Laplace i teisenduse kasutamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisel

Väljavõte

1 TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Mtemtik instituut Mtemtik eril Ann Mrit Lnem Lplce i teisenduse ksutmine diferentsilvõrrndite lhendmisel Mgistritöö Juhendj: professor Arvet Peds Trtu 5

2 Sisukord Sissejuhtus 3 Lplce i teisenduse mõiste 5 Lplce i teisenduse omdused 3 Lplce i teisenduse pöördteisendus 3 4 Linersed n-järku hrilikud diferentsilvõrrndid 5 5 Diferentsilvõrrndite lhendmine Lplce i teisenduse bil 7 6 Konvolutsioon. Boreli teoreem 5 7 Gmmfunktsioon 9 8 Riemnn-Liouville i murruline tuletis 35 9 Cputo murruline tuletis 43 Murruliste tuletisteg diferentsilvõrrndite lhendmine Lplce i teisenduse bil 49 Summry 5 Kirjndus 53 Lis 54

3 Sissejuhtus Olgu funktsioon f määrtud poollõigus [, ). Funktsiooni f Lplce i teisenduseks nimettkse integrlteisendust kujul F (s) = e st f(t) dt. () Prmeeter s on üldiselt kompleksrv, kuid käesolevs töös (välj rvtud prgrhv 3) eeldme, et s on relrv. Lisks märgime, et selles töös enmsti rkendtkse Lplce i teisendust tükiti pidevtele j eksponentsilse ksvug funktsioonidele, mid nimettkse originlideks. Lplce i teisendust () märgitkse sgeli kujul F (s) = L[f](s) või F (s) = L[f(t)](s). Teisenduse () juured lgvd šveitsi mtemtiku j füüsiku Leonhrd Euleri (77 783) töödest sttel 763 j 769. Kuid kõnelune teisendus on nimettud siiski Lplce i teisenduseks prntsuse mtemtiku, füüsiku j stronoomi Pierre-Simon Lplce i (749 87) uks, kes ksuts sed teisendust esmkordselt om tõenäosusteoori lses töös stl 78 (vt [3], lk 39 33). Mgistritöö on põhiliselt refertiivse iseloomug j tugineb pemiselt rmtutes [], [4] j [8] toodud tulemustele. Töö koosneb kümnest prgrhvist j liss toodud tbelitest. Töö esimeses prgrhvis on ntud Lplce i teisenduse definitsioon j näidtud, et originlil leidub Lplce i teisendus. Smuti on leitud mõningte lihtsmte funktsioonide Lplce i teisendused. Järgmises prgrhvis on esittud kks tähtsmt Lplce i teisenduse omdust: linersuse j originli diferentseerimise omdus. Need on vjlikud linersete konstntsete kordjteg diferentsilvõrrndite Cuchy ülesnnete lhendmiseks Lplce i teisenduse bil. Kolmnds prgrhvis on ntud üldine vlem Lplce i teisenduse pöördteisenduse leidmiseks. Neljnds prgrhvis on ntud ülevde klssiklisest meetodist linersete n-järku hrilike diferentsilvõrrndite lhendmiseks. Töö viiends prgrhvis on lhendtud Lplce i teisenduse bil kolm konstntsete kordjteg linerse diferentsilvõrrndi Cuchy ülesnnet. Üldine lhenduskäik Cuchy ülesnde lhendi y leidmiseks Lplce i teisenduse bil on järgmine: ) kõigepelt rkendme Lplce i teisendust ntud diferentsilvõrrndile; ) vldme sdud seosest funktsiooni Y, kus Y (s) = L[y(t)](s) j y on lähteülesnde otsitv funktsioon; 3

4 3) leime Lplce i teisenduse pöördteisenduse bil otsitv funktsiooni y(t) = L [Y (s)]. Et sd ettekujutust Lplce i teisendusele tuginev meetodi töömhukusest, on näited lhendtud khel viisil kõigepelt klssiklise meetodi bil j seejärel meetodig, mis ksutb Lplce i teisendust. Khes järgnevs prgrhvis on esittud mõned bitulemused, mid ksuttkse käesolev töö järgnevtes osdes. Kuuends prgrhvis on toodud sisse konvolutsiooni mõiste j leitud funktsioonide konvolutsiooni Lplce i teisendus. Seitsmends prgrhvis on defineeritud gmm- j beetfunktsioon ning vdeldud mõningid nende omdusi. Lisks on esittud vlem, mis seob gmmfunktsiooni Lplce i teisenduseg. Kheksnds j üheksnds prgrhvis vdeldkse khte võimlust funktsiooni murrulist järku tuletise defineerimiseks. Esmlt on defineeritud Riemnn- Liouville i murruline tuletis. Seejärel on esittud Cputo tuletise definitsioon. On leitud k lihtsmte funktsioonide Riemnn-Liouville i j Cputo murrulised tuletised. Smuti on tõesttud seos Reimnn-Liouville i j Cputo murruliste tuletiste vhel. Lõpuks on leitud Riemnn-Liouville i integrli j Cputo tuletise Lplce i teisendused. Töö viimses prgrhvis on toodud mõned näited Lplce i teisenduse rkendmise koht Cputo murrulise tuletiseg diferentsilvõrrndi lgväärtusülesnde lhendmiseks. 4

5 Lplce i teisenduse mõiste Olgu funktsioon f = f(t) määrtud, kui t [, ). Definitsioon.. Teisendust kujul F (s) = e st f(t) dt, (.) mis seb funktsioonile f vstvusse funktsiooni F, nimettkse funktsiooni f Lplce i teisenduseks. Prmeeter s on üldiselt kompleksrv j funktsioon f võib omd kompleksseid väärtusi. Käesolevs töös on s enmsti relrvuline muutuj j funktsiooni f väärtused on relrvud. Seoseg (.) ntud vstvust funktsioonide f j F vhel märgitkse sgeli kujul F (s) = L[f](s) (mõnikord k näiteks F (s) = Lf(t) või F (s) f(t)). Kui eksisteerib lõplik piirväärtus siis integrl τ lim e st f(t) dt, τ e st f(t) dt (.) koondub j funktsioonil f on olems Lplce i teisendus (.); vstsel juhul integrl (.) hjub j funktsioonil f ei ole Lplce i teisendust. Järgnevlt leime mõned elementrfunktsioonide Lplce i teisendused. Edspidi hkkme ksutm järgmisi tähistusi: N = {,,...}, N = {,,,...} j R = (, ). Näide.. Leime funktsiooni f(t) = c (t, c R) Lplce i teisenduse. Kui s >, siis τ ( e e st c dt = c lim e st sτ dt = c lim ) = c τ τ s s s. Seeg s > korrl funktsiooni f(t) = c Lplce i teisendus vldub kujul L[c](s) = c τ. Kui s, siis ei eksisteeri lõplikku piirväärtust lim e st c dt, s τ st integrl (.) hjub j funktsioonil f(t) = c puudub Lplce i teisendus. Pierre Simon de Lplce (749 87) - prntsuse mtemtik, füüsik, stronoom 5

6 Näide.3. Leime funktsiooni f(t) = e ωt (t, ω R) Lplce i teisenduse. Definitsiooni. põhjl L [ e ωt] (s) = = lim τ τ e st e ωt dt = lim e (s ω)t dt τ ) ( e (s ω)τ s ω s ω = s ω, s > ω. Niisiis, funktsiooni e ωt Lplce i teisendus L [e ωt ] (s) = on määrtud, kui s ω s > ω. Näide.4. Leime funktsiooni f(t) = sin ωt (t, ω R) Lplce i teisenduse. Pneme tähele, et kui ω =, siis L[f](s) = L[](s) =. Olgu ω nullist erinev relrv j s >. Definitsiooni. põhjl L [sin ωt] (s) = e st sin ωt dt ehk Integrli τ L[sin ωt](s) = lim e st sin ωt dt. (.3) τ τ e st sin ωt dt ositi integreerides sme τ e st sin ωt dt = e sτ cos ωτ ω Seeg võrduste (.3) j (.4) põhjl τ + ω s e st cos ωt dt. (.4) ω L[sin ωt](s) = ω s τ ω lim e st cos ωt dt. (.5) τ 6

7 Integrli ositi integreerides sme τ e st cos ωt dt τ e st cos ωt dt = e sτ sin ωτ ω τ + s e st sin ωt dt. (.6) ω Järelikult võrduste (.5) j (.6) bil L[sin ωt](s) = ω s ω e st sin ωt dt ehk L[sin ωt](s) = ω s L[sin ωt](s). (.7) ω Avldme seosest (.7) funktsiooni L[sin ωt](s): L[sin ωt](s) = ω s + ω, (.8) kus s >. Seeg funktsiooni f(t) = sin ωt (t, ω R) Lplce i teisendus vldub kujul (.8), kus s >. Anloogiliselt sme, et funktsiooni f(t) = cos ωt (t, ω R) Lplce i teisendus omb kuju Näide.5. Näitme, et L[cos ωt](s) = kus s >, t j n N. Tõestus. Olgu n =. Siis definitsiooni. põhjl s, ω R, s >. (.9) s + ω L[t n ](s) = n!, (.) sn+ L[t](s) = e st t dt. 7

