Tõkestamata intervallis ühtlaselt pidevad funktsioonid

Väljavõte

1 TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Mtemtik instituut Mtemtik eril Glin Bogdnov Tõkestmt intervllis ühtlselt pidevd funktsioonid Bklureusetöö Juhendj: professor Toivo Leiger Autor: juuni 203 Juhendj: juuni 203 Lubd kitsmisele Mtemtik instituudi juhtj: juuni 203 Trtu 203

2 Sisukord Sissejuhtus 3 Funktsioonide ühtlne pidevus: definitsioon j üldised omdused 5. Ühtlse pidevuse definitsioon j näiteid Ühtlse pidevuse kirjeldmine jdde bil Ühtlselt pidevd funktsioonid tõkestmt intervllis 2. Üldised teoreemid Kontrnäide Funktsiooni ühtlne pidevus j tem grfiku sümptoodid Ühtlne pidevus j pärtu integrli koonduvus Lõpmtute rjdeg pärtud integrlid Koonduv pärtu integrlig funktsioonide ühtlne pidevus Summry 26 Kirjndus 28 Litsents 29 2

3 Sissejuhtus Funktsioonide ühtlse pidevuse mõiste defineeritkse mtemtilise nlüüsi põhikursuses, kuid selleg seotud omduste uurimisel piirdutkse Cntori teoreemig. See teoreem väidb, et igs lõigus pidev funktsioon on selles lõigus ühtlselt pidev. Sed olulist fkti ksuttkse integrlrvutuse ühe kõige tähtsm väite ig lõigus pidev funktsioon on selles lõigus integreeruv tõestmisel. Mis puutub tõkestmt intervllis määrtud funktsioonide ühtlst pidevust, siis kursuse «Mtemtiline nlüüs III» loengukonspektis on täiendv (mittekohustusliku) õppemterjli hulgs esittud mõned sellekohsed väited, selhulgs väide, et intervllis [, ) pidev funktsioon f on selles intervllis ühtlselt pidev, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim f(). Käesolev bklureusetöö eesmärk on nd ülevde funktsioonide f : [, ) R ühtlse pidevuse trvilikest j/või piisvtest tingimustest. Töö on refertiivne, selle kirjutmisel olid luseks rtiklid [], [4] j loengukonspekt [3]. Lisks ksutsime k rmtuid [2] j [5]. Töö koosneb kolmest petükist. Esimene petükk on sissejuhtv. Selle esimeses lpunktis esitme ühtlse pidevuse definitsiooni j näiteid pidevte funktsioonide koht, mis ei ole ühtlselt pidevd. Teises lpunktis selgitme, kuids jdde bil kirjeldtkse funktsioonide ühtlst pidevust. Vtleme, missugused tingimused on trvilikud j piisvd pidev funktsiooni ühtlseks pidevuseks. Tähelepnuväärne on ühtlse pidevuse seos Cuchy jddeg: ig intervllis ühtlselt pidev funktsioon teisendb Cuchy jd uuesti Cuchy jdks. Seejuures tõkesttud intervllide korrl kehtib k vstupidine väide. Selle petüki lõpus toome k näite ühtlse pidevuse j Cuchy jdde vhelisest seosest. Teine petükk on pühendtud ühtlselt pidevte funktsioonide uurimisele tõkestmt intervllis. Selle esimeses lpunktis tõestme, et lõpliku piirväärtuse lim f() olemsolu grnteerib pidev funktsiooni f : [, ) R ühtlse pidevuse. Toome näite selle koht, et lõpliku piirväärtuse lim f() eksisteerimine ei ole trvilik tingimus selle funktsiooni ühtlseks pidevuseks. Alpunkti viimne teoreem väidb, et tingimus f() lim sup <, mis on trvilik funktsiooni f ühtlseks pidevuseks intervllis [, ), ei ole selleks piisv. Teine lpunkt on pühendtud kontrnäitele, mille bil f() veendume, et k eelmisest tugevm tingimus lim = 0 ei grnteeri pidev 3

4 funktsiooni f ühtlst pidevust. Kolmnd lpunkti põhitulemus kinnitb, et kui funktsiooni f : [, ) R grfikul on ks kld- või rõhtsümptoot, siis t on intervllis [, ) ühtlselt pidev. Kolmnds petükis uurime ühtlse pidevuse j pärtute integrlide vhelist seost. Selle esimeses lpunktis meenutme pärtu integrli definitsiooni j tem koonduvuseg seotud tingimusi. Teises lpunktis uurime niisuguste funktsioonide f : [, ) R ühtlst pidevust, mille korrl pärtu integrl f()d koondub. Petüki põhitulemus väidb, et kui pidev funktsiooni f : [, ) R pärtu integrl f()d koondub, siis lõpliku piirväärtuse lim f() olemsolu, mis üldjuhul on piisv tingimus funktsiooni f ühtlseks pidevuseks intervllis [, ), on k trvilik. Toome näiteid, kus funktsiooni ühtlne pidevus ei grnteeri integrli koonduvust, j vstupidi. 4

