Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatika instituut Matemaatika eriala Priit Lätt n-lie superalgebrad Magistritöö (30 EAP) Juhendaj

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatika instituut Matemaatika eriala Priit Lätt n-lie superalgebrad Magistritöö (30 EAP) Juhendaj"

Väljavõte

1 Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatika instituut Matemaatika eriala Priit Lätt n-lie superalgebrad Magistritöö (30 EAP) Juhendaja: Prof. Viktor Abramov Tartu 2015

2 n-lie superalgebrad Magistritöö Priit Lätt Lühikokkuvõte. Käesolevas magistritöös tuletame meelde mõned Lie algebrate teooria põhitõed ja vaatame selle klassikalise struktuuri üldistusi. Filippov konstrueeris artiklis [7] n-lie algebra, kus binaarne kommutaator on asendatud n-aarse analoogiga. Meie kombineerime viimase Lie superalgebra struktuuriga, mis üldistab Lie algebraid kasutades Z 2 -gradueeritud vektorruumi ning gradueeringu iseärasusi kommutaatoril tavalise vektorruumi asemel, et saada n-lie superalgebra, nagu seda on tehtud artiklis [1]. Me uurime n-lie superalgebra, ehk n-aarse gradueeritud Filippovi samasust rahuldava tehtega superalgebra omadusi, ning rakendades ideid artiklitest [1, 3] indutseerime n-lie superalgebratest (n+1)-lie superalgebrad. Viimaks uurime me ternaarseid Lie superalgebraid üle C, kus algebra aluseks oleva supervektorruumi dimensioon on m n, m + n 4. Me teeme kindlaks kui palju on erinevaid võimalikke kommutatsioonieeskirju, mida neile tingimustele vastavad 3-Lie superalgebrad omada võivad. Märksõnad. n-lie algebra, Lie superalgebra, n-lie superalgebra, Filippovi samasus, supervektorruum. n-lie superalgebras Master s Thesis Priit Lätt Abstract. In this master s thesis we remind the theory of Lie algebras and investigate some generalizations of this structure. Filippov constructed n-lie algebras in [7] where he replaced the binary commutator relation with n-ary analogue. We combine it with Lie superalgebra structure that emerged from theoretical physics in early 70s, and which generalizes Lie algebras by using Z 2 -graded vector space and grading restrictions on the commutator instead of classical vector space, to yield a n-lie superalgebra as introduced in [1]. We study the properties of n-lie superalgebras that are essentially superalgebras equipped with n-ary commutator relation obeying graded Filippov identity. Next we apply ideas from [1, 3] to induce (n + 1)-Lie superalgebra from n-lie superalgebra. Finally, we set an upper bound for the number of different 3-Lie superalgebras over C with super vector space of dimension m n, where m + n 4. Keywords. n-lie algebra, Lie superalgebra, n-lie superalgebra, Filippov identity, super vector space. 1

3 Sisukord Sissejuhatus 3 1 Lie algebra Maatriksrühmad ja bilineaarvorm Eksponentsiaalkujutus Lie algebra definitsioon Struktuurikonstandid Esitused Algebralised struktuurid n-lie algebra n-lie algebra definitsioon Indutseeritud n-lie algebra Nambu mehaanika. Nambu-Poissoni sulg n-lie superalgebra Lie superalgebra n-lie superalgebra Indutseeritud n-lie superalgebra Madaladimensionaalsete 3-Lie superalgebrate klassifikatsioon Meetodi kirjeldus dimensionaalsed 3-Lie superalgebrad dimensionaalsed 3-Lie superalgebrad dimensionaalsed 3-Lie superalgebrad dimensionaalsed 3-Lie superalgebrad dimensionaalsed 3-Lie superalgebrad Täiendavaid märkuseid Viited 60 A 3 1-dimensionaalse 3-Lie superalgebra kommutatsiooniseosed 61 2

4 Sissejuhatus Matemaatika haru, mida me täna tunneme kui Lie teooriat kerkis esile geomeetria ja lineaaralgebra uurimisest. Lie teooria üheks keskseks mõisteks on Lie algebra vektorruum, mis on varustatud mitteassotsiatiivse korrutamisega ehk nõndanimetatud Lie sulu või kommutaatoriga. Lie algebrad ja nende uurimine on tihedalt seotud teise Lie teooria keskse mõistega, milleks on Lie rühm. Viimased on struktuurid, mis on korraga nii algebralised rühmad kui ka diferentseeruvad muutkonnad, kusjuures rühma korrutamine ja selle pöördtehe on mõlemad diferentseeruvad. Osutub, et igale Lie rühmale saab vastavusse seada Lie algebra, kuid üldjuhul kahjuks vastupidine väide ei kehti. Samas on võimalik näidata pisut nõrgem tulemus: suvalise lõplikumõõtmelise reaalse või kompleksse Lie algebra jaoks leidub temale üheselt vastav sidus Lie rühm [11]. Just selle viimase, nõndanimetatud Lie kolmanda teoreemi tõttu on võimalik Lie rühmasid vaadelda Lie algebrate kontekstis ja see teebki Lie algebrad äärmiselt oluliseks ja efektiivseks tööriistaks. Käesolevas magistritöös uurime me Lie algebrate ühte võimalikku üldistust, milleks on n-lie superalgebra. Ühelt poolt on sellise konstruktsiooni inspiratsiooniks Filippovi poolt artiklis [7] tutvustatud ja uuritud n-lie algebra mõiste, kus binaarne kommutaator on asendatud n-aarse analoogiga. Teiselt poolt võtame aluseks Lie superalgebra, kus aluseks olev vektorruum on vahetatud supervektorruumi, või teisiti öelduna Z 2 -gradueeritud vektorruumiga, mis ei ole tegelikult muud kui vektorruumide otsesumma, V = V 0 V 1. Lie superalgebrate uurimine sai alguse 70. aastate esimeses pooles praktilisest vajadusest teoreetilises füüsikas kui tekkisid supersümmeetrilised väljateooriad, kus ühes formalismis kirjeldatakse nii välja kui ainet. Sellise füüsikalise nähtuse uurimiseks sobis hästi Z 2 -gradueeritud matemaatika, kus ühes tervikstruktuuris peitub tegelikult kaks erinevate omaduste alamstruktuuri. [2] Koos sellega selgus ka Lie superalgebrate olulisus, ning neid uuriti üsna põhjalikult. Näiteks klassifitseeris Kac aastal Lie superalgebrad üle algebraliselt kinniste nullkarakteristikaga korpuste. Samas pärast seda ei ole pea 30 aasta jooksul selles vallas suuri edusamme tehtud ja Lie superalgebrate esituste teooria pole siiani täielikult välja arendatud [13]. Tuginedes n-lie algebra ja Lie superalgebra mõistetele defineerime n-lie superalgebra nagu seda on tehtud artiklis [1]. Edasi uurime tema olulisemaid omadusi ning vaatame erijuhul n = 3 kuni kolme generaatoriga algebrate klassifikatsiooni üle korpuse C. Käesolev magistritöö koosneb neljast peatükist ning ühest lisast. Esimeses peatükis tuletame meelde klassikalise Lie algebrate teooria ning rikastame seda mitmete näidetega. Selleks vaatleme kõigepealt tuntud maatriksrühmi ning toome sisse 1 Victor Gershevich Kac (1943), vene ja ameerika matemaatik 3

5 üldistatud eksponentsiaalkujutuse mõiste, mille abil jõuame Lie algebrateni. Lõpetuseks meenutame mõningaid klassikalisi definitsioone algebraliste struktuuride vallast Lie algebrate seades, mida on tarvis edasise mõistmisel. Teises peatükis rakendame Filippovi konstruktsiooni ning defineerime n-lie algebra ja tutvustame artiklitest [3, 4] pärinevat konstruktsiooni n-lie algebrast (n + 1)-Lie algebra indutseerimiseks. Samuti tõestame mõned tulemused artiklist [3], millele autorid ei olnud põhjendusi kaasa andnud. Peatüki lõpus toome Nambu mehaanikast konkreetse näite n-lie algebra kohta. Kolmas peatükk algab Lie superalgebra ja tema omaduste tutvustamisega. Seejärel anname artikli [1] põhjal n-lie superalgebra definitsiooni. Tõestades lemma 3.7, põhjendame teoreemi 3.6, mis väidab, et teatud gradueeritud kommutaatoriga on supervektorruumi endomorfismidel n-lie superalgebra struktuur. Seejärel tõestame lause 3.10 abil eeskirja n-lie superalgebrast (n 1)-Lie superalgebra saamiseks. Järnevalt rakendame artiklite [1, 3] ideid, ning indutseerime n-lie superalgebrast superjälge kasutades (n+1)-lie superalgebra. Muu hulgas tõestame laused 3.15 ja 3.17, mis väidavad, et n-lie superalgebrad on lahenduvad, ning nende kahanevad tsentraaljadad paiknevad teatud mõttes esialgsete algebrate kahanevate tsentraaljadade sees. Töö lõpetab peatükk, kus uuritakse ternaarseid Lie superalgebraid, millel on kuni 4 generaatorit ja algebrale aluseks olev supervektorruum on üle kompleksarvude korpuse C. Kirjeldame algortimi, mille abil on võimalik 3-Lie superalgebraid klassifitseerida ning rakendame seda algoritmi 3-Lie superalgebrate korral, mille supervektorruumi dimensioon on m n, kus m + n 4. Tähistagu kõikjal järgnevas K nullkarakteristikaga korpust ning V vektorruumi üle korpuse K. Ruumi kokkuhoiu ja mugavuse mõttes kasutame edaspidi vajaduse korral summade tähistamisel Einsteini summeerimiskokkulepet. Teisiti öeldes, kui meil on indeksid i ja j, mis omavad väärtusi 1,..., n, kus n N, siis jätame vahel summeerimisel summa märgi kirjutamata, ning säilitame summeerimise tähistamiseks vaid indeksid. Einsteini summeeruvuskokkulepet arvestades kehtivad näiteks järgmised võrdused: x i e i = λ i jx j = ja nii edasi. x i e i = x 1 e 1 + x 2 e x n e n, a=1 λ i jx j = λ i 1x 1 + λ i 2x λ i nx n, j=1 η ij u i v j = η 11 u 1 v 1 + η 12 u 1 v η 1n u 1 v n + η 21 u 2 v η nn u n v n, 4

