Arvutamine ratsionaalarvudega

Väljavõte

1 Arvutamine ratsionaalarvudega. Vana-Egiptuses kasutati murdude kirjutamiseks ainult ühikmurdusid,,,... ning veel 4 üht murdu. Teised harilikud murrud esitati summana eelmiste kaudu, kusjuures summas ei tohtinud olla ühesuguseid liidetavaid. Näiteks 8 = 4 + 8, mitte aga 8 = Esita Egiptuse moodi murrud 8 5, 7 8, 4, 9 4 ja 7.. Millised järgmistest arvudest on harilikud murrud, lihtmurrud, liigmurrud, segaarvud, 6, 7 5, 6 4, 7, 7 7, 000? Millised järgmistest arvudest on puhtperioodilised kümnendmurrud, segaperioodilised kümnendmurrud, lõpmatud mitteperioodilised kümnandmurrud 4; 5,44... = 5,(4); 0,45; =,44...; 5,55... = 5,(5)?. Teisenda kümnendmurrud,(7); 0,() ja 4,(4) harilikeks murdudeks. Teisenda harilikud murrud 6 47 ; 8 5 ja 7 99 kümnendmurdudeks. 4. Arvuta a) : ; b) [(9 5 ),68 : ] [ : (,,09)]; c) 0,(6)+0,() ; 0,() : ,8(5) +0,7() d) 0,8(5) 0,7() + 0,8()+0,(6) 0,8() 0,(6). 5. Arvuta a) 7 ( 44) ( 6) 6 ( ) ; b) [ ( ] 4 ) 4) ( ) 5 4 ( 0, + ( ) Arv tähistab kümnendsüsteemis arvu 0 astmete ehk järguühikute kordsete summat 0 = Neljandsüsteemis tähistaks arv arvu neli astmete kordsete summat 4 = Tee joonis, et illustreerida arvude tähendusi erinevates arvusüsteemides 4 0 ; 4 5 ; ; Teisenda arvud 4; ; 0 ja 7654 kümnendsüsteemist kaheksandsüsteemi. 8. Teisenda arvud 4; ja 0 viiendsüsteemist kümnendsüsteemi. 9. Teosta tehted viiendsüsteemis olevate arvudega a) ; b) ; c) ; d) 0 5 : Teosta tehted kahendsüsteemi arvudega a) ; c) ; b) +0 ; d) ; e) 00 0 ; f)

2 Tehted kompleksarvudega Kompleksarvudeks nimetatakse reaalarvude järjestatud paare z = (x, y), millega teataval kindlal viisil defineeritakse aritmeetilised tehted ning võrdus. Olgu antud kaks kompleksarvu z = (x,y ) ja z = (x,y ). Nende võrdus, summa ja korrutis defineeritakse järgmiselt: z = z, kui x = x ja y = y ; z +z = (x +x,y +y ); z z = (x x y y,x y +x y ).. Näita, et iga z = (x,y) korral kehtib z = (x,y) = (x,0)+(0,)(y,0). Paneme tähele, et eriline osa on kompleksarvul i = (0, ) ning kõigil neil kompleksarvudel, millele vastavas paaris teine arv on null. Kahe kompleksarvu vahe defineeritakse kui summa pöördoperatsioon ning jagatis kui korrutise pöördoperatsioon. Osutub, et kõigi nende tehete suhtes käitub paar (x, 0) nagu reaalarv x. Sel viisil saame, et kompleksarvude hulk sisaldab reaalarvude hulga. Seda arvestades võime kompleksarvu z esitada kujul z = (x, y) = x + iy, mida nimetatakse kompleksarvu algebraliseks kujuks. Reaalarve x = Rez = Re(x,y) ja y = Imz = Im(x,y) nimetatakse vastavalt kompleksarvu z reaal- ja imaginaarosaks. Kompleksarvu z = (x, y) = x + iy kaaskompleksarvuks ehk kaaskompleksiks nimetatakse arvu z = (x, y) = x iy.. Näita, et i = (0,)(0,) = (,0), st. i =.. Tõesta, et a) z +z = z +z (summa kommutatiivsus); b) (z +z )+z = z +(z +z ) (summa assotsiatiivsus); c) z z = z z (korrutise kommutatiivsus); d) (z z )z = z (z z ) (korrutise assotsiatiivsus); e) z (z +z ) = z z +z z (distributiivsus). Ülesanne. Leia kompleksarvude z ja z jagatis z z. Veendu, et selline jagatis on üheselt määratud iga z 0 korral. Ülesanne. Tõesta, et kahe kompleksarvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Ülesanne. Näita, et z z = z z z z, kus z, z, z on kompleksarvud, z 0, z Esita graafiliselt kompleksarvud a) z = +i, z = +i ja z +z ; b) z = +i, z = +4i ja z z. 5. Teosta tehted ) (+5i)+(4 7i); ) ( i) (8 4i); ) (0 i) ( 5+i); 4) ( i)(5+6i); 5) (7+i)(7 i); 6) ( +i)( 4i); 7) (+i) ; 8) i(6 5i)(+4i); 9) ( 5i) ;

3 0) 5+i i ; 4 i ) 4+i ; ) 0 i 5+i ; ) +i i + i +i ; 4) +i ; 5) i i ; 6) i 8 +i 5 +i 97 +i 00 ; 7) (i 9 +i 99 )(i 9 i 99 ); 8) ( i). 6. On antud kompleksarvud z = + i; z = i; z =. Näita, et ) z = z = z = ; ) z +z +z = 0; ) z z z = ; 4) z = z ; 5) z = z ; 6) +z +z = 0. Et tasandi punkti (x, y) saab määrata ka polaarkoordinaatides (r, ϕ), kusjuures x = r cos ϕ ja y = rsinϕ, siis kompleksarvu z = x + iy määrab ka reaalarvupaar (r,ϕ), milles arvu r nimetatakse kompleksarvu mooduliks ning arvu ϕ argumendiks. Esitust z = r(cosϕ+isinϕ) nimetatakse kompleksarvu trigonomeetriliseks kujuks. Kehtivad seosed r = x +y ja tanϕ = y x. Trigonomeetrilisel kujul olevaid kompleksarve on lihtne korrutada, jagada ja astendada. Olgu z = r (cosϕ +isinϕ ) ja z = r (cosϕ +isinϕ ), kehtivad järgmised valemid: z z = r r (cos(ϕ +ϕ )+isin(ϕ +ϕ )); z : z = r r (cos(ϕ ϕ )+isin(ϕ ϕ )); z n = r n (cosnϕ+isinnϕ) (de Moivre i valem). 7. Teisenda kompleksarv trigonomeetrilisele kujule ) +i; ) +i ; ) +i ; 4) i; 5) 4+4i; 6) 5 5i. 8. Teisenda kompleksarv algebralisele kujule ) 4(cos60 +isin60 ); ) (cos π 4 +isin π 4 ); ) 4(cos π 6 +isin π 6 ). 9. Teosta tehe ) 4(cos50 +isin50 ) (cos60 +isin60 ); ( ) 5 cos π 6 +isin π ) ( cos π 6 4 +isin π ) ; 4 ) 6(cos45 +isin45 ) : (cos5 +isin5 ); 4) 4(cos0 +isin0 ) : (cos0 +isin0 ); 5) 6(cos05 +isin05 ) : (cos65 +isin65 ). 0. Astenda ) (cos0 +isin0 ) 9 ; ) (cos0 +isin0 ) ; ) (cos5 +isin5 ) 0 ; [ ( 4) [(cos +isin )] 5 ; 5) cos π 4 +isin π 6; 6) (+i) 4)] 0 ; 7) ( +i) 7 ; 8) ( +i ) 60 ; 9) ( +i) 8.

4 Defineerides juurimise astendamise pöördtehtena ( n z = w w n = z, z,w C, n N), on võimalik de Moivre i valemit kasutades leida kompleksarvu z = r(cosϕ+isinϕ) n-astme juur n ( z = n r cos ϕ+kπ +isin ϕ+kπ ),k = 0,,...,n. n n n Juurel z on n erinevat väärtust, mis paiknevad kõik ühel ringjoonel raadiusega n r. Näide. Leiame ( 7i. Selleks esitame juuritava trigonomeetrilisel kujul7i = 7 cos π +isin π ) ning kasutame ülaltoodud valemit ( π 7i = 7 cos +kπ π +isin +kπ ),k = 0,,, millest 7i ( cos π 6 +isin π ) (, cos 5π 6 6 +isin 5π 6 ), ( cos 8π 6 +isin 8π 6 )}.. Leia juure kõik väärtused ning kujuta need komplekstasandil ) 4) 7) cos5 +isin5 ; ) 6(cos60 +isin60 ); ) 8; 5) 4 ; 6) +i; 8) 4 6i; 9) 8(cos0 +isin0 ); 4 64; 4 7 4i.. Lahenda võrrand kompleksarvude hulgal ) z = 0; ) z 4 6i = 0; ) x (5 i)x+6 = 0; 4) x +8 = 0; 5) x 5 4 = 0; 6) x = 0.. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on ) x = +i4 5, x = i4 5; ) x = 0,5i, x = 0,5i; ) x = i, x = i. 4. Näidata, et reaalarvude a, b 0, p = a +b +a ja q = signb a +b a korral kehtib a+bi = ±(p+qi). Lisamaterjale Java programm, mis esitab kompleksarvu tasandil ja lubab jälgida tehteid kahe kompleksarvuga Interaktiivne ülesannete kogu kompleksarvudega arvutamiseks: OEF complex Kompleksarvude ajaloost ja arvutamisest: 4

