Kaasaegse matemaatika meetodite eriseminar I

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Kaasaegse matemaatika meetodite eriseminar I"

Väljavõte

1 Ettekanne aines Kaasaegse matemaatika meetodite eriseminar I Indrek Mandre 7. mai, 2009 Kokkuvõte Matemaatilise füüsika võrrandite teema: vesiniku aatom kvantmehaanikas. Schrödingeri võrrand. Sfäärilised koordinaadid. Sfäärfunktsioonid. Üldistatud Laguerre i polünoomid. Elektroni lainefunktsioon ja energiad. Vesiniku aatom Vaatame aatomit, mille ümber on ainult üks elektron. Aatomi tuum on laetud positiivselt laenguga +Zɛ. Vesiniku puhul Z = ehk tuuma laeng on +ɛ. Võrreldes elektroniga loeme tuuma massiivseks elektroni laeng teda oluliselt ei liiguta) ning paigutame koordinaatide alguspunkti. Meid huvitab elektroni energiad ja võimalikud asukohad tuuma ümber. Antud aatomi mudel on toodud joonisel. U=const. U=const. Joonis : Vesiniku mudel; elektron on tuuma poolt tekitatud elektriväljas; tuuma ümber on tsentraalsümmeetriline potentsiaaliväli. Vesiniku korral omab tuuma ümber asuv elektron potentsiaalset energiat CGS ühikute süsteemis) U = ɛ Zɛ r = ɛ2 r, )

2 kus r on osakese kaugus tuumast. Leides elektronile potentsiaaliväljas mõjuva jõu saame F = U = U r = ɛ2 r 2, mis on nagu oodatult tavaline Coulombi seadus. 2 Schrödingeri võrrand Kvantmehaanikas kirjeldab osakese käitumist lainefunktsioon Ψr, t), mis rahuldab Schrödingeri võrrandit Ψr, t) i = 2 t 2M 2 Ψr, t) + Ur, t)ψr, t), 2) kus = erg s on Plancki konstant, M on osakese mass ja U on tema potentsiaalne energia. 2 on Laplace i operaator ja omab kuju 2 = 2 x y z 2. Funktsiooni Ψ argument r = x, y, z) on vektor punkt) ruumis ja t on aeg. Lainefunktsiooni Ψ abil saab määrata tõenäosuse osakese viibimiseks mingis ruumi osas, täpsemalt Ψr, t) 2 dxdydz on osakese viibimise tõenäosus elementaarruumalas dxdydz. Tõenäosus osakese asumiseks universumis on üks, seega peab kehtima normeerimistingimus ˆ Ψr, t) 2 dv =. 3) Antud juhul on meil tegu statsionaarsete olekutega, see tähendab potentsiaaliväli ei muutu ajas: U = Ur). Lainefunktsiooni saab siis jagada korrutiseks ajast ja ruumi punktist sõltuvateks funktsioonideks ning anda kujul Ψr, t) = ϕt)ψr). Asendades antud valemi Schrödingeri valemisse 2) saame: i ψr) dϕt) dt Jagades selle suurusega ϕt)ψr) saame i dϕt) dt = 2 2M ϕt) 2 ψr) + Ur)ϕt)ψr). ϕt) = 2 2M ψr) 2 ψr) + Ur). Muutujad on eraldatud ja saame võrrandi mõlemad pooled panna võrduma konstandiga E. Tekib kaks võrrandit: i dϕt) dt ϕt) = E, 2 2M ψr) 2 ψr) + Ur) = E. 2