8 Ositi integreerides leime e st t dt = lim Näite. bil järeldub siit, et τ te st s τ + s τ L[t](s) = s L[](s) = s, kus s >. Järelikult vlem (.) kehtib n = korrl. e st dt. Eeldme nüüd, et seos (.) kehtib n = k puhul. Näitme, et see väide kehtib k n = k + korrl. Definitsiooni. põhjl L [ t k+] (s) = τ e st t k+ dt = lim e st t k+ dt. τ Olgu du = e st dt j v = t k+, siis u = e st ning dv = (k + )t k dt. Sme, s et L [ t k+] (s) = lim tk+ e st τ + k + τ e st t k dt τ s s Eelduse põhjl Järelikult L [ t k+] (s) = k + s = lim τ τ k+ e sτ s = k + L [ t k] (s). s + k + s L [ t k] (s) = k! s k+. L [ t k] (s) = k + s τ lim e st t k dt τ k! (k + )! =. sk+ s k+ Seeg väide kehtib k n = k + korrl ning võrdus (.) on tõesttud. 8

9 Et integrl (.) koonduks, tuleb üldjuhul funktsioonile f sed tetvd tingimused. Definitsioon.6. Öeldkse, et funktsioon f on eksponentsilse ksvug σ poollõigus [, ), kui leiduvd konstndid M > j σ nii, et ig t > korrl f(t) Me σt. Definitsioon.7. Arvude σ lumist rj σ nimettkse funktsiooni f ksvu näitjks. Definitsioon.8. Öeldkse, et funktsioon f on tükiti pidev lõigus [, b], kui leidub lõplik jotus oslõikudeks punktideg = κ < κ < < κ n = b (n N) nii, et igs vhemikus (κ i, κ i+ ) on funktsioon f pidev j punktid κ i, i {,..., n}, on funktsiooni f I liiki ktkevuspunktideks. Öeldkse, et funktsioon f on tükiti pidev poollõigus [, ), kui t on ig N > korrl tükiti pidev lõigus [, N]. Definitsioon.9. Funktsiooni f nimettkse originliks, kui see rhuldb järgmisi tingimusi:. funktsioon f on pidev või tükiti pidev koos tetud järku tuletisteg poollõigus [, );. funktsioon f on eksponentsilse ksvug σ poollõigus [, ). Definitsioon.. Seoseg (.) määrtud funktsiooni F nimettkse originli f kujutiseks. Osutub, et ig originli f joks eksisteerib kujutis F. See järeldub järgmisest teoreemist. Teoreem.. Kui funktsioon f on originl j s > σ, kus σ on funktsiooni f eksponentsilne ksv, siis integrl (.) koondub bsoluutselt. Tõestus. Olgu funktsioon f originl ning s > σ. Siis ig τ > korrl τ e st f(t) dt τ e st f(t) dt τ e st Me σt dt M τ e (s σ)t dt = M ( e (s σ)τ s σ ) s σ see tähendb, et leiduvd lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(t) = f(κ i+) j t κ i+ lim f(t) = f(κ i ), i =,..., n. Määrmispiirkonn otspunktidelt κ j κ n sb nõud t κ i üheins ühepoolse piirväärtuse olemsolu. 9

10 j seeg ehk τ τ lim e st f(t) dt lim e st f(t) dt τ τ e st f(t) dt M s σ. M s σ. (.) Järelikult integrl (.) koondub bsoluutselt. Näide.. Leid funktsiooni f(t) = { t, kui t,, kui t >. (.) Lplce i teisendus. Pneme tähele, et funktsiooni (.) eksponentsilne ksv σ =. Seeg teoreemi. põhjl leidub funktsioonil (.) Lplce i teisendus, kui s >. Originli (.) korrl L[f](s) = e st f(t) dt = Ositi integreerimise bil sme, et ig s korrl Kui s >, siis Järelikult kus s >. e st t dt = te st s = e s s τ lim e st dt = lim τ + s e st s s τ e st L[f](s) = e s se s s τ τ e st t dt + lim e st dt. τ e st dt = e s se s s. e sτ = lim τ s + e s s + e s s = e s s, = e s s.

11 Järgnev teoreem nnb trviliku tingimuse, et funktsioon F sks oll originli f kujutiseks. Teoreem.3. Kui funktsioon f on originl j s > σ, kus σ on funktsiooni f eksponentsilne ksv, siis lim L[f](s) =. s Tõestus. Olgu funktsioon f originl, s > σ j L[f](s) = F (s). Siis võrrtuse (.) põhjl teme, et F (s) e st f(t) dt M s σ, s > σ. Seeg mille põhjl lim F (s) =, s lim L[f](s) = lim F (s) =. s s

12 Lplce i teisenduse omdused Järgnevlt esitme kks Lplce i teisenduse omdust (vt [6]), mis on edspidi vjlikud. Luse. (Linersus). Kui funktsioonidel f j f leidub Lplce i teisendus vstvlt s > σ j s > σ korrl, kus σ, σ R, siis funktsioonil f + f leidub Lplce i teisendus s > mx{σ, σ } korrl j kus c j c on konstndid. L [c f + c f ] (s) = c L [f ] (s) + c L [f ] (s), Näide.. Näitme, et funktsioonil f(t) = cosh ωt = eωt + e ωt, t, ω R, leidub Lplce i teisendus kujul L[f](s) = Kun luse. põhjl [ e ωt + e ωt L[f](s) = L s, kus s > ω. s ω ] (s) = L [ e ωt] (s) + L [ e ωt] (s), siis näite.3 bil sme tulemuseks L[f](s) = ( s ω + ) = s + ω s s ω, s > ω. Anloogiliselt sme, et kui t j ω R, siis [ ] e ωt e ωt ω L[sinh ωt](s) = L (s) =, s ω s > ω. (.) Luse.3 (Originli diferentseerimine). Olgu n N. Kui funktsioonid f, f,..., f (n ) on pidevd poollõigus [, ) j eksponentsilse ksvug σ ning f (n) on tükiti pidev poollõigus [, ), siis s > σ korrl L[f (n) ](s) = s n L[f](s) n s n k f (k ) (). (.) k=

13 3 Lplce i teisenduse pöördteisendus Olgu funktsioon f originl j F (s) = L[f](s), kus prmeeter s on kompleksrv. Definitsioon 3.. Teisendust L, mille bil sme leid originli f, tedes kujutist F, nimettkse Lplce i teisenduse pöördteisenduseks. Lplce i teisenduse pöördteisendus esitub Riemnni 3 -Mellini 4 vlemig (vt [4], lk 88) x+i e st f(t+) + f(t ) F (s) ds =, (3.) πi x i milles L[f(t)](s) = F (s) j Re s = x > σ, kus σ on funktsiooni f ksvu näitj. Võrduse (3.) vskul poolel olevt integrli mõistetkse Cuchy 5 peväärtusen, st x+i x+iτ e st F (s) ds = lim e st F (s) ds x i τ x iτ j integreerimine toimub mööd imginrteljeg prlleelset sirget. Rõhutme, et võrduse (3.) preml poolel sme funktsiooni f, kui see on pidev punktis t ning ühepoolsete piirväärtuste j f(t+) = lim τ t+ f(τ) f(t ) = lim τ t f(τ) ritmeetilise keskmise, kui punkt t on funktsiooni f esimest liiki ktkevuspunkt. Riemnni-Mellini vlemist järeldub, et kui khel originlil f j f on ühesugune kujutis F (s), siis pidevuspunktides on nd võrdsed, kun vlduvd kujutise F (s) kudu ühesuguse vlemig. See tähendb, et piirdudes vid poollõigus [, ) pidevte funktsioonideg f, siis pöördteisendus L on üheselt defineeritud. Märgime, et pidevte originlide korrl on Lplce i teisenduse L pöördteisendus L linerne. Fkt, et on olems ühene vstvus pidevte funktsioonide j nende Lplce i teisenduste vhel, võimldb koostd Lplce i teisenduste j pöördteisenduste tbeli [vt Lis]. Selle tbeli teises veerus on vstvlt esimese veeru kujutised, 3 Georg Friedrich Bernhrd Riemnn (86 866) - sks mtemtik 4 Robert Hjlmr Mellin ( ) - soome mtemtik 5 Augustin Louis Cuchy ( ) - prntsuse mtemtik 3

14 mis on leitud käesolev töö erinevte näidete j omduste bil. Viimstele on viidtud tbeli kolmnds veerus. Esimeses veerus on teise veeru pöördkujutised ehk originlid, mille smiseks vhetult Riemnni-Mellini vlemit ei ksutt. Selliselt koosttud tbelit ksutmegi käesolevs töös, et leid kujutisele vstvt originli. Anloogilisi j mhukmid tbeleid võib leid Lplce i teisendust käsitlevtest rmtutest (vt näiteks [8], lk 9 8). Näide 3.. Leid kujutisele F (s) = 5 s + s + 6, s >, vstv originl f = f(t) (t ). Pöördteisenduse linersuse bil sme f(t) = L [F (s)] = L [ 5 s + = 5L [ s + ] 3L [ Pneme tähele, et näidete.3 j.4 põhjl [ ] L = e t s + j [ ] L 4 = sin 4t. s + 6 Seeg ntud funktsioonile F vstv originl f on kujul s + 6 ] 4. s + 6 f(t) = 5e t 3 sin 4t, t. ] 4