6 1 Lie algebra Järgnevas anname minimaalse ülevaate klassikalisest Lie algebrate teooriast, mida on tarvis edasiste peatükkide mõistmiseks. 1.1 Maatriksrühmad ja bilineaarvorm Meenutame, et lineaarkujutus φ: V 1 V 2 vektorruumist V 1 vektorruumi V 2 säilitab vektorite liitmise ja skalaariga korrutamise, see tähendab φ(x + y) = φ(x) + φ(y) ja φ(λx) = λφ(x), kus x, y V 1 ning λ on skalaar. Kui vektorruumid V 1 ja V 2 langevad kokku, siis ütleme me kujutuse φ kohta lineaarteisendus või endomorfism. Kõigi vektorruumi V endomorfismide hulka tähistatakse seejuures End V. Algebrast on teada, et lineaarteisendusel eksisteerib pöördteisendus siis ja ainult siis, kui ta on nii üksühene kui ka pealeteisendus. Kõigi vektorruumi V pööratavate lineaarteisenduste rühma nimetatakse vektorruumi V pööratavate lineaarteisenduste rühmaks 2 ja tähistatakse GL(V). Selge, et selle rühma korrutamiseks on tavaline lineaarteisenduste kompositsioon. Lõplikumõõtmelise vektorruumi lineaarteisendus on pööratav parajasti siis, kui tema determinant on nullist erinev. Seega kuuluvad rühma GL(V) need ja ainult need lineaarteisendused, mille determinant pole null. Kui vaatleme vaid lineaarteisendusi, mille determinant on üks, saame olulise alamrühma SL(V), mida nimetatakse vektorruumi V spetsiaalsete lineaarteisenduste rühmaks. Kuna igal vektorruumil leidub baas, siis võime vektorruumi V jaoks fikseerida mingi baasi. Sel juhul saame kõik lineaarteisendused esitada maatriksitena ning nõnda võime edaspidi lineaarteisenduste rühmade asemel rääkida maatriksrühmadest. Kui {e 1, e 2,..., e n } moodustab vektorruumi V baasi ning φ: V V on mingi lineaarteisendus, siis talle vastav maatriks selle baasi suhtes on (a i j), mis on määratud valemiga φ(e j ) = a i je i. Selge, et vaadeldes rühmi GL(V) ja SL(V) maatriksrühmadena, on rühma tehteks juba tavaline maatriksite korrutamine. Ilmselt saab nimetatud maatriksrühmad defineerida nii reaal- kui ka kompleksarvude korral. Sellest lähtuvalt kasutatakse sageli nullist erineva determinandiga n n maatriksrühmade tähistuseks 2 Inglise keeles general linear group. 5

7 GL(n, R) või GL(n, C), ning neid rühmi nimetame vastavalt reaalsete pööratavate lineaarteisenduste rühmaks ja komplekssete pööratavate lineaarteisenduste rühmaks. Analoogiliselt on kasutusel tähistused SL(n, R) ja SL(n, C). Rühmal GL(n, C) on palju tuntud alamrühmi. Klassikaliseks näiteks on n n ortogonaalsete maatriksite rühm O(n, C), kuhu kuuluvad ortogonaalsed maatriksid, see tähendab sellised maatriksid A, mille korral A T = A 1. Teise näitena võib tuua unitaarsete maatriksite rühma U(n), mille elementideks on unitaarsed maatriksid A, mis rahuldavad tingimust A T = A 1. Edasi on lihtne konstrueerida saadud alamrühmade spetsiaalsed analoogid. Spetsiaalsete komplekssete ortogonaalmaatriksite rühm on SO(n, C) = O(n, C) SL(n, C), ja spetsiaalsete unitaarsete maatriksite rühmaks on SU(n) = U(n) SL(n, C). Definitsioon 1.1. Olgu V vektorruum üle korpuse K. Kujutust (, ) : V V K nimetatakse bilineaarvormiks, kui iga x, y, z V ja suvaliste skalaaride λ, µ K korral i. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z), ii. (x, λy + µz) = λ(x, y) + µ(x, z). Kui vetorruumis V on antud baas {e 1, e 2,..., e n }, siis saab bilineaarvormi (, ) : V V K esitada talle vastava maatriksi B = (b ij ) abil, kus b ij = (e i, e j ). Tõepoolest, kui meil on antud vektorid x = λ i e i ja y = µ j e j, siis kasutades (, ) lineaarsust mõlema muutuja järgi, võime arvutada (x, y) = i,j b ij λ i µ j. Me ütleme, et bilineaarvorm (, ) : V V K on sümmeetriline kui kõikide x, y V korral (x, y) = (y, x). Selge, et sümmeetrilise bilineaarvormi maatriksi B korral kehtib võrdus B = B T. Vormi (, ) nimetatakse kaldsümmeetriliseks kui iga x, y V korral kehtib võrdus (x, y) = (y, x). Lihtne on veenduda, et kaldsümmeetrilise bilineaarvormi korral rahuldab talle vastav maatriks B seost B T = B. Definitsioon 1.2. Olgu V vektorruum, kus on fikseeritud mingi baas, olgu φ vektorruumi V lineaarteisendus ning olgu A = (a i j) lineaarteisenduse φ maatriks fikseeritud baasi suhtes. Lineaarteisenduse φ jäljeks nimetatakse elementi Tr V (A) K, mis arvutatakse valemiga Tr V (A) = i a i i. 6

8 Juhul kui maatriksi A korral Tr V A = 0, siis ütleme, et maatriks A on jäljeta. Näide 1.1. On hästi teada, et vektorruumi V endomorfismide hulk End V on ka ise vektorruum, kusjuures kui vektorruumi V dimensioon on dim(v) = n, siis ruumi End V dimensioon on dim (End V) = n 2. Kasutades jälge Tr V, saame defineerida bilineaarvormi (, ) : End V End V K järgmiselt: (A, B) = Tr V (AB), kus A ja B on maatriksid, mis vastavad vektorruumi End V teisendustele mingi baasi suhtes. Selge, et selliselt defineeritud bilineaarvorm on sümmeetriline. Kasutades bilineaarvormi sümmeetrilisust või kaldsümmeetrilisust, saame sisse tuua ortogonaalsuse mõiste. Me ütleme, et vektorid x ja y on bilineaarvormi (, ) suhtes ortogonaalsed, kui (x, y) = 0. Selge, et ortogonaalsuse tingimus ise on sümmeetriline, see tähendab kui x on ortogonaalne vektoriga y, siis kehtib ka vastupidine, y on ortogonaalne vektoriga x. Kui vektor x 0 on iseenesega ortogonaalne, see tähendab (x, x) = 0, siis nimetatakse vektorit x isotroopseks. Selge, et Eukleidilises geomeetrias selliseid vektoreid ei leidu, kuid üldisemates situatsioonides esinevad nad küllaltki sageli, näiteks pseudoeukleidilises Minkowski aegruumis. Edasises vaatleme ortogonaalseid ja sümplektilisi rühmi ning selleks nõuame, et vaatluse all olevad bilineaarvormid oleksid mittesingulaarsed ehk regulaarsed, see tähendab kui (x, y) = 0 iga y V korral, siis järelikult x = 0. Osutub, et bilineaarvorm (, ) on regulaarne parajasti siis, kui temale vastav maatriks B = (b i j) on pööratav, mis tähendab, et det B 0. Definitsioon 1.3. Me ütleme, et lineaarteisendus φ on ortogonaalne regulaarse sümmeetrilise bilineaarvormi (, ) suhtes, kui kõikide x ja y korral vektorruumist V. (φ(x), φ(y)) = (x, y) Kui x on ortogonaalse lineaarteisenduse φ tuumast, siis kehtib φ(x) = 0. Viimane aga tähendab, et iga y V korral (x, y) = (φ(x), φ(y)) = (0, φ(y)) = 0. Kokkuvõttes, et (, ) on regulaarne, siis järelikult x = 0 ja φ on üksühene. Kui nüüd veel V on lõplikumõõtmeline, siis peab φ olema pööratav. Seda arutelu silmas pidades võime öelda, et ortogonaalsed lineaarteisendused moodustavad rühma, mida me nimetame ortogonaalsete lineaarteisenduste rühmaks bilineaarvormi (, ) suhtes. Võttes tarvitusele vektorruumi V baasi saame konstrueerida ka ortogonaalsete maatriksite rühma, mida tähistatakse komplekssel juhul kui O(n, C), kus n N märgib, et tegu on n n maatriksitega. Sümplektiliste teisenduste tarvis tuleb vaadelda kaldsümmeetrilisi bilineaarvorme. 7

