TARTU ÜLIKOOL Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Karl Riis Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritm ja selle optimeerimine Bakalaureuset

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "TARTU ÜLIKOOL Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Karl Riis Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritm ja selle optimeerimine Bakalaureuset"

Väljavõte

1 TARTU ÜLIKOOL Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Karl Riis Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritm ja selle optimeerimine Bakalaureusetöö (9 EAP) Juhendaja: Meelis Kull, PhD Tartu 219

2 Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritm ja selle optimeerimine Lühikokkuvõte: Töö käigus kirjeldati detailselt Mari-Liis Allikivi ja Meelis Kulli loodud Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritm ning üritati seda optimeerida, kuna see oli suurtel andmehulkadel aeglane. Lisaks kirjeldati algoritmiga seotud matemaatilisi mõisteid ja võtteid ning lahendati nende seletamiseks näiteülesandeid. Algoritmi edasiarenduseks kasutati erinevaid tehnikaid, mis tegid algoritmi töö stabiilsemaks ja kiiremaks. Lõpuks analüüsiti optimeeritud Bayesi isotoonilist kalibreerimist ning võrreldi seda isotoonilise kalibreerimisega ja logistilise regressiooniga tehislikel andmetel. Võtmesõnad: Isotooniline kalibreerimine, Bayesi järeldamine, klassifitseerija kalibreerimine. CERCS: P176 Bayesian isotonic calibration and its optimisation Abstract: The work focused on describing and optimising the Bayesian isotonic calibration algorithm created by Mari-Liis Allikivi and Meelis Kull. The algorithm needed optimisation because it was slow on large datasets. Different mathematical concepts related to the algorithm are described in detail. The algorithm is then improved with various techniques which make it more stable and faster. Finally the algorithm is compared to isotonic calibration and logistic regression using synthetic data. Keywords:

3 Isotonic calibration, Bayesian inference, classifier calibration. CERCS: P176

4 Sisukord 1 Sissejuhatus 1 2 Klassifitseerija kalibreerimine Kalibreerimise definitsioon Isotooniline regressioon Bayesi lähenemine masinõppes Ühtlase jaotuse keskväärtuse hindamine Monte Carlo meetodiga Järeljaotuse keskväärtuse hindamine Monte Carlo meetodiga Olulise/kaalutud valimi meetod Keskväärtuse hindamine kalibreerimisülesande puhul Bayesi isotooniline kalibreerimine Bayesi isotoonilise kalibreerimise optimeerimine Esialgse algoritmi implementeerimine Tõepära piirang eeljaotuste leidmisel Tõepära piirang implementeeritud p i valikuvahemiku tõkestamisega Uus generatiivne protsess f P L

5 3.5 Eeljaotuste kaalud Dünaamiline piir tõkete jaoks Katsed Andmed Võrdlus isotoonilise kalibreerimisega Võrdlus logistilise regressiooniga Kokkuvõte 3 Viidatud kirjandus 31 Lisad 32 I. Koodi repositoorium II. Litsents

6 1 Sissejuhatus Masinõppe rakendamine erinevates valdkondades on hiljuti märkimisväärselt populaarsust kogunud. Paljud levinud masinõppemudelid annavad väljundiks ennustuse mingisse klassi kuuluvuse kohta ning enamus neist väljastavad ka mingi skoori, mille abil saab klassidesse kuulumise ennustusi järjestada. Näiteks tugivektormasinate puhul on selleks skooriks ennustuse kaugus klasse eraldavast sirgest. Tihti on kasulik skoor teisendada klassi kuulumise tõenäosuseks. See on vajalik näiteks juhul, kui mudelile on vaja teha mingit järeltöötlust [1]. Skooride tõenäosusteks teisendamiseks saab neile rakendada klasside tõenäosuste kalibreerimise algoritme. Juhul, kui mudeli tehtud vead on potentsiaalselt tõsiste tagajärgedega, on väga tähtis, et mudel oleks hästi kalibreeritud [2]. Üks algoritm klasside tõenäosuste kalibreerimiseks on Mari-Liis Allikivi ja Meelis Kulli loodud Bayesi isotooniline kalibreerimine [2]. Läbiviidud testide põhjal selgus, et 153 kalibreerimisülesande korral töötab antud algoritm paremini või vähemalt sama hästi kui teised kaasaegsed kalibreerimisalgoritmid, nagu näiteks isotooniline regressioon ja Platti skaleerimine. Lisaks tootsid teised algoritmid liiga enesekindlaid mudeleid, Bayesi isotooniline kalibreerimine seda aga ei teinud. Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritmi praegune versioon muutub aeglaseks ja ebastabiilseks, kui andmete hulk ületab 3 isendit. Antud uurimus püüab algoritmi täiendada nii, et see töötaks hästi ka suurte andmehulkade korral. 1

7 2 Klassifitseerija kalibreerimine Teoreetilise osa eesmärk on selgitada lugejale järk-järgult Bayesi isotoonilise kalibreerimise jaoks tähtsamaid põhimõtteid, lõpetades sellega, kuidas kõik omavahel seondub ning kuidas algoritm toimib. 2.1 Kalibreerimise definitsioon Järgnev definitsioon pärineb raamatust Machine Learning: The Art and Science of Algorithms that Make Sense of Data [3]. Klassifitseerija kalibreerimine on mudeli väljastatud skooride või kalibreerimata tõenäosuste teisendamine kalibreeritud tõenäosusteks. Klassifitseerija on täiuslikult kalibreeritud kui kehtib võrrand P (Y i = 1 ˆp(X) = (ˆp 1,..., ˆp i )) = ˆp i iga i = 1,..., k korral, kus X on üks sisendväärtus, ˆp(X) on X-i klassijaotuse tõenäosuste vektor, i on üks ennustatavatest klassidest ning p î on i-ndasse klassi kuulumise tõenäosus. Ehk üle kõikide andmepunktide, mille korral mudel ennustab jaotust (ˆp 1,..., ˆp k ), siis ka tegelik klassijaotus on (ˆp 1,..., ˆp k ). 2.2 Isotooniline regressioon Isotooniline regressioon on levinud algoritm binaarse klassifitseerija kalibreerimiseks. See minimeerib treeningandmetel ruutkeskmise vea, ta sobitab neile kõige tõepärasema monotoonse ehk mittekahaneva kõvera [4]. 2