5 Petükk Funktsioonide ühtlne pidevus: definitsioon j üldised omdused Selles petükis esitme kõigepelt funktsiooni ühtlse pidevuse definitsiooni j toome mõned näited funktsioonidest, mis ei ole ühtlselt pidevd. Teises lpunktis tõestme mõned väited funktsiooni f ühtlse pidevuse koht intervllis D. Seejuures näitme, kuids ühtlst pidevust sb kirjeldd jdde bil. Petüki lõpus tõestme tuntud teoreemi funktsiooni ühtlsest pidevusest ntud tõkesttud vhemikus. Petükis toodud väidete tõestmiseks on lähtutud loengukonspektist [3] j rmtust [2].. Ühtlse pidevuse definitsioon j näiteid Olgu funktsiooni f määrmispiirkonnks intervll D, mis võib oll ks tõkesttud või tõkestmt. Tetvsti nimettkse funktsiooni f pidevks intervlli D sisepunktis, kui lim t f(t) = f(), st ε > 0 δ = δ(ε) > 0: [t D, t < δ] f(t) f() < ε. Kui D on intervlli D vskpoolne otspunkt j lim t + f(t) = f(), siis öeldkse, et funktsioon f on kohl premlt pidev, nloogiliselt defineeritkse vskpoolne pidevus prempoolses otspunktis b D. Öeldkse, et funktsioon f on pidev intervllis D, kui t on pidev hulg D igs sisepunktis j ühepoolselt pidev igs hulk D kuuluvs otspunktis. Niisiis on funktsioon f pidev intervllis D prjsti siis, kui D ε > 0 δ = δ(ε, ) > 0: [t D, t < δ] f(t) f() < ε. (.) Definitsioon.. Öeldkse, et funktsioon f : D R on hulgs X D ühtlselt pidev, kui ig ε > 0 korrl sb leid sellise δ > 0, et suvliste, X korrl, mis rhuldvd tingimust < δ, kehtib võrrtus f() f( ) < ε. 5

6 Tingimuse (.) j definitsiooni. võrdlemisel on ilmne, et funktsiooni f ühtlsest pidevusest intervllis D järeldub tem pidevus selles intervllis. Teoreem.2 (Cntori teoreem ühtlsest pidevusest). Lõigus pidev funktsioon on selles lõigus ühtlselt pidev. Cntori teoreem ei kehti üldjuhul lõigust erinev intervlli (s.o. vhemiku või poollõigu) puhul. Näide.3. Näitme, et pidev funktsioon f : [, ) R, f() := 2, ei ole intervllis [, ) ühtlselt pidev. Olgu ε := 2. Veendume, et ig δ > 0 korrl sb leid, 2 [, ) omdusteg 2 < δ j f( ) f( 2 ) > 2. Tõepoolest, kui = n + n j 2 = n, kus n < δ, siis 2 = n f( ) f( 2 ) = = n Näide.4. Veendume, et pidev funktsioon f : (0, ] R, f() := sin, pole ühtlselt pidev intervllis (0, ]. Olgu ε :=. Punktid < δ, kuid ( ) 2 n 2 > 2. n k = 2 π(2k + ) k = 0,, 2,... kuuluvd intervlli (0, ]. Ig δ > 0 joks leidub selline k, et k+ k = 2 π 2k + 3 2k + = 4 π(2k + 3)(2k + ) < δ, kuid f( k+ ) f( k ) = π(2k + 3) sin sin 2 π(2k + ) 2 = ( )k+ ( ) k = 2 > ε suvlise k = 0,, 2,... korrl. Seeg ei ole funktsioon f ühtlselt pidev. 6

7 .2 Ühtlse pidevuse kirjeldmine jdde bil Luse.5. Pidev funktsioon f : D R on intervllis D ühtlselt pidev prjsti siis, kui on täidetud järgmine tingimus: kui k, k D j k k 0, siis f( k ) f( k) 0 (k ). (.2) Tõestus. Trvilikkus. Eeldme, et funktsioon f : D R on ühtlselt pidev j näitme, et kehtib (.2). Olgu ε suvline positiivne rv j ( k ) ning ( k ) sellised jdd hulgs D, et k k 0 (k ). Näitme, et Ühtlse pidevuse eelduse kohselt N N : k N f( k ) f( k) < ε. δ > 0 : [, D, < δ] f() f( ) < ε. Kun k k 0, siis mistõttu N : k N k k < δ, f( k ) f( k) < ε k N. Seeg f( k ) f( k ) 0, kui. Piisvus. Eeldme, et hulgs D pidev funktsioon f rhuldb tingimust (.2). Oletme vstuväiteliselt, et t ei ole ühtlselt pidev. Sel juhul ε 0 > 0 δ > 0 n, n D : n n < δ, f( n ) f( n) ε 0. (.3) Võtme δ := n (n N) j vstvlt eeldusele (.3) leime punktid n, n D omduseg n n < n, f( n) f( n) ε 0. Siis n n 0, eelduse (.2) tõttu f( n ) f( n) 0. Seeg leidub N N, et f( n ) f( n) < ε 0 ig n N korrl. See on vstuolus punktide n, n D vlikug, järelikult on vstuväiteline oletus (.3) väär. Luse.6. Intervllis D ühtlselt pidev funktsioon f rhuldb järgmist tingimust : kui ( k ) on Cuchy jd hulgs D, siis (f( k )) on Cuchy jd. (.4) 7

