = (a, b) + (a, b ) özelliklerinin sa land bir de i³meli gruptur. F, taban A B olan serbest de i³meli grup ve N, yukardaki tüm özellikleri sa layan F nin bir alt grubu ise A B = F/N dir. A bir de i³meli grup olmak üzere F serbest de i³meli grubu için 0 R i F A 0 ksa tam dizisi vardr. Bir B de i³meli grubu için yukardaki diziye B kovaryant funktoru uygulanrsa 0 R B i# 1 B F B A B 0. dizisi elde edilir. Bu diziden T or(a, B) funktoru T or(a, B) = Ker(i # 1 B ) olarak tanmlanr (Rotman, 1998). Teorem (Munkres, 1984) (Künneth formülü)(x m1,κ 1, τ X ) ve (Y m2,κ 2, τ Y ) Khalimsky dijital uzaylar olsun. q 0 ve bir M modülü için H q κ (κ 1,κ 2 ) (X Y ; M) = Hκ i 1 (X; M) Hκ j 2 (Y ; M) i+j=q p+q=q 1 T or(h p κ 1 (X; M), H q κ 2 (Y ; M)) izomorzmas vardr. E er M = F bir cisim ise T or funktoru a³ikar gruptur. Bu durumda yukardaki izomorzma a³a daki gibi ifade edilebilir. H q κ (κ 1,κ 2 ) (X Y ; F) = Hκ i 1 (X; F) Hκ j 2 (Y ; F). i+j=q

62 44 Önerme X tek noktal dijital görüntü ve Y = {a = ( 2, 1), b = ( 2, 0), c = (0, 0), d = (1, 1), e = (2, 0)} Z 2 olsun. olmak üzere X Y uzaynn katsayl 2. boyuta kadar olan Z katsayl singüler kohomoloji gruplar a³a daki gibidir. H 0 κ (κ 1,κ 2 )(X Y, Z) = Z Z, H 1 κ (κ 1,κ 2 )(X Y, Z) = {0}, H 2 κ (κ 1,κ 2 )(X Y, Z) = {0}. spat. X ve Y nin dijital kohomoloji gruplarnn Z, q = 0 Z 2, q = 0 Hκ q 1 (X) = ve Hκ q 2 (Y ) = 0, q 0 0, q = 1, 2 oldu u bilinmektedir. Z burulmasz bir grup oldu undan Künneth formülü H q κ (κ 1,κ 2 ) (X Y ; Z) = i+j=q H i κ 1 (X; M) H j κ 2 (Y ; M) ³eklinde ifade edilir. Bu formülü kullanrsak q = 0 için H 0 4(X Y ; Z) = H 0 2(X; Z) H 0 2(Y ; Z) = Z Z, q = 1 için H 1 4(X Y ; Z) = (H 0 2(X; Z) H 1 2(Y ; Z)) (H 1 2(X; Z) H 0 2(Y ; Z)) = {0}, q = 2 için H 2 4(X Y ; Z) = (H 0 2(X; Z) H 2 2(Y ; Z)) (H 1 2(X; Z) H 1 2(Y ; Z)) buluruz. (H 2 2(X; Z) H 0 2(Y ; Z)) = {0} 5.6 Khalimsky Dijital Uzaylar için Singüler Cup Çarpm imdi Khalimsky dijital uzaylar üzerinde cup çarpmn in³as verilecektir. (X m,κ, τ X ) bir Khalimsky dijital uzay olsun. G bir toplamsal grup olmak üzere cup çarpm tanmlamak için G katsayl kohomoloji gruplar ele alnacaktr. ϕ Sκ(X; p G) ve ψ Sκ(X; q G) e³zincirler için S {0, 1,..., p + q} ve ι S, S tarafndan gerilen simpleksin kanonik gömme dönü³ümü olmak üzere bir