9 Definitsioon 1.4. Me ütleme, et lineaarteisendus φ on sümplektiline regulaarse kaldsümmeetrilise bilineaarvormi (, ) suhtes, kui kõikide x ja y korral vektorruumist V. (φ(x), φ(y)) = (x, y) Märgime, et sümplektilised lineaarteisendused leiduvad ainult sellistes vektorruumides, mille dimensioon on paarisarvuline, see tähendab dim V = 2n, kus n N. Sümplektilised teisendused moodustavad sümplektiliste rühma, mida tähistatakse kompleksel juhul Sp(n, C). Reaalsete sümplektiliste teisenduste rühma saame, kui vaatleme ühisosa rühmaga GL(2n, R): 1.2 Eksponentsiaalkujutus Sp(n, R) = Sp(n, C) GL(2n, R). Kõikide seni vaadeldud maatriksrühmade esindajad peavad vastavatesse rühmadesse kuulumiseks rahuldama mingeid algebralisi tingimusi. Need tingimused võib kirja panna maatriksite elementide kaudu, mille tulemusel saame me mittelineaarsed võrrandid, mis määravad rühma kuulumise. Osutub, et need tingimused on võimalik asendada mingi hulga ekvivalentsete lineaarsete võrranditega ja selline üleminek mittelineaarselt süsteemilt lineaarsele ongi võtmetähtsusega idee üleminekul Lie rühmadelt Lie algebratele [5]. Klassikaliseks viisiks, kuidas sellist üleminekut realiseeritakse, on eksponentsiaalkujutuse kasutuselevõtt. Nagu nimigi viitab, on tegu analüüsist tuttava kujutuse üldistusega. Kuivõrd meil oli siiani tegemist vaid maatriksrühmadega, siis läheme siin ka edasi vaid eksponentsiaalkujutuse ühe tähtsa erijuhu, maatrikseksponentsiaaliga. Samas olgu öeldud, et järgnevad väited kehtivad tegelikult ka üldisemas seades, nagu võib näha monograafias [11]. Olgu A mingi n n maatriks, k N ning olgu I ühikmaatriksit. Tähistame A 0 = I ning A k = } A A {{... A }. k korda Definitsioon 1.5. Olgu X reaalne või kompleksne n n maatriks. Maatriksi X eksponendiks, mida tähistatakse e X või exp X, nimetatakse astmerida e X = k=0 X k k!. (1.1) Veendumaks definitsiooni korrektsuses tuleks näidata, et suvalise maatriksi X korral rida (1.1) koondub. Selleks meenutame, et n n maatriksi X = (X ij ) normi 8

10 arvutatakse valemi X = ( i,j=1 X ij 2 ) 1 2 (1.2) järgi. Arvestades, et XY X Y, siis X k X k. Rakendades nüüd normi (1.2) rea (1.1) liikmetele, saame X k k! X k = e X <, k! k=0 k=0 mis tähendab, et rida (1.1) koondub absoluutselt ja seega ta ka koondub. Märkamaks, et e X on pidev funktsioon, märgime esiteks, et X k on argumendi X suhtes pidev funktsioon ja seega on rea (1.1) osasummad pidevad. Teisalt paneme tähele, et (1.1) koondub ühtlaselt hulkadel, mis on kujul {X : X R}, ja seega on rida kokkuvõttes pidev. Niisiis on maatrikseksponentsiaal korrektselt defineeritud ning ka pidev. Järgmises lauses on toodud eksponentsiaalkujutuse põhilised omadused, mille võrdlemisi lihtsad tõestused võib huvi korral leida näiteks raamatust [8]. Lause 1.1. Olgu X ja Y suvalised n n maatriksid üle vektorruumi V. Siis kehtivad järgmised väited: 1. e 0 = I, 2. ( e X) T = e X T, 3. e X on pööratav ning kehtib ( e X) 1 = e X, 4. e (λ+µ)x = e λx e µx suvaliste λ, µ C korral, 5. kui XY = Y X, siis e X+Y = e X e Y = e Y e X, 6. kui C on pööratav, siis e CXC 1 = Ce X C 1, 7. det e X = e Tr V X. Ostutub, et rühma GL(n, C) ühikelemendi mingis ümbruses on võimalik suvaline maatriks esitada kujul e A, kus A on mingi n n maatriks. Rühma GL(n, R) korral on maatriks A reaalne. Oluline on tähele panna, et vaadeldes rühma GL(n, R), ei ole eksponentsiaalkujutuse kujutis terve rühm. Selles veendumiseks piisab võtta n = 1 ning näha, et exp (GL(1, R)) = R +, ehk kujutiseks on reaaltelje positiivne osa, samas kui GL(1, R) = R \ {0} ehk reaaltelg ilma nullpunktita. 9

11 Niisiis eksponentsiaalkujutust kasutades on oht kaotada rühma globaalne struktuur, samas kui lokaalne struktuur säilib. Kui soovime maatriksi A korral, et maatriks e A kuuluks mõnda punktis 1.1 Maatriksrühmad ja bilineaarvorm nimetatud rühma, tuleb maatriksile A seada teatavad lineaarsed kitsendused. Näiteks spetsiaalse lineaarse rühma SL(n) korral võime mittelineaarse tingimuse e A determinandi kohta asendada lineaarse tingimusega maatriksi A jälje kohta, kasutades lause 1.1 punkti 7. Nii on näiteks det e A = 1 parajasti siis, kui Tr V A = 0. Kokkuvõttes nägime, et eksponentsiaalkujutuse abil on võimalik asendada klassikalised maatriksrühmad maatrikshulkadega, millele on seatud teatud lineaarsed kitsendused. Selge, et need hulgad on lineaarkombinatsioonide suhtes kinnised, ja nii võib neid vaadelda kui vektorruume. Tavalise maatriksite korrutamise osas kahjuks kinnisus säilida ei pruugi. Samas, kui meil on n n maatriksid A ja B, mis on vastavalt kas kaldsümmeetrilised, rahuldavad anti-hermite i tingimust või neil puudub jälg, siis maatriksil C = AB BA on samuti selline omadus. Niisiis saadud maatrikshulgad ei moodusta ainuüksi vektorruumi, vaid on kinnised ka teatud binaarse tehte suhtes. 1.3 Lie algebra definitsioon Enne kui anname Lie algebra definitsiooni, tuletame meelde, et algebraks üle korpuse K nimetatakse vektorruumi V üle korpuse K, millel on defineeritud bilineaarne korrutamine V V V. Kui algebra tehe rahuldab assotsiatiivsuse tingimust, siis nimetatakse seda algebrat assotsiatiivseks, ning vastasel korral mitteassotsiatiivseks. Nii on näiteks vektorruumi V lineaarteisenduste vektorruum End V assotsiatiivne algebra, mille tehteks on teisenduste kompositsioon: f g. Samas võime vektorruumi End V varustada ka teistsuguse korrutamisega ning saada uue algebralise struktuuri, kui võtame tehteks näiteks f g g f. Üldiselt selline korrutamine aga enam assotsiatiivne ei ole. Definitsioon 1.6. Algebrat g üle korpuse K nimetatakse Lie algebraks, kui tema korrutamine [, ]: g g g rahuldab kõikide x, y, z g tingimusi [x, x] = 0, (1.3) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. (1.4) Me ütleme definitsioonis toodud korrutise [x, y] kohta elementide x ja y Lie sulg, ning bilineaarvormi [, ] nimetatakse ka kommutaatoriks. Definitsioonis toodud samasust (1.4) nimetatakse Jacobi samasuseks. Sageli on otstarbekas tähistada Lie algebrat g paarina (g, [, ]). 10

12 Märkus 1.1. Mõnes käsitluses antakse Lie algebrale veidi üldisem definitsioon, kui algebrat g ei vaaldeda mitte vektorruumina üle korpuse, vaid moodulina üle ringi, nagu seda on tehtud näiteks raamatus [6]. Piltlikult öeldes mõõdab kommutaator algebra elementide mittekommuteeruvust. Seda asjaolu kirjeldavat võrdust (1.3) võime juhul, kui algebra ei ole vaadeldud üle korpuse, mille karakteristika on 2, kirjutada ka kujul [x, y] = [y, x]. (1.5) Tõepoolest, (1.3) järgi kehtib [x + y, x + y] = 0, millest saame bilineaarsuse abil [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = 0, ehk kehtibki [x, y] = [y, x]. Kommutatiivsuse abil on loomulik defineerida Abeli Lie algebra ehk kommutatiivne Lie algebra. Definitsioon 1.7. Me ütleme, et Lie algebra g on Abeli Lie algebra, kui iga x, y g korral [x, y] = 0. Rakendades võrdust (1.5), saame Jacobi samasuse kirjutada kujul [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]]. (1.6) Seega on Jacobi samasusel ka differentseerimise struktuur. Näide 1.2. Olgu A algebra, millel on assotsiatiivne korrutustehe : A A A. Defineerides kommutaatori valemiga [x, y] = x y y x, x, y A, (1.7) saame algebrast A moodustada Lie algebra A L. Valemist (1.7) järeldub vahetult, et Lie algebra definitsiooni nõue (1.3) kehtib. Jacobi samasuse kehtivuseks märgime, et rakendades korrutise assotsiatiivsust [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = = [x, y z z y] + [y, z x x z] + [z, x y y x] = = [x, y z] [x, z y] + [y, z x] [x, x z] + [z, x y] [z, y x] = = x y z y z x x z y + z y x + y z x z x y kus x, y, z A. y x z + x z y + z x y x y z z y x + y x z = 0, Niisiis suvalisest assotsiatiivsest algebrast on võimalik konstrueerida Lie algebra. Arvestades, et maatriksite ja lineaarteisenduste korrutamine rahuldavad assotsiatiivsuse tingimust, on näites 1.2 esitatud eeskirja abil võimalik kõiki punktis