8 Tõestus. Eeldme, et f : D R on ühtlselt pidev, olgu ε > 0. Vstvlt ühtlse pidevuse definitsioonile leidub selline δ > 0, et [, D, < δ] f() f( ) < ε. (.5) Olgu ( n ) Cuchy jd hulgs D, näitme, et (f( n )) on Cuchy jd. Cuchy jd definitsiooni kohselt leidub N N omduseg Tingimusest (.5) sme, et See tähendbki, et (f( n )) on Cuchy jd. n, m N n m < δ. n, m N f( n ) f( m ) < ε. Luse.7. Kui D on tõkesttud intervll, siis tingimus (.4) on trvilik j piisv pidev funktsiooni f ühtlseks pidevuseks hulgs D. Tõestus. Trvilikkus on tõesttud luseg.6. Piisvus. Tõestuseks näitme, et kui funktsioon f : D R ei ole tõkesttud intervllis D ühtlselt pidev, siis t ei rhuld tingimust (.4), st leidub selline Cuchy jd (z k ) hulgs D, et (f(z k )) ei ole Cuchy jd. Kun f ei ole ühtlselt pidev, siis sme vlid sellise ε 0 > 0 j ig n N korrl punktid n, n D omduseg n n < n, f( n) f( n) ε 0. Kun hulk D on tõkesttud, siis on mõlemd jdd ( n ) j ( n) tõkesttud ning Bolzno Weierstrssi teoreemi põhjl sisldb jd ( n ) koonduv osjd ( nk ), tähistme := lim k nk. Pneme tähele, et n n 0 (n ). Seosest n k = nk + ( n k nk ) tuleneb, et lim k n k =. Seetõttu jd (z i ) := ( n, n, n2, n 2, n3, n 3,...) koondub hulgs R smuti piirväärtuseks. Tõepoolest, suvlise δ > 0 korrl leiduvd N N j N 2 N, et k N nk < δ ning k N 2 n k < δ. Seetõttu, kui i 2 m{n, N 2 }, siis { nk < δ, kui i = 2k, z i = n k < δ, kui i = 2k 8

9 järelikult lim i z i =. Arvude n j n vliku kohselt kehtib ig k N korrl võrrtus mistõttu (f(z k )) ei ole Cuchy jd. f(z 2k ) f(z 2k ) = f( nk ) f( n k ) ε 0, Järgmine näide kinnitb, et tingimus (.4) ei ole piisv pidev funktsiooni ühtlseks pidevuseks tõkestmt intervllis. Näide.8. Vtleme veelkord funktsiooni f : [, ) R, f() := 2. Me veendusime näites.3, et f ei ole intervllis [, ) ühtlselt pidev. Olgu ( n ) suvline Cuchy jd intervllis [, ). Kun ig Cuchy jd on tõkesttud, siis leidub selline M > 0, et n M n N. Olgu ε > 0, Cuchy jd definitsiooni kohselt Siis suvliste n, m N korrl st (f( n )) on Cuchy jd. N N : n, m N n m < ε 2M. f( n ) f( m ) = 2 n 2 m = n + m n m ( n + m ) n m ε < 2M 2M = ε, Luset.6 rkenddes tõestme järgmise luse (vt [2], Theorem 3.4.6), mis kirjeldb tõkesttud vhemikus ühtlselt pidevid funktsioone. Luse.9. Funktsioon f : (, b) R on ühtlselt pidev vhemikus (, b) prjsti siis, kui leidub selline pidev funktsioon h: [, b] R, et f() = h() (, b). Tõestus. Piisvus. Eeldme, et intervllis [, b] leidub pidev funktsioon h nii, et h() = f() ig (, b) korrl. (.6) Cntori teoreemi kohselt funktsioon h on lõigus [, b] ühtlselt pidev, siis on t k vhemikus (, b) ühtlselt pidev. Tingimuse (.6) kohselt on funktsioon f ühtlselt pidev vhemikus (, b). 9

10 Trvilikkus. Olgu f vhemikus (, b) ühtlselt pidev funktsioon. Kõigepelt näitme, et eksisteerivd piirväärtused L := lim + f() j M := lim b f(). Tõestme, et piirväärtus L eksisteerib, piirväärtuse M korrl on tõestus nloogiline. Olgu ( n ) vhemiku (, b) punktide suvline jd, mis koondub rvuks. Sel juhul on t Cuchy jd ning kun f on vhemikus (, b) ühtlselt pidev funktsioon, siis luse.6 järgi on (f( n )) smuti Cuchy jd. Tähistme selle jd piirväärtust L := lim f( n ). Nüüd vtleme teist jd ( n) vhemikus (, b), mis smuti koondub rvuks. Anloogiliselt sme, et L 2 := lim f( n). Piirväärtus L = lim f() leidub, kui L = L 2. Võtme ε > 0. Kun funktsioon f on vhemikus (, b) ühtlselt pidev, siis leidub δ > 0, et [, (, b), < δ] f() f( ) < ε 3. (.7) Kun n, n, f( n ) L j f( n) L 2, siis leidub selline M N, et kui n M, siis j Seeg ig n M puhul sme, et n < δ 2, n < δ 2 f( n ) L < ε 3, f( n) L 2 < ε 3. n n = n + n n + n < δ 2 + δ 2 = δ, j tingimuse (.7) põhjl L L 2 = L f( n ) + f( n ) f( n) + f( n) L 2 L f( n ) + f( n ) f( n) + f( n) L 2 ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Kun ε > 0 on suvliselt vlitud, L = L 2. Seeg leidub piirväärtus L. Anloogiliselt sb tõestd, et leidub piirväärtus M. Defineerime funktsiooni h : [, b] R seoseg L, kui =, h() := f(), kui (, b), M, kui = b. Selge, et funktsioon h on pidev vhemikus (, b), j kun lim h() = lim f() = L = h() + + ning lim h() = lim f() = M = h(b), b b siis h on pidev lõigus [, b]. 0

