KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III JADAD

Väljavõte

1 KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III JADAD ) Arvjada, mille (teisest liikmest alates) iga liikme ja sellele eeleva liikme vahe o jääv (jada vahe - d), imetatakse aritmeetiliseks jadaks a) Üldliikme valem a a ( ) d a a b) a c) a a d a a S d) Jada liikme summa a d S Näide Leidke aritmeetilise jada 5 esimese liikme summa, kui esimee liige o ja ja jada vahe o S ) Arvjada, mille (teisest liikmest alates) iga liikme ja sellele eeleva liikme jagatis o jääv (jada tegur - q), imetatakse geomeetriliseks jadaks a) Üldliikme valem a a q b) a a a c) a a q a q d) Jada liikme summa S, q q e) Geomeetrilist jada, mille tegur q < imetatakse hääbuvaks geomeetriliseks a jadaks Hääbuva jada liikmete summa S q Näide Leidke geomeetrilise jada 8 esimese liikme summa, kui esimee liige o ja jada tegur S NÄITEÜLESANDED ) O atud jada a Kirjutage välja selle jada esimest liiget ja a a) Mitmedast liikmest alates o jada liikmed väiksemad kui 0,? b) Kujutage jada graafiliselt Lahedus Leiame jada esimesed viis liiget a a

2 0 ( ) a a 0,5 a 7 9 Leiame, mitmedast liikmest alates o jada liikmed väiksemad kui 0, Selleks lahedame võrratuse 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, Tegurdame esimeses sulus oleva ruutkolmliikme 0, 0, ,5 5 0,5 0 0,5 5,5 6 Saame võrratuse 0,( 5)( 6) ( ) 0 Lahedame selle itervallide meetodiga Saadud lahedihulgast sobib meile aiult > 5 ( o jada liikme järjeumber, seega peab olema aturaalarv!) Seega o jada liikmed 0,-st väiksemad alates 6 liikmest,5 a 0,5 Jada kujutab graafiliselt puktihulk

3 ) O atud jada üldliige a 5 6 Kas arv 8 o atud jada liige? Mitmes liige selles jadas o arv 0? Lahedus Selleks, et arv 8 oleks jada liige peab võrradil olema olemas aturaalarvulie lahed Lahedame selle võrradi 5 0 Viete i teoreemi põhjal o lahedid = 7 ja = - (-7 = - ja + 7 = 5) Lahed ei sobi, kua jada liikmete järjeumber saab olla aiult positiive täisarv ehk aturaalarv Seega o lahediks 7 Saame tulemuseks, et 8 o selle jada 7 liige Aaloogiliselt leiame arvu 0 järjeumbri Saame võrradiks Lahedades selle võrradi saame lahediteks = - ja = 9 Esimee lahed ei sobi Seega o 0 jada 9 liige Vastus Arv 8 o jada liige ja arv 0 o selle jada 9 liige ) Leidke esimese 00 paaritu arvu summa Lahedus Ülesade admete kohaselt o tegemist aritmeetilise jadaga, kus a d Leiame S Vastus Esimese 00 paaritu arvu summa o 0000 ) Leidke positiivsete liikmetega geomeetrilise jada esimese viie liikme summa, kui kolmas liige o ja viies liige o 8 Lahedus Geomeetrilise jada üldliikme valemist a a q saame, et a a q ja a a q 8 Saame võrradisüsteemi 5 aq aq q q a 8 8 q a q q Lahed ei sobi, kua jada peab olema positiivsete liikmetega Leiame a q a Geomeetrilise jada summa valemist S q Vastus Jada viie esimese liikme summa o 9 5 q S 9 5 5) Leidke kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa Lahedus Tegemist o aritmeetilise jadaga, kus esimee liige o a = ja viimae liige a = 99 Jadas o 99 : = liiget Leida tuleb selliste arvude summa S Kasutame aritmeetilise jada summa valemit