5 Polünoomide jäägiga jagamine. Bezout teoreem. Horneri skeem Olgu antud polünoom P(x) = a 0 x n +a x n +...+a n, a 0 0. Arve a 0,...,a n nimetatakse polünoomi kordajateks, muutuja kõrgeima astmega liiget a 0 x n, pealiikmeks ja arvu n polünoomi astmeks. Polünoomi P astet tähistatakse deg P. Polünoomi P nullkohtadeks nimetatakse muutuja x neid väärtusi x i, mille korral P(x i ) = 0. Öeldakse, et polünoom P jagub polünoomiga Q 0, kui leidub selline polünoom S, et P(x) = Q(x)S(x). Polünoomide P ja Q 0 korral leiduvad üheselt määratud polünoomid S ja R nii, et kehtib P(x) = Q(x)S(x) + R(x), kusjuures deg R < deg Q. Öeldakse, et polünoomi P jagamisel polünoomiga Q on jagatiseks S ja jäägiks R. Kahe polünoomi jagamise algoritm on samasugune, nagu mitmekohaliste arvude jagamise algoritm. Algoritmi rakendamiseks tuleb esmalt polünoomid korrastada, st. paigutada polünoomide liikmed astendaja kahanemise järjekorda. Näide. (m 4 6m +) : (m +m )= m m m 4 +m m m 5m + (x x ) : (x+4) = x + 4 m 4m +m x + 8x x+4 m m+ x m m+ x Bezout teoreem. Polünoomi P jagamisel kaksliikmega x x 0 tekkiv jääk on võrdne polünoomi väärtusega kohal x = x 0. Järeldus. Polünoom P jagub kaksliikmega x x 0 parajasti siis, kui x 0 on polünoomi nullkohaks. Järeldus. Kui x,x,...,x n on polünoomi P erinevad nullkohad, siis P jagub polünoomiga (x x )(x x )...(x x n ). Bezout teoreem võimaldab leida polünoomi jagamisel kaksliikmega x x 0 tekkivat jääki, kuid mitte jagatist. Horneri skeem võimaldab leida nii jagatise kui jäägi kaksliikmega jagamisel. Horneri skeemi saab kasutada ka polünoomi väärtuse leidmiseks mingil argumendi väärtusel. Näide (Horneri skeem kuuppolünoomi väärtuse arvutamisel). Olgu meil antud polünoom P(x) = ax +bx +cx+d = [(ax +b)x+c]x+d. Leiame polünoomi väärtuse argumendi väärtusel x 0 ning paigutame vastavad arvutused tabelisse a b c d ax 0 (ax 0 +b)x 0 [(ax 0 +b)x 0 +c]x 0 x 0 a ax 0 +b (ax 0 +b)x 0 +c [(ax 0 +b)x 0 +c]x 0 +d = P(x 0 ) Tabeli viimase rea viimane element ongi polünoomi P väärtus kohal x 0 ehk polünoomi P jagamisel kaksliikmega x x 0 tekkinud jääk. Näide. Leiame polünoomi P(x) = x 4 + x +x x väärtuse argumendi väärtusel x = vahetult ja Horneri skeemiga. P() = =... = 56 5

6 Horneri skeemi viimasest reast on võimalik välja lugeda ka jagatise kordajad (x 4 +x +x x ) : (x ) = x +5x +5x x.. Jaga polünoomid ) (x 5 +x 4 8) : (x 4x); ) (x +x 4x+) : (x+); ) (x 5 +x 4 +x +x +) : (x x ); 4) (x 4 x +4x +) : (x ); 5) (x 6 +x 4 +x +x +) : (x +); 6) (5x 4 x 5 +x ) : ( x +x+); 7) ( x 6 +4x 5 x 4 +4x +8x ) : (x +); 8) (x 4 +x 5x x+) : (x x).. Kas hulkliige x 4 +4x +5x+8 jagub jäägita kaksliikmega ) x+; ) x+?. Leia jääk, mis tekib hulkliikme x 5 4x 4 x + jagamisel kaksliikmega ) x ; ) x+. 4. Uuri, kas x on polünoomi P(x) = x +x +7x tegur. 5. Tee kindlaks, kas polünoom x 5 x 7x jagub polünoomiga x. Kui jah, siis jaga polünoomid. 6. Kontrolli, kas murd on taanduv ) x 5x+6 x ; ) x x +x+ x 5 ; ) x +x 0x. x+ 7. Leia, missuguse a väärtuse korral polünoomi P(x) = x 5 x +x x+a jagamisel polünoomiga x+ tekib jääk. 8. Leia, missuguse a väärtuse korral hulkliikme x 5 x + x +ax 60 jagamisel kaksliikmega x tekib jääk Tee kindlaks, kas korrutis (x 4 6)(x +x 5) jagub kaksliikmega x. 0. Mingi hulkliikme jagamisel kaksliikmetega x +, x ja x tekkisid vastavalt jäägid, ja. Missugune jääk tekib selle hulkliikme jagamisel korrutisega (x + )(x )(x )?. Tõesta Bezout teoreem ning selle järeldused.. Leia jagatis ja jääk (kasutades Horneri skeemi) ) (5x 44x +8x+8) : (x ); ) (5x 5 6x 4 x +x+) : (x+) ) (6x 49x +48x 4) : (x ); 4) (6x +7x x 70) : (x+5); 5) (x 4 x 0x +4x+4) : (x ); 6) (4x 7 x 6 6x+) : (x ); 7) (x 4 0x +9) : (x+); 8) (x x x+x 5 +) : (x+). 6

7 . Tõesta, et Horneri skeemi alumises reas olevad arvud on polünoomi P(x) jagamisel kaksliikmega x x 0 saadud jagatise kordajateks ja jäägiks. 4. Missuguse naturaalarvulise väärtusega n korral polünoom P jagub polünoomiga Q? ) P(x) = x n a n ja Q(x) = x a; ) P(x) = x n a n ja Q(x) = x+a. 5. Missuguste a ja n väärtuste korral polünoom x n ax n + ax jagub polünoomiga (x )? Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ühise teguri sulgude ette toomine ax 4 6a 7 x 7 +ax = ax (4x a 6 x+) p(p q) 5(q p) = p(p q) 5(p q) = = (p q)(p 5p+5q) = (p q)( p+5q). Rühmitamine ab+a b 6 = (ab+a) (b+6) = a(b+) (b+) = (b+)(a ) x +x+ = x +x+x+ = x(x+)+(x+) = (x+)(x+). Korrutamise abivalemite rakendamine a b +bc c = a (b bc+c ) = a (b c) = = [a (b c)][a+(b c)] = (a b+c)(a+b c) 4. Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine a) Täisruudu eraldamine ja ruutude vahe valemi kasutamine x 8x+7 = (x 4) 9 = (x 4) = = (x 4 )(x 4+) = (x 7)(x ) b) Ruutpolünoomi nullkohtade leidmine ruutvõrrandi lahendamise teel ax +bx+c = a(x x )(x x ), kus x, = b± b 4ac a x +px+q = (x x )(x x ), kus x, = p ± (p ) q Korrutamise abivalemid (a±b) = a ±ab+b (a±b) = a ±a b+ab ±b a b = (a b)(a+b) a b = (a b)(a +ab+b ) 7

8 a n b n = (a b)(a n +a n b+a n b +...+b n ) a n b n = (a+b)(a n a n b+a n b... b n ), kui n on paarisarv a +b = (a+b)(a ab+b ) a n +b n = (a+b)(a n a n b+a n b...+b n ), kui n on paaritu arv. Lahuta hulkliige teguriteks ) x x +4 4x; ) x 4 x +x x+; ) x 6 +x 4 96x ; 4) x 6 +7; 5) x 7 +x 6 +x 5 +x 4 +x +x +x+.. Tuleta ruutvõrrandi lahendivalem. Algebraline võrrand Algebralise võrrandi kanooniline kuju on a 0 x n +a x n +...+a n x+a n = 0. Algebra põhiteoreem (Gauss, 799). Igal kompleksarvuliste kordajatega n-astme algebralisel võrrandil on parajasti n komplekslahendit. Kui x = x i on võrrandi P(x) = 0 lahend, siis Bezout teoreemi põhjal P(x) = (x x i )Q(x), kus võrrand Q(x) = 0 annab antud võrrandi ülejäänud lahendid. Iga n-astme polünoomi saab esitada n lineaarse teguri x x i ja pealiikme kordaja a 0 korrutisena. Näiteks a 0 x +a x +a x+a = a 0 (x x )(x x )(x x ). Viète i teoreem. Kui x,x,...,x n on taandatud algebralise võrrandi lahendid, siis x n +a x n +...+a n x+a n = 0 x +x +...+x n = a, x x +x x +...+x n x n = a, x x x +x x x x n x n x n = a,... x x x...x n = ( ) n a n..,.,. ja 4. astme algebraliste võrrandite lahendamiseks on olemas lahendivalemid. On tõestatud, et 5. ja kõrgema astme võrrandite lahendamiseks üldist lahendivalemit ei ole. Teoreem. Kui taandumatu murd p q on täisarvuliste kordajatega polünoomi P(x) = a 0x n + a x n +...+a n, kus a 0 0, nullkohaks, siis vabaliige a n jagub arvuga p ja pealiikme kordaja a 0 jagub arvuga q. Järeldus. Kui täisarvuliste kordajatega polünoomil on täisarvuline nullkoht, siis on see vabaliikme a n jagajaks. 8