13 toodud rühmi vaadelda kui Lie algebraid. Märgime, et Lie algebrate tähistamiseks kasutatakse tavaliselt väikeseid gooti tähti, seega näiteks pööratavate lineaarteisenduste rühmale GL(n) vastavaks Lie algebraks on gl(n). Seni oleme me vaadelnud ainult selliseid Lie algebraid, kus kommutaator on antud kujul [x, y] = xy yx. Rõhutame, et tegelikult on Lie algebra suvaline vektorruum, kus on antud bilineaarne kaldsümmeetriline korrutamine, mis rahuldab Jacobi samasust. Enamgi veel, kirjutis xy yx ei oma üldises situatsioonis üldse mõtet, kuna vektorruumil g ei pruugi olla defineeritud korrutamise operatsiooni. Seda asjaolu sobib hästi ilmestama järgmine näide. Näide 1.3. Olgu g = R 3 ning defineerime Lie sulu kui vektorkorrutise ( ) x [x, y] = x y = 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2, (1.8) kus x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) g. Selge, et sedasi defineeritud kommutaator on bilineaarne ning kaldsümmeetriline. Kehtib ka Jacobi samasus. Selleks märgime valemi (1.8) põhjal, et [x, [y, z]] = (x 2 y 1 z 2 x 2 y 2 z 1 x 3 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 3, x 3 y 2 z 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z 2 + x 1 y 2 z 1, x 1 y 3 z 1 x 1 y 1 z 3 x 2 y 2 z 3 + x 2 y 2 z 3 ), [[x, y], z] = (x 3 y 1 z 3 x 1 y 3 z 3 x 1 y 2 z 2 + x 2 y 1 z 2, x 1 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 x 2 y 3 z 3 + x 3 y 2 z 3, x 2 y 3 z 2 x 3 y 2 z 2 x 3 y 1 z 1 + x 1 y 3 z 1 ), [y, [x, z]] = (x 1 y 2 z 2 x 2 y 2 z 1 x 3 y 3 z 1 + x 1 y 3 z 3, x 2 y 3 z 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z 2 + x 2 y 1 z 1, x 3 y 1 z 1 x 1 y 1 z 3 x 2 y 2 z 3 + x 3 y 2 z 2 ). (1.9) (1.10) (1.11) Liites valemite (1.10) ja (1.11) paremad pooled, saame täpselt valemi (1.9), mis samasuse (1.6) põhjal ongi täpselt Jacobi samasus. 1.4 Struktuurikonstandid Eeldame, et järgnevas on meil antud lõplikumõõtmeline Lie algebra g, üle korpuse K, mille vektorruumil on fikseeritud baas {e 1, e 2,..., e n }. Siinjuures tuletame meelde, et Lie algebra aluseks oleva vektorruumi baasielemente nimetatakse sageli selle Lie algebra generaatoriteks. Et Lie sulg [, ] on bilineaarne vorm, siis tema väärtused Lie algebral g on täielikult määratud, kui me teame millega võrduvad [e α, e β ], kus α, β {1, 2,..., n}. Tõepoolest, suvalise vektori võime esitada baasivektorite e 1, e 2,..., e n lineaarkombinatsioonina ja kõikide vektorite x, y g korral 12

14 leiduvad a α, b β K nii, et x = a α e α ja y = b β e β, kus α, β = 1, 2,..., n. Niisiis saame [x, y] välja arvutada järgmiselt: [x, y] = [a α e α, b β e β ] = a α b β [e α, e β ]. Iga α, β {1, 2,..., n} korral võime omakorda ka vektori [e α, e β ] avaldada lineaarkombinatsioonina baasivektoritest kujul [e α, e β ] = K λ αβe λ, ja seega jääb meile [x, y] arvutamiseks lõpuks võrdus [x, y] = a α b β K λ αβe λ. Definitsioon 1.8. Olgu g lõplikumõõtmeline Lie algebra ning {e 1, e 2,..., e n } selle Lie algebra vektorruumi baas. Tähistades [e α, e β ] = K λ αβe λ, α, β {1, 2,..., n}, siis arve K λ αβ nimetatakse Lie algebra g struktuurikonstantideks. Kasutades kommutaatori [, ] kaldsümmeetrilisust, saame struktuurikonstantide kohta valemi K λ αβ = K λ βα. (1.12) Jacobi samasuse abil saame veel teisegi tingimuse, mida struktuurikonstandid rahuldama peavad. [e α, [e β, e γ ]] + [e β, [e γ, e α ]] + [e γ, [e α, e β ]] = 0, [ eα, K λ βγe λ ] + [ eβ, K λ γαe λ ] + [ eγ, K λ αβe λ ] = 0, K λ βγ [e α, e λ ] + K λ γα [e β, e λ ] + K λ αβ [e γ, e λ ] = 0, K λ βγk µ αλ e µ + K λ γαk µ βλ e µ + K λ αβk µ γλ e µ = 0, K λ βγk µ αλ + Kλ γαk µ βλ + Kλ αβk µ γλ = 0. Näide 1.4. Vaatleme eespool näiteks toodud spetsiaalsete unitaarsete maatriksite rühma SU(n) erijuhul n = 2. Rühmale SU(2) vastab Lie algebra su(2), mille element x su(2) rahuldab tingimusi Tr x = 0, (1.13) x + x = 0. (1.14) 13

15 Tingimuste (1.13) ja (1.14) põhjal on võimalik näidata, et Lie algebra su(2) generaatoriteks on Pauli maatriksid ( ) ( ) ( ) 0 i 0 1 i 0 ρ 1 =, ρ i 0 2 =, ρ =, 0 i nagu võib näha bakalaureusetöös [12]. Arvutame Lie algebra su(2) generaatoritel Lie sulu väärtused ja leiame seeläbi struktuurikonstandid. Ilmselt suvalise α {1, 2, 3} korral [ρ α, ρ α ] = 0. Arvestades veel omadust (1.12), on meile huvi pakkuvad kommutaatorid vaid kujul [ρ α, ρ β ], kus α < β. ( ) 2i 0 [ρ 1, ρ 2 ] = ρ 1 ρ 2 ρ 2 ρ 1 = = 2ρ 0 2i 3, (1.15) ( ) 0 2 [ρ 1, ρ 3 ] = ρ 1 ρ 3 ρ 3 ρ 1 = = 2ρ 2 0 2, (1.16) ( ) 0 2i [ρ 2, ρ 3 ] = ρ 2 ρ 3 ρ 3 ρ 2 = = 2ρ 2i 0 1. (1.17) Seega võrduste (1.15), (1.16) ja (1.17) põhjal on antud baasi suhtes nullist erinevad struktuurikonstandid 1. K 3 12 = 2, 3. K 2 13 = 2, 5. K 1 23 = 2, 2. K21 3 = 2, 4. K31 2 = 2, 6. K32 1 = 2. ( ) ( ) 3i 7 + i i 5 + 2i Valides näiteks x = ja y =, siis ilmselt 7 + i 3i 5 + 2i i x, y su(2), ja saame arvutada Lie sulu [x, y]. Nüüd ühelt poolt vahetu arvutuse tulemusena ( ) ( ) i 5 + 8i 40 9i 5 8i [x, y] = xy yx = = 5 + 8i 40 9i 5 8i i ( ) 18i i =, i 18i kuid teisalt x = ρ 1 + 7ρ 2 + 3ρ 3 ja y = 2ρ 1 + 5ρ 2 + ρ 3, ning saame kasutada 14

16 struktuurikonstante: [x, y] = [ρ 1 + 7ρ 2 + 3ρ 3, 2ρ 1 + 5ρ 2 + ρ 3 ] = = 2[ρ 1, ρ 1 ] + 5[ρ 1, ρ 2 ] + [ρ 1, ρ 3 ] + 14[ρ 2, ρ 1 ] + 35[ρ 2, ρ 2 ] + 7[ρ 2, ρ 3 ]+ 6[ρ 3, ρ 1 ] + 15[ρ 3, ρ 2 ] + 3[ρ 3, ρ 3 ] = = 5[ρ 1, ρ 2 ] + [ρ 1, ρ 3 ] 14[ρ 1, ρ 2 ] + 7[ρ 2, ρ 3 ] 6[ρ 1, ρ 3 ] 15[ρ 2, ρ 3 ] = = 9[ρ 1, ρ 2 ] 5[ρ 1, ρ 3 ] 8[ρ 2, ρ 3 ] = = 9K λ 12ρ λ 5K λ 13ρ λ 8K λ 23ρ λ = = 9K 3 12ρ 3 5K 2 13ρ 2 8K 1 23ρ 1 = = 9 ( 2)ρ 3 5 2ρ 2 8 ( 2)ρ 1 = = 16ρ 1 10ρ ρ 3 = ( ) 18i i = i 18i Ootuspäraselt annavad mõlemad variandid sama tulemuse, kuid teise variandi puhul ei soorita me kordagi selle algebra korrutustehet. Ilmselt sõltuvad Lie algebra struktuurikonstandid algebra vektorruumi baasist. Olgu {e 1, e 2,..., e n } ja {ê 1, ê 2,..., ê n } Lie algebra g vektorruumi kaks erinevat baasi, ning olgu nad omavahel seoses Siis ê α = a λ αe λ. (1.18) ˆK ξ αβêξ = [ê α, ê β ] = [a µ αe µ, a ν βe ν ] = a µ αa ν β[e µ, e ν ] = a µ αa ν βk λ µνe λ. (1.19) Kui võrduste ahela (1.19) kõige vasakpoolsemas osas kasutada samasust (1.18), siis kehtib millest kokkuvõttes saame valemi 1.5 Esitused ˆK ξ αβ aλ ξ e λ = a µ αa ν βk λ µνe λ, a λ ξ ˆK ξ αβ = aµ αa ν βk λ µν. Olgu (g 1, [, ] g1 ) ja (g 2, [, ] g2 ) Lie algebrad. Lineaarkujutust ϕ: g 1 g 2 nimetatakse Lie algebrate homomorfismiks, kui ta säilitab kommutaatori, see tähendab iga x, y g 1 korral kehtib võrdus ϕ([x, y] g1 ) = [ϕ(x), ϕ(y)] g2. 15