15 4 Linersed n-järku hrilikud diferentsilvõrrndid Vtleme linerset konstntsete kordjteg n-järku hrilikku diferentsilvõrrndit b n y (n) (t) + b n y (n ) (t) + + b y (t) + b y(t) = f(t) (t ), (4.) kus y = y(t) (t ) on otsitv funktsioon. Eeldme, et vbliige f on pidev, kui t j b,..., b n on mingid relrvud, b n. Olgu vj leid võrrndi (4.) lhend y = y(t), mis rhuldb lgtingimusi y (k) () = y k, k =,,..., n, (4.) kus y, y,..., y n on ettentud relrvulised konstndid. Osutub (vt [7], lk 46), et kui funktsioon f on pidev poollõigus [, ), siis võrrndi (4.) lhendid on määrtud j n kord pidevlt diferentseeruvd poollõigus [, ) ning misthes ettentud rvude y, y,..., y n korrl leidub võrrndil (4.) üks j inult üks lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb tingimusi (4.). Võrrndi (4.) võime lhendd järgmiselt (vt [7], lk 3 33). Kõigepelt leime vstv homogeense võrrndi b n y (n) (t) + b n y (n ) (t) + + b y (t) + b y(t) = (t ) (4.3) lhendite fundmentlsüsteemi {y (t),..., y n (t)} 6 ning kirjutme välj selle võrrndi üldlhendi kujul y h (t) = C y (t) + + C n y n (t), kus C,..., C n on suvlised konstndid. Seejärel leime mittehomogeense diferentsilvõrrndi (4.) ühe konkreetse lhendi y = y (t). Siis võrrndi (4.) üldlhendiks on n y(t) = y h (t) + y (t) = C i y i (t) + y (t), kus C,..., C n on suvlised konstndid. Võrrndi (4.) misthes lhend on sdv üldlhendist konstntide fikseerimise teel 7. Homogeense diferentsilvõrrndi (4.3) lhendite fundmentlsüsteemi leidmisel võime toimid järgmiselt (vt [7], lk 39): 6 Öeldkse, et n-järku linerse homogeense diferentsilvõrrndi (4.3) n linerselt sõltumtut lhendit y (t),..., y n (t) moodustvd selle võrrndi lhendite fundmentlsüsteemi. 7 Järgnevs nimetme sellist meetodit võrrndi (4.) lhendmiseks klssikliseks. i= 5

16 . koostme krkteristliku võrrndi b n λ n + b n λ n + + b λ + b = j leime selle lhenditen krkteristlikud väärtused λ j (j =,,..., n); need võivd oll nii relsed kui komplekssed (mis relsete kordjte b, b,..., b n korrl esinevd lti prikup kskompleksiden) ning nende hulgs võib oll kordseid, st omvhel võrdseid;. krkteristlike väärtuste iseloomule vstvlt kirjutme välj võrrndi (4.3) linerselt sõltumtud erilhendid (lhendite fundmentlsüsteemi) j nende linerse kombintsioonin k võrrndi (4.3) üldlhendi; võrrndi (4.3) lhendite fundmentlsüsteemi väljkirjutmisel lähtume sellest, et () igle relsele ühekordsele krkteristlikule väärtusele λ j vstb erilhend kujul e λ jt ; (b) igle m-kordsele (m n) relsele krkteristlikule väärtusele λ j vstb m erilhendit kujul e λ jt, te λ jt,..., t m e λ jt ; (c) igle komplekssete krkteristlike väärtuste λ j = α + iβ j λ k = λ j = α iβ prile vstb kks relset erilhendit kujul e αt cos βt j e αt sin βt; (d) igle m-kordsele komplekssele krkteristlikule väärtusele λ j = α+iβ j temg pris olevle m-kordsele krkteristlikule väärtusele λ k = λ j = α iβ (m n) vstb m relset erilhendit kujul e αt cos βt, te αt cos βt,..., t m e αt cos βt, e αt sin βt, te αt sin βt,..., t m e αt sin βt. Kui on leitud homogeense võrrndi (4.3) lhendite fundmentlsüsteem {y (t),..., y n (t)}, siis mittehomogeense võrrndi (4.) erilhendi y sme leid konstntide vrieerimise meetodil (vt [7], lk 69 8). 6

17 5 Diferentsilvõrrndite lhendmine Lplce i teisenduse bil Vtleme linerset konstntsete kordjteg diferentsilvõrrndit b n y (n) (t) + b n y (n ) (t) + + b y (t) + b y(t) = f(t), (5.) kus t, n N, b,..., b n on mingid relrvud j y on otsitv funktsioon. Otsime vdeldv võrrndi lhendit lgtingimustel y (k) () = y k, k =,,..., n, (5.) kus y k on ettentud relrvud. Eeldme, et funktsioon f on pidev poollõigus [, ). Tähistme funktsioonide f j y Lplce i teisendused järgmiselt: L[f](s) = F (s), L[y](s) = Y (s). Ksutdes luset.3 ning rvestdes lgtingimusi (5.) sme, et L [y ] (s) = sy (s) y, L [y ] (s) = s Y (s) sy y, L [ y (n)] (s) = s n Y (s) n s n k y k. Rkenddes võrrndile (5.) Lplce i teisendust (rvestdes teisenduse linersust), sme kujutise suhtes võrrndi ehk kus ) n b n (s n Y (s) s n k y k + + b (sy (s) y ) + b Y (s) = F (s) k= b n s n Y (s) + b n s n Y (s) + + b sy (s) + b Y (s) = F (s) + Q(s), (5.3) k= n n Q(s) = b n s n k y k + b n s n k y k + + b y. k= k= Võrrndist (5.3) leime otsitv funktsiooni kujutise: Y (s) = F (s) + Q(s), (5.4) L(s) 7

18 kus L(s) = b n s n + b n s n + + b s + b. Kujutise (5.4) järgi leime originli. Selleks ksutme Lplce i teisenduse pöördteisenduse linersust j teisenduste tbelit (vt Lis; [4], lk 9 4; [8], lk 9 8). Näide 5.. Leid võrrndi lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimusi y + 3y 4y = (5.5) y() =, y () =. (5.6) Meetod : Tugineme prgrhvis 4 toodud klssiklisele lhendusskeemile. Et leid võrrndile (5.5) kks linerselt sõltumtut lhendit, moodustme võrrndile (5.5) vstv krkteristliku võrrndi λ + 3λ 4 =. (5.7) Võrrndi (5.7) juurteks on λ = j λ = 4 ning võrrndi (5.5) lhendite fundmentlsüsteemiks kujuneb y = e t j y = e 4t. Järelikult võrrndi (5.5) üldlhend on kujul y = C e t + C e 4t, kus C j C on suvlised konstndid. Kun võrrndi (5.5) lhend y = y(t) peb rhuldm lgtingimusi (5.6), siis { C + C =, C + 4C =. Järelikult C = 4 5 j C = 5 ning Cuchy ülesnde {(5.5), (5.6)} lhendiks on y = 4 5 et + 5 e 4t, t. Meetod : Ksutme ülesnde {(5.5), (5.6)} lhendmiseks Lplce i teisendust. Lplce i teisenduse j luse. rkendmisel diferentsilvõrrndile (5.5) sme, et L[y ](s) + 3L[y ](s) 4L[y](s) =. (5.8) Ksutdes luset.3, leime seosest (5.8), et s L[y](s) sy() y () + 3sL[y](s) 3y() 4L[y](s) = 8

19 ehk (s + 3s 4)Y (s) (s + 3)y() y () =, (5.9) kus Y (s) = L[y](s). Arvestdes lgtingimusi (5.6), sme kujutise Y (s) = s + 3 s + 3s 4, (5.) kus s { 4, }. Lhutme võrduse (5.) preml olev murru osmurdudeks, st s + 3 Y (s) = s + 3s 4 = A s + B A(s + 4) + B(s ) =, s + 4 (s )(s + 4) kus A j B on otsitvd konstndid. Kun ig s korrl, välj rvtud kui s = või s = 4, peb kehtim s + 3 = A(s + 4) + B(s ) = (A + B)s + 4A B, siis A + B = j 4A B = 3, mistõttu A = 4 5 ning B =. Asenddes need 5 väärtused sme, et Y (s) = 4 5 s + 5 s + 4. Kui s >, siis ksutdes Lplce i teisenduse pöördteisenduse linersust j näidet.3, näeme, et Cuchy ülesnde {(5.5), (5.6)} lhendiks on milleni jõudsime k meetodi bil. Näide 5.. Leid diferentsilvõrrndi y = 4 5 et + 5 e 4t, t, lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimusi y (5) y = (5.) y() = y () = y () = y () =, y (4) () =. (5.) Meetod : Diferentsilvõrrndi (5.) krkteristliku võrrndi λ 5 λ = juurteks on λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = i j λ 5 = i. Seeg võrrndi (5.) linerselt sõltumtuteks lhenditeks on y =, y = e t, y 3 = e t, y 4 = cos t j y 5 = sin t ning üldlhendiks kujuneb y = C + C e t + C 3 e t + C 4 cos t + C 5 sin t, 9