9 Järeldus. Kui täisarvuliste kordajatega polünoomi pealiikme kordaja a 0 on, siis selle polünoomi ratsionaalarvulisteks nullkohtadeks saavad olla vaid täisarvud. Kui täisarvuliste kordajatega polünoomi vabaliikmel on palju jagajaid, võimaldab otseste kontrollimiste arvu vähendada järgmine teoreem Teoreem. Kui x 0 Z on täisarvuliste kordajatega polünoomi P nullkoht, siis P(k) jagub arvuga k x 0, kus k Z. Erijuhul, kui k = ±, saame P() = ( x 0 )m ja P( ) = (+x 0 )n, kus m,n Z. Järelikult kontrollida on vaja vaid neid vabaliikme jagajaid x 0, mille puhul jagatised P() ja P( ) on x 0 +x 0 täisarvud.. Tõesta, et kui x, x ja x on võrrandi x +ax +bx+c = 0 lahendid, siis x +x +x = a, x x +x x +x x = b, x x x = c. (Viète i valemid kuupvõrrandi jaoks.). Võrrandi x +ax +bx+9 = 0 kaks lahendit on x = ja x =. Leidke kolmas lahend.. Võrrandi x 6x +9x+m = 0 lahendid moodustavad aritmeetilise jada. Leia m ja lahenda võrrand. 4. Lahenda võrrandid ) x +x +x+ = 0; ) x x 8x+ = 0; ) x 4 x x+ = 0; 4) 5x 4 +9x x 4x 8 = 0; 5) x 6 x 5 +x +x 4 = 0; 6) x +x x 4 x = Lahenda võrrandid ) x 7x +x = 0; ) x 4 +x 6x 4 = 0; ) x 4 x x +9x 6 = 0; 4) x 4 +x 5x +7x+6 = 0; 5) x 4 x 4x +48x = 0; 6) 4x x +x 6 = 0. 9

10 Lineaar-, ruut-, ja kõrgema astme võrrandid Olgu f(x) ja g(x) mingid funktsioonid. Võrdust f(x) = g(x) nimetatakse ühe muutujaga võrrandiks, kui ülesandeks on leida need x väärtused, mille korral funktsioonide f(x) ja g(x) väärtused on võrdsed. Funktsioonide f(x) ja g(x) määramispiirkondade ühisosa nimetatakse võrrandi f(x) = g(x) määramispiirkonnaks. Võrrandi lahendeiks nimetatakse neid muutuja x väärtusi, mis muudavad seose f(x) = g(x) tõeseks arvvõrduseks. Lahendada võrrand tähendab leida kõik lahendid või tõestada, et võrrandil lahend puudub. Võrrandit f (x) = g (x) nimetatakse võrrandi f(x) = g(x) järelduseks, kui teise võrrandi iga lahend on ka esimese võrrandi lahendiks. Tähistus: f(x) = g(x) f (x) = g (x). Kaht võrrandit f(x) = g(x) ja f (x) = g (x) nimetatakse samaväärseiks, kui esimese võrrandi iga lahend on teise võrrandi lahendiks ja vastupidi, teise võrrandi iga lahend on esimese võrrandi lahendiks. Tähistus: f(x) = g(x) f (x) = g (x). Näiteks võrrandid x = 0 ja x(x + ) = 0 on samaväärsed reaalarvude hulgal R, seevastu kompleksarvude hulgal C need võrrandid ei ole samaväärsed. Ka võrrandid x +5 = 0 ja x +7 = 0 on reaalarvude hulgal samaväärsed, kuna kummalgi võrrandil ei ole reaalarvulisi lahendeid. Võrrandid f(x) = g(x) ja f(x)+h(x) = g(x)+h(x) on samaväärsed, kui funktsioonil h(x) on olemas väärtus võrrandi f(x) = g(x) määramispiirkonna igas punktis. Võrrandid f(x) = g(x) ja f(x) h(x) = g(x) h(x) on samaväärsed, kui funktsioonil h(x) on olemas nullist erinev väärtus võrrandi määramispiirkonna igas punktis. Paarisarvu n korral võrrand [f(x)] n = [g(x)] n on võrrandi f(x) = g(x) järeldus, paaritu arvu n korral on võrrandid [f(x)] n = [g(x)] n ja f(x) = g(x) samaväärsed. Võrrandi lahendamisel tuleb hoiduda teisendustest, mis põhjustavad lahendite kaotsiminekut. Kui kasutati teisendust, mis võis põhjustada võõrlahendite teket, tuleb pärast lahendamist kontrollida, kas leitud lahendid rahuldavad lähtevõrrandit.. Antiikaja kuulsa matemaatiku Diofantese hauakivil on kirjas: Teekäija! Siia on maetud Diofantese põrm. Ning arvud võivad jutustada, kui pikk oli tema eluiga. Kuuendik sellest kujutas ilusat lapsepõlve. Möödus kaheteistkümnendik tema elust ja tema lõug kattus udemetega. Seitsmendiku oma elust oli Diofantes abielus lastetuna. Möödus viis aastat; teda õnnistati esimese poja sünniga, kellele saatus andis elu, ilusa ja helge, mis oli poole lühem kui ta isal. Ja sügavas mures lõppes vanakese maine saatus. Ta elas veel neli aastat pärast poja kaotamist. Ütle, kui vana oli Diofantes, kui ta suri?. Lahenda võrrand ) x = (x )+x+6; ) (x+4) + (x ) 5 5 ) x 5x = ; 4) 5x = 5(x+9) 6; 5) 9x = 6; 6) x 7x = 0; +0 = x x 9 ; 7) x 8 = 75 ; 8) x( x) = (x +7)+(x+)(x+); 9) x(x ) = (x +) (x+)(x ); 0) (x +) = (x 9). 0

11 (. Milline järgmistest tingimustest on samaväärne võrrandiga (x ) x+ ) = 0? x ) x = 0 ja x+ = 0; x ) x = 0 või x+ x = 0; ) x = 0 ja x x+ = 0; 4) x = 0 või x x+ = Tuleta ruutvõrrandi ax +bx+c = 0 lahendivalem. 5. Kirjuta välja Viète i teoreem taandatud ruutvõrrandi x +px+q = 0 jaoks. 6. Lahenda võrrand peast ) x +x = 0; ) x x 4 = 0; ) x +5x+6 = 0; 4) x 6x+8 = Millise k väärtuse korral on võrrandil x +kx+5 = 0 üheks lahendiks arv 5? 8. Avalda võrrandi x +px+q = 0 kordajate kaudu ilma võrrandit lahendamata tema lahendite ruutude summa ja lahendite kuupide summa. 9. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on võrrandi ax +bx+c = 0 lahendite(st) ) kolm korda suuremad; ) pöördväärtused. 0. Leia sellised arvupaarid (p,q), et võrrandeil x +px+q = 0 ja x px+q = 0 oleks täpselt üks ühine lahend.. Leia parameetri k väärtused, mille korral on võrrandil üks lahend ) kx = 5; ) (+k)x = k.. Leia võrrandi lahendid (ka kompleksarvulised) kasutades tegurdamist või Horneri skeemi ) x 6 64 = 0; ) x 6 7x 8 = 0; ) x +9x +x+5 = 0; 4) x 4 +5x +4x 4x 4 = 0; 5) x 5 4x 4 +4x x +4x 4 = 0; 6) x 4 4x +x 6x+5 = 0.. Koosta biruutvõrrand, mille kaks lahendit on võrrandi x 5x+6 = 0 lahendid. 4. Lahenda võrrand ) 5x +x +9x+ = 0; ) 0x x x+ = 0; ) (x )x(x+)(x+) = 4; 4) x(x )(x )(x ) = 5; 5) 6x 4 5x 8x 5x+6 = 0; 6) x 4 8x 9x +8x+ = 0.