3 Esimese integreerimisel saame dϕt) dt ϕt) = ie ˆ ) ln ϕt) = ie t + C exp ) ϕt) = ce iet. Kuna kogulahend on korrutis ϕt)ψr), viime konstandi c teise funktsiooni ψr) ja lõpptulemuseks on: ϕt) = e iet. Teist võrrandit 2 2M ψr) 2 ψr) + Ur) = E 4) nimetatakse statsionaarseks Schrödingeri võrrandiks ning vesiniku aatomi lainefunktsiooni saamiseks tuleb see lahendada. Antud valemile 4) saab anda läbi Hamiltoni operaatori Ĥ ka kuju kus Ĥψr) = Eψr), Ĥ = 2 2M 2 + Ur). Hamiltoni operaatori tuletusest tulenevalt on võimalik näidata, et konstant E on osakese koguenergia potentsiaalne plus kineetiline). Kuna funktsiooni Ψ mooduli ruut tuleb Ψr, t) 2 = ϕt)ψr) 2 = e iet 2 ψr) = e iet ψr)e iet ψr) = = e iet ψr)e iet ψr) = ψr)ψr) = ψr) 2, siis on osakese asukoha määramiseks piisav funktsiooni ψr) leidmine. Samuti kitsendub funktsiooni Ψr, t) normeerimistingimus 3) nüüd funktsioonile ψr): ˆ ψr) 2 dv =. 5) Valemile 4) antakse tavaliselt järgmise kuju: 2 ψ + 2M E U)ψ = 0. 6) 2 Vesiniku aatomis oleva elektroni massi asemel kasutatakse tihti ka nn. taandatud massi µ = m em p m e + m p, kus m e on elektroni mass ja m p on prootoni mass. 3

4 3 Sfäärilised koordinaadid Kuna potentsiaaliväli Ur) on tsentraalsümmeetriline, ei ole Laplace i operaatorit 2 mugav kasutada Cartesiuse koordinaatides x, y, z) ja kasulik on üle minna sfäärilistele koordinaatidele r, θ, φ). Kasutades seoseid saab Laplace i operaator kuju 2 = r 2 r 2 r r x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = tan x2 + y 2 z z = tan y x ) + r 2 sin θ sin θ ) + θ θ r 2 sin 2 θ 2 φ 2. z θ r y x φ kus Joonis 2: Sfäärilised koordinaadid. Joonisel 2 on näha parameetrite r, φ, θ sisu. Lahutame Laplace i operaatori veel kaheks osaks 2 = r 2 r 2 ) + r r r 2 2 θφ, 2 θφ = sin θ sin θ ) + θ θ sin 2 θ 2 φ 2 ja rakendame seda valemi 6) peal: r 2 r 2 ψ ) + r r r 2 2 θφψ + 2M E U)ψ = 0. 7) 2 4

5 4 Sfäärfunktsioonid Et liikuda edasi vesiniku aatomi lahendiga, tuleb vahepeal leida sfäärfunktsioonide kuju. Selleks vaatame rotaatorit kvantmehaanikas. Rotaatoriks nimetatakse osakest, mis tiirleb fikseeritud kaugusel r etteantud keskpunktist. Lisaks loeme osakesele mõjuva potentsiaalivälja konstantseks ja konstandi E U lihtsustamiseks võime võtta U = 0. Valem 7) tuleb siis tähistades Y = ψ: r 2 r 2 Y ) + r r r 2 2 θφy + 2M EY = 0. 2 Kuna oleme osakese fikseerinud mingile kindlale raadiusele r, huvitab meid osakese leidumise tõenäosus raadiusest sõltumata mingis suunas, ehk Y = Y θ, φ). Siis on Y osatuletis r järgi null ja valem lihtsustub veelgi: r 2 2 θφy + 2M EY = 0. 2 Tuues sisse inertsimomendi I = Mr 2, saame r 2 2 θφy + 2I 2 EY = 0. r2 Korrutades seda nüüd väärtusega r 2 ja asendades saame valemi ehk sin θ λ = 2I 2 E, 2 θφy + λy = 0, 8) sin θ Y ) + θ θ sin 2 θ mis peab lisaks veel täitma normeerimistingimust 5). Otsime lahendit korrutisena kusjuures peab kehtima 2 Y + λy = 0, 9) φ2 Y θ, φ) = Θθ)Φφ), 0) Φφ + 2π) = Φφ). ) Asendame korrutise võrrandisse 9) ning eraldame muutujad: Φ d sin θ dθ ) + Θ d 2 Φ sin θ dθ dθ sin 2 θ dφ 2 + λθφ = 0 sin2 θ ΘΦ sin θ d dθ ) sin θ dθ dθ + λθ sin 2 θ Θ d 2 Φ dφ = 2 Φ. = µ. Kuna muutujad on eraldatud võrduse mõlemale poole, peab võrduse mõlema poole väärtus olema konstantne ja tähistame selle kui µ. Seega saame kaks võrrandit: d sin θ dθ ) + λ µ ) sin θ dθ dθ sin 2 Θ = 0 2) θ 5