20 kus C, C, C 3, C 4 j C 5 on mingid konstndid. Võttes rvesse lgtingimused (5.), sme C + C + C 3 + C 4 =, C C 3 + C 5 =, C + C 3 C 4 =, C C 3 C 5 =, C + C 3 + C 4 =. Seeg C =, C = C 3 = 4, C 4 =, C 5 = j lgtingimusteg ülesnde {(5.), (5.)} lhendiks on y = + et + e t + 4 cos t ehk cosh t + cos t y =, t. Meetod : Rkenddes Lplce i teisendust j luset. võrrndile (5.), sme Luse.3 kohselt sb võrrnd (5.3) kuju L [ y (5)] (s) L [y ] (s) =. (5.3) s 5 L[y](s) s 4 y() s 3 y () s y () sy () y (4) () sl[y](s) + y() = ehk (s 5 s)y (s) (s 4 )y() s 3 y () s y () sy () y (4) () =, (5.4) kus Y (s) = L[y](s). Arvestdes lgtingimusi (5.), vldme võrrndist (5.4) kujutise Y (s). Seeg Y (s) = s 5 s, (5.5) kus s {,, }. Teisendme seose (5.5) preml olev murru osmurdude summks, st Y (s) = A s + Bs + C s + Ds + E s + = A(s4 ) + (Bs + C)(s 3 + s) + (Ds + E)(s 3 s), s(s )(s + ) kus ig prmeetri s {,, } korrl kehtib võrdus A(s 4 ) + (Bs + C)(s 3 + s) + (Ds + E)(s 3 s) =

21 ehk (A + B + D)s 4 + (C + E)s 3 + (B D)s + (C E)s A =, kus A, B, C, D j E on mingid konstndid. Kun A + B + D =, C + E =, B D =, C E = j A =, siis A =, C = E = j B = D =. Seeg Y (s) = s + s s + s s +. Olgu s >. Näidete. j. ning seose (.9) põhjl on Cuchy ülesnde {(5.), (5.)} lhendiks y(t) = cosh t + cos t, t. Näide 5.3. Leid mittehomogeense diferentsilvõrrndi lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimusi y y = 3( t ) (5.6) y() = y () = y () =. (5.7) Meetod : Võrrndi y y = krkteristlik võrrnd on λ 3 λ =, mille lhenditeks on λ =, λ = j λ 3 =. Seeg võrrndi y y = lhendite fundmentlsüsteemiks on y =, y = e t j y 3 = e t, mistõttu võrrndile (5.6) vstv homogeense võrrndi üldlhendiks sme y h = C + C e t + C 3 e t, kus C, C j C 3 on konstndid. Nüüd leime võrrndi (5.6) ühe erilhendi y (t) = C (t) + C (t)e t + C 3 (t)e t, (5.8) kus C, C j C 3 on tundmtud funktsioonid. Konstntide vrieerimise meetodil sme võrrndisüsteemi C (t) + C (t)e t + C 3(t)e t =, C (t)e t C 3(t)e t =, C (t)e t + C 3(t)e t = 3( t ).

22 Viimse süsteemi lhendiks on Järelikult C (t) = 3t 6, C (t) = 3 e t ( t ), C 3(t) = 3 et ( t ). C (t) = t 3 6t, C (t) = 3 te t (t + ), C 3 (t) = 3 tet ( t). Asenddes need funktsioonid vldisse (5.8), sme võrrndi (5.6) erilhendiks ehk y (t) = t 3 6t + 3 te t (t + )e t + 3 tet ( t)e t Kun võrrndi (5.6) üldlhend on kujul y (t) = t 3. y(t) = y h (t) + y (t) = C + C e t + C 3 e t + t 3, siis rvestdes lgtingimusi (5.7), sme C + C + C 3 =, C C 3 =, C + C 3 =. Seeg C =, C =, C 3 = j Cuchy ülesnde {(5.6), (5.7)} lhendiks y(t) = e t + t 3, t. Meetod : Rkenddes Lplce i teisendust võrrndile (5.6) j ksutdes luset. sme, et L [y ] (s) L [y ] (s) = 6L[](s) 3L [ t ] (s). (5.9) Järgnevlt ksutme luset.3, näideid. j.5 ning võrrnd (5.9) sb kuju ehk s 3 L[y](s) s y() sy () y () sl[y](s) + y() = 6 s 6 s 3 (s 3 s)y (s) (s )y() sy () y () = 6 s 6 s 3, (5.) kus Y (s) = L[y](s). Kun võrrndi (5.) lhendi joks kehtivd lgtingimused (5.7), siis (s 3 s)y (s) = 6 s 6 s 3 + s + s

23 ehk Y (s) = 6s 6 + s 5 + s 4 s 3 (s 3 s) kus s {,, }. Seeg = 6(s ) s 4 (s ) + s4 (s + ) s 4 (s ), Y (s) = 6 s + (5.) 4 s ning kui s >, siis näidete.5 j.3 põhjl sme Cuchy ülesnde {(5.6), (5.7)} lhendiks y(t) = t 3 + e t, t. Märgime, et diferentsilvõrrndi Cuchy ülesnde lhendmisel klssiklise meetodig leitkse tvliselt kõigepelt võrrndi üldlhend j siis määrtkse suvlised integreerimiskonstndid nii, et lhend rhuldks lgtingimusi. Konstntide määrmine nõub g tetv linerse võrrndisüsteemi lhendmist, mis kolmest suurem järgug süsteemi korrl on küllltki egnõudev ülesnne. Näidete lhenduskäikudest selgub, et Lplce i teisendusele tuginev meetodi korrl rvesttkse lgtingimusi jub lhenduskäigu lgfsis. Kui lgtingimused on nullid, siis on Lplce i teisenduse rkendmine eriti lihtne. Märgime veel, et kui klssiklisel meetodil mittehomogeenne linerne võrrnd lhendti khes oss (kõigepelt leiti vstv homogeense võrrndi üldlhend j seejärel mittehomogeense võrrndi mingi erilhend), siis Lplce i teisenduse bil sme võrrndi lhendi leid ilm ülesnnet osülesnneteks lhutmt. Teiselt poolt pneme tähele, et Lplce i teisenduse meetodil sdud kujutisele vstv originli leidmine ei pruugi isegi suhteliselt lihts funktsiooni korrl oll kerge ülesnne. Näiteks kujutise Y (s) = s(s 3 + ), s >, (5.) osmurdudeks lhutmisel tuleb esmlt leid kolm osmurdu, mille korrl sme, et Y (s) = s 3 s s + 3 s s +. (5.3) Seejärel tuleb osmurdu 3 s + 3 s s + veel teisendd ning seos (5.3) võtb kuju Y (s) = s 3 s s ( s )

24 Alles nüüd sme leid kujutisele (5.) vstv originli, ksutdes Lplce i teisenduse pöördeteisendust funktsioonidele s, s +, s ( s ) Lisks, kui rkendd Lplce i teisendust linersele diferentsilvõrrndile, mille kordjd ei ole konstndid (näiteks on ks stmefunktsioonid või polünoomid), siis sdkse kujutise suhtes üldiselt diferentsilvõrrnd, mille kordjd ei ole konstndid (vt nt [3], lk 3 35). Sellisel juhul Lplce i teisendusele tuginev meetod ei ole enmsti rkendtv. 4

25 6 Konvolutsioon. Boreli teoreem Selles prgrhvis tutvume konvolutsioonig j Boreli 8 teoreemig. Definitsioon 6.. Khe funktsiooni f j g konvolutsiooniks nimettkse integrli f(τ)g(t τ) dτ, t. (6.) Funktsioonide f j g konvolutsiooni tähisttkse f(t) g(t) või f g. Näide 6.. Kui f(t) = e t j g(t) = t (t ), siis definitsiooni 6. bil f(t) g(t) = t e τ (t τ) dτ = te τ (τe τ e τ ) Osutub, et funktsioonide konvolutsioon on kommuttiivne: f g = g f. t = e t t. Tõepoolest, tehes konvolutsiooni f g defineerivs integrlis muutuj vhetuse t τ = u, sme f(t) g(t) = f(τ)g(t τ) dτ = g(u)f(t u) du = g(t) f(t). Esitme ilm tõestuset veel mõned konvolutsiooni omdused (vt [4], lk 84 85).. Assotsitiivsus: (f g) h = f (g h).. Distributiivsus: f (g + h) = f g + f h. 3. Kui funktsiooni f j g on pidevd lõigus [, ), siis nende konvolutsioon f g on smuti pidev sms lõigus. 4. Originlide f j g konvolutsioon f g on smuti originl. Teoreem 6.3 (Boreli teoreem). Olgu L[f(t)](s) = F (s) (s > σ ) j L[g(t)](s) = G(s) (s > σ ), kus σ, σ R. Siis L[f(t) g(t)](s) = F (s)g(s), s > mx{σ, σ }. (6.) 8 Félix Édourd Justin Émile Borel (87 956) - prntsuse mtemtik 5