4 a a S 99 S 68 Vastus Kõigi sajast väiksemate positiivsete arvude summa o 68 6) Leidke geomeetrilise jada,, -0,5, summa ja üheksa esimese liikme summa Lahedus Leiame jada teguri q 0,5, 0,5 ja seega o tegemist hääbuva a jadaga, mille summa saame leida valemi S abil S q 0,5 Üheksa liikme summa leiame valemiga 9 a q ( 0,5) S S9 q 0,5 8 Vastus Jada summa o ja esimese üheksa liikme summa 8 7) Aedik müüs esimesele ostjale poole oma õutest ja veel pool õua, teisele ostjale poole ülejääutest ja veel pool õua je, kui seitsmedale ostjale jäi pool selleks ajaks allesjääud õutest ja veel pool õua Siis olid õuad otsas Mitu õua oli aedikul? (L Lepma, T Lepma, H-M Varul Ülesadeid gümaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel, Koolibri) Lahedus Tähistame õute arvu x-ga Siis esimee ostja sai x õua ja järgi jäi x x x õua Teie ostja sai x x õua ja järgi jäi x õua Kolmas ostja sai x x 8 8 õua je Saame geomeetrilise jada, mille jada tegur o q x : x x : x 0, 5 ja esimee liige a ( x ) Leiame seitsme liikme summa 7 a q 0,5( x ) 0,5 7 S S7 ( x ) Saadud summa väljedab q 0,5 8 aga kõigi õute arvu x Saame võrradi 7 7 x x x x x : x 7 Saime õute arvuks 7 Kotrollige saadud tulemust iseseisvalt (teksti põhjal)! Vastus Aedikul oli 7 õua

5 8) Puu kõrguse aastae juurdekasv o 0% võrra väiksem eelmise aasta juurdekasvust Leia puu kõrguse kolme järgeva aasta juurdekasv, kui vaadeldaval aastal oli juurdekasv 0 cm (L Lepma, T Lepma, H-M Varul Ülesadeid gümaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel, Koolibri) Lahedus Tegemist o geomeetrilise jadaga, mille tegur o -0, = 0,9 Jada esimee liige o a = 0 (cm) Leiame elja esimese liikme summa ( esimee aasta ja a q 0 0,9 lisaks kolm järgevat aastat) S S 7, 56 q 0,9 Kua küsitakse teise kui eljada aasta juurdekasvu, siis 7,56 0 = 97,56 (cm) Vastus Puu kõrguse kolme järgeva aasta juurdekasv o 97,56 cm 9) Riigieksam 999 (5p) Tööpik maksab uuea 0000 krooi ja tema väärtus väheeb iga-aastaga 5% võrra aasta alguses olud väärtusest a) Kui suur o selle tööpigi väärtus aasta pärast? b) Mitme aasta pärast o tööpigi väärtus tema esialgsest väärtusest kaks korda väiksem? Lahedus Tegemist o liititressi ülesadega, kuid ülesade võib lahedada ka, kui geomeetrilise jada ülesade, kus esimee liige o a = 0000 ja jada tegur q = 0,05 = 0, 95 Leida tuleb selle jada viies liige ( aasta pärast) a5 Kasutame geomeetrilise jada üldliikme valemit a a q 5 a ,95 580,5 000 (krooi) Ka teie pool ülesadest o liititressi ülesae, kuid kasutame siigi geomeetrilise jada üldliikme valemit a a q ,95 log 0,5 log 0,95,5 0,95 0,5 log 0,95 log 0,5 Vastus Tööpigi väärtus aasta pärast o ligikaudu 000 krooi Ligikaudu aasta pärast o tööpigi väärtus tema esialgsest väärtusest kaks korda väiksem 0) Kolm arvu, mille summa o 5, moodustavad geomeetrilise jada Kui keskmisele arvule liita 8, siis moodustavad arvud aritmeetilise jada Leidke eed arvud Lahedus Ülesade admetest lähtuvalt o esimese kolme liikme summa 5, st a aq aq 5 Kui teisele liikmele liita 8, st a q 8, siis saame aritmeetilise jada, st jada, kus iga järgeva ja talle eeleva liikme vahe o jääv Saame a q 8 a aq aq 8 Saime võrradisüsteemi a aq aq 5 a aq aq 6 5