6 ja d 2 Φ + µφ = 0. 3) dφ2 Võrrandil 3) on perioodilisuse tingimusel ) kaks erilahendit µ < 0 ega µ = 0 ei kõlba perioodilisuse tingimuse jaoks, jääb ainult µ > 0): Φ φ). = e i µφ, Φ 2 φ). = e i µφ. Lisaks et oleks täidetud perioodilisuse tingimus, peab µ olema täisarv. Tuues sisse arvu m seosega µ = m 2, saame valemi 3) lahendiks Φφ) = e imφ m = 0, ±,...) Teades nüüd µ väärtust, saame liikuda võrrandi 2) lahendamisele. Teeme muutuja vahetuse cos θ = τ dτ dθ = sin θ = sin 2 θ = cos 2 θ = τ 2. Asendame selle võrrandi 2) esimesse poolde: d sin θ dθ ) d = cos2 θ dθ ) = sin θ dθ dθ cos2 θ dθ dθ d = τ 2 dθ ) dτ dτ τ 2 dτ dτ dθ dθ = [ d = τ 2 dθ ) ] τ ) τ 2 dτ dτ 2 τ 2 = = d [ τ 2 ) dθ ]. dτ dτ Tehes muudatuse ka teises pooles, saame kokku [ d τ 2 ) dθ ] ) + λ m2 dτ dτ τ 2 Θ = 0, τ, ), m = 0, ±,... τ piirang tuleb tema definitsioonist - ta ei saa võimalikest koosinuse väärtustest erinev olla. Antud võrrand on n-järku Legendre i võrrand. Legendre i võrrandi lahenduskäiku me siin ei vaata ja toome ära ainult tulemuse. Mittetriviaalsed lahendid on Legendre i kaasfunktsioonid Θ lm θ) = P m l cos θ) l = 0,,...; m = l,..., 0,..., l) ja vastavad omaväärtused on λ = ll + ) l = 0,,...). 4) Asendades selle valemisse 0), saame valemi 8) mittetriviaalseks erilahendiks P m l cos θ)e imφ, l = 0,,...; m = l,..., 0,..., l). Lisaks tuleb nüüd rakendada normeerimistingimust 5). Tulemuseks on funktsioonid, mille lineaarseid kombinatsioone nimetatakse sfäärharmoonikuteks: Y lm θ, φ) =. 2l + ) l m )! γ 4π l + m )! P l m cos θ)e imφ l = 0,,...; m = l,..., l), 5) kus γ = ) m kui m 0 ja γ = kui m < 0. 6

7 5 Vesinikuaatomi arendus Otsime lahendit kujul ψr, θ, φ) = Rr)Y lm θ, φ), kus Y lm θ, φ) on sfäärharmoonik. Asendades selle ja potentsiaalse energia ) valemisse 7), saame: d r 2 r 2 dr ) Y lm + Rr dr dr 2 2θφY lm + 2M ) 2 E + ɛ2 RY lm = 0. r Kuna valemite 8) ja 4) alusel on 2 θφy lm = ll + )Y lm. Asendame selle eelmisesse valemisse, taandame, võtame tuletise ja grupeerime: d r 2 r 2 dr ) Y lm Rr dr dr 2 ll + )Y lm + 2M ) 2 E + ɛ2 RY lm = 0, r r 2 d r 2 dr ) Rr dr dr 2 ll + ) + 2M ) 2 E + ɛ2 R = 0, r dr 2 dr dr r dr R r 2 ll + ) + 2M [ dr 2M r dr + 2 E + ɛ2 r Eeldusel, et E < 0, teeme muutujate vahetuse ρ. = δr, δ. = ) ) E + ɛ2 R = 0, r ] ll + ) r 2 R = 0. Y lm 8ME 2. 6) Arvutame R esimesed tuletised ja asendame saadu viimasesse valemisse: dr dr = dr dρ dρ dr = dr dρ δ = ρ dr r dρ, ρ 2 r 2 dρ ρ dr r r dρ dr ρ dρ ll + ) ρ 2 R + 2M ER r2 2 dr 2 = δ2 d2 R dρ 2 dρ + 2M 2 ER + 2M ɛ 2 ll + ) 2 R r r 2 R = 0 2 8ME dρ dr ρ dρ dρ dr ρ dρ ll + ) ρ 2 R 4 R + 2Mɛ2 r 2 ρ = ρ2 r 2 dρ 2, r2 ρ 2, ) + 2M ɛ2r r2 2 R ρρ = 0, ρ R = 0, ll + ) ρ 2 R 4 R + 2Mɛ2 2 δ ρ R = 0, dρ dr ll + ) ρ dρ ρ 2 R 4 R + n R = 0, 7) ρ 7