8 Algoritmi tööpõhimõte [4]: Olgu (x 1,..., x n ) treeningpunktide hulk, g(x i ) õpitava funktsiooni väärtused, mis seatakse algoritmi töö algul võrdseks nende treeningpunktide märgenditega ( või 1). Kui funktsioon g on juba mittekahanev, siis tagastatakse seesama funktsioon. Vastasel juhul leiduvad vähemalt kaks punkti g(x i ) ja g(x i+1 ), mille puhul ei ole monotoonsust ehk kehtib g(x i ) > g(x i+1 ), sellisel juhul asendatakse g(x i ) ja g(x i+1 ) nende aritmeetilise keskmisega g(x i)+g(x i+1 ) 2. Nüüd vastavad need kaks punkti isotoonsuse tingimusele. Sama protsessi jätkatakse kuni enam ei leidu ühtki punktipaari, mis tingimusele ei vasta. Kui viimane treeningpunkt x n on positiivne ehk g(x n ) = 1, siis isotooniline kalibreerimine tagastab iga testpunkti x x n korral ennustuseks 1. Teisisõnu ei jäeta mingit võimalust, et tegu ei ole positiivse punktiga. Võib siiski juhtuda, et tegelikkuses on x negatiivne punkt. Seega võib isotooniline kalibreerimine toota liiga enesekindlaid mudeleid. Üleliigse enesekindluse vältimiseks kasutame Bayesi lähenemist. 2.3 Bayesi lähenemine masinõppes Bayesi lähenemine on matemaatilise statistika liik, mis on asjakohane selliste probleemide lahendamisel, mille korral peab tegema järeldusi mingi parameetri suhtes, mille kohta on eelnevalt teada vähe informatsiooni. Bayesi lähenemise aluseks on Bayesi teoreem [5]. Box ja Tiao kirjeldavad raamatus Bayesian inference in statistical analysis [5] Bayesi teoreemi järgmiselt: 3

9 Olgu y = (y 1,..., y n ) vektor n vaatlusest, mille tõenäosusjaotus p(y θ) sõltub k parameetrist θ = (θ 1,..., θ k ). Olgu θ ise tõenäosusjaotusega p(θ). Siis kehtib võrrand p(y θ)p(θ) = p(y, θ) = p(θ y)p(y) Sellest saame Bayesi teoreemi: p(θ y) = p(y θ)p(θ) p(y) (1) Võrrandis 1 märgib p(θ) olemasolevaid teadmisi parameetri θ kohta ilma vaatlusteta, p(θ) nimetatakse θ eeljaotuseks. Seevastu p(θ y) näitab, mida teame θ kohta peale mingit vaatlust y, seda nimetatakse θ järeljaotuseks. Tõenäosus p(y θ) näitab kui tõenäoline on vaatluse y toimumine kui tegelikkus on θ. Seda nimetatakse tõepäraks. Bayesi teoreemi järgi on järeljaotus proportsionaalne tõepära ja eeljaotuse korrutisega, sest vaatlusi y võib vaadelda konstantsena kui eesmärk on leida θ järeljaotus: p(θ y) p(y θ) p(θ) 2.4 Ühtlase jaotuse keskväärtuse hindamine Monte Carlo meetodiga Järgnevalt uurime keskväärtuse hindamise ülesannet ühe konkreetse kahemõõtmelise jaotuse puhul, mis osutub olema seotud Bayesi isotoonilise kalibreerimise ülesandega. Olgu meil kaheelemendilist jaotust (p 1, p 2 ) genereeriv protsess, kus mõlemad arvud p 1 ja p 2 valitakse ühtlaselt juhuslikult vahemikust [, 1]. Kui genereerime suure 4

10 hulga arve ning kujutame neid graafikul, kus telgedeks on p 1 ja p 2 väärtused, siis tekib kujuteldav ruut, mis on ühtlaselt täidetud punktidega (vt joonis 1). Joonis 1: Kahemõõtmeline ühtlane jaotus üle piirkonna [, 1] [, 1] Hindame nüüd jaotuse keskväärtust E[(P 1, P 2 )]. Selleks leiame mõlema suuruse jaoks eraldi keskväärtused, st leiame eraldi x ja y telje suunas keskväärtused. Valem juhusliku suuruse X keskväärtuse leidmiseks on järgmine: E(X) = kus f X (x) on juhusliku suuruse X tihedusfunktsioon [6]. xf X (x)dx, (2) Tihedust võib kaheelemendise jaotuse puhul kujutada ette kolmanda mõõtme lisandumisega. Tihedamad alad ulatuvad kõrgemale ja hõredamad alad jäävad madalamaks. Vaata näidet joonisel 2, kus on kujutatud kahest normaaljaotusest tekkiv tihedus. Ülesandes käsitletava ühtlase jaotusega ruudu puhul on tihedus igal pool ühtlane ehk tekib risttahukas. 5

11 Joonis 2: Tiheduse näide kahe muutuja puhul Kuna käesoleva ruudukujulise näite puhul on jaotus ühtlane, siis selle tihedusfunktsioon on f P1,P 2 (p 1, p 2 ) = 1. Arvutame keskväärtused analüütiliselt valemi 2 järgi: E[P 1 ] = p 1 f P1,P 2 (p 1, p 2 )dp 1 dp 2 = 1 1 xdxdy = 1 x( dy)dx = xf P1,P 2 (x, y)dxdy = 1 xdx = x2 2 1 = = 1 2 E[P 2 ] = p 2 f P1,P 2 (p 1, p 2 )dp 1 dp 2 = 1 1 ydxdy = 1 y( dx)dy = yf P1,P 2 (x, y)dxdy = 1 ydx = y2 2 1 = = 1 2 6