11 Petükk 2 Ühtlselt pidevd funktsioonid tõkestmt intervllis Selle petüki esimeses lpunktis tõestme piisv tingimuse (vt luse 2.) j trviliku tingimuse (vt luse 2.3) funktsiooni f : [, ) R ühtlseks pidevuseks. Petüki teises lpunktis esitme kontrnäite, mis kinnitb, et luseg 2.3 ntud trvilik tingimus funktsiooni f ühtlseks pidevuseks ei ole selleks piisv. Kolmnds lpunktis veendume, et funktsiooni f : [, ) R grfikul on ks kld- või rõhtsümptoot, siis f on ühtlselt pidev. 2. Üldised teoreemid Me lustme luseg (vt [], lemm 4.2 j [3], luse 3.6), mis esitb lihts, kuid väg olulise piisv tingimuse tõkestmt intervllis [, ) määrtud pidev funktsiooni ühtlseks pidevuseks. Luse 2.. Kui funktsioon f : [, ) R on pidev j eksisteerib lõplik piirväärtus lim f() =: A, siis f on hulgs [, ) ühtlselt pidev. Tõestus. Eeldme, et f on intervllis [, ] pidev funktsioon. Olgu ε > 0 suvline. Kun lim f() = A, siis sb vlid sellise M >, et f() A < ε 2 kõikide M korrl. (2.) Võtme suvlise N > M. Kun funktsioon f on pidev lõigus [, N], siis Cntori teoreemi põhjl on f lõigus [, N] ühtlselt pidev, seeg sme leid δ > 0 omduseg [, [, N], < δ ] f() f( ) < ε. (2.2)

12 Võtme δ := min{n M, δ } j vtleme rve, [, ), mis rhuldvd tingimust < δ. On kolm võimlust : ), > M, siis tingimuse (2.) kohselt f() f( ) f() A + A f( ) < ε 2 + ε 2 = ε, 2), [, M], siis tingimusest (2.2) sme, et f() f( ) < ε, 3) M j > M, siis tänu võrrtusele < δ N M sme, et, [, N], seeg tingimuse (2.2) kohselt f() f( ) < ε. Kokkuvõttes, kui, [, ) j < δ, siis f() f( ) < ε, st f on intervllis [, ) ühtlselt pidev. Järgmise näite põhjl ei ole lõpliku piirväärtuse lim f() olemsolu trvilik tingimus funktsiooni f ühtlseks pidevuseks. Näide 2.2. Funktsioon f : [, ) R, f() =, on ühtlselt pidev, kuigi lim f() =. Veendume selles. Olgu ε > 0 suvline, võtme δ := 2ε. Kui, [, ) j < δ, siis f() f( ) = = + 2 < 2ε 2 = ε. Seeg on f tõepoolest ühtlselt pidev intervllis [, ). Ühte trvilikku tingimust funktsiooni f : [, ) R ühtlseks pidevuseks kirjeldb järgmine luse (vt [4], Theorem 3.). Me rkendme funktsiooni f : [, ) R puhul tähistust lim sup f() := lim sup f(). l Tingimus lim sup f() < kehtib prjsti siis, kui leiduvd rvud C j C 2, et l f() C kõikide C 2 korrl. Luse 2.3. Kui funktsioon f : [, ) R on ühtlselt pidev intervllis [, ), siis lim sup f() <, (2.3) st leiduvd rvud C j C 2, et f() < C kõikide C 2 korrl. 2

13 Tõestus. Eeldme, et funktsioon f on ühtlselt pidev intervllis [, ), siis funktsiooni ühtlse pidevuse definitsiooni kohselt leidub δ > 0, et [, [, ), < δ] f() f( ) <. (2.4) Fikseerime > + δ 2. Vlime lõigu [, ] sellise ljotuse = 0 < < < n =, et k = k k = δ, kus k = 2, 3,..., n, 2 j Sme, et seeg = 0 < δ 2. n k > k= n k = (n ) δ 2, k=2 n < 2 ( ) +. (2.5) δ Võrdusest n f() f() = (f( k ) f( k )) j kolmnurg võrrtust ning seoseid (2.4) j (2.5) ksutdes, sme, et f() f() f() + f() = k= n (f( k ) f( k )) + f() k= n f( k ) f( k ) + f() < n + f(). k= Kun k = k k δ 2 < δ, siis eelduse (2.4) kohselt f( k ) f( k ) < < 2 δ ( ) + + f() = 2 δ + A, kus A := + f() 2 δ. Sime, et f() < 2 δ + A > + δ 2. 3