8 kus konstant n on n = 2Mɛ2 2 δ. 8) Toome sisse uue otsitava funktsiooni yρ) läbi järgmiseks seose R = ρ l e ρ 2 yρ), 9) kus siis y = yρ) on uus otsitav funktsioon. Arvutades tuletised saame: dρ 2 dr dρ = lρl ) e ρ 2 y 2 ρl e ρ 2 y + ρ l e ρ 2 y = = ρ l e ρ 2 = ll )ρl 2) e ρ 2 y 2 [ lρ l ) e ρ 2 y [ l ρ ) ] y + y, 2 2 ρl e ρ ρ 2 lρl ) e 2 y + lρ l ) e ρ 2 y ] 2 y + ρ l e ρ 2 y + +lρ l ) e ρ 2 y 2 ρl e ρ 2 y + ρ l e ρ 2 y = [ = ρ l e ρ ll ) 2 ρ 2 l ρ + ) ) ] 2l y + 4 ρ y + y Asendame need tulemused valemisse 7) ja jagame ρ l e ρ 2 -ga: ll ) ρ 2 l ρ + ) ) 2l y + 4 ρ y + y + 2l = y + ρ + 2 ρ 2l + ρ 2 ) y + 2 ll + ) ρ ρ y ρ 2 y 4 y + n ρ y = ) ll ) y + ρ 2 l ρ l ρ 2 ll + ) ρ ρ n ρ ) 2l + 2 = y + y + l ρ ρ ρ + n ) y = 0. ρ Korrutades viimast avaldist ρ-ga, saame ) y = ρy + [2l + ) ρ] y + n l )y = 0. 20) Selle valemi lahendiks on aga üldistatud Laguerre i polünoomid, mida vaatame järgmiseks. 8

9 6 Üldistatud Laguerre i polünoomid Olgu α >. Vaatleme järgmist Sturm-Liouville i ülesannet: leida võrrandi ) d x α+ x dy e + x α e x λy = 0 dx dx mittetriviaalsed lahendid vahemikus x [0, ), mis on punktis x = 0 tõkestatud ja ei kasva x korral kiiremini kui muutuja x lõplik aste. Tehes lahti sulud, saame x α+ e x y x α+ e x y + α + )x α e x y + x α e x λy = 0 x α e x, xy + α + x)y + λy = 0. 2) Defineerime funktsiooni wx). = x m+α e x m = 0,,...). Seda diferentseerides saame w = m + α)x m+α e x x m+α e x = m + α w w xw = m + α x)w. x Diferentseerides viimast seost veel m + korda, saame xw + x m α)w = 0 xw + x m + α)w + w = 0 xw + x m + 2 α)w + 2w = 0... xw m+2) + x + α)w m+) + m + )w m) = 0. 22) Defineerime nüüd otsitava funktsiooni L α mx) läbi seose w m) x). = m!x α e x L α mx) L α mx). = x α m! ex w m). Et asendada seda võrrandisse 22), leiame kaks esimest tuletist: w m+) = dwm) ) dx w m+2) = dwm+) ) dx = dm!xα e x L α m) dx = m!e x αx α L α m x α L α m + x α Lα m ) = = m!e x x α [ αx )L α m + L α m = m!e x αα )x α 2 L α m+αx α Lα m αx α L α m x α Lα m + αx α Lα m + x α Lα m αx α L α m + x α L α m x α Lα [ m ) = = m!e x x α αα )x 2 2αx + )L α m + 2αx 2) L α m + L ] α m. Asendades need valemisse 22) ja jagades väärtusega m!e x x α, saame x L α m + [2α 2x + x + α] L α m+ + [ αα )x 2α + x + α x + αx α 2 x + α + m + ] L α m = ] 9