6 Kasutame laheduseks liitmisvõtet ja selle tulemusea saame võrradi a q 6: aq a q Asedame saadud tulemuse esimesesse võrradisse q 5 q 0 q q q q q q 0q 0 0 q q 0q 5q 0: q Kui q a Saame jada liikmeteks, ja 6 Kui q a 6 Saame jada liikmeteks 6, ja Vastus Need arvud o, ja 6 ) Riigieksam997 (5p) Vabal lagemisel läbib keha esimeses sekudis,9 m ja igas järgevas sekudis 9,8 m rohkem kui eelmises Leidke aeg, mis kulub kehal maapiale lagemiseks 0 m kõrguselt Lahedus Tegemist o aritmeetilise jadaga, kus esimee liige a =,9 ja jada vahe d = 9,8 ig jada summa S = 0 Leida tuleb aeg, mis osutub jada liikmete arvuks Kasutame aritmeetilise jada summa valemit a d S,9 9, ,8 9,8 9,8 9, Negatiive lahed o ei sobi, kua tähistab aega Vastus Aeg, mis kulub kehal maapiale lagemiseks o 0 sekudit 6

7 ) 980a hiati maakera kivisöe varuks 660 miljardit toi Kivisütt arvati jätkuvat 00 aastaks Samast ajast alates o kivisöe kulutamie kasvaud igal aastal % võrra Mis aastal kivisöe varud lõppevad, kui kulutused jätkuvad samas tempos? Lahedus Ülesade admete põhjal kulutatakse aastas umbes 660 : 00 =, miljardit toi kivisütt Kua tegemist o geomeetrilise jadaga, siis a =, ja jada tegur q =,0 (00% + % ) Kivisöevarud ehk S = 660 Kasutades jada summa aq valemit S saame q,,0 660,0,, ,0,,0,0,0 9 log 9 log,0 8 log 56 0,0 6, :, Saime, et kivisütt jatkub selliste admete korral ligikaudu 56 aastaks ehk aastai 06 Vastus Kivisütt jatkub ligikaudu 56 aastaks ) Riigieksam 000 (5p) Vaatleme kõiki kolmekohalisi arve, mis jagamisel eljaga aavad jäägi üks a) Kirjuta kolm esimest ja kolm viimast sellist arvu b) Leia kõikide selliste arvude summa c) Leia kõikide kolmekohaliste arvude summa d) Mitu protseti puktis b) leitud summa moodustab puktis c) leitud summast? Lahedus Kua tegemist o aritmeetilise jadaga, kus jada vahe o d =, siis kolm esimest arvu o 0, 05, 09 ja kolm viimast arvu 989, 99, 997 Jada liikmete arvu saame aritmeetilise jada üldliikme valemist a a d a 997 a 0 d Summa leidmiseks kasutame aritmeetilise jada summa valemit a a S S 5 55 Kolmekohalisi arve o 900 7

8 S Arv 55 moodustab arvust %,977% 5% 9550 Vastus Need arvud o 0, 05, 09 ja 989, 99, 997 Selliste arvude summa o 55 Kõikide kolmekohaliste arvude summa o 9550 Puktis b) leitud summa moodustab puktis c) leitud summast ligikaudu 5% ) Riigieksam 00 (0p) Teibilit paksusega 0, mm o keritud silidrikujulisele südamikule, mille raadius o cm Teibirulli läbimõõt o 6 cm Leidke teibilidi pikkus täpsusega 0,5 m Näpuäide Lähtuge sellest, et küllalt suure täpsusega võib iga rullis oleva teibikihi ristlõike lugeda rigjooeks, kusjuures iga järgmise kihi raadius o 0,0 cm võrra suurem kui eelmisel Seega o esimeses kihis π cm teipi, teises kihis,0π cm je Lahedus Tegemist o aritmeetilise jadaga, kus kihtide arv o 00 Jada esimee liige o a r, kus r = Kua jada teie 0,0 liige a,0 r, 0, siis jada vahe o d,0 r r 0,0 Kasutame aritmeetilise jada summa valemit a d S 00 0,0 S 00 9,7( cm),5( m) Vastus Teibilidi pikkus o ligikaudu,5 meetrit 5) Kaks keha alustavad teieteisele läheemist 8 m kauguselt Esimeses sekudis läbivad mõlemad kehad m, igas järgmises sekudis läbib üks keha m rohkem ja teie m rohkem kui eelmises sekudis Mitme sekudi pärast kehad kohtuvad? Lahedus Oletame, et kehad kohtuvad x sekudi pärast Kua läbitud teepikkused moodustavad aritmeetilise jada, siis võime leida teepikkused jada summa valemiga a d S, kus I keha jaoks a = (m) ja d = (m), = x (s) x x S esimee x x x II keha jaoks a = (m) ja d = (m), = x (s) x x S teie x x,5 x 0, 5x Kua kehad x sekudi pärast kohtuvad, siis peab mõlema poolt läbitud teepikkus olema kokku 8 m 8