26 Tõestus. Definitsioonide. j 6. põhjl L[f(t) g(t)](s) = L f(τ)g(t τ) dτ (s) = = e st f(τ) f(τ)g(t τ) dτ dt e st g(t τ) dt dτ. τ Tehes viimses integrlis muutuj vhetuse u = t τ, sme L[f(t) g(t)](s) = f(τ)e sτ dτ e su g(u) du = F (s)g(s). Näide 6.4. Leid funktsioonile F (s) = ω, ω R, s >, (6.3) (s + ω ) vstv originl f = f(t) (t ). Olgu t, ω R, s > j f(t) = L [F (s)]. Teoreemi 6.3 põhjl L[f(t) f(t)](s) = [F (s)], s > σ, kus σ on funktsiooni f eksponentsilne ksv. Näite.4 põhjl Seeg võime kirjutd, et L[sin(ωt)] = ω, s >, ω R. s + ω ω s + ω ω = L[sin(ωt) sin(ωt)](s), s >, ω R. (6.4) s + ω Rkenddes vlemile (6.4) Lplce i teisenduse pöördteisendust, sme [ ] L ω s + ω ω = sin(ωt) sin(ωt) s + ω ehk f(t) = L [F (s)] = sin(ωt) sin(ωt). 6

27 Definitsiooni 6. bil f(t) = sin(ωt) sin(ωt) = Järelikult sin(ωτ) sin ω(t τ) dτ. f(t) = = sin(ωτ) sin ω(t τ) dτ sin(ωτ) [sin ωt cos ωτ cos ωt sin ωτ)] dτ = sin3 ωt ω cos ωt = (sin ωt ωt cos ωt). ω Seeg kujutisele (6.3) vstb originl cos ωτ f(t) = (sin ωt ωt cos ωt), t, ω R. ω Näide 6.5. Olgu funktsioon g pidev poollõigus [, ). Leid diferentsilvõrrndi y + 4y = g(t) (6.5) lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimusi y() = 3, y () =. (6.6) dτ Rkenddes Lplce i teisendust võrrndile (6.5) j ksutdes Lplce i teisenduse linersust sme, et L[y ](s) + 4L[y](s) = L[g(t)](s), s >. (6.7) Olgu L[g(t)](s) = G(s). Luset.3 bil sme võrrndi (6.7) esitd kujul s L[y](s) sy() y () + 4L[y](s) = G(s) ehk (s + 4)Y (s) sy() y () = G(s), (6.8) 7

28 kus Y (s) = L[y](s). Kun kehtivd lgtingimused (6.6), siis sme seosest (6.8) leid Y (s) = 3s s G(s) s + 4 ehk s Y (s) = 3 s + 4 (s + 4) + G(s). (6.9) (s + 4) Seoste (.9) j (.8) bil leime, et [ ] L s = cos t s + 4 j Teoreemi 6.3 põhjl [ ] L = sin t. s + 4 [ ] L (s + 4) G(s) = sin t g(t). Seeg Cuchy ülesnde {(6.5), (6.6)} lhendi sme esitd kujul y(t) = 3 cos t sin t sin (t τ)g(τ) dτ, t, kus g(t) = L [G(s)]. 8

29 7 Gmmfunktsioon Euleri 9 integrlide ll mõeldkse pärtuid integrle kujul Γ() := e t t dt ( > ) (7.) j B(, b) := t ( t) b dt ( >, b > ), (7.) mid nimettkse vstvlt (Euleri) gmmfunktsiooniks j beetfunktsiooniks. Osutub, et gmmfunktsiooni määrmispiirkond on vhemikus (, ) j beetfunktsiooni määrmispiirkonnks on (, ) (, ). Selles veendumiseks näitme kõigepelt, et integrl (7.) koondub, kui >, b >. Tõepoolest, kui j b, siis on tegemist tvlise Riemnni integrlig. Juhul < on integreeritv funktsioon tõkestmt punkti ümbruses, juhul b < g punkti ümbruses. Seetõttu vtleme erldi integrle t ( t) b dt (7.3) j t ( t) b dt. (7.4) Et lim( t) b =, t siis integrl (7.3) koondub (suvlise b korrl) prjsti siis, kui koondub integrl st kui >. Anloogiliselt, seose t dt = t lim t = t 9 Leonhrd Euler (77 783) - šveitsi mtemtik, 9

30 tõttu integrl (7.4) koondub (suvlise korrl) prjsti siis, kui koondub integrl ( t) b ( t)b dt =, b st kui b >. Tähendb, beetfunktsioon B(, b) koondub prjsti siis, kui > j b >. Gmmfunktsiooni määrmispiirkonn selgitmiseks vtleme erldi integrle e t t dt (7.5) j Kun e t (t ), siis e t t dt. (7.6) e t t t, (t (, ], > ). Seeg = lim τ + t e t t dt t=τ = lim τ + t dt = lim t dt τ + τ ( τ ) Järelikult integrl (7.5) koondub prjsti siis, kui >. Et ig korrl lim t e t t + =, siis leidub prmeetrist sõltuv konstnt M, nii et ig t korrl e t t + M ehk e t t M t. (7.7) 3

31 Kun integrl M t dt koondub, siis võrrtuse (7.7) põhjl koondub integrl (7.6). Tähendb, gmmfunktsioon Γ() on määrtud, kui >. Olgu >. Ositi integreerides sme Γ( + ) = Seeg kehtib seos e t t dt = e t t + e t t dt = Γ(). Γ( + ) = Γ(), >. (7.8) Vlemit (7.8) korduvlt rkenddes jõume gmmfunktsiooni tndmisvlemini Γ( + ) = ( )... ( n + )Γ( n + ), > n, n N. (7.9) Piddes silms, et Γ() = e t dt = j võttes = n sme vlemi (7.9) bil Γ(n + ) = n! (n N ). (7.) Rkenddes seost (7.) vlemis (.) sme, et L [t n ] (s) = Γ(n + ) s n+, (7.) kus s >, t j n N. Osutub, et vlemit (7.) nnb üldistd k juhule, kus n on rvust suurem relrv. Olgu f(t) = t ν (ν > ). Siis tem Lplce i teisendus vldub kujul L [t ν Γ(ν + ) ] (s) =, s >. (7.) s ν+ Tõepoolest, L [t ν ] (s) = e st t ν dt. 3

32 Tehes muutuj vhetuse x = st (s > ), sme L[t ν ](s) = e x ( x s ) ν s dx = s ν+ x ν e x dx. Gmmfunktsiooni (7.) põhjl smegi seose (7.). Pneme tähele, et kui ν >, siis funktsioon f(t) = t ν on originl. Kui < ν <, siis funktsioon t ν ei ole originl, sest funktsiooni t ν väärtus läheneb lõpmtusele, kui t. Kuid eelnevlt nägime, et integrl e st t ν dt koondub, kui ν > j s >. Seeg funktsioon f(t) = t ν ( < ν < ) on üldisttud originl (vt [3], lk 9 ; [4], lk 76). Järgnevlt näitme, et B(, b) = Γ()Γ(b), >, b >. (7.3) Γ( + b) Olgu t, > j b >. Boreli teoreemi 6.3 j vlemi (7.) põhjl L [ t t b ] (s) = Γ() Γ(b) s s b = Γ()Γ(b) s +b = Γ()Γ(b) Γ( + b), s >. Γ( + b) s +b Lplce i teisenduse pöördeteisenduse bil sme siit, et t t b = Γ()Γ(b) [ ] Γ( + b) Γ( + b) L, s +b s >. (7.4) Definitsiooni 6. j vlemi (7.) põhjl sme seose (7.4) kirjutd kujul τ (t τ) b dτ = Γ()Γ(b) Γ( + b) t+b, t. (7.5) Üldisttud originliks nimettkse funktsiooni f, mille korrl leidub niisugune relrv σ, et koondub integrl e σt f(t) dt. 3

33 Kun B(, b) = τ ( τ) b dτ ( >, b > ), siis võttes vlemis (7.5) muutuj t =, jõume vlemini (7.3). Näide 7.. Tuginedes vlemile (7.3) näitme, et ( ) Γ = π. (7.6) Olgu >, b >. Vlemi (7.3) j beetfunktsiooni (7.) põhjl Γ()Γ(b) Γ( + b) = Tehes võrduses (7.7) muutuj vhetuse τ = sin θ, sme Γ()Γ(b) Γ( + b) = π Olgu = b =. Siis vlemi (7.8) bil τ ( τ) b dτ. (7.7) (sin θ) (cos θ) b dθ. (7.8) [ ( )] Γ = π dθ = π. Järelikult Γ ( ) = π. Näide 7.. Olgu ν =. Siis seoste (7.) j (7.6) bil leime, et [ ] L t (s) = Γ ( ) s = π s, s >. 33

34 Lõpuks märgime, et vlemi (7.8) bil sme gmmfunktsiooni määrmispiirkond liendd juhule ( n, n + ), kus n N. Tõepoolest, vlemist (7.8) järeldub > korrl, et Γ() := Γ( + ). (7.9) Vlemit (7.9) võime käsitled gmmfunktsiooni Γ() definitsioonin (, ) korrl. Anloogiliselt sme > j n N korrl vlemi (7.8) bil Γ( + n) = ( + n )Γ( + n ) = = ( + n ) ( + )Γ(). Seeg sme defineerid Γ() := kus n < < n +, n N. Γ( + n) ( + n ) ( + ), 34

