Kaasaegse matemaatika meetodite eriseminar I
|
|
- Tõnu Männiste
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 Ettekanne aines Kaasaegse matemaatika meetodite eriseminar I Indrek Mandre <indrek@mare.ee> 7. mai, 2009 Kokkuvõte Matemaatilise füüsika võrrandite teema: vesiniku aatom kvantmehaanikas. Schrödingeri võrrand. Sfäärilised koordinaadid. Sfäärfunktsioonid. Üldistatud Laguerre i polünoomid. Elektroni lainefunktsioon ja energiad. Vesiniku aatom Vaatame aatomit, mille ümber on ainult üks elektron. Aatomi tuum on laetud positiivselt laenguga +Zɛ. Vesiniku puhul Z = ehk tuuma laeng on +ɛ. Võrreldes elektroniga loeme tuuma massiivseks elektroni laeng teda oluliselt ei liiguta) ning paigutame koordinaatide alguspunkti. Meid huvitab elektroni energiad ja võimalikud asukohad tuuma ümber. Antud aatomi mudel on toodud joonisel. U=const. U=const. Joonis : Vesiniku mudel; elektron on tuuma poolt tekitatud elektriväljas; tuuma ümber on tsentraalsümmeetriline potentsiaaliväli. Vesiniku korral omab tuuma ümber asuv elektron potentsiaalset energiat CGS ühikute süsteemis) U = ɛ Zɛ r = ɛ2 r, )
2 kus r on osakese kaugus tuumast. Leides elektronile potentsiaaliväljas mõjuva jõu saame F = U = U r = ɛ2 r 2, mis on nagu oodatult tavaline Coulombi seadus. 2 Schrödingeri võrrand Kvantmehaanikas kirjeldab osakese käitumist lainefunktsioon Ψr, t), mis rahuldab Schrödingeri võrrandit Ψr, t) i = 2 t 2M 2 Ψr, t) + Ur, t)ψr, t), 2) kus = erg s on Plancki konstant, M on osakese mass ja U on tema potentsiaalne energia. 2 on Laplace i operaator ja omab kuju 2 = 2 x y z 2. Funktsiooni Ψ argument r = x, y, z) on vektor punkt) ruumis ja t on aeg. Lainefunktsiooni Ψ abil saab määrata tõenäosuse osakese viibimiseks mingis ruumi osas, täpsemalt Ψr, t) 2 dxdydz on osakese viibimise tõenäosus elementaarruumalas dxdydz. Tõenäosus osakese asumiseks universumis on üks, seega peab kehtima normeerimistingimus ˆ Ψr, t) 2 dv =. 3) Antud juhul on meil tegu statsionaarsete olekutega, see tähendab potentsiaaliväli ei muutu ajas: U = Ur). Lainefunktsiooni saab siis jagada korrutiseks ajast ja ruumi punktist sõltuvateks funktsioonideks ning anda kujul Ψr, t) = ϕt)ψr). Asendades antud valemi Schrödingeri valemisse 2) saame: i ψr) dϕt) dt Jagades selle suurusega ϕt)ψr) saame i dϕt) dt = 2 2M ϕt) 2 ψr) + Ur)ϕt)ψr). ϕt) = 2 2M ψr) 2 ψr) + Ur). Muutujad on eraldatud ja saame võrrandi mõlemad pooled panna võrduma konstandiga E. Tekib kaks võrrandit: i dϕt) dt ϕt) = E, 2 2M ψr) 2 ψr) + Ur) = E. 2