9 x,5x 5x x x x,5 x 0,5x 8 0,5x 8 0 x ,8 ei sobi 9 0 Kotrollige saadud tulemusi mõlema keha jaoks iseseisvalt! Vastus Kehad kohtuvad sekudi pärast ÜLESANDED ) Lõpmatult kahaeva geomeetrilise jada liikmete summa o Nede kuupide summa o 6/7 Leia esimee liige ja tegur V: a =, q = 0,5 ) Aritmeetilise jada eljada, kaheksada, kaheteistkümeda ja kuuteistkümeda liikme summa o 500 Leia esimese 9 liikme summa V: 75 ) Neli arvu o geomeetrilise jada järjestikusteks liikmeteks Kui edest lahutada vastavalt ;;7 ja 7 saame aritmeetilise jada järjestikused liikmed Leia eed arvud V: 7; ; 8; 56 ) Kolme arvu summa o 7 Need arvud o teatava geomeetrilise jada kolm järjestikust liiget ja teatava aritmeetilise jada, 9 ja liige Mitu esimest liiget tuleb võtta sellest aritmeetilisest jadast, et ede summa oleks 80? V: 0 liiget 5) Riigieksam 998 Puuraugu tegemisel maksti esimese meetri puurimise eest 00 kr ja iga järgmise meetri eest 00 kr rohkem kui eelmise eest Koos preemiaga, mis oli 000 krooi, maksti puuraugu tegemise eest 900 kr Leia puuraugu sügavus V: 9m 6) Riigieksam 999 Metsalagil arvatakse olevat 6500 m³ puitu Puidu iga-aastae juurdekasv o keskmiselt % a) Kui palju o sellel metsalagil puitu aasta pärast? b) Mitme aasta pärast puidu kogus sellel lagil kahekordistub? V: 6500,0 7000m³; 5 aasta pärast 7) Riigieksam 000 Vaatleme kõiki kolmekohalisi arve, mis jagamisel kolmega aavad jäägi kaks a) Kirjuta kolm esimest ja kolm viimast sellist arvu V: 0, 0, 07 ja 99, 995, 998 b) Leia kõikide selliste arvude summa V: 6850 c) Leia kõikide kolmekohaliste arvude summa V: 9550 d) Mitu protseti puktis c) leitud summa moodustab puktis b) leitud summast? V: 00% 8) Riigieksam 00 Metsatükil o hiaguliselt tihumeetrit puitu Raie käigus saeti maha 8% sellest kogusest a) Mitu tm puitu jäi pärast raiet alles? b) Mitmedal aastal pärast raiet o sellel metsatükil jälle tm puitu, kui puidu iga-aastae juurdekasv o keskmiselt %? V: 800 tm; 5 aastal 9