17 Homomorfismi ϕ nimetatakse Lie algebrate isomorfismiks, kui ϕ on ka üksühene ning pealekujutus. Klassikalisel viisil on defineeritud ka Lie algebrate endomorfismi ning automorfismi mõisted. Homomorfismi mõiste viib meid väga tähtsa osani Lie algebrate teoorias, milleks on esitused. Definitsioon 1.9. Olgu g Lie algebra ja V vektorruum. Siis nimetatakse homomorfismi ϕ: g gl(v) Lie algebra g esituseks vektorruumile V. Esiteks paneme tähele, et selline definitsioon omab mõtet, kuna eelneva arutelu põhjal on selge, et gl(v) on tõepoolest Lie algebra. Niisiis on g esitus vektorruumil V lineaarne kujutus ϕ Lie algebrast g vektorruumi V endomorfismide ringi nii, et ϕ([x, y])(v) = (ϕ(x)ϕ(y)) (v) (ϕ(y)ϕ(x)) (v), kõikide x, y g ja v V korral. Me ütleme, et esitus ϕ on täpne, kui ϕ(x) = 0 siis ja ainult siis, kui x = 0. Ehk teisisõnu, esitus täpne parajasti siis, kui ta on üksühene. Näide 1.5. Olgu g Lie algebra. Vaatleme lineaarset kujutust ad: g x ad x gl(g), mis on y g korral on defineeritud eeskirjaga ad x (y) = [x, y]. (1.20) Kujutus ad: g gl(g) on Lie algebra g esitus. Seda esitust nimetatakse g adjungeeritud esituseks. Märkamaks, et ad on tõepoolest esitus, märgime kõigepealt, et arvestades eeskirja (1.20) ning kommutaatori lineaarsust, on kujutuse ad lineaarsus ilmne. Veendumaks, et kujutus ad: g gl(g) on esitus, tuleb kontrollida, et iga x, y, z g korral kehtiks võrdus [ad x, ad y ] (z) = ad [x,y] (z), mille saame Jacobi samasusest (1.4). ehk 0 = [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = = [x, [y, z]] + [y, [x, z]] [[x, y], z] = = [x, [y, z]] [y, [x, z]] [[x, y], z] [x, [y, z]] [y, [x, z]] = [[x, y], z]. Nüüd, et Lie algebras gl(g) arvutatakse kommutaatori väärtusi eeskirja järgi, siis [ad x, ad y ] = ad x ad y ad y ad x [ad x, ad y ](z) = [x, [y, z]] [y, [x, z]] = [[x, y], z] = ad [x,y] (z). 16

18 Esituste teooria üheks väga oluliseks tulemuseks on nõndanimetatud Ado teoreem, mis väidab, et iga lõplikumõõtmeline Lie algebra g korral leidub lõplikumõõtmeline vektorruum V nii, et g on Lie alebra gl(v) alamalgebra. Niisiis, Lie algebrat g on tegelikult võimalik vaadelda kui maatriksalgebrat. [8] Teoreem 1.2 (Ado, 1935). Iga lõplikumõõtmeline Lie algebra üle nullkarakteristikaga korpuse omab täpset lõplikumõõtmelist esitust. Tegelikult kehtib ka Ado teoreemi oluliselt tugevam variant, kus on kaotatud eeldus korpuse nullkarakteristika kohta. [9] 1.6 Algebralised struktuurid Et meie ülevaade Lie algebratest oleks vähegi täielik, tuleks vähemalt definitsiooni tasemel sisse tuua ka sellised standardsed mõisted algebraliste struktuuride vallast nagu alamalgebra ja ideaal. Definitsioon Olgu (g, [, ]) Lie algebra ning olgu h g alamruum. Me ütleme, et (h, [, ]) on Lie algebra (g, [, ]) Lie alamalgebra, kui iga h 1, h 2 h korral [h 1, h 2 ] h. Olgu K {R, C}. Võttes arvesse definitsiooni 1.10, saame, et Lie algebral gl(n, K) on mitmeid Lie alamalgebraid. Nendeks on näiteks spetsiaalsete lineaarsete teisenduste Lie algebra sl(n, K) ja ortogonaalsete lineaarsete teisenduste Lie algebra o(n, K). Definitsioon Olgu (g, [, ]) Lie algebra ning olgu h vektorruumi g alamvektorruum. Me ütleme, et h on Lie algebra (g, [, ]) ideaal, kui iga x h ja y g korral [x, y] h. Võrduse (1.5) järgi on selge, et Lie algebrate korral ei ole mõtet vahet teha vasak- ja parempoolsetel ideaalidel, kuna kõik ideaalid on automaatselt kahepoolsed. Leidmaks näidet ideaalist, piisab meil vaid ette kujutada mõnd Abeli Lie algebrat. Selge, et iga tema alamruum on ideaal. Teatavasti saab algebra A ja tema ideaali I abil konstrueerida faktoralgebra A/I. Analoogiline on situatsioon ka Lie algebrate puhul. Kui h on Lie algebra g ideaal, siis faktoralgebra g/h kõrvalklassideks on x = x+h. Vaatleme kujutust [, ] g/h : g/h g/h g/h, mis on defineeritud kui [x + h, y + h] g/h = [x, y] + h, x, y g. Ilmselt on selliselt defineeritud kommutaator korrektne, see tähendab ei sõltu esindajate x ja y valikust. Osutub, et faktorruum g/h koos kommutaatoriga [, ] g/h on Lie algebra, mida me nimetame Lie faktoralgebraks. 17

19 Samuti võib kõneleda Lie algebra g tsentrist, mille all mõeldakse hulka, kuhu kuuluvad elemendid x g, mis iga a g korral rahuldavad tingimust [x, a] = 0. Selge, et iga tsenter on automaatselt ka Lie algebra g ideaal. 18

20 2 n-lie algebra Selle peatüki eesmärgiks on klassikalise Lie algebra üldistamine, mille käigus toome sisse n-lie algebra mõiste. Edasi tutvustame esmalt artiklis [4] näidatud eeskirja, mille abil on võimalik Lie algebrast konstrueerida ternaarne Lie algebra, ning jätkame seda teooriaarendust tuginedes artiklile [3], kus kirjeldatakse üldisemalt kuidas n-lie algebrast indutseerida (n + 1)-Lie algebra. 2.1 n-lie algebra definitsioon Lie algebra definitsioonis on kesksel kohal kaldsümmeetriline bilineaarne korrutustehe, mis rahuldab Jacobi samasust. Üheks viisiks Lie algebra mõistet üldistada, ongi just nimelt tema korrutamise üldistamine. Seda tehes on loomulik nõuda, et ka üldistatud korrutamistehe rahuldaks kaldsümmeetrilisuse tingimust ning Jacobi samasust, või vähemalt selle mingit analoogi, mis annaks juhul n = 2 täpselt Jacobi samasuse. Filippov 3 tutvustas aastal 1985 artikis [7] n-lie algebrate klassi, kus bilineaarne korrutamine on asendatud n-lineaarse kaldsümmeetrilise operatsiooniga, mis rahuldab teatud samasust. [10] Tänaseks on just see, Nambu mehaanikast välja kasvanud üldistus osutunud üheks põhiliseks Lie algebrate edasiseks uurimissuunaks. Definitsioon 2.1. Vektorruumi g nimetatakse n-lie algebraks, kui on määratud n-lineaarne kaldsümmeetriline kujutus [,..., ] : g n g, mis suvaliste korral rahuldab tingimust x 1,..., x n 1, y 1,..., y n g [x 1,..., x n 1, [y 1,..., y n ]] = [y 1,..., [x 1,..., x n 1, y i ],..., y n ]. (2.1) Võrdust (2.1) n-lie algebra definitsioonis nimetatakse üldistatud Jacobi samasuseks või ka Filippovi samasuseks. Vahetu kontrolli põhjal on selge, et valides n = 2, saame Filippovi samasusest (2.1) Jacobi samasuse (1.4). Seejuures n-aarse Lie sulu kaldsümmeetrilisus tähendab, et suvaliste x 1, x 2,..., x n g korral [x 1,..., x i, x i+1,..., x n ] = [x 1,..., x i+1, x i,..., x n ]. (2.2) Toome siinkohal n-lie algebra kohta näite, mille Filippov esitas artiklis [7] vahetult pärast oma definitsiooni. 3 Aleksei Fedorovich Filippov ( ), vene matemaatik 19