14 Tähistme C := 2 δ + j C 2 := m{ + δ 2, A} ning pneme tähele, et kui C 2, siis A, järelikult f() < 2 δ + = ( 2 δ + ) = C. Teoreem on tõesttud. Järeldus 2.4. Kui funktsioon f : [, ) R rhuldb tingimust f() lim siis f ei ole ühtlselt pidev üheski intervllis [b, ), kus b. =, (2.6) Tõestus. Oletme vstuväiteliselt, et f on ühtlselt pidev intervllis [b, ) mingi b korrl. Luse 2.3 kohselt leiduvd sellised C > 0 j C 2 > 0, et f() mis on vstuolus eelduseg (2.6). < C [C 2, ), 2.2 Kontrnäide Luse 2.3 tingimus (2.3), mis on trvilik funktsiooni f ühtlseks pidevuseks intervllis [, ), ei ole selleks piisv. Veelgi enm, k sellest oluliselt tugevm tingimus f() lim = 0 ei osutu piisvks. Sellest nnb tunnistust järgmine näide (vt [], Proposition 5.2). Järgnevs näites lim f() = 0 (vt näide 2.5) näeme, et tingimus f() lim = 0 ei grnteeri ühtlst pidevust k juhul, kui f on tõkesttud funktsioon, millel piirväärtust lim f() ei eksisteeri. Näide 2.5. Vtleme funktsiooni mingi 0 puhul. Pneme tähele, et f : [, ) R, f() := e sin, j e esin e [, ) lim =, 4

15 seetõttu j f() lim lim f() = = lim e sin = 0. Veendume, et f ei ole ühtlselt pidev hulgs [, ), selleks leime intervllis [, ) jdd ( n ) j (y n ) nii, et n y n 0, kuid f( n ) f(y n ) 0. Me rkendme Tylori vlemit. Kui funktsioon g : R R on punktis 0 kks kord diferentseeruv, siis g() = g(0) + g (0) + 2 g (0) 2 + R 3 (0, ), kus jääkliige R 3 (0, ) rhuldb tingimust R 3 (0, ) lim = Siinusfunktsiooni y = sin joks kehtib vlem kus sin = + w () 2, (2.7) lim w R 3 (0, ) () = lim = Anloogiliselt esitme eksponentfunktsiooni z := e y vlemig kus w 2 on selline pidev funktsioon, et Võttes seoses (2.8) y = sin, sme vlemi e y = + y + 2 y2 + w 2 (y)y 2, (2.8) lim w 2(y) = 0. (2.9) y 0 e sin = + sin + 2 sin2 + w 2() sin 2, (2.0) kui tähistd w 2() := w 2 (sin ). Seejuures lim 0 w 2() = lim w 2 (sin ) = lim w 2 (y) = 0 0 y 0 5

16 tingimuse (2.9) tõttu. Asendme vlemisse (2.0) sin seosest (2.7) : kus Seejuures e sin = + sin + 2 sin2 + w 2() sin 2 = + + w () ( + w () 2 ) 2 + w 2() sin 2 = ϕ() 2, ϕ() = w () + w () + 2 w () w 2() sin 2 2. lim ϕ() = lim w () lim ( ) Niisiis, suvlise [, ) korrl kus lim ϕ() = 0. 0 Moodustme nüüd jdd ( n ) j (y n ) niimoodi, et + lim 0 w 2() lim 0 sin 2 2 = 0. e sin = ϕ() 2, (2.) n = 2n 4 π j y n = n + n, siis lim (y n n ) = lim n n n = 0. Me näitme, et lim (f(y n) f( n )) =, n siis luse.5 põhjl funktsioon f ei ole ühtlselt pidev. Pneme tähele, kun ( sin n = sin 2n 4 π = 0 j sin y n = sin 2n 4 π + ) = sin n n ig n N korrl, siis f(y n ) f( n ) = y n e sin yn n e sin n = ( ) yn n e sin(n+ n ) e sin n n = ( ) yn n e sin n. n 6

17 yn Tähistdes δ n := ning senddes e sin n n f(y n ) f( n ) = n 2 ( 2π (δ n + n + ) + δ 2 n 2 n ϕ = n 2 ( 2π + n + ( 2 n + (δ 2 n ) = n 2 ( 2π n + ( 2 n + 2 n2 ( δ n ) = ( 2π n + ( 2 + n2 ( δ n ) Siin mistõttu lim α n = 2π α ( n + ( )) 2 + α. n ( ) ( := n 2 ( δ n ) + n n + 2 ( ) ( n 2 ( δ = lim n) 2 lim n n + δ n n = lim n n 2 ( δ 2 n) + δ n = lim vlemist (2.), sme, et ( ) ) n n 2 + n + ) ( ) ) + δ 2 n 2 n ϕ n n 2 + n + ) ( ) ) 2 n 2 n + δ nϕ 2 n n 2 + n + ) ( )) + δ 2 n 2 n ϕ n n n 2 = lim n 2n 3 π( + δ n ) = 0. Kokkuvõttes ( ( 2π lim (f(y n) f( n )) = lim n n = lim n 2π lim n ) + δ n ϕ n 2 + n + ) 2 n ( ) 2 n 2n 4 π( + δ n ) ( ), n + lim n δ n ϕ ))) n + ( 2 + α n ( n + ( 2 + α n )) =. 2.3 Funktsiooni ühtlne pidevus j tem grfiku sümptoodid ( ) n Olgu f : [, ) R pidev funktsioon. Sirget y = m+b nimettkse funktsiooni f grfiku sümptoodiks protsessis, kui lim (f() m b) = 0. Seejuures, 7