63 45 singüler simpleks σ : p+q X üzerinde ϕ ψ Sκ p+q (X; G) cup çarpm, : ϕ S p κ(x; G) ψ S q κ(x; G) ϕ ψ S p+q κ (X; G) olarak tanmlanr. (ϕ, ψ) (ϕ ψ)(σ) = ϕ(σ ι 0,1,...,p ).ψ(σ ι p,p+1,...,p+q ) Teorem Khalimsky dijital uzay üzerinde cup çarpm bilineerdir. spat. γ, γ 1, γ 2 H p κ(x, G 1 ) ve µ, µ 1, µ 2 H q κ(x, G 2 ) olsun. ((γ 1 + γ 2 ) µ)(σ) = (γ 1 + γ 2 )(σ ι 0,1,...,p ).µ(σ ι p,p+1,...,p+q ) = (γ 1 (σ ι 0,1,...,p ) + γ 2 (σ ι 0,1,...,p )).µ(σ ι p,p+1,...,p+q ) = γ 1 (σ ι 0,1,...,p ).µ(σ ι p,p+1,...,p+q ) +γ 2 (σ ι 0,1,...,p ).µ(σ ι p,p+1,...,p+q ) = (γ 1 µ)(σ ι 0,1,...,p+q ) + (γ 2 µ)(σ ι 0,1,...,p+q ) = (γ 1 µ + γ 2 µ)(σ ι 0,1,...,p+q ) ve (γ (µ 1 + µ 2 ))(σ ι 0,1,...,p+q ) = γ(σ ι 0,1,...,p ).(µ 1 + µ 2 )(σ ι p,p+1,...,p+q ) = γ(σ ι 0,1,...,p ).[(µ 1 (σ ι p,p+1,...,p+q ) +µ 2 (σ ι p,p+1,...,p+q ))] = γ(σ ι 0,1,...,p ).µ 1 (σ ι p,p+1,...,p+q ) +γ(σ ι 0,1,...,p ).µ 2 (σ ι p,p+1,...,p+q ) = (γ µ 1 )(σ ι 0,1,...,p+q ) +(γ µ 2 )(σ ι 0,1,...,p+q ) = (γ µ 1 + γ µ 2 )(σ ι 0,1,...,p+q ). Böylece istenen sonuç elde edilir. Teorem Her a S p (X; G) ve b S q (X; G) için δ(a b) = δa b + ( 1) p a δb e³itli i vardr.

64 46 spat. σ : k+l+1 X dönü³ümü için p+1 δa b(σ) = ( 1) i a(σ ι ).b(σ ι 0,1,...,î,...,p+1 p+1,...,p+q+1) i=0 ve ( 1) p (a δb)(σ) = ( 1) i a(σ ι 0,1,...,p ).b(σ ι ) p,...,î,...,p+q+1 p+q+1 i=p olup iki denklemin taraf tarafa toplanmasyla, ilk toplamn ikinci terimi ile ikinci toplamn ilk terimi sadele³ece inden ve σ = oldu undan ( 1) i (σ ι ) p,...,î,...,p+q+1 p+q+1 i=0 δ(a b) = (a b)( σ) elde edilir. Teorem (X m,κ, τ X ) bir Khalimsky dijital uzay olsun. Dijital singüler e³zincirler üzerindeki cup çarpm birle³melidir. Ayrca 1 X dijital singüler e³zincir birim elemandr. spat. Her γ Hκ(X, p G), µ Hκ(X, q G) ve ν Hκ(X, r G) için ((γ µ) ν)(σ ι 0,1,...,p+q+r ) = (γ µ)(σ ι 0,1,...,p+q ).ν(σ ι p+q,...,p+q+r ) = (γ(σ ι 0,1,...,p ).µ(σ ι p,...,p+q )).ν(σ ι p+q,...,p+q+r ) = γ(σ ι 0,1,...,p ).(µ(σ ι p,...,p+q ).ν(σ ι p+q,...,p+q+r )) = γ(σ ι 0,1,...,p ).((µ ν)(σ ι q+r,...,p+q+r )) = (γ (µ ν))(σ ι 0,1,...,p+q+r ) oldu undan cup çarpm birle³melidir. Di er taraftan (1 X γ)(σ ι 0,1,...,p ) = 1 X (σ ι 0,1,...,p ).γ(σ ι 0,1,...,p ) = γ(σ ι 0,1,...,p ) ve (γ 1 X )(σ ι 0,1,...,p ) = γ(σ ι 0,1,...,p ).1 X (σ ι 0,1,...,p ) = γ(σ ι 0,1,...,p ) e³itlikleri 1 X 'in dijital singüler e³ zincir birim eleman oldu unu verir.