3 Esimese integreerimisel saame dϕt) dt ϕt) = ie ˆ ) ln ϕt) = ie t + C exp ) ϕt) = ce iet. Kuna kogulahend on korrutis ϕt)ψr), viime konstandi c teise funktsiooni ψr) ja lõpptulemuseks on: ϕt) = e iet. Teist võrrandit 2 2M ψr) 2 ψr) + Ur) = E 4) nimetatakse statsionaarseks Schrödingeri võrrandiks ning vesiniku aatomi lainefunktsiooni saamiseks tuleb see lahendada. Antud valemile 4) saab anda läbi Hamiltoni operaatori Ĥ ka kuju kus Ĥψr) = Eψr), Ĥ = 2 2M 2 + Ur). Hamiltoni operaatori tuletusest tulenevalt on võimalik näidata, et konstant E on osakese koguenergia potentsiaalne plus kineetiline). Kuna funktsiooni Ψ mooduli ruut tuleb Ψr, t) 2 = ϕt)ψr) 2 = e iet 2 ψr) = e iet ψr)e iet ψr) = = e iet ψr)e iet ψr) = ψr)ψr) = ψr) 2, siis on osakese asukoha määramiseks piisav funktsiooni ψr) leidmine. Samuti kitsendub funktsiooni Ψr, t) normeerimistingimus 3) nüüd funktsioonile ψr): ˆ ψr) 2 dv =. 5) Valemile 4) antakse tavaliselt järgmise kuju: 2 ψ + 2M E U)ψ = 0. 6) 2 Vesiniku aatomis oleva elektroni massi asemel kasutatakse tihti ka nn. taandatud massi µ = m em p m e + m p, kus m e on elektroni mass ja m p on prootoni mass. 3
4 3 Sfäärilised koordinaadid Kuna potentsiaaliväli Ur) on tsentraalsümmeetriline, ei ole Laplace i operaatorit 2 mugav kasutada Cartesiuse koordinaatides x, y, z) ja kasulik on üle minna sfäärilistele koordinaatidele r, θ, φ). Kasutades seoseid saab Laplace i operaator kuju 2 = r 2 r 2 r r x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = tan x2 + y 2 z z = tan y x ) + r 2 sin θ sin θ ) + θ θ r 2 sin 2 θ 2 φ 2. z θ r y x φ kus Joonis 2: Sfäärilised koordinaadid. Joonisel 2 on näha parameetrite r, φ, θ sisu. Lahutame Laplace i operaatori veel kaheks osaks 2 = r 2 r 2 ) + r r r 2 2 θφ, 2 θφ = sin θ sin θ ) + θ θ sin 2 θ 2 φ 2 ja rakendame seda valemi 6) peal: r 2 r 2 ψ ) + r r r 2 2 θφψ + 2M E U)ψ = 0. 7) 2 4
5 4 Sfäärfunktsioonid Et liikuda edasi vesiniku aatomi lahendiga, tuleb vahepeal leida sfäärfunktsioonide kuju. Selleks vaatame rotaatorit kvantmehaanikas. Rotaatoriks nimetatakse osakest, mis tiirleb fikseeritud kaugusel r etteantud keskpunktist. Lisaks loeme osakesele mõjuva potentsiaalivälja konstantseks ja konstandi E U lihtsustamiseks võime võtta U = 0. Valem 7) tuleb siis tähistades Y = ψ: r 2 r 2 Y ) + r r r 2 2 θφy + 2M EY = 0. 2 Kuna oleme osakese fikseerinud mingile kindlale raadiusele r, huvitab meid osakese leidumise tõenäosus raadiusest sõltumata mingis suunas, ehk Y = Y θ, φ). Siis on Y osatuletis r järgi null ja valem lihtsustub veelgi: r 2 2 θφy + 2M EY = 0. 