18 kui m = 0, siis kõneldkse rõhtsümptoodist, juhul m 0 g kldsümptoodist. Konstndid m j b rvuttkse vlemitest m = lim f() j b = lim (f() m). Järgnevs tugineme R. L. Puoso rtiklile (vt [4], Theorem 2., Corollry 2.). Teoreem 2.6. Olgu f, g : [, ) R pidevd funktsioonid. Kui lim (f() g()) = 0 j g on intervllis [, ) ühtlselt pidev, siis on k f ühtlselt pidev intervllis [, ). Tõestus. Eeldme, et funktsioon g on ühtlselt pidev intervllis [, ) j näitme, et siis f on smuti ühtlselt pidev. Fikseerime ε > 0. Kun lim (f() g()) = 0, siis leidub selline b >, et f() g() < ε 6 z [b, ). (2.2) Funktsiooni g : [, ) R ühtlse pidevuse kohselt leidub δ > 0 nii, et [, [, ), < δ ] g() g( ) < ε 6. (2.3) Kun f : [, ) R on pidev funktsioon, siis Cntori teoreemi põhjl on t lõigus [, b] ühtlselt pidev. Seeg leidub selline δ 2 > 0, et [, [, b], < δ 2 ] f() f( ) < ε 2. (2.4) Olgu δ 0 := min{δ, δ 2 }. Veendume,et [, [, ), < δ 0 ] f() f( ) < ε. Selleks vtleme erldi khte juhtu. Esiteks, kui, [b, ), siis bsoluutväärtuse kolmnurgomdust j seoseid (2.2), (2.3) ksutdes, sme et f() f( ) f() g() + g() g( ) + g( ) f( ) < ε 2. Teiseks, kui < b <, siis seosest (2.4) järeldub, et f() f( ) f() f(b) + f(b) f( ) < ε 2 + ε 2 = ε. Seeg on funktsioon f intervllis [, ) ühtlselt pidev. 8

19 Järeldus 2.7. Kui funktsiooni f : [, ) R grfikul on ks rõht- või kldsümptoot protsessis, siis f on intervllis [, ) ühtlselt pidev. Tõestus. Olgu funktsiooni f sümptoot määrtud võrrndig y = m + b R. Kun funktsioon g() = m + b on ühtlselt pidev hulgs R suvliste m, b R korrl j lim (f() m b) = 0, siis teoreemi 2.6 põhjl f on ühtlselt pidev. Vtleme näiteid, kus ksutme teoreemi 2.6 (vt [4], emples of Theorem 2., p. 553). Näide 2.8. Olgu Kun funktsioon f : [, ) R, f() := sin 3 g : [, ) R, g() :=, on intervllis [, ) ühtlselt pidev näite 2.2 kohselt j sin 3 lim (f() g()) = lim 0 +. = 0, siis teoreemi 2.6 kohselt f on ühtlselt pidev selles intervllis. Seejuures Näide 2.9. Vtleme funktsiooni Kun funktsioon sin 3 lim f() = lim + lim =. f : [, ) R, f() := ei ole intervllis [, ) ühtlselt pidev j sin 3 g : [, ) R, g() := 2, sin 3 lim (f() g()) = lim = 0, siis teoreemi 2.6 kohselt f ei ole ühtlselt pidev selles intervllis. Seejuures sin 3 lim f() = lim + lim 2 =. 9

20 Petükk 3 Ühtlne pidevus j pärtu integrli koonduvus Käesolevs petükis on kõigepelt meeldetuletuseks är toodud mõned tähtsmd fktid pärtute integrlide koht, mis on vjlikud järgnevtest töös esittud tõestustest rusmiseks. Teises lpunktis uurime seost funktsiooni f ühtlse pidevuse j tem pärtu integrli koonduvuse vhel. Selle petüki kirjutmisel on lähtutud S. Djebli rtiklist []. 3. Lõpmtute rjdeg pärtud integrlid Meenutme, et funktsiooni f : [, ) R pärtuks integrliks nimettkse piirväärtust l lim f()d =: f()d l eeldusel, et integrl l f()d eksisteerib ig l korrl. Kui piirväärtus l lim l f()d on lõplik, siis öeldkse, et pärtu integrl f()d on koonduv. Järgmine luse on pärtute integrlide Cuchy kriteerium. Luse 3.. Pärtu integrl f()d on koonduv prjsti siis, kui ig ε > 0 korrl leidub selline l 0 = l 0 (ε), et l f()d < ε kõikide l, l l 0 korrl. Sed tingimust kirjuttkse k kujul l lim l,l l l f()d = 0. 20

21 Pärtute integrlide pljudest koonduvustunnustest ksutme llpool järgmist Dirichlet tunnust. Luse 3.2. Kui ) funktsioon f on integreeruv igs lõigus [, l], kus l, j leidub selline M > 0, et l f()d M (l ), 2) funktsioon g : [, ) R rhuldb tingimust lim g() = 0, siis pärtu integrl f()g()d on koonduv. Me vjme veel järgmist integrlrvutuse keskväärtusteoreemi. Luse 3.3. Kui funktsioon f : [, b] R on pidev, siis leidub selline c (, b), et b f()d = f(c)(b ). Märgime, et luse 3.3 on järeldus järgmisest diferentsilrvutuse Lgrnge i keskväärtusteoreemist. Luse 3.4. Olgu F : [, b] R selline pidev funktsioon, mis vhemikus (, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c (, b), et F () F (b) = F (c)(b ). 3.2 Koonduv pärtu integrlig funktsioonide ühtlne pidevus Selles lpunktis uurime niisuguste funktsioonide f : [, ) R ühtlst pidevust, mille korrl pärtu integrl f()d koondub. Kui f on pidev j eksisteerib lõplik piirväärtus lim f(), siis luse 2. kohselt on f ühtlselt pidev intervllis [, ), kuid ngu me teme näitest 2.2, vstupidine väide üldjuhul ei kehti. Selle lpunkti põhitulemus (vt teoreem 3.7) ütleb, et kui pärtu integrl f()d koondub, siis on lõpliku piirväärtuse lim f() olemsolu k trvilik tingimus funktsiooni f ühtlseks pidevuseks intervllis [, ). Luse 3.5. Olgu f : [, ) R selline funktsioon, et ) pärtu integrl f()d koondub, 2