65 47 Teorem µ H p κ(x, G) ve ν H q κ(x, G) e³devirleri için µ nu = ( 1) pq ν µ dr. spat. Cup çarpm tanmndan (µ ν)(σ ι 0,1,...,p+q ) = µ(σ ι 0,1,...,p ).ν(σ ι p,...,p+q ) ve yazlabilir. (ν µ)(σ ι p+q,...,0 ) = ν(σ ι p+q,...,p ).µ(σ ι p,...,0 ) ι s,...,0 = ( 1) s(s+1)/2 ι 0,...,s ve (p + q)(p + q + 1) p(p + 1) q(q + 1) = 2pq e³itliklerinden istenen sonuç elde edilir. Teorem (X m,κ, τ X ) ve (Y n,κ, τ Y ) Khalimsky dijital uzaylar olsun. f : (X m,κ, τ X ) (Y n,κ, τ Y ) dijital sürekli fonksiyon ve µ Hκ(X, p G) ile ν Hκ(X, q G) e³devirler ise f (µ ν) = f (µ) f (ν). dir. spat. Cup çarpm tanm kullanlarak a³a daki e³itlik elde edilir. (f (µ ν))(σ ι 0,1,...,p+q ) = (µ ν)(f σ ι 0,1,...,p+q ) = µ(f σ ι 0,1,...,p ).ν(f σ ι p,...,p+q ) = f (µ)(σ ι 0,1,...,p+q ).f (ν)(σ ι 0,1,...,p+q ) = (f (µ) f (ν))(σ ι 0,1,...,p+q ). Sonuç Dijital cup çarpm, Khalimsky dijital uzaylarnn kohomoloji gruplarna halka yaps verir. spat. Yukarda tanmlanan cup çarpm i³lemi kohomoloji gruplarna halka yaps kazandrr.

66 48 Örnek Teorem 5.2.2'den X = {a = ( 1, 0), b = (1, 0), c = (1, 1), d = (0, 1), e = (2, 1)} dijital görüntüsünün dijital homoloji gruplarnn Z 3, n = 0 Hn(X) κ = 0, n = 1, 2 ve Teorem 'den ayn görüntünün dijital kohomoloji gruplarnn Z 3, n = 0 Hκ n (X) = 0, n = 1, 2 oldu u bilinmektedir. X de 7 tane 1-simpleks vardr. Bu simpleksler kullanlarak X uzaynn 1-e³devir gruplar a³a daki gibi belirlenebilir: ω = (σ 1 1), z = (σ 1 2) (σ 1 6), α = (σ 1 3) + (σ 1 6) + (σ 1 7), β = (σ 1 4), γ = (σ 1 5) (σ 1 7). ω, z, α, β, γ 1-e³devirlerinin cup çarpm ³öyledir: (ω ω)(σ 2 1) = (ω σ 1 1).(ω σ 1 1) = 1. 1 = 1, (ω z)(σ 2 1) = (ω σ 1 1).(z σ 1 1) = 1.0 = 0, (ω α)(σ 2 1) = (ω σ 1 1).(α σ 1 1) = 1.0 = 0, (ω β)(σ 2 1) = (ω σ 1 1).(β σ 1 1) = 1.0 = 0, (ω γ)(σ 2 1) = (ω σ 1 1).(γ σ 1 1) = 1.0 = 0, (z ω)(σ1) 2 = (z σ1).(ω 1 σ1) 1 = 0. 1 = 0, (z z)(σ7) 2 = (z σ2).(z 1 σ6) 1 = 1. 1 = 1, (z α)(σ6) 2 = (z σ6).(α 1 σ3) 1 = 1. 1 = 1, (z β)(σ1) 2 = (z σ1).(β 1 σ1) 1 = 0.0 = 0, (z γ)(σ1) 2 = (z σ1).(γ 1 σ1) 1 = 0.0 = 0, (α ω)(σ1) 2 = (α σ1).(ω 1 σ1) 1 = 0. 1 = 0, (α z)(σ6) 2 = (α σ6).(z 1 σ3) 1 = 1.0 = 0, (α α)(σ8) 2 = (α σ7).(α 1 σ3) 1 = 1. 1 = 1, (α β)(σ4) 2 = (α σ4).(β 1 σ4) 1 = 0. 1 = 0, (α γ)(σ9) 2 = (α σ5).(γ 1 σ7) 1 = 0.1 = 0,

67 49 (β ω)(σ4) 2 = (β σ4).(ω 1 σ4) 1 = 1.0 = 0, (β z)(σ4) 2 = (β σ4).(z 1 σ4) 1 = 1.0 = 0, (β α)(σ4) 2 = (β σ4).(α 1 σ4) 1 = 1.0 = 0, (β β)(σ4) 2 = (β σ4).(β 1 σ4) 1 = 1. 1 = 1, (β γ)(σ4) 2 = (β σ4).(γ 1 σ4) 1 = 1.0 = 0, (γ ω)(σ1) 2 = (γ σ1).(ω 1 σ1) 1 = 0. 1 = 0, (γ z)(σ1) 2 = (γ σ1).(z 1 σ1) 1 = 0.0 = 0, (γ α)(σ8) 2 = (γ σ7).(α 1 σ3) 1 = 1. 1 = 1, (γ β)(σ5) 2 = (γ σ5).(β 1 σ5) 1 = 1.0 = 0, (γ γ)(σ9) 2 = (γ σ5).(γ 1 σ7) 1 = 1. 1 = 1. Yukardaki i³lemler birle³tirilirse a³a daki cup çarpm tablosuna ula³lr: ω z α β γ ω z α β γ