12 Saime, et jaotuse (P 1, P 2 ) keskväärtus on ( 1 2, 1 2 ). Antud näite puhul ei olnud keskväärtuse leidmine keeruline, kuid ülesanne läheb arvutuslikult palju keerukamaks kui jaotuse mõõde kasvab. Iga uue mõõtme kohta tuleb arvutusse üks integraal juurde. Integraalide arvutamise vältimiseks on võimalik ülesanne ligikaudse lähendiga lahendada ka lihtsa Monte Carlo meetodiga. Integraali I = g(x)f R X(x)dx ligikaudne väärtus I n on saadud lihtsa Monte Carlo meetodiga kui I n = 1 n n g(x i ), i=1 kus g(x) on jaotust genereeriv funktsioon, f X (x)dx on jaotuse X tihedusfunktsioon ning x i on juhuslikud arvud jaotusest X [7]. Sisuliselt on tegu suurel hulgal suvaliste punktide võtmisega ja nende aritmeetilise keskmise arvutamisega. Kasutame lihtsat Monte Carlo meetodit eelnevalt kirjeldatud jaotuse keskväärtuse hindamiseks. Valime esialgu jaotusest kolm suvalist punkti, olgu nendeks (.18,.49), (.29,.78), (.34,.81). Nende punktide aritmeetiline keskmine on (.27,.6933). See tulemus erineb täpsest keskväärtusest üsna palju. Kui valime aga 1 suvalist punkti, siis on Monte Carlo meetodi tulemuseks (.5185,.4926), mis on juba oluliselt lähedasem tulemus. Seega mida rohkem punkte valida, seda väiksem on erinevus tegelikust keskväärtusest. 2.5 Järeljaotuse keskväärtuse hindamine Monte Carlo meetodiga Järeljaotuse keskväärtuse hindamist on lihtsam selgitada läbi näiteülesande. Olgu meil kaks ebaausat münti, mille puhul on vastavalt tõenäosus kull tulla p 1 ja p 2. Püüame peale ühe vaatluse nägemist ennustada järgmiste visete tulemusi. 7

13 Ilma ühegi vaatluseta pole meil midagi targemat teha, kui ennustada täiesti juhuslikult. Sisuliselt peame ennustama eeljaotuse põhjal, milleks on eelmises peatükis kirjeldatud ruudukujuline ühtlane jaotus, kuna p 1 ja p 2 väärtuseks võivad olla suvalised arvud vahemikust [, 1]. Selle jaotuse puhul on x-telg esimese mündi tõenäosus tulla kull ning y-telg teise mündi tõenäosus tulla kull. Oletame, et me saime nüüd ühe korra münte visata ning tulemuseks tulid kull ja kiri, märgime Y 1 = 1 ja Y 2 =. Selle põhjal saab nüüd järeljaotuse moodustada nii, et genereerime ühtlaselt juhuslikult hulga mündipaare (p 1, p 2 ), viskame ühe korra iga sellist mündipaari ning jätame alles vaid need paarid, mille korral on tulemuseks 1 ja. Kõikidele paaridele ja allesjäänud paaridele vastavad punktid on toodud vastavalt joonistel 3a ja 3b. (a) Eeljaotus (b) Järeljaotus Joonis 3 Kuna viske tulemus oli Y 1 = 1 ja Y 2 =, siis on järeljaotusest näha, et olemasoleva info põhjal tulekski eelistada piirkonda, kus esimese mõndi tõenäosus p 1 on lähedane arvule 1 ja teise mündi tõenäosus p 2 on lähedane arvule ehk alumise 8

14 parema nurga ümbrus järeljaotuse ruudus. Arvutame ka järeljaotuse täpse keskväärtuse. Tähistame järeljaotuse tihedusfunktsiooni f P 1,P 2 (p 1, p 2 ). Kuna me ei tea milline järeljaotuse tihedusfunktsioon on, siis me ei saa kasutada valemit 2, mida kasutasime eeljaotuse puhul. Selle lahendamiseks on meil võimalik kasutada Bayesi reeglit ja kirjutada järeljaotus lahti eeljaotuse f P1,P 2 (p 1, p 2 ) ja tõepära l(p 1, p 2 ) korrutisena. Kuna jaotus pole enam ühtlane, siis tuleb see läbi jagada ka normaliseeriva konstandiga, et tihedusfunktsiooni alune ruumala oleks 1. f P 1,P 2 (p 1, p 2 ) = l(p 1, p 2 ) f P1,P 2 (p 1, p 2 ), z kus z = 1 1 l(p 1, p 2 ) f P1,P 2 (p 1, p 2 )dp 1 dp 2 Tõepära saab arvutada järgmiselt: l(p 1, p 2 ) = P (Y 1 = 1, Y 2 = P 1 = p 1, P 2 = p 2 ) = = P (Y 1 = 1 P 1 = p 1 ) P (Y 2 = P 2 = p 2 ) = p 1 (1 p 2 ) Ülaltoodu põhjal saame arvutada järeljaotuse keskväärtuse järgmiselt: E[P 1 Y 1 = 1, Y 2 = ] = = p 1 l(p 1, p 2 )f P1,P 2 (p 1, p 2 ) z p 1 f P 1,P 2 (p 1, p 2 )dp 1 dp 2 = = 1 1 p 1 (1 p 2 ) 1 p 1 dp 1 dp 2 = E[P 2 Y 1 = 1, Y 2 = ] = = p 2 l(p 1, p 2 )f P1,P 2 (p 1, p 2 ) z p 2 f P 1,P 2 (p 1, p 2 )dp 1 dp 2 = = 1 1 p 1 (1 p 2 ) 1 p 2 dp 1 dp 2 =

15 Saime, et E[(P 1, P 2 ) Y 1 = 1, Y 2 = ] on (.667,.333). Nüüd proovime jälle sama tulemuseni lihtsa Monte Carlo meetodiga jõuda. Valime kolm suvalist punkti - (.99,.1), (.4,.29), (.78,.19). Nende keskmine on (.7233,.1633), mis on taas täpsest väärtusest kaugel. Saja suvalise punkti korral saame tulemuseks juba (.6536,.3287), mis on lähedal tõesele väärtusele. Jooniselt 3b on näha, et isotoonsuse tingimuse tõttu võib järeljaotus sisaldada eeljaotusega võrreldes väga vähe punkte. Väheste punktide põhjal ei pruugi me saada head hinnangut jaotuse keskväärtusele. Uurime järgmises peatükis, kuidas seda probleemi lahendada. 2.6 Olulise/kaalutud valimi meetod Eelnevalt jätsime järeljaotuse tekitamiseks eeljaotusest välja punktid, mis vaatlusele ei vastanud. See tähendab seda, et osa arvutusressurssi, mis kasutati nende punktide eeljaotusesse tekitamiseks, oli raisatud. Olulise/kaalutud valimi meetodiga on siiski võimalik ka need punktid ära kasutada, mis eeljaotusest muidu eemaldataks. Püüame jälle hinnata ühe järeljaotuse keskväärtust. Järgnev tuletus põhineb olulise valimi meetodil, mis on kirjeldatud Tõnu Kollo raamatus Monte Carlo meetodid [7]. Kirjutame järeljaotuse f X (x) taas Bayesi reegli abil lahti eeljaotuse f X(x) ja tõepära l(x) korrutiseks, et saaksime järeljaotuse keskväärtust eeljaotuse põhjal hin- 1