22 2) eksisteerib pidev teine tuletis f : [, ) R, 3) pärtu integrl f ()d koondub. Siis funktsioonid f j f on intervllis [, ) ühtlselt pidevd. Tõestus. Näitme kõigepelt, et f on ühtlselt pidev. Kun f on pidev, siis Newtoni- Leibnizi vlemi kohselt f () = f ()+ f (t)dt. Kun pärtu integrl f ()d koondub, siis eksisteerib lõplik piirväärtus lim f () = f () + f (t)dt =: A. (3.) Luse 2. kohselt funktsioon f on ühtlselt pidev intervllis [, ). Teiseks näitme, et funktsioon f on tõkesttud hulgs [, ). Vlemi (3.) kohselt Seeg l 0 : l 0 f () A <. f () f () A + A < + A l 0. Kun f on diferentseeruv intervllis [, ), siis on t pidev lõigus [, l 0 ]. Weierstrssi teoreemi kohselt on f lõigus [, l 0 ] tõkesttud: Kokkuvõttes B > 0: f () B [, l 0 ]. f () m { + A, B} =: M [, ). Lõpuks näitme, et funktsioon f on ühtlselt pidev intervllis [, ). Fikseerime, [, ), olgu <. Kun f on diferentseeruv intervllis [, ), siis Lngrnge i keskväärtusteoreemi (vt luse 3.4) kohselt leidub c (, ) nii, et f( ) f() = f (c)( ). (3.2) Olgu ε > 0, võtme δ := ε M. Kui, [, ) on sellised, et < δ, siis seose (3.2) põhjl f() f( ) = f (c) M < Mδ = M ε M = ε, st f on ühtlselt pidev intervllis [, ). Luse 3.6. Kui f : [, ) R on selline pidev khnev funktsioon, et pärtu integrl f()d koondub, siis f on ühtlselt pidev intervllis [, ) j lim f() = 0. 22

23 Tõestus. Eeldme, et f on pidev khnev funktsioon. Fikseerime [ [, ) j rkendme integrli keskväärtusteoreemi lõikudes [, 2] j ] 2,. Leime c [, 2] j c 2 [, ] nii, et 2 j Kun siis Seeg f(2) f(c ) = f(c ) = f(c )(2 ) = ( 2 f(c 2) = f(c 2 ) ) = c 2 c 2, f(2) f(c ) f() f(c 2 ) f 2 f(t)dt f(t)dt. ( 2 ). f(t)dt f() f(c 2 ) = 2 2 f(t)dt. (3.3) Kun pärtu integrl f()d koondub, siis Cuchy kriteeriumi kohselt (vt luse 3.) lim 2 f(t)dt = lim 2 f(t)dt = 0. Seosest (3.3) sme, et lim f() = 0. Seosest lim f() = 0 järeldub luse 2. põhjl, et f on ühtlselt pidev intervllis [, ). Nüüd tõestme käesolev lpunkti põhitulemuse. Teoreem 3.7. Olgu f : [, ) R selline pidev funktsioon, et tem pärtu integrl f()d koondub. Siis funktsiooni f ühtlseks pidevuseks intervllis [, ) on trvilik j piisv, et eksisteeriks lõplik piirväärtus lim f(). Tõestus. Piisvus järeldub vhetult lusest 2.. Trvilikkus. Eeldme, et funktsioon f : [, ) R on ühtlselt pidev j pärtu integrl f()d koondub. Peme näitm, et lim f() = 0. Olgu ε > 0 suvline. Ühtlse pidevuse definitsiooni kohselt leidub δ > 0, et [, [, ), < δ] f() f( ) < ε 2. (3.4) 23

24 Kun f()d koondub, siis Cuchy kriteeriumi (vt luse 3.) kohselt leidub l 0, et l l, l l 0 f()d < δ ε 2, seeg +δ l f(t)dt < δ ε 2 l 0. (3.5) Rkendme integrli keskväärtusteoreemi. Selle kohselt (vt luse 3.3) sme ig l 0 korrl leid sellise punkti c() (, + δ), et f(c()) = Tingimuse (3.5) põhjl f(c()) = δ +δ + δ +δ f(t)dt. f()d < δ δ ε 2 = ε 2 l 0. Kun c() + δ = δ, siis tingimuse (3.4) kohselt Kokkuvõttes, kui l 0, siis st lim f() = 0. f() f(c()) < ε 2 l 0. f() f(c()) + f() f(c()) < ε 2 + ε 2 = ε, Märgime, et funktsiooni f : [, ) R ühtlne pidevus ei grnteeri integrli f()d koonduvust k juhul, kui lim f() = 0. See selgub järgmisest näitest. Näide 3.8. Vtleme funktsiooni Rkenddes l Hospitli reeglit, sme, et f : [e, ) R, f() := ln. ln lim f() = lim = lim 2 = 2 lim = 0. Seeg luse 2. kohselt funktsioon f on ühtlselt pidev. Kun pärtu integrl e hjub j f() = ln [e, ), siis pärtute integrlide võrdlusluse kohselt k f()d hjub. e 24 d