12 Murdvõrrandid Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. Murdvõrrandi lahendamist tuleks alustada määramispiirkonna leidmisest. Olgu P(x) ja Q(x) algebralised polünoomid. Murdvõrrandi P(x) = 0 lahendamiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem Q(x) P(x) = 0, Q(x) 0.. Lahenda murdvõrrand ) x +4x x x = 0; ) x = 5 x ; 5) x +x+ = x +x 6 ; 7) 9) ) x+ + x x x = x x 9 x x + x = ; ) x. Näita, et võrrandil ) x x 6 x 7x+6 = 0; 4) x 4 x+80 = 5 x+ ; 6) x 6x 9 x = x 4x 9 x 6x 9 ; ; 8) x+ x x+ x+ + 4 x +x = 0; x +x + x x x 5 = 0; 0) x + + x x x + =,9; (x + x ) ( 7 x+ x x a + x b = on olemas reaalarvulised lahendid. c ) +9 = 0.. Ühe detaili tootmiseks kulutab üks tööline minutit vähem aega kui teine. Mitu detaili toodab kumbki tööline 7 tunni jooksul, kui esimene toodab selle aja jooksul 7 detaili rohkem kui teine? 4. Kaks töölist koos töötades lõpetavad töö 8 tunniga. Esimene neist suudaks üksi töötades lõpetada selle töö tunni võrra kiiremini kui teine üksi töötades. Mitme tunniga lõpetaks selle töö kumbki tööline üksi töötades? 5. Kaks bussi sõidavad ühest linnast teise. Et esimene buss sõidab tunnis 4 km rohkem kui teine, siis läbib ta selle vahemaa 5 minuti võrra lühema ajaga. Kui suure kiirusega liiguvad bussid, kui linnade vahemaa on 7 km? 6. Esimesel pumbal kuluks basseini täitmiseks tundi vähem kui teisel pumbal. Basseini täitmiseks pandi tööle korraga mõlemad pumbad, 0 tunni pärast esimene pump katkestas töö ja teine pump töötas üksi veel 5 tundi 45 minutit. Mitme tunniga täituks bassein kummagi pumba üksi töötamise korral?

13 Absoluutväärtust sisaldavad avaldised. Leia absoluutväärtuse definitsiooni põhjal a) ; c) 009 ; b) 0 ; d) a, kui a < 0; e) b, kui b > 5; f) c, kui c < 0.. Leia absoluutväärtused a) π,5 ; b). Leia avaldise 00 0 ; c) 4 a +4 b a b+ b väärtus, kui a = ja b = Analüüsi avaldisi x ja x + lähtudes absoluutväärtuse defintsioonist. 5. Lihtsusta avaldised a) x +x +x, kui x > 5; kui x < 4; kui 0 < x ; b) x 0 + x, kui 5 < x < 5; c) x 4 + (x,5); d) 4 x+9x +6 x, +9,; e) x x +, kui x 0; f) x +5 + x Joonesta funktsiooni graafik a) y = x ; b) y = x+ x ; c) y = x +x ; d) y = x + x. Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid. Lahenda võrrandid ) x = 5; ) x 4 = 0; ) x+5 = 8; 4) x + = 5; 5) x = 6; 6) x = 9; 7) x = x; 8) x x =.. Joonesta funktsiooni y = + x + x+ graafik ning saadud joonist kasutades lahenda võrrandid ) + x + x+ = 0; ) + x + x+ = ; ) + x + x+ = 4; 4) + x + x+ = 7.. Lahenda võrrandid ) x = 5; ) x = x+; ) 7 4x = 4x 7 ; 4) x = x ; 5) x+7 = x ; 6) y = y ; 7) x = x ; 8) x + x = 4; 9) x+ + x+ = ; 0) x 6 + x 6 = 0; ) x+ + x = ; ) 4 y y +4 = 8; ) y y = 6; 4) x + x+ = x;

14 5) x 5x+4 = x+7; 6) x x = x ; 7) (x+) x+ + = 0; 8) 6x 5x+ = 5x 6x ; 9) x x = 5; 0) x 9 x 4 = 5; ) x+ x+ = x; ) x x+ = x x+. Irratsionaalarvud. Juuravaldiste teisendamine. Kuidas tõestatakse vastuväiteliselt, et leidub ratsionaalarvudest erinevaid arve, täpsemalt, et 5 ei ole ratsionaalarv?. Leia (lihtsusta peast) a) 69; b) 7 ; c). Uuri lahendust a a = a a = =. 4. Kaota irratsionaalsus nimetajas a) ; c) ; 6 7; d) 4 4a 4 b c. e) 5+ 5 ; b) ; d) ; f). 5. Lihtsusta a) , ,0 5 ; b) 40 :,5 40 ; c) + 4 (+ ) ; 5 d) Otsusta, kumb arvudest on suurem a) või ; b) või Tegurda a) 5+ 5; b) b b+; 8. Vii tegur juuremärgi alla a) a a; b) b 4 b ; c) 0,07 5; 4 d) d 8 d +d+. c) ( a) +a; a d) ( a), kui a >. a 4

15 9. Eralda juuritavas täisruut ja juuri või kasuta liitradikaali valemit. a) 4+ ; c) 4 5+; e) 7+8; b) 4 ; d) 5+ 4; f) Näita, et arv rahuldab võrrandit x +x = 4.. Arvuta a) ; b) Lihtsusta ( a a) a a a : a + a a a a ( ) a+a b a b) ( b a a a b (+a) +a c) a 9+8a +9a d) e) ( +a +a a + ( y xy + ) ( x : x+ y ) ( a ) ; a b a +b a a +a y xy x + ) ;, kus a > 0; ) ( a a x x+y ). xy +y xy ) ; Juurvõrrandid Vaatleme juurvõrrandeid reaalarvude hulgal, seega võrrandi määramispiirkonna leidmisel arvestame, et paarituarvulise juurija korral on irratsionaalse avaldise määramispiirkonnaks juurealuse avaldise määramispiirkond, paarisarvulise juurija korral peab juurealune avaldis olema mittenegatiivne. Lähtume aritmeetilise juure mõistest, st ka paarisarvulise juurija korral on juurel ühene väärtus. Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb juuritavas avaldises. Lahendamisel tõstetakse sageli võrrandi mõlemad pooled mingisse astmesse. Paarisarvulise astendajaga astendamisel võib nii saadud võrrand osutuda esialgse võrrandi järelduseks. Võõrlahendite eemaldamiseks on vajalik lahendite kontroll. Näide. Lahenda juurvõrrand +x x = x. Võrrandi määramispiirkonnaks on +x 0 x 0 ehk x. Lahendus. Ruutuvõtmisel saame +x x + x = 4x ehk x = x. Teistkordsel ruutuvõtmisel saame x = 4x 4 4x + ehk 4x 4 x = 0. Üks võimalus on, 5

16 et x = 0. Kui x 0, siis 4x = 0 ehk x = ±. Kontroll näitab, et x = 0 sobib lahendiks. Ka ülejäänud lahendid on võrrandi määramispiirkonnast, kuid tegelikult võõrlahendid. Näitame, et on võõrlahend ( korral on arutlus analoogiline). Selleks näitame, et +. Viimane kehtib, kuna + = 4 =. Vastus: x = 0. Lahendus. Korrutades võrrandi pooled teguriga +x+ x ja jagades -ga saame, et x = x( +x + x). Siit kas x = 0 või +x + x =. Võtame viimase võrrandi pooled ruutu, siis saame, et +x+ x + x = ehk x =, mis on vastuoluline võrrand. Kontroll näitab, et x = 0 sobib lahendiks. Lahendus. Olgu f(x) = x x. Paneme tähele, et võrrand on tingimus kujul f(+x) = f( x), x [,]. Funktsiooni f(x) = x x väärtused on piirkonnas (0,) positiivsed ja piirkonnas (,) negatiivsed. Kuna juhul x (,0) kehtib +x (0,) ja x (,) ning juhul x (0,) kehtib +x (,) ja x (0,), on ainsad võimalikud lahendid x =, x = 0, x =. Kontrolli teel selgub, et ainult x = 0 rahuldab võrrandit.. Kas võrrandid on samaväärsed? Kumb võrranditest on teise järelduseks? ) u = v ja u = v; ) u = v ja u = v ; ) u = v ja u = v tingimusel, et uv 0; 4) u = v ja u = v; 5) u = v ja u = v tingimusel, et u 0, v 0.. Lahenda võrrandid ) x 5+ 0 x = ; ) x++ x = 7; ) x = x; 4) x+7 x+ = ; 5) x+8 = x ; 6) x+ = x; 7) x+ 9 x = x ; 8) x+ 6x + = x+; 9) 7+ x +7 = ; 0) x + x +0 = ; ) x 4 = x( x+); ) x 4 = x( x ); ) x+ x = ; 4) x x++ x 4x+4 = ; 5) x +5x 7 x +5x+ = ; 6) x x+5+ x x+8 = 7.. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 5 cm. Kaatetite projektsioonide aritmeetiline keskmine on 5% võrra suurem nende geomeetrilisest keskmisest. Leia kolmnurga pindala. 6

17 Võrrandisüsteemid Kahe tundmatuga võrrandisüsteem esitub kujul f (x,y) = g (x,y) f (x,y) = g (x,y). Süsteemi lahendiks nimetatakse arvupaari (x 0,y 0 ), mis muudab mõlemad võrandid tõesteks arvvõrdusteks. Lahendada süsteem, tähendab leida kõik lahendid. Lahendamisel kasutatakse järgmisi põhivõtteid. Asendusvõte 4x y +xy x+y = x+y = 5 Teisest võrrandist avaldame muutuja x = 5 y ja asendame esimeses võrrandis, saame 4(5 y) y +(5 y)y (5 y)+y = ehk9y 66y+96 = 0, mille lahendamiseks teisendame 9y 66y+ = 96 ehk(y ) = 5. Saame ruutvõrrandid lahendid 5 ( ja. Seega on süsteemi lahenditeks 5 ) ;5 ja (;). Liitmisvõte x = x+4y y = 4x+y x y = x+4y (4x+y) y = 4x+y Tegurdame esimese võrrandi (x y)(x+y) 9(x y) = 0. Seega saame muutujate jaoks kaks tingimust: x + y 9 = 0 või x y = 0. Neid tingimusi teises võrrandis muutuja x asendamiseks kasutades saame neli lahendite paari ( ; ), (; ), (7; 7) ja (0; 0). Abitundmatu võte Paljude võrrandisüsteemide lahendamisel on kasulik võrrandeis esinavate muutujate asemele valida uued, lihtsustades sellega lahendamist. Üldist reeglit uute muutujate valikuks pole. xy y = 5 x +xy = 6 (x = ty) y + x = 5 6 x + y = 5 6 ( x = u, ) y = v Võrrandite vastavate poolte korrutamine või jagamine Võrrandite vastavate poolte jagamisel tuleb silmas pidada, et ei tekiks jagamist nulliga. xy = yz = 6 xz = Korrutame nende võrrandite vastavad pooled. Saame x y z = 6, millest xyz = ±6. Asendades viimasesse järjest lähtevõrrandid, mis sisaldavad kaht tundmatut, leiame kolmanda tundmatu. Võrrandisüsteemi lahenditeks on (; ; ) ja ( ; ; ). 7