16 nata. E[X = x Y = y] = xf X(x)dx = x l(x)f X(x) dx = z x l(x) = f X (x)dx = g(x)f X (x)dx 1 z n n g(x i ), i=1 kus l(x) on väärtuse x tõepära, z on normaliseeriv konstant ja g(x) = x l(x) z. Avaldises 6 jõudsime lihtsa Monte Carlo meetodi abil selleni, et saame järeljaotust hinnata funktsiooni g(x) põhjal. Tähistame normaliseeritud tõepära l(x i) z kaaluks w i ehk kirjutame g(x i ) lahti järgmiselt: g(x i ) = l(x i) z x i = w i x i ümber Seejuures saame kaalud arvutada tõepäradest renormaliseerides ehk w i = l(x i) j l(x j). Jõudsime tulemuseni, et funktsioon g(x), mille põhjal saime järeljaotust hinnata, on lihtsalt eeljaotusest punktide võtmine korrutatuna kaaludega. Seega ei lähe väikese tõepäraga punktid enam jaotusest kaduma, vaid neile omistatakse väike kaal, mistõttu saame need ikkagi ära kasutada. 2.7 Keskväärtuse hindamine kalibreerimisülesande puhul Liigume nüüd kalibreerimisülesande juurde. Olgu meil mingi binaarse klassifitseerija poolt väljastatud skooride vektor s = (s 1,..., s n ), mis vajab kalibreerimist. Kalibreerimise puhul tegeletakse järjestatud skooride vektoriga, kuna üldjuhul mida suurem on skoor, seda suurem on andmepunkti tõenäosus olla positiivne. Seega moodustatakse vektor nii, et kehtiks tingimus s 1 s 2... s n. Kalibreerimise jaoks on meil vaja teada nende punktide märgendeid, olgu need y 1,..., y n {, 1}. 11

17 Nüüd tahame y 1,..., y n põhjal ennustada punktide s 1,..., s n kohta nende tõenäosusi olla positiivne. Seda saab vaadelda ülesandena n kallutatud mündist p 1,..., p n, kus eeldame, et p 1... p n ning meil on igast mündist üks vaatlus, st y i. Vaatame nüüd erijuhtu kahe mündiga. Olgu meil 2 kallutatud münti, mille tõenäosused kull olla on p 1 ja p 2. Kalibreerimisülesande raames paneme nüüd paika tingimuse p 1 p 2 ehk tekitame isotoonsuse punktide vahel. Eeljaotust genereerides rakendame tagasilükkega valikut ehk jätame jaotusest välja andmepunktid, mille korral p 1 > p 2. Nii jääb ruudust punktidega täidetud osaks vaid sirge p 1 = p 2 ülessepoole jääv osa ehk uus jaotus on kujuteldav kolmnurgana (vt joonis 4). See on nüüd uus eeljaotus. Joonis 4: Tagasilükkega valik Oletame taas, et toimus vaatlus, mille korral visati kull ja kiri (Y 1 = 1, Y 2 = ). Selleks, et järeljaotust kujutada, jätame jaotust genereerides jälle välja sellised müntide paarid, mille viskamisel ei saanud tulemust (Y 1 = 1, Y 2 = ) (vt joonis 5). 12

18 Joonis 5: Isotoonse jaotuse järeljaotus vaatluse Y 1 = 1, Y 2 = korral Hinnates järeljaotuse keskväärtust lihtsa Monte Carlo meetodiga 1 punkti põhjal saame tulemuseks E[P 1, P 2 Y 1 = 1, Y 2 = ] = (.439,.5882). 2.8 Bayesi isotooniline kalibreerimine Bayesi isotooniline kalibreerimine on kirjeldatud hetkel avaldamata artiklis Nonparametric Bayesian Isotonic Calibration: Fighting Over-confidence in Binary Classification, mille autoriteks on Mari-Liis Allikivi ja Meelis Kull [2]. Käesoleva uurimistöö käigus algoritm täienes ning erineb mõne sammu poolest artiklis olevast versioonist. Järgnevalt kirjeldame täiendatud algoritmi. Bayesi isotooniline kalibreerimine defineerib eeljaotuse üle p 1,..., p n läbi generatiivse protsessi, mis on järgmine: 13

19 Algoritm 1 Eeljaotuse genereerimine 1: function genereeri eeljaotus(k min, k max, p min, p max ) 2: k randint(k min, k max ) 3: p k uniform(p min, p max ) 4: if k k min then 5: genereeri eeljaotus(k min, k 1, p min, p k ) 6: end if 7: if k k max then 8: genereeri eeljaotus(k + 1, k max, p k, p max ) 9: end if 1: end function Algoritmis 1 on randint funktsioon juhuslike täisarvude valimiseks ning unif orm funktsioon juhusliku reaalarvu valimiseks. Näide algoritmi tööst on joonisel 6. Näites valiti esimese sammuna täisarv k ja siis vahemikust [, 1] ühtlaselt juhuslikult p k. Seejärel liiguti vasakule ja nüüd sai valiku teha ainult vasakpoolses alumises alamristkülikus (siniste piiridega). Seal valiti i ja p i. Esialgsest valikust k liiguti ka paremale, kus uue valiku sai teha parempoolses ülemises alamristkülikus. Seal valiti j ja p j. Joonisel 7 on kujutatud võimalik tulemus, kui algoritm on töö lõpetanud. 14

20 Joonis 6: Eeljaotuse loomise näide, 3 punkti valitud Joonis 7: Näide eeljaotuse algoritmi tulemusest Joonisel 8b on kujutatud 1 andmepunkti kohta 2 eeljaotuse loomist Bayesi isotoonilise kalibreerimise meetodiga. Andmepunktid 1,..., 1 on x-teljel normaliseeritud vahemikku [, 1] ning y-teljel on tõenäosused vahemikus [, 1]. Alternatiiviks sellise valiku tegemisele oleks ühtlaselt juhuslikult n punkti valimine 15