35 8 Riemnn-Liouville i murruline tuletis Olgu D opertor, mis seb lõigus [, b] (, b R, < b) diferentseeruvle funktsioonile f vstvusse tem tuletise f : (Df) (t) = f (t), t [, b]. Olgu J opertor, mis teisendb lõigus [, b] integreeruv funktsiooni f funktsiooniks, mis on määrtud vlemig (J f) (t) = f(τ) dτ, t [, b]. Ig n N korrl hkkme ksutm sümboleid D n j J n, et tähistd opertorite D j J n-kordset rkendmist: D = D, J = J, D n = DD n, J n = J J n. Defineerime D = I j J = I, kus I on ühikopertor. Järgnev luse tõestuse võib leid rmtust [5], lk 367. Luse 8.. Olgu f : [, b] R pidev funktsioon j olgu F : [, b] R, kus F (t) = f(τ) dτ, t [, b]. Siis funktsioon F on diferentseeruv j F = f. Olgu funktsioon f pidev lõigus [, b]. Siis luse 8. põhjl j ig n N korrl D n J n f = D n DJ J n Anloogiliselt jätktes sme, et DJ f = f f = D n IJ n f = D n J n f. (8.) D n J n f = f, n N, (8.) st opertor D n on opertori J n vskpoolne pöördopertor. Olgu n N j, b R. Tähistme lõigus [, b] n kord pidevlt diferentseeruvte funktsioonide hulg sümbolig C n [, b]. Olgu C [, b] = C[, b]. 35

36 Luse 8.. Olgu m, n N, m > n j f C n [, b]. Siis (D n f) (t) = ( D m J m n f ) (t), t [, b]. Tõestus. Olgu m, n N, m > n j f C n [, b]. Siis vlemi (8.) põhjl Seeg f(t) = ( D m n J m n f ) (t), t [, b]. (D n f) (t) = ( D n D m n J m n f ) (t) = ( D m J m n f ) (t), t [, b]. Luse 8.3. Olgu f lõigus [, b] integreeruv funktsioon. Siis ig n N korrl kehtib Cuchy vlem (J n f) (t) = Tõestus. Vt [7], lk 4. (n )! (t τ) n f(τ) dτ, t [, b]. Definitsioon 8.4. Olgu α >. Opertorit RL J α, mis on hulgl C[, b] defineeritud võrduseg ( RL J α f) (t) = Γ(α) (t τ) α f(τ) dτ, t [, b], (8.3) nimettkse Riemnn-Liouville i α-järku integrlopertoriks. Funktsiooni RL J α f nimettkse funktsiooni f Riemnn-Liouville i α-järku integrliks. Järgnevs defineerime RL J = I, kus I on ühikopertor. Seose (7.) tõttu RL J α = J α, kui α = n N. Märgime, et ig f C[, b] korrl RL J α f C[, b], kui α (vt [], lk 6). Joseph Liouville (89 88) - prntsuse mtemtik 36

37 Luse 8.5. Olgu α, β j f C[, b]. Siis ( RLJ α (RLJ β f )) (t) = ( RLJ α+β f ) (t), t [, b]. (8.4) Tõestus. Kui α = või β =, siis väide (8.4) kehtib. Olgu α, β > j f C[, b]. Definitsiooni 8.4 põhjl ( RLJ α ( RLJ β f )) (t) = Γ(α)Γ(β) (t x) α x (x τ) β f(τ) dτ dx. (8.5) Muudme võrduse (8.5) preml poolel olevs integrlis integreerimise järjekord. Siis ( RLJ α ( RLJ β f )) (t) = = t Γ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β) τ f(τ) (t x) α (x τ) β f(τ) dx dτ τ (t x) α (x τ) β dx dτ. Teeme muutujvhetuse x = τ + s(t τ), siis dx = (t τ) ds ning ( RLJ α ( RLJ β f )) (t) = = t f(τ) [(t τ)( s)] α s β (t τ) β ds dτ Γ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β) f(τ)(t τ) α+β ( s) α s β ds dτ. Beetfunktsiooni (7.) j seose (7.3) bil jõume seoseni (8.4): ( RLJ α ( RLJ β f )) (t) = = t f(τ)(t τ) α+β Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) f(τ)(t τ) α+β dτ ( s) α s β ds dτ = ( RLJ α+β f ) (t), t [, b]. 37

38 Edspidi tähistme sümbolig α vähim täisrvu, mis on suurem või võrdne rvug α R. Definitsioon 8.6. Olgu α > j m := α. Olgu funktsioon f C[, b] selline, et RL J m α f C m [, b]. Siis opertorit RL D α, mis on defineeritud vlemig ( RL D α f) (t) = ( D m RLJ m α f ) (t) (t [, b]) nimettkse Riemnn-Liouville i α-järku diferentsilopertoriks. Funktsiooni RLD α f nimettkse funktsiooni f Riemnn-Liouville i α-järku tuletiseks. Järgnevs defineerime RL D = I, kus I on ühikopertor. Pneme tähele, et kui α N, siis m = α = α j ( RL D α f) (t) = ( D m RLJ m α f ) (t) = ( D m RLJ m m f ) (t) = ( D m RLJ f ) (t) = (D m If) (t) = (D m f) (t), t [, b]. ühtib tvlise m-järku dife- Teiste sõndeg, α = m N korrl opertor RL D m rentsilopertorig D m. Luse 8.7. Olgu α,, b R, f C[, b]. Siis ( RL D α ( RL J α f)) (t) = f(t), t [, b]. Tõestus. Olgu α, m := α,, b R, f C[, b]. Siis definitsiooni 8.6 põhjl ( RL D α ( RL J α f)) (t) = ( D m RLJ m α ( RL J α f) ) (t), t [, b]. Luse 8.5 j seose (8.) bil ( RL D α ( RL J α f)) (t) = ( D m RLJ m α ( RL J α f) ) (t) = (D m RLJ m f) (t) = (If) (t) = f(t), t [, b]. Luse 8.8. Olgu α, β,, b R. Kui φ C[, b] j f = RL J α+β φ, siis ( RLD (RLD α f )) β (t) = ( RLD α+β f ) (t), t [, b]. (8.6) 38

39 Tõestus. Kui α = või β =, siis väide (8.6) kehtib. Olgu α, β > j m := α ning n := β. Kui φ C[, b] j f = RL J α+β φ, siis definitsiooni 8.6 põhjl ( ( RLD α RLDf )) β (t) = ( RLD (RLD α β RLJ α+β φ )) (t) = ( D m RLJ m α Lusete 8.5 j 8.7 ning seose (8.) lusel ( D m RL J m α ( D n RL J n β RLJ α+β φ )) (t) = ( D m RLJ m α Seeg ( ( RLD α RLDf )) β (t) = φ(t), Kun siis Järelikult f = RL J α+β φ, RLD α+β f = φ. ( D n RL J n β RLJ α+β φ )) (t), t [, b]. = ( D m RLJ m α = ( D m RLJ m α = ( D m RLJ m α = (D m RLJ m φ) (t) = (D m J m φ) (t) = φ(t), t [, b]. t [, b]. ( D n RL J n+α φ )) (t) (D n RLJ n RLJ α φ) ) (t) (D n J n RLJ α φ) ) (t) RLJ α φ ) (t) ( RLD (RLD α f )) β (t) = ( RLD α+β f ) (t), t [, b]. Prgrhvi lõpetuseks vtleme mõningid näiteid Riemnn-Liouville i murrulise tuletise leidmise koht. Näide 8.9. Olgu, b R, α > j m := α. Olgu f(t) = c, kui t [, b] j c on mingi konstnt. Siis, kui α N, ( RL D α f) (t) = c(t ) α (8.7), kui α / N. Γ( α) Tõepoolest, kui α = m N, siis RL D m = D m j seeg ( RL D m f)(t) = (D m f)(t) =, t [, b]. 39

40 Kui α / N, siis definitsioonidest 8.6 j 8.4 järeldub, et Kun ( RL D α f)(t) = (D m RLJ m α f)(t) = D m Γ(m α) = = (t τ) m α c dτ ( c ( (t ) Γ(m α)(m α) Dm τ) m α c [ Γ(m α)(m α) Dm (t ) m α], τ=t τ= ) t [, b]. D m [ (t ) m α] = (m α)(m α ) (m α (m ))(t ) m α m j vlemi (7.8) lusel = (m α)(m α ) ( α)(t ) α (t [, b]) Γ(m α) = (m α )Γ(m α ) = = = (m α ) ( α)γ( α), siis ( RL D α f)(t) = c(t ) α, t [, b]. Γ( α) Näide 8.. Olgu, b R, α > j m := α. Leid funktsiooni f(t) = (t ) p (p, t [, b]) (8.8) Riemnn-Liouville i α-järku tuletis. Vtleme vid juhtu, kus α / N. Kui α = m N, siis Riemnn-Liouville i diferentsilopertor RL D m ühtib tvlise diferentsilopertorig D m. Riemnn-Liouville i α-järku integrli definitsiooni lusel ( RL J m α f)(t) = = Γ(m α) (t )m α+p Γ(m α) (t τ) m α (τ ) p dτ (t τ) m α (τ ) p dτ, t [, b] (t ) m α (t ) p 4