2 Tuues sisse inertsimomendi I = Mr 2, saame r 2 2 θφy + 2I 2 EY = 0. r2 Korrutades seda nüüd väärtusega r 2 ja asendades saame valemi ehk sin θ λ = 2I 2 E, 2 θφy + λy = 0, 8) sin θ Y ) + θ θ sin 2 θ mis peab lisaks veel täitma normeerimistingimust 5). Otsime lahendit korrutisena kusjuures peab kehtima 2 Y + λy = 0, 9) φ2 Y θ, φ) = Θθ)Φφ), 0) Φφ + 2π) = Φφ). ) Asendame korrutise võrrandisse 9) ning eraldame muutujad: Φ d sin θ dθ ) + Θ d 2 Φ sin θ dθ dθ sin 2 θ dφ 2 + λθφ = 0 sin2 θ ΘΦ sin θ d dθ ) sin θ dθ dθ + λθ sin 2 θ Θ d 2 Φ dφ = 2 Φ. = µ. Kuna muutujad on eraldatud võrduse mõlemale poole, peab võrduse mõlema poole väärtus olema konstantne ja tähistame selle kui µ. Seega saame kaks võrrandit: d sin θ dθ ) + λ µ ) sin θ dθ dθ sin 2 Θ = 0 2) θ 5
6 ja d 2 Φ + µφ = 0. 3) dφ2 Võrrandil 3) on perioodilisuse tingimusel ) kaks erilahendit µ < 0 ega µ = 0 ei kõlba perioodilisuse tingimuse jaoks, jääb ainult µ > 0): Φ φ). = e i µφ, Φ 2 φ). = e i µφ. Lisaks et oleks täidetud perioodilisuse tingimus, peab µ olema täisarv. Tuues sisse arvu m seosega µ = m 2, saame valemi 3) lahendiks Φφ) = e imφ m = 0, ±,...) Teades nüüd µ väärtust, saame liikuda võrrandi 2) lahendamisele. Teeme muutuja vahetuse cos θ = τ dτ dθ = sin θ = sin 2 θ = cos 2 θ = τ 2. Asendame selle võrrandi 2) esimesse poolde: d sin θ dθ ) d = cos2 θ dθ ) = sin θ dθ dθ cos2 θ dθ dθ d = τ 2 dθ ) dτ dτ τ 2 dτ dτ dθ dθ = [ d = τ 2 dθ ) ] τ ) τ 2 dτ dτ 2 τ 2 = = d [ τ 2 ) dθ ]. dτ dτ Tehes muudatuse ka teises pooles, saame kokku [ d τ 2 ) dθ ] ) + λ m2 dτ dτ τ 2 Θ = 0, τ, ), m = 0, ±,... τ piirang tuleb tema definitsioonist - ta ei saa võimalikest koosinuse väärtustest erinev olla. Antud võrrand on n-järku Legendre i võrrand. Legendre i võrrandi lahenduskäiku me siin ei vaata ja toome ära ainult tulemuse. Mittetriviaalsed lahendid on Legendre i kaasfunktsioonid Θ lm θ) = P m l cos θ) l = 0,,...; m = l,..., 0,..., l) ja vastavad omaväärtused on λ = ll + ) l = 0,,...). 4) Asendades selle valemisse 0), saame valemi 8) mittetriviaalseks erilahendiks P m l cos θ)e imφ, l = 0,,...; m = l,..., 0,..., l). Lisaks tuleb nüüd rakendada normeerimistingimust 5). Tulemuseks on funktsioonid, mille lineaarseid kombinatsioone nimetatakse sfäärharmoonikuteks: Y lm θ, φ) =. 2l + ) l m )! γ 4π l + m )! P l m cos θ)e imφ l = 0,,...; m = l,..., l), 5) kus γ = ) m kui m 0 ja γ = kui m < 0. 6
7 5 Vesinikuaatomi arendus Otsime lahendit kujul ψr, θ, φ) = Rr)Y lm θ, φ), kus Y lm θ, φ) on sfäärharmoonik. Asendades selle ja potentsiaalse energia ) valemisse 7), saame: d r 2 r 2 dr ) Y lm + Rr dr dr 2 2θφY lm + 2M ) 2 E + ɛ2 RY lm = 0. r Kuna valemite 8) ja 4) alusel on 2 θφy lm = ll + )Y lm. Asendame selle eelmisesse valemisse, taandame, võtame tuletise ja grupeerime: d r 2 r 2 dr ) Y lm Rr dr dr 2 ll + )Y lm + 2M ) 2 E + ɛ2 RY lm = 0, r r 2 d r 2 dr ) Rr dr dr 2 ll + ) + 2M ) 2 E + ɛ2 R = 0, r dr 2 dr dr r dr R r 2 ll + ) + 2M [ dr 2M r dr + 2 E + ɛ2 r Eeldusel, et E < 0, teeme muutujate vahetuse ρ. = δr, δ. = ) ) E + ɛ2 R = 0, r ] ll + ) r 2 R = 0. Y lm 8ME 2. 