21 vahemikust [, 1] ja nende sorteerimine. Sellisel juhul grupeeruksid kõik eeljaotused diagonaalile nagu on näidatud joonisel 8a. See oleks halb, kuna kui tõene kalibreerimiskõver paikneks diagonaalist eemal, siis oleks vaja eksponentsiaalselt rohkem andmeid, et sellele lähedaseid kõveraid tekitada. Bayesi isotoonilise kalibreerimise viisil eeljaotuste loomine täidab kõverate ruumi paremini, kuna esimene punkt, mis valitakse, võib paikneda ükskõik kus. Kuhu iganes esimene punkt valitakse, seda kohta peab genereeritav eeljaotus ka läbima. Seetõttu saavad eeljaotused sattuda ükskõik kuhu saab üks suvaline punkt sattuda. (a) Ühtlaselt juhuslik valik (b) Bayes-Iso algoritmi valik Joonis 8 Selliseid eeljaotusi luuakse sama generatiivse protsessiga algoritmi tarbeks palju. Kui eeljaotused on loodud, siis saab hinnata järeljaotuse keskväärtust E(p 1,..., p n y 1,..., y n ) Monte Carlo meetodil: E(p 1,..., p n y 1,..., y n ) = 1 m m i=1 l(p (i) 1,..., p (i) n ) (p (i) 1,..., p (i) n y 1,..., y n ) 16

22 3 Bayesi isotoonilise kalibreerimise optimeerimine Selles peatükis kirjeldatakse eraldi suuremaid samme bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritmi arengus. 3.1 Esialgse algoritmi implementeerimine Esimese sammuna oli vaja programmeerida algoritm oma esialgses seisus, et sel-lest paremini aru saada ning, et oleks olemas lähtepunkt algoritmi edasiarendamiseks. Üks tähtsaim osa algoritmist on eeljaotuste loomine. Algoritmi kirjeldus on peatükis 2.1. Eeljaotuste loomiseks on vaja ühte vaatluste vektorit, millest lähtuvalt eeljaotusi genereeritakse. Eeljaotustesse valitakse täpselt sama palju andmepunkte, kui on vaatluses. Kui eeljaotuses on kõik punktid valitud, siis moodustatakse nende põhjal kõver punktide interpoleerimise teel. Eeljaotusi luuakse niipalju kui argumendina ette määratakse. Mida rohkem eeljaotusi luuakse, seda täpsem on lõpptulemus, kuid samas algoritmi töö aeglustub kuna eeljaotuse loomine on ajakulukas. Teine oluline osa on ühe eeljaotuse tõepära arvutamine mingi genereeritud eeljaotuse vektori p ja vaatluste vektori y põhjal. Tõepära l arvutatakse järgmise valemiga: l(p 1,..., p n ) = p y i i (1 p i) 1 y i Lühidalt on tõepära korrutis üle kõikide eeljaotuse elementide, kus korrutatavateks on p i kui y i = 1 ja (1 p i ) kui y i =. 17

23 Viimane oluline osa on vaatluste põhjal kalibreeritud (c 1,..., c n ) väärtuste tagastamine ehk kalibreerimisfunktsiooni arvutamine. See käib järgmise valemiga: (c 1,..., c n ) = l(p1,..., p n ) (p 1,..., p n ) l(p1,..., p n ) 3.2 Tõepära piirang eeljaotuste leidmisel Algoritmi töös on kõige ajakulukam osa eeljaotuste loomine. Suur osa ajast võib kuluda selliste eeljaotuste genereerimise peale, mille tõepära vaatluste põhjal on nullilähedane. Need ei mõjuta eriti vastust, kuna neile tekib hiljem väga väike kaal. Siit tuleb esimene optimeerimise samm tuleb genereerida vaid selliseid eeljaotusi, mis ületavad mingi etteantud tõepära piiri t. Nüüd lähendame järeljaotuse keskväärtust järgmiselt E[(P 1,..., P n y 1,..., y n )] E[(P 1,..., P n y 1,..., y n, l(p 1,..., P n ) t], kus l(p 1,..., P n ) on jaotuse (P 1,..., P n ) tõepära. Nimetame lävendi ületamise ümber sündmuse L toimumiseks. Mugavamaks lugemiseks lühendame eeljaotuse vektori P = (P 1,..., P n ) ja vaatluste vektori Y = (y 1,..., y n ). Hindame nüüd järeljaotuse keskväärtust, kui toimub sündmus L: E[(P Y, L)] = pf P Y,L (p)dp, kus f P Y,L = P Y P,Lf P L z Nüüd tahame esialgse generatiivse protsessi f P L välja vahetada sellise generatiivse protsessi vastu, mis tagab, et sündmus L toimub - tähistame seda f P L. Järgmises peatükis kirjeldame, kuidas uus generatiivne protsess töötab. 18

24 3.3 Tõepära piirang implementeeritud p i valikuvahemiku tõkestamisega Järgnevalt kirjeldatakse, kuidas tõepära piirang algoritmis realiseeriti. Kõige suurema tõepäraga eeljaotus vaatluse jaoks on isotooniline regressioon vaatluspunktide põhjal [4]. Sellest tulenevalt võetigi ületatava tõepära piiriks isotoonilise regressiooni tõepära jagatud konstandiga, näiteks 1-ga. Tähistame isotoonilise regressiooni tõepära lh max, siis on piir t = lhmax. Väikseim väärtus 1 t jaoks on, siis on kõik kõverad lubatud. Suurim läve väärtus on isotoonilise regressiooni väljastatud tõepära, sellest suurema tõepäraga jaotusi pole võimalik genereerida. Piiri kasutatakse eeljaotuse loomisel iga p i genereerimisel. Kui algoritmi optimeerimata versioonis oli p i leidmisel valikuvahemik rekursioonist kaasa tulnud alg- ja lõppväärtuse vaheline piirkond, siis nüüd vajaduse korral seda korrigeeritakse ehk valikuvahemikku tõkestatakse. Seda on vaja teha, sest kui valida punkt valikuvahemiku äärest, siis võib see sel hetkel genereeritava eeljaotuse lükata vaatlusest liiga kaugele ning seetõttu võib eeljaotus olla liiga väikese tõepäraga. Alumise tõkke leidmiseks proovitakse p i väärtuseks valida valikuvahemiku madalaim punkt ning seejärel arvutatakse hüpoteetilise jaotuse tõepära. Hüpoteetiline jaotus koosneb juba eelnevalt valitud punktidest ning kohtades, kus veel y-väärtust valitud ei ole, seatakse väärtuseks isotoonilise regressiooni poolt väljastatud väärtus sellel kohal. Nüüd kui jaotuse tõepära ületab piiri, siis jääbki alumiseks tõkkeks vahemiku algpunkt. Kui piiri ei ületatud, siis liigutakse mingi määratud ühiku jagu vahemikus edasi ning proovitakse punktiks valida see väärtus. Eelmist protsessi korratakse kuni leitakse punkt, mille korral tõepära ületab piiri ning alumiseks 19