21 Näide 2.1. Olgu E reaalne (n + 1)-mõõtmeline Eukleidiline ruum, ning tähistame elementide x 1, x 2,..., x n E vektorkorrutise [x 1, x 2,..., x n ]. Meenutame, et vektorkorrutis on kaldsümmeetriline ning iga teguri suhtes lineaarne. Lisaks, kui meil on ruumi E mingi baas {e 1, e 2,..., e n+1 }, siis avaldub see vektorrkorrutis determinandina x 11 x x 1n e 1 x 21 x x 2n e 2 [x 1, x 2,..., x n ] =....., (2.3).. x n+1,1 x n+1,2... x n+1,n e n+1 kus (x 1i, x 2i,..., x n+1,i ) on vektorite x i, i = 1, 2,..., n, koordinaadid. Kui me varustame ruumi E nüüd n-aarse vektorkorrutisega (2.3), siis saame (n + 1)-mõõtmelise reaalse kaldsümmeetrilise algebra, mida tähistame E n+1. Tänu determinandi multilineaarsusele on vektorkorrutis täielikult määratud baasivektorite korrutustabeliga. Võrdusest (2.3) saame me baasivektoritele järgmise korrutustabeli: [e 1,..., e i 1, ê i, e i+1,..., e n+1 ] = ( 1) n+1+i e i, (2.4) kus i = 1, 2,..., n + 1, ja ê i tähistab vektori e i arvutusest välja jätmist. Ülejäänud baasivektorite korrutised on kas nullid või kättesaadavad võrdusest (2.4) ja kaldsümmeetrilisusest. Selle põhjal saab näidata, et algebra (E n+1, [,..., ]) on n-lie algebra. [7] Punktis 1.6 toodud konstruktsioonid on loomulikul viisil võmalik esitada ka üldisemal juhul. Definitsioon 2.2. Me ütleme, et h on n-lie algebra (g, [,..., ]) alamalgebra, kui h g on alamruum, ning suvaliste x 1, x 2,..., x n h korral [x 1, x 2,..., x n ] h. Definitsioon 2.3. Olgu (g, [,..., ]) n-lie algebra ning olgu h g alamruum. Me ütleme, et h on g ideaal, kui iga h h ja x 1, x 2,..., x n 1 g korral [h, x 1, x 2,..., x n 1 ] h. Analoogiliselt klassikalisele juhule defineeritakse ka n-lie faktoralgebra. Kui meil on antud n-lie algebra (g, [,..., ]) ja tema ideaal h, siis faktoralgebra g/h kõrvalklassideks on x = x + h, x g, ja kommutaatoriks on [x 1 + h, x 2 + h,..., x n + h] g/h = [x 1, x 2,..., x n ] + h, x 1, x 2,..., x n g. 20

22 2.2 Indutseeritud n-lie algebra Artiklis [3] on uuritud põhjalikult konstruktsiooni, mille abil on võimalik etteantud n-lie algebrast teatud tingimustel indutseerida (n + 1)-Lie algebra. Toome järgnevas ära selle konstruktsiooniga seotud põhilised tulemused. Definitsioon 2.4. Olgu A vektorruum ning olgu φ: A n A. Me ütleme, et lineaarkujutus τ : A K on φ jälg, kui suvaliste x 1,..., x n A korral τ (φ (x 1,..., x n )) = 0. Olgu φ: A n A kõigi argumentide järgi lineaarne ja olgu τ : A K lineaarne kujutus. Defineerime mugavuse ja selguse mõttes sisse uue kujutuse φ i : A n+1 A, i = 1,..., n + 1, valemiga φ i (x 1,..., x i,..., x n+1 ) = φ (x 1,..., ˆx i,..., x n+1 ) = = φ (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n+1 ), kus ˆx i tähistab kõrvalejäätavat elementi, see tähendab φ arvutatakse elementidel x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n+1. Defineerime nende kujutuste abil uue (n+1)-lineaarse kujutuse φ τ : A n+1 A valemiga n+1 φ τ (x 1,..., x n+1 ) = ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., x n+1 ), (2.5) Seega võttes näiteks n = 2, saame valemi (2.5) põhjal kirjutada φ τ (x 1, x 2, x 3 ) = τ(x 1 )φ(x 2, x 3 ) τ(x 2 )φ(x 1, x 3 ) + τ(x 3 )φ(x 1, x 2 ). Osutub, et selliselt defineeritud kujutusel φ τ on mitmed head omadused, nagu võib lugeda artiklitest [3, 4]. Lemma 2.1. Olgu A vektorruum ning φ: A n A n-lineaarne kaldsümmeetriline kujutus ja τ : A K lineaarne. Siis kujutus φ τ : A n+1 A on samuti kaldsümmeetriline. Lisaks, kui τ on φ jälg, siis τ on ka φ τ jälg. Tõestus. Eeldame, et A on vektorruum, φ: A n A on n-lineaarne ning kaldsümmeetriline ja τ : A K on lineaarne. Veendumaks, et φ τ on (n + 1)-lineaarne ning kaldsümmeetriline olgu x 1, x 2,..., x n+1, x 1 j, x 2 j A, j {1, 2,..., n + 1}, 21

23 ning olgu λ, µ skalaarid. Arvestades nii φ kui ka τ lineaarsust, märgime φ τ lineaarsuseks, et φ τ (x 1,..., λx 1 j + µx 2 j,..., x n+1 ) = n+1 = ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., λx 1 j + µx 2 j,..., x n+1 ) = n+1 = ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., λx 1 j + µx 2 j,..., x n+1 )+, i j ( 1) j 1 τ(λx 1 j + µx 2 j)φ j (x 1,..., λx 1 j + µx 2 j,..., x n+1 ) = n+1 = λ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., x 1 j,..., x n+1 )+, i j n+1 µ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., x 2 j,..., x n+1 )+, i j λ( 1) j 1 τ(x 1 j)φ j (x 1,..., x 1 j,..., x n+1 )+ µ( 1) j 1 τ(x 2 j)φ j (x 1,..., x 2 j,..., x n+1 ) = = λφ τ (x 1,..., x 1 j,..., x n+1 ) + µφ τ (x 1,..., x 2 j,..., x n+1 ). Kaldsümmeetrilisus avaldub samuti vahetu arvutuse tulemusena: φ τ (x 1,..., x j 1, x j,..., x n+1 ) = = n+1 i j 1, i j = ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., x j 1, x j,..., x n+1 )+ ( 1) j 1 1 τ(x j 1 )φ(x 1,..., x j 2, x j, x j+1,..., x n+1 )+ ( 1) j 1 τ(x j )φ(x 1,..., x j 2, x j 1, x j+1,..., x n+1 ) = n+1 i j 1, i j ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., x j, x j 1,..., x n+1 ) ( 1) j 1 τ(x j 1 )φ(x 1,..., x j 2, x j, x j+1,..., x n+1 ) ( 1) j 1 1 τ(x j )φ(x 1,..., x j 2, x j 1, x j+1,..., x n+1 ) = = φ τ (x 1,..., x j, x j 1,..., x n+1 ) Tõestuse lõpetuseks eeldame, et τ on φ jälg ja näitame, et sel juhul on τ ka φ τ jälg. 22

24 Et τ on φ jälg, siis iga x 1, x 2,..., x n A korral τ(φ(x 1, x 2,..., x n )) = 0 ja seega mida oligi tarvis. τ(φ τ (x 1, x 2,..., x n+1 )) = n+1 = τ ( ( 1) i 1 τ(x i )φ i (x 1,..., x n+1 ) ) = n+1 = ( 1) i 1 τ(x i )τ (φ(x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n+1 )) = n+1 = 0 = 0, Kasutades lemmat, on võimalik tõestada järgmine teoreem. [3] Teoreem 2.2. Olgu (g, [,..., ]) n-lie algebra ning olgu τ lineaarkujutuse [,..., ] jälg. Siis (g, [,..., ] τ ) on (n + 1)-Lie algebra. Teoreemis kirjeldatud viisil saadud (n + 1)-Lie algebrat (g, [,..., ] τ ) nimetatakse n-lie algebra (g, [,..., ]) poolt indutseeritud (n + 1)-Lie algebraks. Teoreemist 2.2 saame teha olulise järlduse: Järeldus 2.3. Olgu (g, [, ]) Lie algebra ning olgu antud [, ] jälg τ : g K. Siis ternaarne sulg [,, ]: g 3 g, mis on defineeritud valemiga [x, y, z] = τ(x)[y, z] + τ(y)[z, x] + τ(z)[x, y], määrab 3-Lie algebra struktuuri g τ vektorruumil g. Lause 2.4. Olgu (g, [,..., ]) n-lie algebra ning olgu h g alamalgebra. Kui τ on [,..., ] jälg, siis h on ka (g, [,..., ] τ ) alamalgebra. Tõestus. Olgu h n-lie algebra (g, [,..., ]) alamalgebra, x 1, x 2,..., x n+1 h ning olgu τ sulu [,..., ] jälg. Siis n+1 [x 1, x 2,..., x n+1 ] τ = ( 1) i τ(x i )[x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n+1 ], mis on h elementide lineaarkombinatsioon, kuna iga i = 1, 2,..., n + 1 korral [x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n+1 ] h. Lause 2.5. Olgu (g, [,..., ]) ideaal h. Siis h on (g, [,..., ] τ ) ideaal parajasti siis, kui [g, g,..., g] h või h ker τ. 23

25 Tõestus. Olgu h h ja x 1, x 2,..., x n g suvalised. Siis [x 1, x 2,..., x n, h] τ = ( 1) i τ(x i )[x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n, h]+ Et h on (g, [,..., ]) ideaal, siis ilmselt ( 1) n+1 τ(h)[x 1, x 2,..., x n ]. ( 1) i τ(x i )[x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n, h] h. Niisiis, tingimus [x 1, x 2,..., x n, h] τ h on samaväärne tingimusega ( 1) n+1 τ(h)[x 1, x 2,..., x n ] h. Viimase võime aga lahti kirjutada kujul τ(h) = 0 või [x 1, x 2,..., x n ] h. 2.3 Nambu mehaanika. Nambu-Poissoni sulg Filippovile olid n-lie algebra konstrueerimisel peamiseks inspiratsiooniks Jaapani füüsiku ja Nobeli preemia laureaadi Yoichiro Nambu tööd Hamiltoni mehaanika üldistuste vallas, mida täna tuntakse kui Nambu mehaanikat. Osutub, et seal esinev Nambu-Poissoni sulg on n-lie algebra sulu erijuht, mida on põhjalikult uurinud Takhtajan. Tuginedes Takhtajani artiklile [14], toome Nambu mehaanika abil veel ühe näite n-lie algebrast. Alustame klassikalisest situatsioonist ehk tavalisest Hamiltoni mehaanikast. Definitsioon 2.5. Poissoni muutkonnaks nimetatakse siledat muutkonda M koos funktsioonide algebraga A = C (M), kui on antud binaarne kujutus mis rahuldab järgmisi tingimusi: {, }: A A A, 1. kaldsümmeetrilisus, iga f 1, f 2 A korral {f 1, f 2 } = {f 2, f 1 }, (2.6) 2. kehtib Leibnizi tingimus, ehk iga f 1, f 2, f 3 A korral {f 1 f 2, f 3 } = f 1 {f 2, f 3 } + f 2 {f 1, f 3 }, (2.7) 24