18 . Lahenda võrrandisüsteem ) 4) 7) 0) ) 5) 7) x+4y 47 = 0 x y = 0 8x = y + 4x = 5y +7 5x 5y 6z = z x+4y = z +y +7x = 0 x +y = 7 x xy +y = 9 x +xy +x = 0 y +xy +y = 0 x 5y = xy +7y = x +y = xy = 6 4x y,8 = 0 ) 7x 4y +,6 = 0 x+y = 5 5) x+z = 6 5y z = 0 x y = 9 8) ) 4) 6) x y = x+y = 8 ) x+4y =,6 x+y z = 6 6) x y +z = x+y +z = 7 xy +x+y = 9) 6 x 9 y = 8 9 x + 6 ) y = x 4y xy +5y = x +y xy 4y = 5x 6xy +5y = 9 7y 8xy +7x = 4 x y +xy = 0 x y +y x = 0 x + y = 5 4. Leia kaks kahekohalist arvu a ja b järgmistel tingimustel: kui a kirjutada b ette ja saadud neljakohaline arv jagada arvuga b, siis jagatis on ; kui aga b kirjutada a ette ja saadud neljakohaline arv jagada a-ga, siis jagatis on 84 ja jääk 4. 8

19 Logaritmi omadused Positiivse arvu x logaritmiks alusel a (a > 0, a ) nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv x, st log a x = c a c = x. Lähtudes logaritmi definitsioonist on võimalik lahendada kolme tüüpi võrrandeid: ) arvu logaritmi leidmine log 8 = x x = 8, millest x =, sest = 8 ( ) x = 4, millest x =, sest log 4 = x ) logaritmitava leidmine log x = 5 5 = x, millest x = log x = ) logaritmi aluse leidmine ( ( ) = x, millest x = = 7 ) = = 4 log x 64 = x = 64, millest x = 4, sest 4 = 64 log x 8 = 4 x4 = ( ) 4 8, millest x = 4 4 = 4 = Olgu x, y, a, b > 0, a, b. Logaritmil on järgmised omadused: log a a = log a = 0 a log a x = x 4 log a xy = log a x+log a y 5 log a x y = log ax log a y 6 log a x n = nlog a x 7 log a x = log bx (logaritmi aluse vahetamine) log b a 8 log a b log b a = 9 log a n x n = log a x Naturaallogaritmi log e x korral kasutatakse sageli tähistust lnx. Sümboli logx tähendus sõltub aga kontekstist: matemaatikute jaoks tähendab see enamasti log e x, matemaatilise analüüsi õpikutes kohtab log 0 x tähenduses, bioloogide ja inseneride jaoks tähendab see tihtipeale log 0 x, arvutiteadlaste jaoks log x (aines Elementaarmatemaatika logx = log 0 x). Antud arvu antilogaritmiks mingil alusel nimetatakse arvu, mille logaritm selsamal alusel on antud arv, st kui c = log a x, siis x on arvu c antilogaritm. Potentseerimine on arvu antilogaritmi leidmine (c potentseerimine alusel a tähendab leida selline x, et a c = x). Näited ) 49 4 log 7 5 = (7 ) 4 log 7 5 = 7 ( 4 log 7 5) = 7 log 7 5 = 7 log 7 5 = 7 log 7 5 = = 7 : 7 log 7 5 = 7 : 5 = 9,8 ) Tõesta, et log a n x = log ax n. ( ) log a n x = log a n x n 9 n = log a x n = 6 n log ax = log ax n ) Avalda log5, kui log = a log5 = log = log00 log4 = log 6 = log = a 9

20 4) Olgu log = a. Leia log 8. log 8 = log 9 = 4 +log Paneme tähele, et a = log = log 4 = 4 +log 4 = 6 +log, seega log = a ning log 8 = + a. Ülesanded. Lihtsusta ) 5log 5 5+8log 64 4log 7+log +log 5 ; ) log 7 +5 log 5 8+,4 log,4 0+ ; 5 ) log +log +log 4 5 log 7 ; 4) 6 log 4 48 ;. Arvuta avaldise ) log 7 a 49b väärtus, kui log 7a = ja log 7 b = ; ) log 5( b ) 4 väärtus, kui log5 b = ; ) log 0 8 väärtus, kui log5 = a ja log = b; 4) log48 väärtus, kui log 5 = a ja log 5 8 = b.. Näita, et kehib võrdus b log a c = c log a b. ( 5) log log 8) 5 ; [ a,5 a 0,5 b 6) log a (a 0,5 b 0,5 )(a 0,5 +b 0,5 ) a 4. Arvuta avaldise väärtus 5 ) loglog 0; ) 6 log log 5 +0 log ; ) log 8 log 4 log Otsusta abivahendeid kasutamata, kumb arv on suurem ) log 7 või log 9 48; ) log 0,6 7 või log 0,6 8; ) log 7 või log Arvuta ) log0 sin0 +0 0,5log9 log ; ) 0 log(0log0) +log 8; ( ) log +log log ) ; 4) log5 log0+(log). 7. Leia avaldise naturaallogaritm (logaritmimine) ) u = x 5 zy z ; ) x = 4a 6b. 8. Avalda muutuja x (potentseerimine) ) logx = log loga; ) logx = 0,log(a)+. a 9. On teada, et a > b >. Millised järgmistest võrratustest on tõesed? ) loga > logb; ) log n a > log n b, kui n > ; ) log n a > log n b, kui 0 < n <. 0. Tõesta järgmised võrdused ) log a b log b c log c a = ; ) log ab N = log an log b N log a N +log b N ; ) log bn(an) = log ba+log b N +log b N.. Arvuta b b, kui a b = 8, b c = 0 ja a c =. ]. 0

21 Logaritmvõrrandid Võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses, nimetatakse logaritmvõrrandiks. Logaritmvõrrandi lahendamiseks puudub üldine meetod. Enne logaritmi omaduste rakendamist tuleks veenduda, et logaritmi definitsioonis esinevad tingimused (logaritmi alus on positiivne ja erineb nullist, logaritmitav on positiivne) on rahuldatud. Näited ) Logaritmi definitsiooni kasutamine Võrrandi log x ( x) = määramispiirkonnaks on x > 0 x x > 0 x (,) (,). Logaritmi definitsiooni kohaselt log x ( x) = (x ) = x x x = 0 x = x =. Mõlemad lahendid on võõrlahendid, kuna ei kuulu võrrandi määramispiirkonda. ) Logaritmi omaduste kasutamine log 6 x+log 4 x+log x = 7 log 4 x+log x+log x = 7 log x + log x +log 4 x = 7 7log x = 8 log x = 4 x = 6 ) Potentseerimine Võrrandit log ϕ(x) f(x) = log ϕ(x) g(x) potentseerides alusel ϕ(x) saadakse võrrand f(x) = g(x). Selle teisenduse käigus võib lahendeid juurde tekkida (potentseerides saadakse esialgse võrrandi järeldus). log x = log ( 6 x ) x = 6 x x = x = Kontrollides selgub, et x = on võõrlahend, seega võrrandi lahend on x =. 4) Abimuutujat kasutades algebraliseks võrrandiks teisendamine (log x) log x = 6 5) Uuele alusele üleminek log x log x = (lahendid on ja 0,5) 6) Graafiline lahendamine log (x ) = log x Ülesanded. Lahenda võrrandid ) log ( x 65) = 4; ) log 7 log 4 log (x 7) = 0; ) log x x = ; 4) log(x ) logx = ; 5) log 4 x = log x; 6) log (5x 0) log (x 4) = ; 7) logx logx = ; 8) log 0,5 ( x) =,5; 9) log x 9 = ; 0) log x (x x ) = ; ) log x x = 4; ) log (x ) = log x; ) log x log x = 0,5; 4) 5 logx + +logx = ; 5) log x 6x+9 = ; 6) log (x ) = log x ;