25 Näide 3.9. Olgu f : [, ) R, f() := sin 2. Muutujte vhetuse z = 2 bil veendume, et pärtu integrl sin 2 d = 2 sin z z dz koondub. Selleks tähistme ϕ(z) := sin z j ψ(z) := z, siis j l l ϕ(z)dz = l ψ(z)dz = sin zdz = cos l cos 2 l lim ϕ(z) = lim ψ(z) = lim = 0. z z z z Niisiis rhuldb pärtu integrl l sin z dz Dirichlet koonduvustunnuse tingimusi (vt z luse 3.2). Sms, kun piirväärtust lim f() = lim sin 2 ei eksisteeri, siis teoreemi 3.7 kohselt ei ole funktsioon f ühtlselt pidev. Luse 3.0. Kui f : [, ) R on selline pidev funktsioon, et tem pärtu integrl f()d koondub, g f()2 d hjub, siis f ei ole ühtlselt pidev. Tõestus. Oletme vstuväiteliselt, et f on ühtlselt pidev, siis teoreemi 3.7 kohselt lim f() = 0. Pneme tähele, et kui ϕ := ψ := f, siis ϕ j ψ rhuldvd Dirichlet koonduvustunnuse (vt luse 3.2) eeldusi: l l ψ()d = l ϕ()d = f()d sup l f()d =: M l j l lim ψ() = lim ϕ() = lim f() = 0, seeg peb pärtu integrl f()2 d olem koonduv. Sime vstuolu, järelikult ei ole funktsioon f ühtlselt pidev. 25

26 Uniformly continuous functions on unbounded intervls Bchelor s thesis Glin Bogdnov Summry Uniform continuity of rel functions on unbounded intervls is not compulsory topic in the bsic nlysis courses. In the course «Clculus III», the study of the uniform continuity is limited to Cntor s theorem. The theorem sttes tht if f : [, b] R is continuous function, then it is uniformly continuous. This result is essentil for proving one of the centrl results of the integrl clculus, which sttes tht if function f : [, b] R is continuous, then it is integrble on [, b]. We lso know tht if f : [, ) R is continuous nd lim f() eists (s rel number), then f is uniformly continuous on the intervl [, ). The im of this bchelor thesis is to chrcterize functions f : [, ) R tht re uniformly continuous on [, ). This thesis consists of three chpters nd is bsed on the rticles by R. L. Pouso [4] nd S. Djebli []. In the first chpter of this bchelor thesis, we discuss the definition of uniform continuity nd bring some emples of continuous functions tht re not uniformly continuous. In this introductory chpter we use sequences to investigte uniform continuity. We provide n importnt proposition on the reltion between uniformly continuous function nd Cuchy sequences, which we will use for further proofs. The second chpter is devoted to emining uniformly continuous functions on unbounded intervls. We present conditions for function f : [, ) R to be uniformly continuious on n intervl [, ). Then we give n emple tht shows tht the f() condition lim = 0 does not gurntee uniform continuity of the function f. At the end of the chpter, we show tht if the grph of function f hs horizontl or oblique symptote then the function is uniformly continuous. 26

27 In the third chpter, the reltion between uniform continuity nd convergence of improper integrls is studied. We emine unifom continuity of function f : [, ) R, for which improper integrl f()d convergences. We lso provide emple of cses when uniform continuity of function does not gurntee integrl convergence. 27

28 Kirjndus [] S. Djebli, Uniform continuity nd growth of rel continuous. Int. J. Mth. Educ. Sci. Technol. 32 (200), [2] J. Lebl, Bsic Anlysis. Inroduction to Rel Anlysis jirk.org/r/relnl.pdf [3] T. Leiger, Mtemtiline nlüüs III. Loengukonspekt. Trtu Ülikool, Trtu, 202. [4] R. L. Puoso, Uniform continuity on unbouded intervls. Int. J. Mth. Educ. Sci. Technol. 39 (2008), [5] B. S. Thomson, J. B. Bruckner, A. M. Bruckner, Elementry rel nlysis. Prentice Hll (Person),

29 Litsents Lihtlitsents lõputöö reprodutseerimiseks j lõputöö üldsusele kättesdvks tegemiseks. Min, (sünnikuupäev: ). nnn Trtu Ülikoolile tsut lo (lihtlitsentsi) end loodud teose Tõkestmt intervllis ühtlselt pidevd funktsioonid, mille juhendj on Toivo Leiger, () reprodutseerimiseks säilitmise j üldsusele kättesdvks tegemise eesmärgil, selhulgs digitlrhiivi DSpce i lismise eesmärgil kuni utoriõiguse kehtivuse tähtj lõppemiseni; (b) üldsusele kättesdvks tegemiseks Trtu Ülikooli veebikeskkonn kudu, selhulgs digitlrhiivi DSpce i kudu kuni utoriõiguse kehtivuse tähtj lõppemiseni. 2. olen tedlik, et punktis nimettud õigused jäävd lles k utorile. 3. kinnitn, et lihtlitsentsi ndmiseg ei rikut teiste isikute intellektulomndi eg isikundmete kitse sedusest tulenevid õigusi. Trtus,