6) Arvutame R esimesed tuletised ja asendame saadu viimasesse valemisse: dr dr = dr dρ dρ dr = dr dρ δ = ρ dr r dρ, ρ 2 r 2 dρ ρ dr r r dρ dr ρ dρ ll + ) ρ 2 R + 2M ER r2 2 dr 2 = δ2 d2 R dρ 2 dρ + 2M 2 ER + 2M ɛ 2 ll + ) 2 R r r 2 R = 0 2 8ME dρ dr ρ dρ dρ dr ρ dρ ll + ) ρ 2 R 4 R + 2Mɛ2 r 2 ρ = ρ2 r 2 dρ 2, r2 ρ 2, ) + 2M ɛ2r r2 2 R ρρ = 0, ρ R = 0, ll + ) ρ 2 R 4 R + 2Mɛ2 2 δ ρ R = 0, dρ dr ll + ) ρ dρ ρ 2 R 4 R + n R = 0, 7) ρ 7
8 kus konstant n on n = 2Mɛ2 2 δ. 8) Toome sisse uue otsitava funktsiooni yρ) läbi järgmiseks seose R = ρ l e ρ 2 yρ), 9) kus siis y = yρ) on uus otsitav funktsioon. Arvutades tuletised saame: dρ 2 dr dρ = lρl ) e ρ 2 y 2 ρl e ρ 2 y + ρ l e ρ 2 y = = ρ l e ρ 2 = ll )ρl 2) e ρ 2 y 2 [ lρ l ) e ρ 2 y [ l ρ ) ] y + y, 2 2 ρl e ρ ρ 2 lρl ) e 2 y + lρ l ) e ρ 2 y ] 2 y + ρ l e ρ 2 y + +lρ l ) e ρ 2 y 2 ρl e ρ 2 y + ρ l e ρ 2 y = [ = ρ l e ρ ll ) 2 ρ 2 l ρ + ) ) ] 2l y + 4 ρ y + y Asendame need tulemused valemisse 7) ja jagame ρ l e ρ 2 -ga: ll ) ρ 2 l ρ + ) ) 2l y + 4 ρ y + y + 2l = y + ρ + 2 ρ 2l + ρ 2 ) y + 2 ll + ) ρ ρ y ρ 2 y 4 y + n ρ y = ) ll ) y + ρ 2 l ρ l ρ 2 ll + ) ρ ρ n ρ ) 2l + 2 = y + y + l ρ ρ ρ + n ) y = 0. ρ Korrutades viimast avaldist ρ-ga, saame ) y = ρy + [2l + ) ρ] y + n l )y = 0. 20) Selle valemi lahendiks on aga üldistatud Laguerre i polünoomid, mida vaatame järgmiseks. 8
9 6 Üldistatud Laguerre i polünoomid Olgu α >. Vaatleme järgmist Sturm-Liouville i ülesannet: leida võrrandi ) d x α+ x dy e + x α e x λy = 0 dx dx mittetriviaalsed lahendid vahemikus x [0, ), mis on punktis x = 0 tõkestatud ja ei kasva x korral kiiremini kui muutuja x lõplik aste. Tehes lahti sulud, saame x α+ e x y x α+ e x y + α + )x α e x y + x α e x λy = 0 x α e x, xy + α + x)y + λy = 0. 2) Defineerime funktsiooni wx). = x m+α e x m = 0,,...). Seda diferentseerides saame w = m + α)x m+α e x x m+α e x = m + α w w xw = m + α x)w. x Diferentseerides viimast seost veel m + korda, saame xw + x m α)w = 0 xw + x m + α)w + w = 0 xw + x m + 2 α)w + 2w = 0... xw m+2) + x + α)w m+) + m + )w m) = 0. 22) Defineerime nüüd otsitava funktsiooni L α mx) läbi seose w m) x). = m!x α e x L α mx) L α mx). = x α m! ex w m). Et asendada seda võrrandisse 22), leiame kaks esimest tuletist: w m+) = dwm) ) dx w m+2) = dwm+) ) dx = dm!xα e x L α m) dx = m!e x αx α L α m x α L α m + x α Lα m ) = = m!e x x α [ αx )L α m + L α m = m!e x αα )x α 2 L α m+αx α Lα m αx α L α m x α Lα m + αx α Lα m + x α Lα m αx α L α m + x α L α m x α Lα [ m ) = = m!e x x α αα )x 2 2αx + )L α m + 2αx 2) L α m + L ] α m. Asendades need valemisse 22) ja jagades väärtusega m!e x x α, saame x L α m + [2α 2x + x + α] L α m+ + [ αα )x 2α + x + α x + αx α 2 x + α + m + ] L α m = ] 9