22 7) log 8 x log (x+) = ; 8) log(x )+log(x+9) = log+log; 9) log(x 6) 0,5log = log+log x 0; 0) log(x+6) 0,5log(x ) = log5; ) log(x ) = log(8x x +); x ) loglog x 8 = 0; ) logx +log(x+0) = log; 4) 0,5log(x x+5) log(x+5) = 0,5; 5) x logx = 00x; 6) log log (x 6) log log x 6 = ; 7) log(x)+log(x) log(4x) logx = x+; 8) 8,(lnu) 0,lnu,4 = 0; 9) (lnx+) (lnx ) = 7; 0) log (u u+0) log(u u+0) =. x y =. Lahenda võrrandisüsteem log 0,5 x+log 0,5 y = 0.. Linnas on elanikku. Iga-aastane iive on. Kui mitme aasta pärast on selles linnas 0 elanikke ? Eksponentvõrrandid Võrrandit, milles tundmatu esineb astendajas, nimetatakse eksponentvõrrandiks. Eksponentvõrrandi lahendamiseks puudub üldine meetod. Lahenduseni võivad viia järgmised võtted (eeldame, et a > 0, a ): ) Logaritmimine a f(x) = b f(x) = log a b ) Võrdsete alustega astmete astendajate võrdsustamine b f(x) = b g(x) f(x) = g(x) ) Logaritmi samasuse kasutamine a log a f(x) = b f(x) = b 4) Abimuutujat kasutades algebraliseks võrrandiks teisendamine Ülesanded. Lahenda võrrandid ) x x = 6; ) x 5x 6 = (x ) 0 ; ) x 4 x+ 64 x = 0,5; ( ) x 7 4) = 7 5) x = 4; 6) x x = ; ( ) 7 7x ;

23 7) x = x ; x+ log 8) x = 8; 9) 6 x +6 x+ = x + x+ + x+ ; 0) 5 x +5 = 0 5 x ; ) 4 x +6 x = 9 x ; ) 4 x 8 x = x ; ) x x = ; 4) 5 x 5 x = 0,; 5) 5 x 7 x 5 5 x 5 7 x = 0; 6) x+ x 4 x = 7; 7) log x 5+log x + = log0; 8) logx = log x; 9) (logx) logx = ; 0) x 8 x x+ = 6; ) 5 logx+ = 50 x log5 ; ) log x +x logx = 4; ) x 4log 4 x = 4 ; 4) x x +x =.. Lahenda võrrandisüsteemid ) 4x 5 y = 6 x = 8 ; ) x y = y x = 8 ; ) x logy = 00 log y x =.. Riigis on antud hetkel 00 miljonit elanikku. Statistiliste uuringutega tehti kindlaks, et iga 0 aastaga suureneb riigi elanike arv, korda. Eeldades, et elanikkonna muutumise kiirus on võrdeline elanike arvuga, leida: a) riigi elanike arv 0 aasta pärast; b) mitme aastaga kahekordistub riigi elanike arv. 4. Veenõu veega, mis oli kuumutatud temperatuurini 80 C, hakkas õhu käes jahtuma. Vee temperatuuri mõõdeti iga kümne minuti tagant. Tulemused kanti järgmisse tabelisse Aeg (min) Temperatuur ( C) ,5 4 8 Kujutage tabeli andmete põhjal jahtuva keha temperatuuri ja aja seos graafiliselt. Eeldades, et uuritav seos avaldub kujul T = ae bt, kus muutuja t on aeg ja T temperatuur, arvutage vee temperatuur, kui nõu koos veega on jahtunud a) 5 minutit; b) minutit. 5. Skitseeri järgmiste funktsioonide graafikud ) y = log (4x); ) y = x 7 log 8.

24 Võrratused Võrratuse f(x) > g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse võrratuse mõlemal poolel esinevate funktsioonide f(x) ja g(x) määramispiirkondade ühisosa. Muutuja väärtuste hulka, mis kuulub võrratuse määramispiirkonda ja muudab võrratuse tõeseks, nimetatakse võrratuse lahendiks. Kaht võrratust nimetatakse samaväärseteks, kui nende võrratuste lahendite hulgad on võrdsed. Olgu T, T ja T termid, st arvud või arvudest ja tähtedest koosnevad matemaatilised avaldised, milledel on kindel väärtus nendes esinevate tähtede avaldamisel arvudega. Võrratustega võime teostada järgmisi teisendusi:. T < T T +T < T +T;. T < T T T < T T, kui T > 0; T < T T T > T T, kui T < 0;. 0 < T < T T > T ; 4. T < T ja T < T 4 T +T < T +T 4 ; T < T ja T > T 4 T T < T T 4 ; 5. T < T ja T < T 4 T T < T T 4, kui T,T 4 > 0; 6. T < T T > T ; 7. 0 < T < T T n < Tn, kui n N; T < T < 0 T n > T n, kui n on paarisarv; T < T < 0 T n < T n, kui n on paaritu arv; 8. T < T m T < m T, kui m on paaritu arv; 0 < T < T m T < m T, kui n on paarisarv; 9. 0 < T < T log a T < log a T, kui a > ; 0 < T < T log a T > log a T, kui 0 < a < ; 0. T < T a T < a T, kui a > ; T < T a T > a T, kui 0 < a <. Nende teisenduste rakendamisel võib muutuda võrratuse määramispiirkond ja siis ei pruugi lähtevõrratus teisendatud võrratusega enam samaväärne olla. Näiteks võrratus x+ x < + x on küll samaväärne temast teisenduse abil saadud võrratusega x + x x <, kuid viimasest peale koondamist saadud võrratuse x < määramispiirkond X = R on esialgse võrratuse määramispiirkonnaga X = x R x } võrreldes laienenud ja need võrratused ei ole samaväärsed. Lineaar-, ruut- ja kõrgma astme võrratused. Murdvõrratused. Intervallmeetod. Lahenda võrratus 4

25 ) x < 0; 4 ) x+6 > 0; ) x > x;. Lahenda võrratus 4) x > 0; 5) x < 0; 6) 4x < 0; 7) x > 5; 8) x 0; 9) 0 x > x. ) +x + 4 x 4 < 0; ) 4(x ) < ( x); ) x > +x; 4) x 7 7 x; 5) (4x+9) 0; 6) x + x > 7x 6 ; 7) (x+) (x 4) > (x ) +7x.. Lahenda võrratuste süsteem x < ) x < 5 4) x > x 4 < 7) 5x > x 9 x 6x+ < 6(x+) ) x x 5) x < x x > 0 8) x+4 < x x > ) x > 5 0x > 0 6) x x x 0 9) (x ) > 0 (x ) 0 4. Lahenda ahelvõrratus ) < x+5 < ; ) < x+5 < ; ) 7 x 5 4) 7 x 5 4; 7; 5) 4 5 x ) Millal avaneb funktsiooni y = ax +bx+c graafik ülespoole, millal allapoole? ) Millal lõikab ruutfunktsiooni graafik x-telge kahes erinevas punktis? ) Millal on ruutfunktsiooni graafikul ja x-teljel vaid üks ühine punkt? 4) Millal pole ruutfunktsiooni graafikul ja x-teljel ühiseid punkte? 6. Lahenda võrratus intervallmeetodiga ) (x+) 4 (x ) ( x) (x+4) 5 < 0; ) x (x+)(x ) (x +4) 0; ) x 4 (x ) (x 4 +6) > 0; 7. Lahenda võrratus 4) 5) x ( x)(x 9) 0; 4 x+ (5x ) (x+) x 0. ) x 5x+5 < 0; ) x 4x+ > 0; ) x +x+ < 0; 4) x + > 0; 5) x +9 0; 6) (x+)(x 7) > x 7; 7) x 6x > 0; 8) x 4 < 0; 9) x(x+) > x. 5

26 8. Lahenda võrratus intervallmeetodiga ) (x+)(x 6)(x+7) > 0; ) (x )(4 x)(x+) < 0; ) (x+)(9 x )(x +)(x ) > 0; 4) (x+)(x x+8) < 0; 5) (x )(x )(x )(x 4 ) 0; 6) ( x)(x+5) > 0; x+ (x+)(x+)(x ) 7) (x )(x+4)( x) > 0; 8) (x+) (x ) 0; x 9) x x 4 4x > 0; +9 0) x x 4 (x+) < 0; ) x +x +x 5 9x 0; ) x+ + x+ < x+ ; ) x 4x 6 ; 4x 4) x + x < ; 5) +x x > 4+7x x ; 6) (x x )(x 5) (x )( x) 7) (x 4x+) (4x x )(x ) 0; 0; 8) x x +9x 7 x 0; 7 9) x +x < x 4 +x; 0) x 6 x 5 +x +x 4 < 0; ) (x x)( x)(x+) Lahenda võrratus ) x ; ) x x+ > ; ) x x < ; 4) x x; 5) x > x; 6) x+4 x+ ; 7) x 7 5x >. 0. Lahenda võrratuste süsteem x x > 0 x +x+ > 0 ) ) x x+ < x 4 x > 0 ). Leia funktsiooni f(x) =. Lahenda võrratus (x+)(x+)(x ) < 0 (x+5)(x+)( x)(x ) 0 x 6 x+ + 4 (x 4 5x +6x )( x ) määramispiirkond. ) (e x +)(x ) x 0; ) (x+)(x ) x+; ) (x+)(x ) x+; x+(5x ) 4) 0. x+. Ehitatava 00 m pikkuse raudteetammi lõige peab kujutama võrdhaarset trapetsit, mille suurem alus on 5 m. Kaldenurk peab olema 45. Millise raudteetammi kõrguse korral oleks mullatööde maht suurem kui 400 m kuid ei ületaks 500 m? 5x 4 x 4. Mitu täisarvulist lahendit on võrratusel x 0 8x+ 0? Süsteemil x 8x+ < 0? 6