41 Tehes muutujvhetuse sme s = τ t, ( RL J m α f)(t) = = (t )m α+p Γ(m α) (t )m α+p Γ(m α) Beetfunktsiooni definitsiooni j võrduse (7.3) põhjl ( s) m α s p ds = B(p +, m α) = ( s) m α s p (t ) ds (t ) ( s) m α s p ds. Γ(p + )Γ(m α) Γ(m α + p + ), kus p > j m > α. Järelikult, kui f(t) = (t ) p (t [, b], p ), siis ( RL J m α f)(t) = Γ(p + ) Γ(m α + p + ) (t )m α+p, (8.9) kus α > j m := α. Kui α p N, siis m > α > p j m (α p) {,..., m }. Seetõttu ( ) (D m RLJ m α f)(t) = D m Γ(p + ) (t )m α+p Γ(m α + p + ) = Γ(p + ) Γ(m α + p + ) Dm ((t ) m α+p ) =. Kui α p / N, siis ( ) D m Γ(p + ) (t )m α+p = Γ(m α + p + ) Γ(p + ) Γ( α + p + ) (t ) α+p. Seeg funktsiooni (8.8) Riemnn-Liouville i α-järku tuletis vldub järgmiselt: ( RL D α f)(t) =, kui α p N, Γ(p + ) Γ(p + α) (t )p α, kui α p / N. (8.) 4

42 Näide 8.. Olgu f(t) = c j t [, b]. Siis vlemite (7.6) j (8.7) põhjl ( ) RLD f (t) = Γ ct ( ) = c. tπ j ( ) RLD 3 f (t) = ct 3 ( Γ 3 ) = ct 3 c Γ ( ) = + π t 3. Näide 8.. Olgu f(t) = t j t [, b]. Siis vlemite (7.6) j (8.) põhjl ( ) RLD Γ( + ) f (t) = ( Γ + )t t t = = π π j ( ) RLD 3 f (t) = Γ( + ) ( Γ + 3 )t 3 Γ() = ( )t =. tπ Γ Näide 8.3. Olgu f(t) = t j t [, b]. Siis vlemite (7.6) j (8.) bil ( ) RLD f (t) = j ( ) RLD 3 f (t) = Γ( + ) ( Γ + )t = ( )t 3 = 3 3 Γ 3 Γ ( )t 3 = 8 3 π t 3 Γ( + ) ( Γ + 3 )t 3 Γ(3) = ( )t = ( )t t = 4 3 Γ Γ π. 4

43 9 Cputo murruline tuletis Olgu α >, m := α,, b R, f C m [, b]. Tähistme (m )-järku Tylori polünoomi funktsioonist f sümbolig T m [f; ] : (T m [f; ])(t) = m k= f (k) () (t ) k. (9.) k! Definitsioon 9.. Olgu α >, m := α,, b R. Olgu funktsioon f C m [, b] selline, et RL J m α (f T m [f; ]) C m [, b]. Siis opertorit C D α, mis on defineeritud võrduseg ( C D α f)(t) = ( RL D α (f T m [f; ]))(t) (t [, b]) nimettkse Cputo 3 α-järku diferentsilopertoriks. Funktsiooni C D α f nimettkse funktsiooni f Cputo α-järku tuletiseks. Järgnevs defineerime C D = I, kus I on ühikopertor. Pneme tähele, et kui α = m N, siis opertor C D m diferentsilopertorig D m. Tõepoolest, sellisel juhul ühtib tvlise m-järku ( C D α f)(t) = ( RL D α (f T α [f; ]))(t) = ( RL D α f)(t) ( RL D α (T m [f; ]))(t) = (D m f)(t) D m (T m [f; ])(t) = (D m f)(t), t [, b], sest m-järku tuletis (m )-järku polünoomist on null. Luse 9.. Olgu α, m := α,, b R, f C m [, b]. Siis ( RL D α (f T m [f; ]))(t) = ( RL J m α D m f)(t), t [, b]. Tõestus. Kui α N, siis on väide trivilne. Tõestme luse juhul, kui α / N. Siis ( RL D α (f T m [f; ]))(t) = (D m RLJ m α (f T m [f; ]))(t) = dm dt m Brook Tylor (685 73) - inglise mtemtik, filosoof 3 Michele Cputo (sünd. 97) - itli mtemtik, geofüüsik (t τ) m α (f(τ) T m [f; ](τ)) dτ. Γ(m α) 43

44 Ositi integreerides sme Seeg Γ(m α) (f(τ) T m [f; ](τ))(t τ) m α dτ = Γ(m α + ) [(f(τ) T m [f; ](τ))(t τ) m α ] = + Γ(m α + ) τ=t τ= (D(f(τ) T m [f; ])(τ)) (t τ) m α dτ t (D(f(τ) T m [f; ])(τ)) (t τ) m α dτ. Γ(m α + ) RLJ m α (f T m [f; ]) = RL J m α+ D(f T m [f; ]). Kui integreerid vldist RL J m α (f T m [f; ]) ositi m kord, siis ( RL J m α (f T m [f; ]))(t) = ( RL J m α D m (f T m [f; ]))(t) kus t [, b]. Järelikult = ( RL J m RLJ m α D m (f T m [f; ]))(t) = (J m RLJ m α D m f)(t), ( RL D α (f T m [f; ]))(t) = (D m RLJ m α (f T m [f; ]))(t) = (D m J m RLJ m α D m f)(t) = ( RL J m α D m f)(t), t [, b]. Näide 9.3. Olgu, b R, α > j m := α. Olgu f(t) = c, kui t [, b] j c on mingi konstnt. Siis definitsiooni 9. j luse 9. põhjl sme ( C D α f)(t) = ( RL J m α = Γ(m α) D m f)(t) (t τ) m α c (m) dτ =. 44

45 Märkus 9.4. Pneme tähele, et näites 8.9 sdud Riemnn-Liouville i murruline tuletis võrdub nullig siis j inult siis, kui c =. Sms Cputo α-järku tuletis konstntsest funktsioonist on lti võrdne nullig. Näide 9.5. Olgu, b R, α >, α / N, m := α, p. Kui f(t) = (t ) p, kus t [, b], siis, kui p {,,,..., m }, ( C D α f)(t) = Γ(p + ) Γ(p + α) (t )p α, kui p m. Tõepoolest, kui p {,,,..., m }, siis (D m f)(t) = j ( C D α f)(t) = ( RL J m α D m f)(t) =, t [, b]. Pneme tähele, et võrduse (7.8) põhjl Γ(p + ) = p(p )(p )... (p (m ))Γ(p m + ), p > m. Seeg (D m f)(t) = p(p )... (p (m ))(t ) p m (9.) = Γ(p + ) Γ(p m + ) (t )p m, (9.3) kus p > m. Vlemi (8.9) (senddes p suuruseg p m) lusel, sme RLJ m α (t ) p m = = Γ(p m + ) (t )m α+p m Γ(m α + p m + ) Γ(p m + ) Γ(p + α) (t )p α, p m. (9.4) Siis (vt (9.3) j (9.4)) ( C D α f)(t) = ( RL J m α D m f)(t) = Γ(p + ) Γ(p m + ) (t )p α Γ(p m + ) Γ(p + α) = Γ(p + ) Γ(p + α) (t )p α, t [, b], p m. 45

46 Näide 9.6. Olgu f(t) = t j t [, b]. Siis vlemi (9.) lusel ( ) CD f (t) = Γ( + ) ( Γ + )t t = π j ( CD 3 f sest m = ) (t) =, 3 = j p = {, m } = {, }. Näide 9.7. Olgu f(t) = t j t [, b]. Siis vlemi (9.) bil ( ) CD f (t) = Γ Γ( + ) ( + )t 8 = 3 π t 3 j ( ) CD 3 f (t) = Γ( + ) ( Γ + 3 )t 3 t = 4 π. Osutub, et Riemnn-Liouville i diferentsilopertori j Cputo diferentsilopertori vhelist seost sb iseloomustd järgmise luseg. Luse 9.8. Olgu α >, α / N, m := α,, b R, < b j f selline lõigus [, b] määrtud funktsioon, et tl leiduvd Cputo j Riemnn-Liouville i α-järku tuletised ( C D α f)(t) j ( RL D α f)(t), kus t [, b]. Siis ( C D α f)(t) = ( RL D α f)(t) m k= Tõestus. Olgu t [, b]. Definitsiooni 9. põhjl ( C D α f)(t) = ( RL D α (f T m [f; ]))(t) f (k) () Γ(k + α) (t )k α. = ( RL D α f)(t) RL D α (T m [f; ])(t) ( m ) = ( RL D α f)(t) RL D α f (k) () (t ) k k! = ( RL D α f)(t) 46 m k= k= f (k) () k! (RLD α (t ) k)

47 Vlemi (8.) lusel Seeg ( RL D α )(t ) k = ( C D α f)(t) = ( RL D α f)(t) Γ(k + ) Γ(k + α) (t )k α, k =,,..., m. m k= m = ( RL D α f)(t) k= m = ( RL D α f)(t) k= f (k) () k! f (k) () k! (RLD α (t ) k) Γ(k + ) (t )k α Γ(k + α) f (k) () Γ(k + α) (t )k α. Järeldus 9.9. Luse 9.8 eeldustel CD α f = RL D α f prjsti siis, kui ig k {,,..., m } korrl f (k) () =. Luse 9.. Olgu α > j m := α. Olgu funktsioon f m kord pidevlt diferentseeruv poollõigus [, ) j funktsioonid f, f,..., f (m ) eksponentsilse ksvug σ. Kui s > mx{, σ}, siis j L[ RL J α f](s) = L[f](s) (9.5) sα L[ C D α f](s) = s α L[f](s) m s α k f (k ) (). (9.6) k= Tõestus. Lplce i teiseduse linersuse j seose (7.) põhjl kus L[g](s) =, s >, (9.7) sα g(t) = tα Γ(α). 47