25 tõkkeks saab viimati sobinud punkt. Analoogiline protsess läbitakse ülemise tõkke leidmisel, nüüd liigutakse lihtsalt valikuvahemiku kõrgeimaist punktist allapoole. Tõkete kasutamisel ei raisata enam ressursse ebatõenäoliste eeljaotuste genereerimiseks, vaid leitakse rohkem suurema tõepäraga eeljaotusi. Seetõttu paraneb eeljaotuste arvu samaks jätmine algoritmi täpsust ning ilma tõketeta versioonile sarnase täpsuse saab kätte nüüd väiksema eeljaotuste arvuga. 3.4 Uus generatiivne protsess f P L Uus generatiivne protsess f P L loob vaid selliseid eeljaotusi, mille puhul toimub sündmus L ehk jaotuste tõepärad ületavad tõepära läve t. P P Y P,L(P ) f P L (P ) dp z = P l(p ) z P P Y P (P ) f P L (P ) dp = z fp L(P ) f P L (P ) f P L(P )dp = wi (p (i) 1,..., p (i) n ), (3) wi kus w i = l(p (i) 1,..., p (i) n ) fp L f P L Teisisõnu on ühe eeljaotuse kaaluks nüüd tema tõepära korrutatuna vana ja uue generatiivse protsessi suhtega. eeljaotuste kaalutud keskmine. Algoritmi lõpptulemuseks on mingi suure arvu 3.5 Eeljaotuste kaalud Juhul kui y väärtuse valikuvahemikul rakenduvad eelmises peatükis kirjeldatud tõkked, siis tuleb arvesse võtta, et juhuslikult valitud arvu ei saanud valida täies 2

26 ulatuses, kitsendasime sellega juhuslikkust. Selle jaoks otsustasime kasutada kaalu kogu eeljaotuse jaoks, et vähendada selliste eeljaotuste tähtsust, mille puhul pidi valikuvahemikke kitsendama. Eeljaotuse loomise alustamisel on ta kaal 1. Seejärel hakatakse iga punkti valikul korrutama kaalu läbi kitsendatud valikuvahemiku ja täieliku valikuvahemiku suhtega y c2 y c1 y 2 y 1, kus y c1 ja y c2 on vastavalt tõkestatud valikuvahemiku minimaalne ja maksimaalne väärtus ja y 1 ja y 2 esialgse tõkestamata vahemiku minimaalne ja maksimaalne väärtus. 3.6 Dünaamiline piir tõkete jaoks Algoritmi optimeerimise käigus testiti tõkete jaoks kasutatava tõepära piiri jaoks mitmeid erinevaid väärtusi. Katsete käigus selgus, et piiriga väärtusega ühte äärmusesse minnes lähevad kaalud balansist välja - kui järjestada kõikide eeljaotuste kaalud, siis suurima kaalu osakaal üle kõikide teiste kaalude on ebaproportsionaalselt suur, tihti kümnete või sadade astmete jagu. Sellisel juhul hakkab suurima kaaluga eeljaotus teiste eeljaotuste üle domineerima, võib juhtuda, et kalibreerimine teostataksegi sisuliselt ainult ühe suurima kaaluga eeljaotuse põhjal. Samas kui piiri väärtusega liikuda liiga kaugele teisele poole, siis juhtub sama asi eeljaotuste tõepäradega ehk suurima tõepäraga eeljaotuse tõepära on tunduvalt suurem, kui teiste eeljaotuste tõepärad. Probleemi lahendamiseks otsustati tagada tasakaal eeljaotuste kaalude suhete ja tõepärade suhete vahel. Selleks kontrolliti peale iga 1 eeljaotuse loomist suurima kaalu osakaalu teiste kaalude seas ning suurima tõepära osakaalu ülejäänud 21

27 tõepärade seas ning leiti nende suhe r: r = w max n i=1 w i lh max n i=1 lh i (4) Kui suhe r on suurem, kui mingi konstant (vaikimisi 2), siis nihutatakse piiri väärtust. Kui suhe on liiga suur ja suurim tõepära on ebaproportsionaalselt suur, siis muudetakse lh max -ga jagatavat arvu 1 korda väiksemaks. Vastupidisel juhul kui suurim kaal on liiga palju suurem kui ülejäänud kaalud, siis muudetakse jagatavat arvu 1 korda suuremaks. Nüüd on tagatud see, et ükski eeljaotus ei ole kalibreerimisel teistest eeljaotustest ebaproportsionaalselt olulisem. 22

28 4 Katsed Selles osas analüüsitakse täiendatud Bayesi isotoonilist kalibreerimist ning võrreldakse seda teiste levinud kalibreerimisalgoritmidega. 4.1 Andmed Katsete jaoks kasutati tehislikke andmeid. Tehislike andmete peal on mugav kalibreerimismeetodeid võrrelda, sest sel juhul saab välja arvutada õige kalibreerimiskõvera, mille vastu saab erinevate meetodite väljundeid võrrelda. Andmepunktide loomiseks kasutati beeta-jaotusi scipy.stats teegist. Kokku tehti kolm katset, 1, 1 ja 1 treeningpunktiga. Treeningpunktidest tähistasid pooled punktid negatiivset () väärtust ja pooled positiivset (1) väärtust. Negatiivsed andmepunktid valiti juhuslikult beeta-jaotusest argumentidega α = 1, β = 3, pooled positiivsed andmepunktid valiti jaotusest argumentidega α = 1.5, β = 3 ning ülejäänud pooled jaotusest argumentidega α = 3, β = 3 (vt joonis 9). 23

29 Joonis 9: Beta jaotused Treeningandmed sorteeriti kasvavasse järjekorda ning seejärel treeniti nende põhjal järgmised kalibreerimisalgoritmid: Bayesi isotooniline kalibreerimine, isotooniline kalibreerimine, logistiline regressioon. Viimased kaks valiti võrdluseks, kuna need on ühed levinumad kalibreerimisalgoritmid. kalibreerimisfunktsioon: f p (x) = pos(x) pos(x) + neg(x), Lisaks arvutati välja ka perfektne kus pos(x) =.5 f B (x, 1.5, 3) +.5 f B (x, 3, 3) neg(x) = f B (x, 1, 3), kus f B (x, α, β) on beeta-jaotuse tihedusfunktsioon. 24