27 Võrratuste tõestamine Tõesta järgmised võrratused, otsusta, millal kehtib võrdus. ) x +y xy ) x+y xy, kui x 0, y 0 ) x xy +4y 0 4) a +b +c ab+ac+bc 5) ab+bc+ca, kui a +b +c = 6) x +y +z +xz +yz 0 7) (a+c)(b+d) ab+ cd, kui a,b,c,d 0 8) x x +x x +...+x 00 x 004 +x 004 x x +x +...+x 004 9) a 4 + a(a a+) 0) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc, kui a,b,c 0 ) a +b + ab+a+b ) a +a+ a +a+ ) a +c +b + c a+b+, kui c > 0 4) a 4 +b 4 ab, kui a b 0 5) 6) ( ) a+b+c ab+ac+bc n + + n >, n N 7) m 6 m 5 +m 4 +m m+ > 0 8) k[n (k )] n, kui k n 9) a 4 +b 4 a b+ab 0) x 4 +y 4 + 6xy ) a b + b, kui a > 0, b > 0 a ) a c Viited ( a b abc + b c ), kui a b c > 0 c a [WZ] J. Willemson, I. Zolk, Võrratused, Tartu

28 Absoluutväärtust sisaldavad võrratused. Missuguste parameetri t reaalarvuliste väärtuste korral on võrrandi t(x ) + = t x lahend suurem kahest?. Lahenda võrratus ) 5x 7; ) x > 4; ) 4x 5 0; 4) x > 4; 5) x > 0; 6) x x; 7) x 5 < x ; 8) x+ x < 4; 9) x+ x + x < 4; 0) x + 7 x 5; ) x + 7 x 5; ) x 5 x + 0; ) x +x+ x + 0; 4) x +x+0 x +7x+; 5) x 4x+5 > x ; 6) 5x+ > x +x+; 7) x x 8 > 5; 8) x+5 +x x > ; 9) 5x+ x > ; 0) x 6 > 5x (x +9).. Lahenda võrratus ) x +x < ; ) x x 4; ) x x+ x +4x+4 + x x+ 0; 4) (x ) + (x ) + (x ). 4. Punkt B asetseb lõigul AC, AB = ja BC =. Näidake sirgel AB kõik punktid M, mille korral AM + BM = CM. Märkus : tähistab lõigu pikkust. Juurvõrratused Naturaalarvulise k korral k+ f(x) < g(x) f(x) < ( g(x) ) k+ f(x) 0 k f(x) < g(x) g(x) > 0 f(x) < ( g(x) ) k k g(x) < 0 g(x) 0 f(x) > g(x) f(x) 0 f(x) 0 f(x) > ( g(x) ) k 8

29 . Lahenda võrratus ) 6 x < 8; ) (x+) x 0; ) x+ < ; 4) x +9 > 4 x; 5) (x+)(5 x) > 6; 6) x+5 < ; 7) x > 5; x+ 8) 4 x ; 9) x+0 < x 5; 0) x 5 x+0; ) 8 9 4x+6x ; 5x+ ) x 0; ) (x ) x < x x ; 4) ( x) x+7 > 0; 5) (x+) (x )(x+); 6) x+ x 4 ; 7) x+5+ > x ; x x+ 8) x+ x 7.. Raamatute ja vihikute ostmisel maksti raamatute eest $0.56, aga vihikute eest $0.56. Raamatuid osteti 6 võrra rohkem kui vihikuid. Kui palju osteti raamatuid, kui üks raamat on vihkust vähemalt $ võrra kallim? (Märkus: puudub seos juurvõrratustega.). Lahenda võrratus x+ x + 4. Lahenda võrratus (x ) x a x x > x. > x+a 5 x a muutuja x suhtes. 9

30 Eksponentvõrratused Eeldame, et eksponentfunktsiooni alus a rahuldab tingimusi 0 < a. Eksponentfunktsioon y = a x on kasvav, kui a > ning kahanev, kui 0 < a <. Kui a >, siis a f(x) < a g(x) f(x) < g(x). Kui 0 < a <, siis a f(x) < a g(x) f(x) > g(x).. Mida võib öelda arvude m ja n kohta, kui ( ) m ( ) n ) 5 m < 5 n ; ) < ; ) 0 m > 0 n ; 4) 0,5 m 0,5 n ; 5) 5 5. Mida võib öelda arvu a kohta, kui ) a < a ; ) a > a 4 ; ) a 4 > a 5 4; 4) a < a? ( ) m > ( ) n?. Lahenda võrratused ) x+5 > x ; ) x 4 < 9 x+ ; ) ( ) x < ( ) 4x 6 ; 4. Lahenda võrratused 4) 0,5 x+ 4; ( ) x+5 5) > ; 9 ( ) x x ( ) 6+x 6) > ; 9 7) 6x x < 7 x ; ( ) x 5x 8) > 8. ) x x x+ 0; ) x x x x x 0; ) 9 x + < x+ ; 4) x < x ; 5) 4 x x+ +8 < 0; 6) x+ + x 9; 7) 0 x 5 x x > 950; 8) x x x+ x > Lahenda võrratused ) x+ x+ x+4 > 5 x+ 5 x+ ; ) 6 x + 8 x 5 6 x ; ) x +5 < x+ ; 4) < x x < 9. 0

31 Logaritmvõrratused Eeldame, et logaritmfunktsiooni alus a rahuldab tingimusi 0 < a. Logaritmfunktsioon y = log a x on kasvav, kui a > ning kahanev, kui 0 < a <. f(x) > 0, Kui a >, siis log a f(x) < log a g(x) g(x) > 0, f(x) < g(x). f(x) > 0, Kui 0 < a <, siis log a f(x) < log a g(x) g(x) > 0, f(x) > g(x).. Mida võib öelda arvude m ja n kohta, kui ) log 5 m < log 5 n; ) log 0,5 m < log 0,5 n; ) lnm > lnn; 4) log 8 m > log 8 n; 9 9 5) log(m) > log n?. Mida võib öelda arvu a kohta, kui ) log a < log a ; ) log a > log a 4; ) log a > log 4 a; 4) log a > log 5 a? 4 4. Lahenda võrratused ) log 4 (5x ) > 0; ) log 0,5 ( x) 0; ) log (x+5) log ( x) > 0; 4) log (x 4) < 9; 5) log x < log(4x 6); 6) log 0,5 (x+); 7) log (5+4x x ) > ; 8) log (x ) ; 9) log x > log x; x 0) log < log (x x+) Lahenda võrratused ) log 8 (x ) log 8 (x ) > ; ) +log 9x log (5x) > log(x+); ) log (x+5) < log 5 0, (6 x ) ; 4) log, (x+)+log, (x ) < log 0,8() Lahenda võrratused ) log x ; ) log x (x ) ; ) xln x 6 x 0; 4) x lnx xln(x) < 0; 5) (x 0,5)( x) log x > 0; 6) log 0,5 x+log 0,5x ; x 7) log 5 x+log x > ( log x)log 5 x ; log x 8) log 4 ( x x ) log

32 Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine Geomeetrias defineeritakse nurka kui kujundit, mille moodustavad kaks ühest punktist väljuvat kiirt. Trigonomeetrias vaadeldakse nurka kui pöörleva kiire poolt läbitud teed. Nurga suuruseks loetakse pööre, mille kiir teeb oma lähteasendi suhtes. Kui kiir pöörleb kellaosuti liikumisele vastupidises suunas, siis loetakse tekkinud nurgad positiivseteks, kui pöörlemine toimub kellaosuti liikumise suunas, siis negatiivseteks. Kraadimõõdus on /60 osa täispöördest, (minut) on /60 osa kraadist, (sekund) on /600 osa kraadist. Radiaanmõõdus rad on nurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele, 60 = π rad, 80 = π rad, rad Nurga radiaanmõõtu kasutatakse enamasti ilma ühiku nimetuseta, st α = rad asemel kirjutatakse α =. Võtame koordinaattasandi alguspunkti ümber vabalt pöörleva kohavektori OA, mille lõpp-punkti koordinaadid on x ja y ning moodul on r. Vaatleme nurka α, mis tekib x-telje positiivse suuna ja kohavektori vahel. Nurga α siinuseks nimetatakse kohavektori lõpp-punkti ordinaadi ja selle vektori mooduli suhet: sinα = y. Nurga α koosiinuseks nimetatakse kohavektori lõpp-punkti r abstsissi ja selle vektori mooduli suhet: cosα = x. Nurga α tangensiks nimetatakse kohavek- r tori lõpp-punkti ordinaadi ja abstsissi suhet: tanα = y. Nurga α kootangensiks nimetatakse x kohavektori lõpp-punkti abstsissi ja ordinaadi suhet: cotα = x y. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi: α sinα cosα 0 0 tanα 0 puudub 0 puudub 0 Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. Funktsioonide sin α ja cos α väikseim positiivne periood on π, funktsioonide tanα ja cotα väikseim positiivne periood on π. Seega sinα = sin(α+k 60 ), cosα = cos(α+k 60 ), tanα = tan(α+k 80 ) ja cotα = cot(α+k 80 ), kus k Z. Ülesanded. Tõesta järgmised seosed [] sin α+cos α = ; sinα [] cosα = tanα; [] +tan α = cos α (jaga [] pooled avaldisega cos α); [4] cos(α β) = cosαcosβ +sinαsinβ (kasuta vektorite skalaarkorrutist); [5] cos(α+β) = cosαcosβ sinαsinβ (kasuta [4], kus β rollis on β); [6] sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ (kasuta [4] või [5], avaldades sin(α+β) koosinuse kaudu sinγ = cos(90 γ));