10 9) Riigieksam 00 Peeter võitis lotoga krooi Esimesel kuul kulutas ta % võidetud summast a) Mitu krooi oli Peetril esimese kuu lõpus alles? b) Igal järgeval kuul kulutas Peeter kolm korda rohkem raha kui eelmisel Leia, mitme kuu möödudes loteriivõidust o Peetril alles krooi V: 7 00 kr; kuu pärast 0) Riigieksam005 Kui suur peab vähemalt olema hoiuse algväärtus, et itressimäära 5% korral (eeldusel, et see aastatega ei muutu) hoius kasvaks 5 aasta jooksul vähemalt krooii Vastus adke täpsusega kroo V: (liititressi valemiga) 80 kr ) Riigieksam006 Kaablitrassi torude ristlõige o rig diameetriga d Torud o laotud harkide vahele, ii et esimeses kihis o üks toru ja iga järgmise kihi kaks toru puudutavad eelmise kihi ühte toru (vt jooist) Kõige ülemises kihis o m toru a) Avaldage () ülemise kihi laius l; V: md dm () torude vira kõrgus h; V: mm () torude arv viras V: b) Arvutage torude vira kõrgus, kui toru ristlõike raadius o 6 cm ja kõige ülemises kihis o toru V: 0 cm ) Riigieksam007 Külmas toas, kus temperatuur oli 0º C, lülitati sisse radiaator ig toa temperatuur hakkas tõusma Esimese tuiga tõusis temperatuur 5 kraadii Alates teisest tuist oli iga tui ja sellele vahetult eeleva tui jooksul toimuud temperatuurimuutuste jagatis jääv suurus q Kolmada tui lõpuks oli toas 0 kraadi sooja ) Arvutage kostat q ) Kui soojaks läheb see tuba tudide arvu tõkestamatul kasvamisel? V: q 0,68;, ) Riigieksam008 Kuulike lükatakse veerema mööda kaldpida allapoole Alates teisest sekudist veereb kuulike iga sekudiga eelmise sekudi jooksul läbitud teepikkusest ühe ja sama pikkuse võrra rohkem Teise sekudi lõpuks oli kuulikese kaugus lähtepuktist l = 9 cm ja eljada sekudi lõpuks oli kuulike lähtepuktist kaugusel l = 0 cm Mitmeda sekudi lõpuks jõuab kuulike kaldpia lõppu, mis asub lähtepuktist kaugusel L = 900 cm? 0

11 ) Riigieksam009 Kaks kiirabiautot alustavad üheaegselt sõitu teieteise poole üks auto haiglast südmuskohale, teie südmuskohalt haiglasse Esimese miutiga läbivad mõlemad autod km Iga järgmise miutiga läbib üks auto 6 km võrra ja teie km võrra pikema teelõigu kui eelmise miutiga Mitme miuti pärast autod km kohtuvad ja mis o autode kiirused ( ) kohtumishetkel, kui sõitu alustades o ad h teieteisest km kaugusel? V: 8 mi; 0 km/h ja 95 km/h 5) Riigieksam00 Kaks keha liikusid sirgjooeliselt Esimese keha poolt iga sekudi jooksul läbitud teepikkused moodustasid aritmeetilise jada Esimese sekudiga läbis keha 6 mm ja kolmada sekudi lõpuks oli tal läbitud 5, cm pikkue teelõik Leidke vahemaa, mille esimee keha läbis liikumise eljadal sekudil Teie keha läbis teisest sekudist alates igas sekudis sama arv korda pikema teelõigu kui eelmises sekudis Esimese kolme sekudiga läbis keha 0 mm, eljada sekudiga aga 5, cm võrra pikema teelõigu kui esimese sekudiga Leidke aeg, mis kulus teisel kehal 05,9 cm läbimiseks V:,6 cm; 7 sek 6) Riigieksam0 Kasvava aritmeetilise jada eljada ja esimese liikme jagatis o 7 ig kuueda ja kolmada liikme korrutis o 0 Leidke selle aritmeetilise jada esimee liige Hääbuva geomeetrilise jada kõikide liikmete summa o ig esimee liige o Leidke selle jada tegur ja kolmas liige V: a=; q=0,5; a=,65 7) Riigieksam0 Oksjoil müüdi maali alghiaga 50 eurot Nii esimee kui ka iga järgmie hiapakkuja suuredas paust ühe ja sama summa võrra O teada, et kümes pakkumie oli 00 eurot ig maali ostis kolmekümeda pakkumise teiud osaleja Mis hiaga osteti maal? Samal oksjoil müüdi atiikese, mille ostuhid oli 500 eurot Eksperdi hiagul oli eseme tegelik väärtus vaid 900 eurot Eksperdi hiagul tõuseb eseme väärtus % aastas Mitu aastat peaks oksjoi toimumisest mööduma, et eseme tegelik väärtus ja ostuhid oleksid võrdsed? V:a=900 (eurot); ligikaudu 7 aastat 8) Riigieksam05 Perekod Mäd jälgis 0 aasta jaauarist 0 aasta detsembrii, kui palju kulus eil raha toidukaupade ostmiseks Selgus, et vaadeldud perioodil kulus perel igas kuus ühe ja sama summa võrra rohkem raha kui eelmises kuus 0 aasta esimese kolme kuu jooksul kulus perel toidukaupade ostmiseks kokku 796,5 eurot ja 0 aasta märtsis 85 eurot Kui palju raha kulus perel toidukaupade ostmiseks 0 aasta detsembris? Mitu eurot kulus perel vaadeldud perioodil toidukaupade ostmiseks keskmiselt ühes kuus? Mitme protsedi võrra oli 0 aasta detsembrikuu kulu suurem 0 aasta jaauarikuu kulust? V: 98,5 ; 8,5 ; ligikaudu %