26 3. kehtib Jacobi samasus, kui f 1, f 2, f 3 A, siis {f 1, {f 2, f 3 }} + {f 2, {f 3, f 1 }} + {f 3, {f 1, f 2 }} = 0. (2.8) Poissoni muutkonna definitsioonis esinevat kujutust {, } nimetatakse Poissoni suluks, ja funktsioonide algebrat A nimetatakse vaadeldavate algebraks. Kuna definitsioonis on nõutud tingimused (2.6) ja (2.8), siis on selge, et Poissoni muutkonnal on olemas Lie algebra struktuur. Selgub, et Poissoni sulg mängib klassikalises mehaanikas olulist rolli. Nimelt, klassikalises mehaanikas on teada, et dünaamilise süsteemi ajas muutumist kirjeldab Poissoni sulg, mille abil on võimalik formuleerida Hamiltoni liikumisvõrrand df dt = {H, f}, f A, (2.9) kus H A on fikseeritud operaator, mis vastab süsteemi koguenergiale, ja mida nimetatakse Hamiltoniaaniks. Saadud konstruktsioon kirjeldab süsteemi muutumist ajas, ehk selle süsteemi dünaamikat, ja on seega olulisel kohal paljude kvantteooriate kirjeldustes. Lihtsaima Poissoni muutkonna näitena võime vaadelda M = R 2 koordinaatidega x ja y, ning Poissoni suluga {f 1, f 2 } = f 1 f 2 x y f 1 f 2 y x = (f 1, f 2 ) (x, y), või üldisemalt M = R 2n, n N, koordinaatidega x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n, kus Poissoni muutkonna struktuur on antud suluga ( f1 f 2 {f 1, f 2 } = f ) 1 f 2. (2.10) x i y i y i x i Nii defineeritud Poissoni sulg rahuldab Poissoni muutkonna definitsioonis seatud tingimusi. Tõepoolest, võrdusest (2.10) järeldub kaldsümmeetrilisus vahetult. Leibnizi reegli kehtivuseks märgime, et {f 1 f 2, f 3 } = = ( (f1 f 2 ) = f 1 f 3 (f 1f 2 ) f 3 x i y i y i x i [( f 1 f 2 ) f3 + x i f 1 + f 2 x i ( f2 f 3 f 2 f 3 x i y i y i x i = f 1 {f 2, f 3 } + f 2 {f 1, f 3 }. ) = y i ) + f 2 ( f 1 f 2 y i + f 2 f 1 ) ] f3 + = y i x i ) = ( f1 x i f 3 y i f 1 y i f 3 x i 25

27 Veendumaks, et kehtib ka Jacobi samasus, piisab vahetult arvutada {f 1, {f 2, f 3 }}, {f 2, {f 3, f 1 }}, {f 3, {f 1, f 2 }}. Arvestades, et funktsioonide korrutamine on defineeritud punktiviisi ning võttes arvesse korrutise diferentseerimise eeskirja, võime saadud tulemusi liites näha, et nende summa on tõepoolest null, ehk tingimus (2.8) on täidetud. Muutkonna M Poissoni struktuuri on valemi (2.10) asemel võimalik kirjeldada ka kaasaegse diferentsiaalgeomeetria aparatuuri abil. Selleks oletame, et muutkonnal M on antud kaldsümmeetriline vorm η : D(M) C (M) D(M) C (M), kus sümboliga D(M) on tähistatud muutkonna M vektorväljade vektorruum. Poissoni sulu võib siis defineerida valemiga {f 1, f 2 } = η( f 1, f 2 ), (2.11) kus f 1, f 2 C (M) ja vektorväli f on funktsiooni f gradient. Kui x 1, x 2,..., x n on muutkonna lokaalsed koordinaadid, siis vektorväljad,,..., x 1 x 2 x n moodustavad baasi vektorväljade moodulile üle funktsioonide algebra, ning vorm η tekitab kaldsümmeetrilise kaks korda kovariantse tensorvälja ( ) η ij = η,, x i x j mida nimetatakse Poissoni tensorväljaks. 26

28 Seega saame arvutada {f 1, f 2 } = η( f 1, f 2 ) = η = = i<j j=1 ( ( f 1 f 2 η, x i x j x i f 1, x i x i ) = x j j=1 f 1 f 2 η ij + f 1 f 2 η ij + x i x j x i>j i x j f 2 x j j=1 x j ) = η ij f 1 x i f 2 x j = η ii f 1 x i f 2 x i = = i<j f 1 f 2 η ij + f 1 f 2 η ji = x i x j x j>i j x i = i<j = i<j [ = 1 2 i<j [ = 1 2 i<j [ = 1 2 = f 1 f 2 η ij f 1 f 2 η ij = x i x j x i<j j x i ( f1 f 2 η ij f ) 1 f 2 = x i x j x j x i i<j j=1 Tuues sisse väliskorrutise ( f1 f 2 η ij f 1 f 2 x i x j x j x i ( f1 f 2 η ij f 1 f 2 x i x j x j x i ( f1 f 2 η ij f 1 f 2 x i x j x j x i ( 1 f1 f 2 η ij f 1 f 2 2 x i x j x j x i x i x j (f 1, f 2 ) = 1 2 ) + j<i ) j<i ) + j<i ). siis võime Poissoni sulu (2.11) panna kirja kujul {f 1, f 2 } = j=1 ( f1 f 2 η ji f 1 f 2 x j x i x i x j ( f1 f 2 η ij f 1 f 2 x j x i x i x j ) ] = ) ] = ( f1 f 2 η ij f ) ] 1 f 2 = x i x j x j x i ( f1 f 2 f ) 1 f 2, x i x j x j x i η ij (f 1, f 2 ). (2.12) x i x j Et sulg (2.12) määraks Poissoni muutkonna struktuuri, peab ta rahuldama ka Jacobi samasust. Osutub, et Jacobi samasuse kehtimine sulu (2.12) korral on samaväärne tingimusega, et Schouteni sulg tensorvärljast η iseenesega on null. [14] 27

29 Nambu asendas oma käsitluses binaarse Poissoni sulu ternaarse või koguni n- aarse operatsiooniga muutkonna M vaadeldavate algebral A. Dünaamilise süsteemi kirjeldamiseks ehk Hamiltoni liikumisvõrrandi (2.9) formuleerimise jaoks on sellisel juhul tarvis ühe Hamiltoniaani asemel vaadata vastavalt kas kahte või n 1 Hamiltoniaani H 1, H 2,..., H n 1. Sellisel juhul näitavad need Hamiltoniaanid süsteemi dünaamikat määravate sõltumatute parameetrite maksimaalset arvu. Definitsioon 2.6. Muutkonda M nimetatakse n-järku Nambu-Poissoni muutkonnaks, kui on määratud kujutus {,..., }: A n A, mis on 1. kaldsümmeetriline, see tähendab iga f 1, f 2,..., f n A korral {f 1,..., f n } = ( 1) σ {f σ(1),..., f σ(n) }, (2.13) 2. rahuldab Leibnizi tingimust, ehk iga f 1, f 2,..., f n+1 A korral {f 1 f 2, f 3,..., f n } = f 1 {f 2, f 3,..., f n } + f 2 {f 1, f 3,..., f n }, (2.14) 3. iga f 1, f 2,..., f n 1, g 1, g 2,..., g n, korral on täidetud samasus {f 1,..., f n 1, {g 1,..., g n }} = {g 1,..., {f 1,..., f n 1, g i },..., g n }. (2.15) Definitsioonis nõutavat n-aarset operatsiooni nimetatakse seejuures Nambu suluks, ja kaldsümmeetrilisuse tingimuses tähistab σ indeksite i = 1, 2,..., n permutatsiooni ning σ selle permutatsiooni paarsust. Tegelikult on aga võrdusega (2.13) antud kaldsümmeetrilisus täpselt sama, mis n-lie algebra definitsioonis nõutud kaldsümmeetrilisus (2.2), sest kahe järjestikuse elemendi vahetamise tulemusel on võimalik saada mistahes permutatsioon. Teisalt Nambu muutkonna definitsioonis nõutud samasus (2.15) ei ole mitte midagi muud, kui juba meile tuttav Filippovi samasus (2.1). Seega kokkuvõttes tekib meil Nambu muutkonnal loomulikul viisil n-lie algebra struktuur. Kokkuvõttes on Nambu-Poissoni muutkonnal dünaamiline süsteem määratud n 1 funktsiooniga H 1, H 2,..., H n 1, mille abil on võimalik formuleerida Nambu- Hamiltoni liikumisvõrrandi df dt = {H 1,..., H n 1, f}, f A. Sellise süsteemi saab analoogiliselt klassikalisele juhule kirjeldada kasutades diferentsiaalgeomeetria vahendeid, nagu on näha Takhtajani artiklis [14]. Selleks defineerime Nambu sulu valemiga {f 1,..., f n } = η ( f 1,..., f n ), 28

30 kus η : D(M) n C (M) on kaldsümmeetriline vorm ja D(M) tähistab muutkonna M vektorväljade vektorruumi. Kasutades muutkonnal M lokaalseid koordinaate (x 1, x 2,..., x n ), saame η kirjutada kaldsümmeetriliste n-korda kovariantse Nambu tensorväljana η i1 i 2...i n : η = i 1,...,i n=1 η i1 i 2...i n Kokkuvõttes saab siis Nambu sulg kuju {f 1,..., f n } = i 1,...,i n=1 η i1 i 2...i n. x i1 x in (f 1,..., f n ). x i1 x in 29

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade

7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade 7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo

PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajalo PALMIKRÜHMAD Peeter Puusempa ettekanded algebra ja geomeetria õppetooli seminaril 11., 18. ja 25. jaanuaril 2009. a. 1. Palmikud ja palmikrühmad Ajaloolisi märkmeid 1891 ilmus Adolf Hurwitzi 1 artikkel

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

prakt8.dvi

prakt8.dvi Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

Mittekorrektsed ülesanded 2008

Mittekorrektsed ülesanded 2008 Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.

Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a. Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi

pkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi

Rohkem

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi

elastsus_opetus_2013_ptk2.dvi Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc

Microsoft Word - ref - Romet Piho - Tutorial D.doc Tartu Ülikool Andmetöötluskeel "Tutorial D" realisatsiooni "Rel" põhjal Referaat aines Tarkvaratehnika Romet Piho Informaatika 2 Juhendaja Indrek Sander Tartu 2005 Sissejuhatus Tänapäeval on niinimetatud

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Funktsionaalne Programmeerimine

Funktsionaalne Programmeerimine Geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite definitsioon: data Shape = Rectangle Side Side Ellipse Radius Radius RtTriangle Side Side Polygon [Vertex] deriving Show type Radius = Float type Side =

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

VKE definitsioon

VKE definitsioon Väike- ja keskmise suurusega ettevõtete (VKE) definitsioon vastavalt Euroopa Komisjoni määruse 364/2004/EÜ Lisa 1-le. 1. Esiteks tuleb välja selgitada, kas tegemist on ettevõttega. Kõige pealt on VKE-na

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s

KM 1 Ülesannete kogu, 2018, s MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS

G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS G OSA A VARIANT RESPONDENDILE ISE TÄITMISEKS GS1 Järgnevalt on kirjeldatud lühidalt mõningaid inimesi. Palun lugege iga kirjeldust ja märkige igale reale, kuivõrd Teie see inimene on. Väga Minu Mõnevõrra

Rohkem

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis

Matemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Suunised Euroopa turu infrastruktuuri määruse (EMIR) kohaste kesksetele vastaspooltele suunatud protsüklilisusvastaste tagatismeetmete kohta 15/04/201

Suunised Euroopa turu infrastruktuuri määruse (EMIR) kohaste kesksetele vastaspooltele suunatud protsüklilisusvastaste tagatismeetmete kohta 15/04/201 Suunised Euroopa turu infrastruktuuri määruse (EMIR) kohaste kesksetele vastaspooltele suunatud protsüklilisusvastaste tagatismeetmete kohta 15/04/2019 ESMA70-151-1496 ET Sisukord I. Reguleerimisala...

Rohkem

IFI6083_Algoritmid_ja_andmestruktuurid_IF_3

IFI6083_Algoritmid_ja_andmestruktuurid_IF_3 Kursuseprogramm IFI6083.DT Algoritmid ja andmestruktuurid Maht 4 EAP Kontakttundide maht: 54 Õppesemester: K Eksam Eesmärk: Aine lühikirjeldus: (sh iseseisva töö sisu kirjeldus vastavuses iseseisva töö

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2

Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus

Rohkem

G aiasoft Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon ja hilisemad K

G aiasoft Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon ja hilisemad K Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon 6.3.1.51 ja hilisemad Kasutaja juhend 2016 Sisukord 1. Sissejuhatus...3 2. Liidese häälestus...3

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

DVD_8_Klasteranalüüs

DVD_8_Klasteranalüüs Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT 1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat

Rohkem

Tootmine_ja_tootlikkus

Tootmine_ja_tootlikkus TOOTMINE JA TOOTLIKKUS Juhan Lehepuu Leiame vastused küsimustele: Mis on sisemajanduse koguprodukt ja kuidas seda mõõdetakse? Kuidas mõjutavad sisemajanduse koguprodukti muutused elatustaset? Miks sõltub

Rohkem

Operatsioonisüsteemide ehitus

Operatsioonisüsteemide ehitus Lõimed Ülevaade Lõime mõiste Lõimede mudelid Probleemid lõimedega seoses Pthreads Solarise lõimed Windows 2000 lõimed Linuxi lõimed Java lõimed VARMO VENE & MEELIS ROOS 2 Ühe- ja mitmelõimelised protsessid

Rohkem

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

SQL

SQL SQL Kuues loeng 3GL inside 4GL Protseduurid Funktsioonid Tavalised Funktsioonid (üks väljund) Ilma väljundita Protseduurid Viitargumentide kasutamise võimalus Tabel-väljundiga Protseduurid Create function

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

Microsoft Word Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord.doc

Microsoft Word Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord.doc Kutseliste hindajate aruandluse ja auditeerimise kord I ÜLDSÄTTED 1. Reguleerimisala Kord sätestab kutseliste hindajate (edaspidi Hindaja) kutsetegevuse aruandluse, täiendõppe aruandluse ja auditeerimise

Rohkem

loeng2

loeng2 Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)

Rohkem

Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta

Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 Bayesi statistika Markovi ahelatega,

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda:

29 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 9 th International Physics Olympiad Reykjavik, Iceland Eksperimentaalne võistlus Esmaspäev, 6. juuli 1998 Kasutada olev aeg: 5 tundi Loe esmalt seda: 1. Kasuta ainult korraldajate antud sulepead.. Kasuta

Rohkem

Andmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud

Andmebaasid, MTAT loeng Normaalkujud Andmebaasid, MTAT.03.264 6. loeng Normaalkujud E-R teisendus relatsiooniliseks Anne Villems Meil on: Relatsiooni mõiste Relatsioonalgebra Kus me oleme? Funktsionaalsete sõltuvuse pere F ja tema sulund

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Keskkonnamoju_rus.ppt

Microsoft PowerPoint - Keskkonnamoju_rus.ppt Keskkonnakonverents 07.01.2011 Keskkonnamõju hindamine ja keskkonnamõju strateegiline hindamine on avalik protsess kuidas osaleda? Elar Põldvere (keskkonnaekspert, Alkranel OÜ) Kõik, mis me õpime täna,

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M

TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele M TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Astrid Haas Üldistatud lineaarne segamudel ESM-uuringu andmetele Magistritöö (30 EAP) Finants- ja kindlustusmatemaatika

Rohkem

E-õppe tehnoloogiad kõrgkoolis E-learning Technologies in Higher Education MTAT

E-õppe tehnoloogiad kõrgkoolis E-learning Technologies in Higher Education MTAT Interaktiivsusest e-õppes Anne Villems Seneca (4.-56.a. m.a.j.) Mitte sellepärast me ei söanda uusi asju katsetada, et asjad on keerulised, vaid kuna me ei söanda neid katsetada, on nad keerulised. It

Rohkem

Pangalingi spetsifikatsioon Pocopay pangalingilt makse algatamiseks tuleb kasutada teenust Kaupmees teeb päringu Pocopayle aadressile

Pangalingi spetsifikatsioon Pocopay pangalingilt makse algatamiseks tuleb kasutada teenust Kaupmees teeb päringu Pocopayle aadressile Pangalingi spetsifikatsioon Pocopay pangalingilt makse algatamiseks tuleb kasutada teenust 1011. Kaupmees teeb päringu Pocopayle aadressile https://my.pocopay.com/banklink. Vastuspäring tehakse makse õnnestumise

Rohkem

Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vasta

Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vasta Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vastanutest töötanud 87 tudengit ehk 64%, kellest 79 (91%)

Rohkem

Microsoft Word - QOS_2008_Tallinn_OK.doc

Microsoft Word - QOS_2008_Tallinn_OK.doc GSM mobiiltelefoniteenuse kvaliteet Tallinnas, juuni 2008 Sideteenuste osakond 2008 Kvaliteedist üldiselt GSM mobiiltelefonivõrgus saab mõõta kümneid erinevaid tehnilisi parameetreid ja nende kaudu võrku

Rohkem

Andmebaasid, MTAT Andmebaasikeeled 11.loeng

Andmebaasid, MTAT Andmebaasikeeled 11.loeng Andmebaasid, MTAT.03.264 Andmebaasikeeled 11. loeng Anne Villems Eksamiaegade valimine Kas on vaja eksamiaega mai lõpus? I eksami aeg. valikud: 3., 4. või 5. juuni kell 10.00 II eksami aeg. 17. kell 12.00

Rohkem

Valik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapo

Valik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapo Valik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapoolsete tervitus- ja hüvastijätufraasidega. Saab arutleda,

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul

Rohkem

Komisjoni delegeeritud määrus (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti ka

Komisjoni delegeeritud määrus (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti ka L 256/4 Euroopa Liidu Teataja 22.9.2012 MÄÄRUSED KOMISJONI DELEGEERITUD MÄÄRUS (EL) nr 862/2012, 4. juuni 2012, millega muudetakse määrust (EÜ) nr 809/2004 seoses teabega nõusoleku kohta prospekti kasutamiseks,

Rohkem

Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus

Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus 2014 Peamised kortermajade ventilatsiooni renoveerimislahendused!

Rohkem

Pealkiri

Pealkiri Andmebaasid (6EAP) I praktikum Mida praktikumides tehakse? Õpitakse SQL i Tehakse andmebaas ope (igas praktikumis natuke, kuni lõpuks saab valmis) Tehakse andmebaas edu (kui ope on valmis, tehakse edu,

Rohkem