33 [7] sin(α β) = sinαcosβ cosαsinβ (kasuta [6]); [8] tan(α+β) = tanα+tanβ (kasuta [5] ja [6]); tanαtanβ [9] tan(α β) = tanα tanβ (kasuta [8]); +tanαtanβ [0] sinα = sinαcosα (kasuta [6]); [] cosα = cos α sin α = cos α = sin α (kasuta [5]); [] tanα = tanα tan (kasuta [8]); α [] sin α = cosα (kasuta []); [4] cos α = +cosα (kasuta []); [5] tan α = sinα +cosα = cosα (kasuta [0] ja [], kus α rollis on α sinα ); [6] sinx+siny = sin x+y cos x y (esita x = α+β, y = α β ning kasuta [6] ja [7]); [7] sinx siny = sin x y [8] cosx+cosy = cos x+y [5]); [9] cosx cosy = sin x+y [5]); cos x+y cos x y sin x y (kasuta [6]); [0] sinαcosβ = (sin(α+β)+sin(α β)) (kasuta [6]); [] cosαcosβ = (cos(α+β)+cos(α β)) (kasuta [8]); [] sinαsinβ = (cos(α β) cos(α+β)) (kasuta [9]). (esita x = α+β, y = α β ning kasuta [4] ja (esita x = α+β, y = α β ning kasuta [4] ja. Teisenda radiaanideks täpselt ja arvutil arvutades ) 44 ; ) 99 ; ) Teisenda kraadimõõtu täpselt ja arvutil arvutades ) 7π 4 ; ) ; ) π Teisenda täiskraadideks ) 58 ; ) Leia antud nurkade täiendusnurkade suurused radiaanmõõdus ) π 7π ; ) ; ) 0, Leia antud nurkade kõrvunurkade suurused radiaanmõõdus ) 5 π; ) 7 9 π; ) π Leia ülejäänud tigonomeetriliste funktsioonide väärtused, kui ) sinx = 5, π < x < π ; ) cosx = 4 5, π < x < π ; ) tanx = 4, 0 < x < π ; 4) cosx = 0,6, π < x < π.

34 8. Arvuta avaldise täpne väärtus ) sin90 +cos40 tan( 540 ); ) cos00 sin0 tan5 tan5 +cos50 sin0 ; ) sin750 sin50 +cos90 cos870 +tan600 tan780 ; 4) tan5 sin( 0 )+cot( 5 ) 0,5tan( 80 ). 9. Lihtsusta avaldised ) 6sinxcosxcosxcos4xcos8x, kui x = π 64 ; ) sin40 +sin40 ; ) sin(45 +α) sin(45 α) sin(45 +α)+sin(45 α) ; cosα 4) sinα +tanα tanα ; cosx 5) ( cos x 4 sin x ) ; 4 0. Tõesta samasus ) sinx = sinx 4sin x; ) cosx = 4cos x cosx; sinαcosα cosα ) cos α sinα+sin α = cosα; 4) cot α cot β = cos α cos β sin αsin β ; tanα 5) tanα+cotα = sin α; 6) cos α sin α +sinαcosα = cosα sinα; 7) cos x sinxcosx = tan x ; tanx 6) +sinx cosx +sinx+cosx ; 7) sin α sinα cosα sinα+cosα tan α ; 8) sin β +cos 4 β sin 4 β; 9) cosαtanα sin α cotαcosα; 0) cos α sin α cos α sin α. 8) ( sinα )( + +sinα ) = 4sinα +sinα sinα cos α ; 9) (sin 6 x+cos 6 x)+ = (sin 4 x+cos 4 x); 0) tan α +tan α +cot α cot α = tan α; ) ( cotα) +(+cotα) = sinα ; ) (tanα+cotα) (tanα cotα) = 4; ) sin 6 x+cos 6 x = sin xcos x; 4) tan α sin α = tan αsin α. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) Funktsiooni y = sinx, kus π x π, pöördfunktsiooniks y = arcsinx (arkussiinus) nimetatakse vähima absoluutväärtusega nurka, mille siinus võrdub arvuga x. Definitsiooni kohaselt sin(arcsin x) = x, kuid üldiselt arcsin(sin x) x. Funktsiooni y = cos x, kus 0 x π, pöördfunktsiooniks y = arccos x (arkuskoosinus) nimetatakse vähimat mittenegatiivset nurka, mille koosiinus võrdub arvuga x. Funktsiooni y = tanx, kus π < x < π, pöördfunktsiooniks y = arctanx (arkustangens) nimetatakse vähima absoluutväärtusega nurka, mille tangens võrdub arvuga x. Funktsiooni y = cot x, kus 0 < x < π, pöördfunktsiooniks y = arccot x (arkuskootangens) nimetatakse vähimat positiivset nurka, mille kootangens võrdub arvuga x. 4

35 . Arvuta ) arcsin ; ( ) ) arccos ; ) sin(arcsin 0,8); ( 0) arcsin sin π 7 4) cos(arccos( 0,5)); 5) cos(arctan ); ( ( )) 6) tan arccos ; ) ( +arccos cos 46π 7 ( ) cos arctan 4 +arccos 5 ). ) ; 7) arctan(tan,8π); ( 8) arcsin sin 7π ( 9) arccos cos π 4 ) ; ) ;. Lihtsusta avaldised ) cos(arcsin x); ) sin(arctan x); ) cos(arctan x); 4) tan(arcsin x) 5) sin( arcsin x); 6) tan( arctan x).. Leia funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. ) y = arcsin(+x); ) y = arccos(x x ); ) y = arctan(ln(x )). 4. Konstrueeri funktsiooni y = arccos(cos x) graafik. ( 5. Tõesta, et arccos 0,5 + arccos ) = arccos 7 ( 4 ). 5

36 Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud, määramis- ja muutumispiirkonnad y = sin x -π -π/ π/ π π/ π 5π/ π - y = cos x -π -π/ π/ π π/ π 5π/ π - y = tan x -π -π/ π/ π π/ π 5π/ π - - y = cot x -π -π/ π/ π π/ π 5π/ π - - 6

37 Funktsioon Määramispiirkond Muutumispiirkond y = sinx x R y [,] y = cosx x R y [,] π } y = tanx x R\ +kπ k Z y R y = cotx x R\kπ k Z} y R y = arcsin x π/ y = arctan x π/ π/ -π/ y = arccos x π y = arccot x π π/ π/ Funktsioon Määramispiirkond Muutumispiirkond y = arcsinx x [,] [ y π, π ] y = arccosx x [,] y [0,π] ( y = arctanx x R y π, π ) y = arccot x x R y (0,π) 7

38 Trigonomeetrilised võrrandid Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. Trigonomeetrilised põhivõrrandid ning nende lahendivalemid: sinx = a x = arcsina+kπ, x = (π arcsina)+kπ, k Z, ehk x = ( ) n arcsina+nπ, n Z cosx = a x = arccosa+nπ, x = arccosa+nπ, n Z, ehk x = ±arccosa+nπ, n Z tanx = a x = arctana+nπ, n Z Näide. Lahenda võrrand sin x = 0,5. a) Lahendus, mis tugineb siinusfunktsiooni omadustele. Siinus on positiivne I ja II veerandi nurkade korral, ülejäänud lahendid saame kätte perioodi π lisamisega. Seega lahenditeks on x = π ( 6 +n π = 0 +n 60 ja x = π π ) +n π = 5π 6 6 +n π = 50 +n 60, n Z. b) Trigonomeetrilise põhivõrrandi lahendivalemit kasutadesx = ( ) n arcsin0,5+nπ = ( ) nπ 6 + nπ, n Z. Näide. Lahenda võrrand sin x =. Kuna siinus on paaritu funktsioon, võime võrrandi esitada kujul sin( x) = asendust x = y. Põhivõrrandi sin y =. Kasutame lahendid on y = 60 +n 60, y = 0 +n 60, n Z. Arvestades asendust x = y, saame x = 60 +n 60 või x = 0 + n 60, millest x = 0 n 60, x = 60 n 60, n Z. Vastuse võime kirjutada ka kujul x = 0 +n 60, x = 60 +n 60, n Z Ülesanne. Lahenda järgmised võrrandid ) cosx = ; ) cos4x = ; ) sin(x 5 ) = 0. Näide. Lahenda võrrand cos x+cosx = 0. Asenduse y = cos x abil saame võrrandi taandada algebralise võrrandi lahendamisele. Ruutvõrrandi y +y = 0 lahenditeks on y = ja y =. Vaatleme võrrandeid cosx = ja cosx =. Esimesel võrrandil lahendid puuduvad, sest cosα. Teise võrrandi lahendiks on x = ±60 +n 60, n Z. Ülesanne. Lahenda järgmised võrrandid ) sin 4x 8sin4x+ = 0; ) 5cos x+cos x 0cosx = 0; ) tan x = tanx. 8