10 = x L α m + α + x) L α m + ml α m = 0. Viimase võrrandi kuju aga langeb kokku valemiga 2) juhul kui λ = m. Seega on funktsioonid L α m vaadeldava võrrandi omafunktsioonid, mis vastavad omaväärtustele λ = m. Seega omaväärtuse λ = m m = 0,,...) korral on võrrandi 2) lahend funktsioon L α mx) = x α dm ex m! dx m xm+α e x ). Seda valemit nimetatakse Rodrigues i valemiks ja antud funktsioone nimetatakse üldistatud Laguerre i polünoomideks. 7 Vesiniku aatomi lahend Vaadates nüüd uuesti valemit 20) ρy + [2l + ) + ρ] y + n l )y = 0 on näha, et tegu on sama valemiga 2), mille lahendid olid üldistatud Laguerre i polünoomid, kusjuures omaväärtused on λ. = n l, λ = 0,,... ning nendele omaväärtustele vastavad omafunktsioonid on y nl ρ) = L 2l+ n l ρ). Kuna l on täisarv, siis peab ka n olema täisarv. Lisaks kuna λ 0, siis peab n l +. Ja kuna l 0, siis peab n olema vähemalt. Fikseerides n-i, saame siit piirangu l-le: l = n λ l = 0,..., n. Asendame saadud tulemuse valemisse 9): R nl r) = ρ l e ρ 2 ynl ρ) = ρ l e ρ 2 L 2l+ n l ρ) = δr)l e δr 2 L 2l+ n l δr). Edasisteks lihtsustusteks toome sisse Bohri raadiuse a valemiga Paneme selle valemisse 8): a = 2 Mɛ 2 = 0.529Å. ja asendame funktsiooni R nl : n = 2Mɛ2 2 δ R nl r) = = 2 aδ δ = 2 na ) l 2r e r na L 2l+ n l na Normeeritud kogulahend oleks meil siis ) 2r. na ψ nlm r, θ, φ) = A nl R nl r)y lm θ, φ), 0

11 kus n =, 2,...; l = 0,..., n ; m = l,..., 0,..., l ning arvu n nimetatakse peakvantarvuks, l on orbitaalne kvantarv, m on magnetiline kvantarv ja A nl R on normeerimiskonstant. Viimane avaldub normeerimistingimusest 5) järgnevalt: ˆ ˆ π ˆ 2π A 2 nl 0 0 ˆ 0 0 A nl R nl r)y lm θ, φ) 2 r 2 sin θdφdθdr =, R nl r) 2 r 2 dr ˆ π ˆ 2π 0 0 Y lm θ, φ) 2 sin θdφdθ =. Kuna sfäärharmoonik on juba normeeritud, lihtsustub võrrand veelgi ja saame A nl = A 2 nl ˆ 0 R nl r) 2 r 2 dr = ) 3 2 R 0 nl r) 2 r 2 dr = n l )! na 2n [n + l)!] 3. Konstantse tõenäosustiheduse pinnad on kujutatud joonisel 3. Lõpuks saame tuletada ka elektroni energia E. Võttes seose 8) ruutu saame: n = 2Mɛ2 2 δ, Asendades sinna 6) tuleb n 2 = 4M 2 ɛ 4 4 δ 2. δ 2 = 8ME 2, n 2 = 4M 2 ɛ ME = Mɛ4 2 2 E E = Mɛ4 2 2 n 2 ehk siis elektronil võivad vesiniku ümber olles olla järgnevad energiad: E n = Mɛ4 2 2 n 2 n =, 2,...).

12 Joonis 3: Konstantse ψ 2 pinnad elektroni jaoks vesiniku aatomis. Pilt on pärit David J. Griffithsi Introduction to Quantum Mechanics, second edition ja sealt omakorda Hans Dieter Dahmeni The Picture Book of Quantum Mechanics, 3rd edition. Kasutatud kirjandus [Paal] Eugen Paal, Matemaatilise füüsika võrrandid, [Loide] Rein-Karl Loide, Sissejuhatus kvantmehaanikasse. [Griffiths] David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, second edition. [Boas] Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, third edition. 2

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

elastsus_opetus_2005_14.dvi

elastsus_opetus_2005_14.dvi 7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

Tala dimensioonimine vildakpaindel

Tala dimensioonimine vildakpaindel Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.