30 Samadest beeta-jaotustest loodi ka 1 testpunkti, mille põhjal ennustati treenitud mudelitega kalibreeritud väärtusi. Mudelite ennustuste põhjal arvutatud logaritmilised kaod on kujutatud tabelis 1. Tabel 1: Kalibreerimisalgoritmide logaritmiline kadu erinevate andmehulkade korral Kalibreerimisalgoritm 1 punkti 1 punkti 1 punkti Bayes-Iso kalibreerimine Isotooniline kalibreerimine Logistiline regressioon Analüüsime tulemusi lähemalt ja võrdleme isotoonilist kalibreerimist ja logistilist regressiooni Bayesi isotoonilise kalibreerimisega eraldi. 4.2 Võrdlus isotoonilise kalibreerimisega Isotooniline kalibreerimine on üks levinumaid algoritme kahendklassifitseerijate kalibreerimiseks. Lisaks oli Bayesi isotoonilise kalibreerimise loomine sellest inspireeritud [2], seega tundub sobilik neid omavahel võrrelda. Vaadates katsete tulemusi tabelist 1 näeme, et Bayesi isotooniline kalibreerimine oli kõikide andmehulkade korral parem kui isotooniline kalibreerimine. Märkimisväärne on, et väga suur vahe oli väikse andmehulga korral ehk 1 andmepunktiga. Sel juhul oli Bayesi isotoonilise kalibreerimise logaritmiline kadu.512 ja isotoonilise kalibreerimise oma Mida suuremaks testandmehulk läks, seda võrdsemaks muutusid algoritmide sooritused. Joonistel 1, 11 ja 12 on kujutatud perfektne kalibreerimiskõver, Bayesi isotoonilise 25

31 kalibreerimise kõver ning isotoonilise kalibreerimise kõver erinevate testandmehulkade korral. Joonistelt on näha, et isotoonilise kalibreerimise kõver on väga sakiline ehk hüpped ennustatavate väärtuste vahel on suured. Bayesi isotoonilise kalibreerimise kõver on seevastu palju siledam, selle tõttu võidetakse mitmes kohas täpsust juurde. Joonis 1: Võrdlus isotoonilise kalibreerimisega 1 andmepunktiga Joonis 11: Võrdlus isotoonilise kalibreerimisega 1 andmepunktiga 26

32 Joonis 12: Võrdlus isotoonilise kalibreerimisega 1 andmepunktiga 4.3 Võrdlus logistilise regressiooniga Logistiline kalibreerimine on samuti levinud klassifitseerija kalibreerimise meetod. Tabelist 1 selgub, et Bayesi isotoonilise kalibreerimise ja logistilise regressiooni sooritus ei erine suuresti, kuid 1 ja 1 testpunkti korral on esimene algoritm siiski parem. 1 testpunkti korral on logaritmiline kadu peaaegu sama, kuid logistiline regressioon edastab veidi Bayesi isotoonilist kalibreerimist. Joonistel 13, 14 ja 15 on kujutatud perfektne kalibreerimiskõver, Bayesi isotoonilise kalibreerimise kõver ning logistilise regressiooni kõver testandmetel. Jooniselt 13 selgub, miks Bayesi isotooniline kalibreerimine tulemustega alla jäi. X teljel väärtuse.5 ümbruses teeb kalibreerimiskõver suure hüppe ja jääb perfektsest kalibreerimiskõverast liiga kaugele. Joonistel 14 ja 15 on aga Bayesi isotoonilise kalibreerimise kõver õigele jaotusele palju lähemal ning seetõttu saab ka parema tulemuse. 27

33 Kõikide jooniste pealt jääb aga silma, et logistilise regressiooni kõver on kohati perfektsest kalibreerimiskõverast kaugel ja ta kuju ei muutu andmehulga muutumisel. See juhtub seetõttu, et perfektne kalibreerimiskõver on vastupidise sigmoidi kujuga ning ta ei kuulu kalibreerimiskõverate logistilisse perekonda [8]. Kuna kõverat logistilises perekonnas ei ole, siis ei sobita logistiline regressioon isegi palju rohkemate andmetega tõesele kõverale lähemat kalibreerimiskõverat. Joonis 13: Võrdlus logistilise regressiooniga 1 andmepunktiga 28

34 Joonis 14: Võrdlus logistilise regressiooniga 1 andmepunktiga Joonis 15: Võrdlus logistilise regressiooniga 1 andmepunktiga 29

35 5 Kokkuvõte Käesolevas töös kirjeldati detailselt Mari-Liis Allikivi ja Meelis Kulli loodud Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritmi ning optimeeriti seda. Algoritm vajas optimeerimist, kuna see muutus suurte andmehulkade korral ebastabiilseks ja aeglaseks. Töös seletati lahti olulised põhimõtted, mida kasutatakse Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritmis. Nendeks on isotooniline kalibreerimine, Bayesi lähenemine ja Monte Carlo meetodid. Nendest paremini aru saamiseks kirjeldati näiteülesanded, mis kujutasid endast eeljaotuste ja järeljaotuste keskväärtuste hindamist. Näidati, kuidas saab neid ülesandeid lihstamatel juhtudel analüütiliselt lahendada ning kuidas Bayesi lähenemine ja lihtne Monte Carlo meetod aitavad ülesannetele lähen-did leida. Töö käigus implementeeriti esialgu optimeerimata versioon Bayesi isotoonilisest kalibreerimisest ning seejärel täiendati seda erinevate optimeeringutega, mis muutsid algoritmi kiiremaks ning suurendasid arvutusjõudluse samaks jätmisel selle täpsust. Täiendatud Bayesi isotoonilise kalibreerimisega viidi läbi katsed tehisandmetel. Võrdluseks tehti sama ka isotoonilise kalibreerimisega ja logistilise regressiooniga. Katsete tulemused näitasid, et enamus juhtudel on Bayesi isotooniline kalibreerimine teistest algoritmidest täpsem. Edasi oleks võimalik uurida Bayesi isotoonilise kalibreerimise täpsust reaalsetel andmetel ning võrrelda seda rohkemate kalibreerimisalgoritmidega. 3

36 Viidatud kirjandus [1] Martin Gebel ja Claus Weihs. Calibrating classifier scores into probabilities. In Reinhold Decker and Hans J. Lenz, editors, Advances in Data Analysis, pages , Berlin, Heidelberg, 27. Springer Berlin Heidelberg. [2] Mari-Liis Allikivi ja Meelis Kull. Non-parametric bayesian isotonic calibration: Fighting over-confidence in binary classification. (Avaldamisel), [3] Peter Flach. Machine Learning: The Art and Science of Algorithms That Make Sense of Data. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 212. [4] Bianca Zadrozny ja Charles Elkan. Transforming classifier scores into accurate multiclass probability estimates. In Proceedings of the Eighth ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, KDD 2, pages , New York, NY, USA, 22. ACM. [5] George Box ja George Tiao. Bayesian inference in statistical analysis. Addison- Wesley Pub. Co, Reading, Massachusetts, [6] Sheldon M. Ross. Introduction to Probability Models, Ninth Edition. Academic Press, Inc., Orlando, FL, USA, 26. [7] Tõnu Kollo. Monte Carlo meetodid. Tartu Ülikooli Kirjastus, 24. [8] Meelis Kull ja Telmo Silva Filho ja Peter Flach. Beta calibration: a wellfounded and easily implemented improvement on logistic calibration for binary classifiers. pages ,