12 9) Riigieksam06(0p) Firma tegeles aiamarjade kokkuostu ja ede edasimüügiga Kokkuostuperioodi esimesel ädalal ostis firma 50 kg marju ja igal järgmisel ädalal 0% võrra rohkem kui eelmisel ädalal Mitu kilogrammi marju ostis firma kokku elja ädalaga? Kokkuostetud marjadest 660 kg müüdi ära Esimesel ädalal müüdi 9 kg marju, igal järgmisel ädalal aga eelmise ädalaga võrreldes ühe ja sama koguse võrra vähem Mitme kilogrammi võrra vähees marjade müük igal ädalal, kui 0 ädalaga müüdi ära kõik marjad? V: 670 kg; 70 kg 0) Riigieksam07K(5p) Kaks aastat tagasi võitis Mart loteriiga 5000 eurot Ta otsustas paa selle raha kaheks aastaks pagahoiusele, millelt makstav itressimäär oli 0,6% aastas Mitu eurot rohkem oleks Mart sama perioodiga itressidea teeiud, kui hoiuse itressimäär oleks olud 0 korda kõrgem? V: 557,8 eurot ) Riigieksam07K(0p) Aritmeetilise jada vahe o 5 ja seitsmes liige 95 Leidke selle jada esimese seitsme liikme summa Mitmes liige selles jadas ületab esimesea arvu 5000? Leidke see jada liige V: 80 ) Riigieksam07L(0p) Kasvava aritmeetilise jada kolmada ja seitsmeda liikme summa o 50 ig viieda ja eljada liikme vahe o 5 Arvutage selle jada üheksas liige ja esimese üheksa liikme summa Üks selle jada liige a moodustab täpselt 0% esimese liikme summast Mitmes jada liige o a? V: ;S9;=575; 9 liige ) Riigieksam08L(0p) Kaupluses o müügil pärlist koosev kaelakee, mill e keskmie pärl o kõige suurem ja kõige kallim Keskmisest pärlist kee kummagi otsa poole liikudes o iga järgmie pärl eelmisest ühe ja sama summa võrra odavam Kõige kallim pärl maksab 55 eurot ja sellest ülejärgmised 5 eurot Kui palju maksab üks kõige odavamatest pärlitest? Kui palju maksab see kaelakee, st kõik pärlid kokku? Ühel kaelakee pärlitest tekkis mõra ja selle pärli hid vähees võrra Kaelakee hid 5 vähees seetõttu 6,5 euro võrra Kui palju maksis see pärl ee mõra tekkimist? V: 5 ; 65 ;,5 ) Riigieksam08K(0p) Tehas valmistas esimese elja aastaga 9700 toodet O teada, et tootmie kasvas igal aastal ühe ja sama arvu toodete võrra ig kolmada ja eljada aastaga valmistati kokku 00 toodet rohkem kui kahe esimese aastaga Mitu toodet valmistati aastal? Tootmie kasvas samas tempos Mitu aastat kulus toote valmistamiseks? V: 600; 6 a