Rohkem

elastsus_opetus_2017_ptk3

elastsus_opetus_2017_ptk3 1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

master.dvi

master.dvi TARTU ÜLIKOOL Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut ELMO TEMPEL GALAKTIKA NGC 4594 HÜDRODÜNAAMILINE MUDEL Astrofüüsika magistritöö Juhendaja: dots. PEETER TENJES Tartu 2005 Sisukord 1

Rohkem

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Füüsika

Füüsika Füüsika Elektrostaatika Elektriväli dielektrikus Dielektrikud ja elektrijuhid Aine koosneb aatomitest, aatomid aga negatiivselt ja positiivselt laetud osakestest. Positiivne tuum on ümbritsetud negatiivse

Rohkem

(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc)

(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc) Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult

Rohkem

Keemia ainekava 8. klassile Õppe - ja kasvatuseesmärgid 1) tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning mõistab keemia rolli inimühiskonna a

Keemia ainekava 8. klassile Õppe - ja kasvatuseesmärgid 1) tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning mõistab keemia rolli inimühiskonna a Keemia ainekava 8. klassile Õppe - ja kasvatuseesmärgid 1) tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning mõistab keemia rolli inimühiskonna ajaloolises arengus, tänapäeva tehnoloogias ja igapäevaelus;

Rohkem

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne

Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

(Tõrked ja töökindlus \(2\))

(Tõrked ja töökindlus \(2\)) Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele Magistritöö (30 EAP) Finants- ja kindlustusmatemaatika

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

III teema

III teema KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan

Rohkem

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc Tartu Ülikool Andmetöötluskeel "Tutorial D" realisatsiooni "Rel" põhjal Referaat aines Tarkvaratehnika Romet Piho Informaatika 2 Juhendaja Indrek Sander Tartu 2005 Sissejuhatus Tänapäeval on niinimetatud

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

Microsoft Word - X Kvantomadused ja tehnoloogia.docx

Microsoft Word - X Kvantomadused ja tehnoloogia.docx Sild, mis ühendab teadust tänapäeva füüsikas ja ettevõtlust nanotehnoloogias Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 2. osa Kvantomadused ja tehnoloogia X õppemoodul:

Rohkem

2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b)

2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) 2018/2019. õa keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. 10. klass 1. Maasika toit a) 2SO2 + O2 + 2H2O 2H2SO4 (0,5) H2SO4 + 2KCl = 2HCl + K2SO4 (0,5) b) oogivees on kloriidioonide kontsentratsioon 75 mg/dm

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu

Rohkem

MLF7011 Plasmafüüsika alused

MLF7011 Plasmafüüsika alused MLF 7011.LT Plasmafüüsika alused Maht 4 EAP Orienteeriv kontakttundide maht: 28 Õppesemester: S Eksam Eesmärk: Aine lühikirjeldus: (sh iseseisva töö sisu kirjeldus vastavuses iseseisva töö mahule) Õpiväljundid:

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA

TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid

pkm_2016_ptk7_olekuvõrrandid 1 Peatükk 7 Olekuvõrrandid 7.1 Sissejuhatus Vastavalt pideva keskkonna neljale põhiaksioomile oleme saanud põhivõrrandite süsteemi, mis koosneb kaheksast sõltumatust võrrandist 1. 1. Massi jäävuse seadus

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Aili_A-mf-4_adiab.doc

Aili_A-mf-4_adiab.doc 4. ADIABAAILINE ROSESS 4.. emperatuuri adiabaatiline radient ermodünaamilisi protsesse, mis toimuvad soojusvahetuseta ümbritseva esonnaa, nimetatase adiabaatilistes. emperatuuri adiabaatilise radiendi

Rohkem

(geomeetria3_0000.eps)

(geomeetria3_0000.eps) Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks

Rohkem

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid )

(Microsoft Word - Matsalu Veev\344rk AS aktsion\344ride leping \(Lisa D\) Valemid ) 1(6) 1. Vee- ja kanalisatsiooniteenuse hinna kujundamise põhimõtted Aktsiaselts tegevuskulude arvestuse aluseks on auditeeritud ja kinnitatud aastaaruanne. Hinnakujunduse analüüsis kasutatakse Aktsiaseltsi

Rohkem

Tartu Observatoorium Loengukursus Tartu Ülikoolis Versioon 1.1 TÄHTEDE FÜÜSIKA Iosa Tõnu Viik Tõravere 2009

Tartu Observatoorium Loengukursus Tartu Ülikoolis Versioon 1.1 TÄHTEDE FÜÜSIKA Iosa Tõnu Viik Tõravere 2009 Tartu Observatoorium Loengukursus Tartu Ülikoolis Versioon 1.1 TÄHTEDE FÜÜSIKA Iosa Tõnu Viik Tõravere 2009 Loengukursuse koostaja avaldab sügavat tänu raamatu An Introduction to Modern Astrophysics ühele