68 50 6 D J TAL TOPOLOJ DE KÜME DE ERL FONKS YONLAR 1990'l yllarn ortalarnda Kovalevsky (Kovalevsky, 1994) tarafndan küme de erli fonksiyon kavram tanmlanm³tr. Daha sonra Tsaur ve Smyth (Tsaur and Smyth, 2001) sürekli küme de erli dijital fonksiyonu incelenmi³tir. 2010' lara gelindi inde Escribano, Giraldo ve Sastre (Escribano, Giraldo and Sastre, 2008) tarafndan süreklilik kavram daha da karakterize edilmi³tir. Daha sonrasnda (Escribano, Giraldo and Sastre, 2012) erozyon, dilasyon, açma ve kapama gibi morfolojik i³lemler ele alnarak, sürekli küme de erli fonksiyonlarn snama yoluna gidilmi³tir. Basit noktalarn silinmesi kavram sürekli küme de erli fonksiyonlar tarafndan karakterize edilmi³tir. Son olarak küme de erli dijital retraksiyon tanm verilip, tek de erli dijital retraksiyon ile arasndaki farka de inilmi³tir yl itibariyle Boxer (Boxer, 2014) bu konuda çe³itli çal³malar yapm³tr. Boxer çekinik dönü³ümler yardmyla sürekli küme de erli fonksiyonlar snama yoluna gitmi³tir. Daha sonra ba lantl koruyan dönü³ümler ile sürekli küme de erli fonksiyonlar arasndaki ili³kiyi vermi³tir. Bu çal³malara ek olarak, zayf ve güçlü süreklilik kavramn tanmlam³ ve bu yapy kullanarak ba lantll koruyan dönü³üm ile sürekli küme de erli fonksiyonlar arasndaki ba nt incelenmi³tir. Yukarda bahsedilen yapnn kurulmasndaki temel amaç, Euclidean uzayda sa lanan baz özelliklerin dijital uzaylarda sa lanmamasdr. Örne in; Euclidean uzayda çember bir halkann retraktdr fakat dijital görüntülerde bu sa lanmaz. Sürekli küme de erli fonksiyonlar yardmyla dijital çember bir dijital halkann dijital retrakt olur. Tanm (Escribano, Giraldo and Sastre, 2008) Z n nin r.alt bölüntüsü, Z n r = {( z 1 3 r, z 2 3 r,..., z n 3 r ) (z 1, z 2,..., z n ) Z n } ³eklinde ifade edilir. (z 1, z 2,..., z n), ( z 1 3 r, z 2 3 r,..., zn 3 r ) e yakn bir nokta olmak üzere i r : Z n r Z n ( z 1 3 r, z 2 3 r,..., z n 3 r ) (z 1, z 2,..., z n) bir kapsama dönü³ümüdür.

69 51 ekil 6.1'de (Escribano, Giraldo and Sastre, 2008) bir dijital görüntünün birinci alt bölüntü kümesi verilmi³tir: ekil 6.1: Bir dijital görüntünün 1. alt bölüntü kümesi Bundan sonraki ksmda notasyon sadeli i olmas açsndan bir X dijital görüntüsünün r. alt bölüntü kümesi S(X, r) = {(x 1, x 2,..., x n ) Z n r ( x 1, x 2,..., x n ) X} olarak gösterilecektir. Bölüntü uzaylarnda Z n üzerindeki yaknlk ba ntsndan indirgenen yeni bir yaknlk ba ntsdan bahsetmek mümkündür. Bir ba³ka deyi³le (z 1 /r, z 2 /r,..., z n /r) ve (z 1/r, z 2/r,..., z n/r) noktalar Z n r üzerinde κ-yakndr ancak ve ancak (z 1, z 2,..., z n ) and (z 1, z 2,..., z n) noktalar Z n de κ-yakndr. E r : S(X, r) X dönü³ümü bir gömme dönü³ümüdür. (x 1, x 2,..., x n ) ( x 1, x 2,..., x n ) X Z m ve Y Z n olsun. f : S(X, r) Y fonksiyonu F : X Y x F (x) = x Er 1 (x) {f(x )} küme de erli fonksiyonunu indirger. f fonksiyonuna F için bir destek fonksiyonu denir. Tanm (Escribano, Giraldo and Sastre, 2008) (X, κ) Z m, (Y, λ) Z n ve r Z + için f : S(X, r) Y bir (κ, λ)-sürekli fonksiyonu F : X Y (κ, λ) küme de erli fonksiyonunu indirgerse F ye sürekli küme de erli fonksiyon denir.