48 Pneme tähele, et ( RL J α f)(t) = f(t) g(t). Seeg Boreli teoreemi 6.3 j seose (9.7) bil sme L[ RL J α f](s) = L[g](s) L[f](s) = s α L[f](s), Luse 9. j definitsiooni 9. lusel s > mx{, σ}. CD α f = ( RL J m α D m f). (9.8) Võrduste (9.8) j (9.5) ning luse.3 bil jõume seoseni (9.6): L[ C D α f](s) = L[ RL J m α D m f](s) = s m α L[Dm f](s) ) m = s (s α m m L[f](s) s m k f (k ) () = s α L[f](s) k= m s α k f (k ) (), k= s > mx{, σ}. 48

49 Murruliste tuletisteg diferentsilvõrrndite lhendmine Lplce i teisenduse bil Selles prgrhvis lhendme mõned murrulist järku tuletisteg diferentsilvõrrndid Lplce i teisenduse bil. Näide.. Leid diferentsilvõrrndi CD y = y + t + ( )t 3 (.) 5 Γ lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimust y() =. (.) Lhendus: Rkenddes võrrndile (.) Lplce i teisendust. Arvestdes viimse linersust, sme [ ] L CD y (s) + L[y](s) = L [ t ] [ ] (s) + ( )L t 3 (s). (.3) 5 Γ Luse 9. j vlemi (7.) kohselt sb võrrnd (.3) kuju s L[y](s) s y() + L[y](s) = s + ( 3 5 Γ Γ ) ( ) 5 ehk ) (s + Y (s) = s y() + s +, (.4) 3 s 5 kus Y (s) = L[y](s) j s >. Arvestdes lgtingimust (.), vldme võrrndist (.4) kujutise Y (s). Seeg ) (s + Y (s) = ) (s s 3 + s 5 ehk Y (s) = (.5) s 3 Näite.5 põhjl on Cuchy ülesnde {(.), (.)} lhendiks y(t) = t, t. 49

50 Näide.. Olgu α (, ]. Leid diferentsilvõrrndi CD α y + y = lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimust t α Γ (3 α) t α Γ ( α) + t t (.6) y() =. (.7) Lhendus: Rkenddes võrrndile (.6) Lplce i teisendust, sme L [ C D α y] (s) + L[y](s) = L [t α ] (s) Γ (3 α) L [t α ] (s) Γ ( α) + L [ t ] (s) L[t](s). Luse 9. j vlemi (7.) kohselt sb võrrnd (.8) kuju s α L[y](s) s α y() + L[y](s) = s 3 α s α + s 3 s (.8) ehk (s α + ) Y (s) = s 3 α s + α s 3 s + sα y(), (.9) kus Y (s) = L[y](s) j s >. Arvestdes lgtingimust (.7), vldme võrrndist (.9) kujutise Y (s). Seeg ehk (s α + ) Y (s) = sα + s 3 sα + s, Y (s) = s 3 s (.) Ksutdes Lplce i teisenduse pöördteisenduse linersust, sme näite.5 bil Cuchy ülesnde {(.6), (.7)} lhendiks Näide.3. Leid diferentsilvõrrndi y(t) = t t, t. lhend y = y(t) (t ), mis rhuldb lgtingimusi y + C D 3 y + y = + t (.) y() = y () =. (.) 5

51 Lhendus: Lplce i teisendust bil sme [ ] L[y ](s) + L CD 3 y (s) + L[y](s) = L[](s) + L[t](s). (.3) Luse 9. kohselt sb võrrnd (.3) kuju s L[y](s) sy() y () + s 3 L[y](s) s y() s y () + L[y](s) = s + s ehk ) (s + s 3 + Y (s) = s + ( ) ) s + s + s y() + (s + y (), (.4) kus Y (s) = L[y](s) j s >. Arvestdes lgtingimusi (.), vldme võrrndist (.4) kujutise Y (s). Seeg ) ( (s + s 3 + Y (s) = s + ) ( ) s + s 3 s + ehk Y (s) = s + s (.5) Kustdes pöördteisenduse linersust ning näidet.5, sme Cuchy ülesnde {(.), (.)} lhendiks y(t) = + t, t. 5

52 Using the Lplce trnsform to solve differentil equtions Ann Mrit Lnem Summry Let f be function on [, ). The Lplce trnsform of function f is defined by F (s) = e st f(t)dt, () whenever the integrl in () converges. Often the Lplce trnsform () is denoted by F (s) = L[f](s). In generl the prmeter s cn be complex number but in this thesis, we minly ssume tht s is rel number. In ddition we generlly del with piecewise continuous functions f of exponentil order. In the first four sections, the definition of Lplce trnsform nd nlyses of it re given. Also some properties of the Lplce trnsform re presented. The centrl prt of our work is the fifth section, where severl initil vlue problems re solved with the clssicl method nd with the Lplce trnsform method. The strtegy of the ltter method is to trnsform the Cuchy problems of liner differentil equtions with constnt coefficients into simple lgebr problems with esily obtined solutions. Then the inverse Lplce trnsform is pplied to retrieve the solutions of the originl problems. In order to introduce the concept of frctionl (of non-integer order) derivtive of function, we need some informtion bout the gmm function nd the connection between the Lplce trnsform nd the gmm function. Those questions re considered in the sixth nd the seventh sections. The next two sections provide pproches of Riemnn-Liouville s nd Cputo s to frctionl derivtives. Some importnt properties of Riemnn-Liouville differentil nd integrl opertors re given. In the ltter one, the connection between Riemnn-Liouville s nd Cputo s frctionl differentil opertors is explored. Finlly, the Lplce trnsforms to Riemnn-Liouville frctionl integrls nd Cputo frctionl derivtives re provided. In the finl section, some initil vlue problems, which include frctionl differentil equtions with Cputo derivtives, re solved. 5

53 Kirjndus [] H. Brunner, P. J. von der Houwen, The numericl solution of Volterr equtions (CWI Monogrph 3), North-Hollnd, 986. [] K. Diethelm, The Anlysis of Frctionl Differentisl Equtions, Springer- Verlg, Berlin,. [3] A. Jõgi, Integrlteisendused, TTÜ Kirjstus, Tllinn, 3. [4] E. Jürimäe, Kompleksmuutuj funktsioonide teoori lühikursus, Vlgus, Tllinn, 983. [5] G. Kngro, Mtemtiline nlüüs I. Teine, prndtud j täiendtud trükk, Vlgus, Tllinn, 98. [6] A. M. Lnem, Diferentsilvõrrndite lhendmine Lplce i teisenduse bil (bklureusetöö), Trtu,. [7] A. Peds, G. Vinikko, Hrilikud diferentsilvõrrndid: teoori, näiteid, ülesndeid, TÜ Kirjstus, Trtu,. [8] J. L. Schiff, The Lplce trnsform: theory nd pplictions, Springer- Verlg, New York,

54 Lis Lplce i teisenduse j pöördteisenduse tbel f(t) = L [F (s)] F (s) = L[f](s) Viide c c s e ωt s ω sin ωt cos ωt Näide. Näide.3 ω s + ω Näide.4 s s + ω Seos (.9) t n n! s n+ Näide.5 c f (t) + c f (t) c L[f ](s) + c L[f ](s) Luse. sinh ωt cosh ωt f (n) (t) ω s ω Näide. s s ω Seos (.) s n L[f](s) n s n k f (k ) () Luse.3 k= f(t) g(t) F (s)g(s) Teoreem 6.3 t ν Γ(ν + ) s ν+ Seos (7.) ( RL J α f)(t) L[f](s) Luse 9. sα ( C D α f)(t) s α L[f](s) m s α k f (k ) () Luse 9. k= 54

55 Riemnn-Liouville i tuletise tbel f = f(t) ( RL D f)(t) ( RL D 3 f)(t) Viide tuletise leidmisele c c tπ c π t 3 Näide 8. t t π tπ Näide 8. t 8 t 3 π t 3 4 π Näide 8.3 Cputo tuletise tbel f = f(t) ( C D f)(t) ( C D 3 f)(t) Viide tuletise leidmisele c Näide 9.3 t t π Näide 9.6 t 8 t 3 π t 3 4 π Näide

56 Lihtlitsents lõputöö reprodutseerimiseks j lõputöö üldsusele kättesdvks tegemiseks Min, Ann Mrit Lnem, (sünnikuupäev: ). nnn Trtu Ülikoolile tsut lo (lihtlitsentsi) end loodud teose "Lplce i teisenduse ksutmine diferentsilvõrrndite lhendmisel", mille juhendj on prof. Arvet Peds,.. reprodutseerimiseks säilitmise j üldsusele kättesdvks tegemise eesmärgil, selhulgs digitlrhiivi DSpce-is lismise eesmärgil kuni utoriõiguse kehtivuse tähtj lõppemiseni;.. üldsusele kättesdvks tegemiseks Trtu Ülikooli veebikeskkonn kudu, selhulgs digitlrhiivi DSpce i kudu kuni utoriõiguse kehtivuse tähtj lõppemiseni.. olen tedlik, et punktis nimettud õigused jäävd lles k utorile. 3. kinnitn, et lihtlitsentsi ndmiseg ei rikut teiste isikute intellektulomndi eg isikundmete kitse sedusest tulenevid õigusi. Trtus, 3.6.5