Rohkem

TUUMAFÜÜSIKA

TUUMAFÜÜSIKA TUUMAFÜÜSIKA TARTU R IIK LIK ÜLIKOOL Füüsikaosakond TUUMAFÜÜSIKA Koostanud O.Mankin, toimetanud ja täiendanud J.Lem bra T A R T U 1 9 8 9 Kinnitatud füüsika-keemiateaduskonna nõukogus 1 6.detsembril 1987-

Rohkem

ISS0010_5osa_2018

ISS0010_5osa_2018 Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!

Rohkem

efo03v2kkl.dvi

efo03v2kkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Gümnaasiumi ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi

pkm_2010_ptk1_Sissejuh.dvi Peatükk 1 Sissejuhatus ülevaade staatika, dünaamika ja tugevusõpetuse põhimõistetest, hüpoteesidest ja võrranditest 1 1.1. Mehaanika harud 1-2 1.1 Mehaanika harud Mehaanika on teadus, mis uurib tahkete

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

PHP

PHP PHP Autorid: Aleksandr Vaskin Aleksandr Bogdanov Keelest Skriptikeel skript teeb oma tööd pärast seda, kui toimus mingi sündmus* Orienteeritud programmeerija eesmärkide saavutamiseks (mugavus on tähtsam

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Segamudelid2010.pdf

Segamudelid2010.pdf Peatükk 5 Dispersiooimaatriksi V hidamisest Üldistatud vähimruutude meetodit saame kasutada siis, kui teame vaatluste kovariatsiooimaatriksit V. Paraku eamasti pole uural sellist iformatsiooi. Seega tekib

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa

NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse ( ) 31 lõike 2, tuleb gümnaa NÕO REAALGÜMNAASIUMI KOOLIEKSAMI ERISTUSKIRI I. KOOLIEKSAMI OSAD Võttes aluseks Põhikooli- ja gümnaasiumiseaduse (09.06.2010) 31 lõike 2, tuleb gümnaasiumi õpilastel kooli lõpetamiseks sooritada koolieksam.

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas

KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja

Rohkem

KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteadus

KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteadus KEEMIA AINEKAVA põhikooli 8.klassile 1. Õpieesmärgid. 8. klassis keemiaõpetusega taotletakse, et õpilane: 1. tunneb huvi keemia ja teiste loodusteaduste vastu ning moistab keemia rolli inimuhiskonna ajaloolises

Rohkem

Microsoft PowerPoint - KESTA seminar 2013

Microsoft PowerPoint - KESTA seminar 2013 Preventiivsed meetodid rannikukeskkonna kaitseks Bert Viikmäe KESTA TERIKVANT seminar, 7.märts 2013 1 Merereostus oht rannikule Läänemeri - üks tihedamini laevatatav (15% maailma meretranspordist) mereala

Rohkem

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc

Microsoft Word - 1-1_toojuhend.doc 1.1. ELEKTROSTAATILISE VÄLJA UURIMINE 1. Tööülesanne Erineva kujuga elektroodide elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade leidmine elektrolüüdivanni meetodil. Potentsiaali jaotuse leidmine arvutil

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Arvutiteaduse instituut Infotehnoloogia eriala Roman Jagomägis Programmeerimiskeel privaatsust säilit

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Arvutiteaduse instituut Infotehnoloogia eriala Roman Jagomägis Programmeerimiskeel privaatsust säilit TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Arvutiteaduse instituut Infotehnoloogia eriala Roman Jagomägis Programmeerimiskeel privaatsust säilitavate rakenduste loomiseks Bakalaureusetöö (4 AP) Juhendaja:

Rohkem

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-

Rohkem

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi

AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine

Rohkem

PISA 2015 tagasiside koolile Tallinna Rahumäe Põhikool

PISA 2015 tagasiside koolile Tallinna Rahumäe Põhikool PISA 215 tagasiside ile Tallinna Rahumäe Põhi PISA 215 põhiuuringus osales ist 37 õpilast. Allpool on esitatud ülevaade i õpilaste testisoorituse tulemustest. Võrdluseks on ära toodud vastavad näitajad

Rohkem