10 = x L α m + α + x) L α m + ml α m = 0. Viimase võrrandi kuju aga langeb kokku valemiga 2) juhul kui λ = m. Seega on funktsioonid L α m vaadeldava võrrandi omafunktsioonid, mis vastavad omaväärtustele λ = m. Seega omaväärtuse λ = m m = 0,,...) korral on võrrandi 2) lahend funktsioon L α mx) = x α dm ex m! dx m xm+α e x ). Seda valemit nimetatakse Rodrigues i valemiks ja antud funktsioone nimetatakse üldistatud Laguerre i polünoomideks. 7 Vesiniku aatomi lahend Vaadates nüüd uuesti valemit 20) ρy + [2l + ) + ρ] y + n l )y = 0 on näha, et tegu on sama valemiga 2), mille lahendid olid üldistatud Laguerre i polünoomid, kusjuures omaväärtused on λ. = n l, λ = 0,,... ning nendele omaväärtustele vastavad omafunktsioonid on y nl ρ) = L 2l+ n l ρ). Kuna l on täisarv, siis peab ka n olema täisarv. Lisaks kuna λ 0, siis peab n l +. Ja kuna l 0, siis peab n olema vähemalt. Fikseerides n-i, saame siit piirangu l-le: l = n λ l = 0,..., n. Asendame saadud tulemuse valemisse 9): R nl r) = ρ l e ρ 2 ynl ρ) = ρ l e ρ 2 L 2l+ n l ρ) = δr)l e δr 2 L 2l+ n l δr). Edasisteks lihtsustusteks toome sisse Bohri raadiuse a valemiga Paneme selle valemisse 8): a = 2 Mɛ 2 = 0.529Å. ja asendame funktsiooni R nl : n = 2Mɛ2 2 δ R nl r) = = 2 aδ δ = 2 na ) l 2r e r na L 2l+ n l na Normeeritud kogulahend oleks meil siis ) 2r. na ψ nlm r, θ, φ) = A nl R nl r)y lm θ, φ), 0
11 kus n =, 2,...; l = 0,..., n ; m = l,..., 0,..., l ning arvu n nimetatakse peakvantarvuks, l on orbitaalne kvantarv, m on magnetiline kvantarv ja A nl R on normeerimiskonstant. Viimane avaldub normeerimistingimusest 5) järgnevalt: ˆ ˆ π ˆ 2π A 2 nl 0 0 ˆ 0 0 A nl R nl r)y lm θ, φ) 2 r 2 sin θdφdθdr =, R nl r) 2 r 2 dr ˆ π ˆ 2π 0 0 Y lm θ, φ) 2 sin θdφdθ =. Kuna sfäärharmoonik on juba normeeritud, lihtsustub võrrand veelgi ja saame A nl = A 2 nl ˆ 0 R nl r) 2 r 2 dr = ) 3 2 R 0 nl r) 2 r 2 dr = n l )! na 2n [n + l)!] 3. Konstantse tõenäosustiheduse pinnad on kujutatud joonisel 3. Lõpuks saame tuletada ka elektroni energia E. Võttes seose 8) ruutu saame: n = 2Mɛ2 2 δ, Asendades sinna 6) tuleb n 2 = 4M 2 ɛ 4 4 δ 2. δ 2 = 8ME 2, n 2 = 4M 2 ɛ ME = Mɛ4 2 2 E E = Mɛ4 2 2 n 2 ehk siis elektronil võivad vesiniku ümber olles olla järgnevad energiad: E n = Mɛ4 2 2 n 2 n =, 2,...).
12 Joonis 3: Konstantse ψ 2 pinnad elektroni jaoks vesiniku aatomis. Pilt on pärit David J. Griffithsi Introduction to Quantum Mechanics, second edition ja sealt omakorda Hans Dieter Dahmeni The Picture Book of Quantum Mechanics, 3rd edition. Kasutatud kirjandus [Paal] Eugen Paal, Matemaatilise füüsika võrrandid, [Loide] Rein-Karl Loide, Sissejuhatus kvantmehaanikasse. [Griffiths] David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, second edition. [Boas] Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, third edition. 2
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemImage segmentation
Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
Rohkem(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)
TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemMicrosoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc
7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemAutomaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2
Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
Rohkemelastsus_opetus_2017_ptk3
1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
RohkemInfix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi
Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis
Rohkemmaster.dvi
TARTU ÜLIKOOL Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut ELMO TEMPEL GALAKTIKA NGC 4594 HÜDRODÜNAAMILINE MUDEL Astrofüüsika magistritöö Juhendaja: dots. PEETER TENJES Tartu 2005 Sisukord 1
Rohkemelastsus_opetus_2015_ptk5.dvi
Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
RohkemEesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei
Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
RohkemFüüsika
Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse
Rohkem(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc)
Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult
RohkemKeemia ainekava 8. klassile Õppe - ja kasvatuseesmärgid 1) tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning mõistab keemia rolli inimühiskonna a
Keemia ainekava 8. klassile Õppe - ja kasvatuseesmärgid 1) tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning mõistab keemia rolli inimühiskonna ajaloolises arengus, tänapäeva tehnoloogias ja igapäevaelus;
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemPythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo
Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
Rohkem(Tõrked ja töökindlus \(2\))
Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
RohkemMicrosoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne
MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine
RohkemTARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele Magistritöö (30 EAP) Finants- ja kindlustusmatemaatika
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
RohkemMicrosoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc
Tartu Ülikool Andmetöötluskeel "Tutorial D" realisatsiooni "Rel" põhjal Referaat aines Tarkvaratehnika Romet Piho Informaatika 2 Juhendaja Indrek Sander Tartu 2005 Sissejuhatus Tänapäeval on niinimetatud
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemKeemia koolieksami näidistöö
PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:
RohkemMicrosoft Word - X Kvantomadused ja tehnoloogia.docx
Sild, mis ühendab teadust tänapäeva füüsikas ja ettevõtlust nanotehnoloogias Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 2. osa Kvantomadused ja tehnoloogia X õppemoodul:
Rohkem2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b)
2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. 10. klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) oogivees on kloriidioonide kontsentratsioon 75 mg/dm
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu
RohkemMLF7011 Plasmafüüsika alused
MLF 7011.LT Plasmafüüsika alused Maht 4 EAP Orienteeriv kontakttundide maht: 28 Õppesemester: S Eksam Eesmärk: Aine lühikirjeldus: (sh iseseisva töö sisu kirjeldus vastavuses iseseisva töö mahule) Õpiväljundid:
RohkemFunktsionaalne Programmeerimine
Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemMittekorrektsed ülesanded 2008
Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............
Rohkempkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid
1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
RohkemAili_A-mf-4_adiab.doc
4. ADIABAAILINE ROSESS 4.. emperatuuri adiabaatiline radient ermodünaamilisi protsesse, mis toimuvad soojusvahetuseta ümbritseva esonnaa, nimetatase adiabaatilistes. emperatuuri adiabaatilise radiendi
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
Rohkem(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )
1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi
RohkemTartu Observatoorium Loengukursus Tartu Ülikoolis Versioon 1.1 TÄHTEDE FÜÜSIKA Iosa Tõnu Viik Tõravere 2009
Tartu Observatoorium Loengukursus Tartu Ülikoolis Versioon 1.1 TÄHTEDE FÜÜSIKA Iosa Tõnu Viik Tõravere 2009 Loengukursuse koostaja avaldab sügavat tänu raamatu An Introduction to Modern Astrophysics ühele
RohkemTUUMAFÜÜSIKA
TUUMAFÜÜSIKA TARTU R IIK LIK ÜLIKOOL Füüsikaosakond TUUMAFÜÜSIKA Koostanud O.Mankin, toimetanud ja täiendanud J.Lem bra T A R T U 1 9 8 9 Kinnitatud füüsika-keemiateaduskonna nõukogus 1 6.detsembril 1987-
RohkemISS0010_5osa_2018
Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!
Rohkemefo03v2kkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
Rohkempkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi
Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemVõistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal
Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb
RohkemMicrosoft Word - Praks1.doc
Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
RohkemOsakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.
Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste
RohkemFyysika 8(kodune).indd
Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?
RohkemPHP
PHP Autorid: Aleksandr Vaskin Aleksandr Bogdanov Keelest Skriptikeel skript teeb oma tööd pärast seda, kui toimus mingi sündmus* Orienteeritud programmeerija eesmärkide saavutamiseks (mugavus on tähtsam
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
RohkemSegamudelid2010.pdf
Peatükk 5 Dispersiooimaatriksi V hidamisest Üldistatud vähimruutude meetodit saame kasutada siis, kui teame vaatluste kovariatsiooimaatriksit V. Paraku eamasti pole uural sellist iformatsiooi. Seega tekib
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
RohkemNÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa
NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse (09.06.2010) 31 lõike 2, tuleb gümnaasiumi õpilastel kooli lõpetamiseks sooritada koolieksam.
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
RohkemKEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteadus
KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning moistab keemia rolli inimuhiskonna ajaloolises
RohkemMicrosoft PowerPoint - KESTA seminar 2013
Preventiivsed meetodid rannikukeskkonna kaitseks Bert Viikmäe KESTA TERIKVANT seminar, 7.märts 2013 1 Merereostus oht rannikule Läänemeri - üks tihedamini laevatatav (15% maailma meretranspordist) mereala
RohkemMicrosoft Word - 1-1_toojuhend.doc
1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil
RohkemTARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Arvutiteaduse instituut Infotehnoloogia eriala Roman Jagomägis Programmeerimiskeel privaatsust säilit
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Arvutiteaduse instituut Infotehnoloogia eriala Roman Jagomägis Programmeerimiskeel privaatsust säilitavate rakenduste loomiseks Bakalaureusetöö (4 AP) Juhendaja:
Rohkem1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad
1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-
RohkemAINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi
AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine
RohkemPISA 2015 tagasiside koolile Tallinna Rahumäe Põhikool
PISA 215 tagasiside ile Tallinna Rahumäe Põhi PISA 215 põhiuuringus osales ist 37 õpilast. Allpool on esitatud ülevaade i õpilaste testisoorituse tulemustest. Võrdluseks on ära toodud vastavad näitajad
Rohkem