37 Lisad I. Koodi repositoorium Lingil asub repositoorium, mis sisaldab Bayesi isotoonilise kalibreerimise koodi. II. Litsents Lihtlitsents lõputöö reprodutseerimiseks ja üldsusele kättesaadavaks tegemiseks Mina, Karl Riis, 1. annan Tartu Ülikoolile tasuta loa (lihtlitsentsi) minu loodud teose Bayesi isotoonilise kalibreerimise algoritm ja selle optimeerimine, mille juhendaja on Meelis Kull, reprodutseerimiseks eesmärgiga seda säilitada, sealhulgas lisada digitaalarhiivi DSpace kuni autoriõiguse kehtivuse lõppemiseni. 2. Annan Tartu Ülikoolile loa teha punktis 1 nimetatud teos üldsusele kättesaadavaks Tartu Ülikooli veebikeskkonna, sealhulgas digitaalarhiivi DSpace kaudu Creative Commonsi litsentsiga CC BY NC ND 3., mis lubab autorile viidates teost reprodutseerida, levitada ja üldsusele suunata ning keelab luua tuletatud teost ja kasutada teost ärieesmärgil, kuni autoriõiguse kehtivuse lõppemiseni. 32

38 3. Olen teadlik, et punktides 1 ja 2 nimetatud õigused jäävad alles ka autorile. 4. Kinnitan, et lihtlitsentsi andmisega ei riku ma teiste isikute intellektuaalomandi ega isikuandmete kaitse õigusaktidest tulenevaid õigusi. Karl Riis

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja

Rohkem

TARTU ÜLIKOOL Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Laura Ruusmann Gaussi protsesside usaldusvahemik Bakalaureusetöö (9 EAP) Juhendaja: Meelis

TARTU ÜLIKOOL Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Laura Ruusmann Gaussi protsesside usaldusvahemik Bakalaureusetöö (9 EAP) Juhendaja: Meelis TARTU ÜLIKOOL Arvutiteaduse instituut Informaatika õppekava Laura Ruusmann Gaussi protsesside usaldusvahemik Bakalaureusetöö (9 EAP) Juhendaja: Meelis Kull, PhD Tartu 2018 Gaussi protsesside usaldusvahemik

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta

Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 Bayesi statistika Markovi ahelatega,

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013

3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 3D mänguarenduse kursus (MTAT.03.283) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 Teemad Tee leidmine ja navigatsioon Andmete protseduuriline genereerimine Projektijuhtimine Tee leidmine Navigatsiooni võrgustik (navigation

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

DVD_8_Klasteranalüüs

DVD_8_Klasteranalüüs Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,

IMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3, IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a

Rohkem

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...

Rohkem

Microsoft Word - requirements.doc

Microsoft Word - requirements.doc Dokumendi ajalugu: Versioon Kuupäev Tegevus Autor 1.0 04.03.2008 Dokumendi loomine Madis Abel 1.1 09.03.2008 Kasutuslugude loomine Madis Abel 1.2 12.03.2008 Kasutuslugude täiendused Andres Kalle 1.3 13.03.2008

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

FIDE reitingumäärus 1. juuli 2014 Kuremaa, Marek Kolk

FIDE reitingumäärus 1. juuli 2014 Kuremaa, Marek Kolk FIDE reitingumäärus 1. juuli 2014 Kuremaa, 2014. Marek Kolk Artikkel 0. Sissejuhatus Artikkel 0.2 (uus) Millal läheb partii FIDE reitinguarvestusse? Reitinguarvestusse minev turniir tuleb ette registreerida

Rohkem

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.

Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Mining Meaningful Patterns

Mining Meaningful Patterns Konstantin Tretjakov (kt@ut.ee) EIO õppesessioon 19. märts, 2011 Nimetuse saladus Vanasti kandis sõna programmeerimine natuke teistsugust tähendust: Linear program (~linear plan) X ülesannet * 10 punkti

Rohkem

2016 aasta märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme,

2016 aasta märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme, 2016 märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme, et märtsis laekus tulumaksu eelmise märtsist vähem ka 2009

Rohkem

Tartu Ülikool

Tartu Ülikool Tartu Ülikool Code coverage Referaat Koostaja: Rando Mihkelsaar Tartu 2005 Sissejuhatus Inglise keelne väljend Code coverage tähendab eesti keeles otse tõlgituna koodi kaetust. Lahti seletatuna näitab

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

IFI6083_Algoritmid_ja_andmestruktuurid_IF_3

IFI6083_Algoritmid_ja_andmestruktuurid_IF_3 Kursuseprogramm IFI6083.DT Algoritmid ja andmestruktuurid Maht 4 EAP Kontakttundide maht: 54 Õppesemester: K Eksam Eesmärk: Aine lühikirjeldus: (sh iseseisva töö sisu kirjeldus vastavuses iseseisva töö

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.

Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a. Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -

Rohkem

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT 1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi

Rohkem

Uudiseid k-meride abil bakterite leidmisest [Compatibility Mode]

Uudiseid k-meride abil bakterite leidmisest [Compatibility Mode] Uudiseid k-meride abil bakterite leidmisest CLARK: fast and accurate classification of metagenomic and genomic sequences using discriminative k-mers(2015) Rachid Ounit, Steve Wanamaker, Timothy J. Close

Rohkem

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo

Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joo Pythoni Turtle moodul ja Scratchi värvilisem pool Plaan Isikukoodi kontrollnumbri leidmine vaatame üle lahenduse kontrollnumbri leimiseks. Pythoni joonistamise võimalused Turtle mooduli abil. Scratchi

Rohkem

View PDF

View PDF Fitbit Ionic - ikoonilisest nutikellast natuke puudu, kuid spordiks ja kontoriks käib 11. aprill 2018-1:27 Autor: Kaido Einama Fitbiti nutikellad on balansseerinud pulsikella ja nutikella piiril ning viimasel

Rohkem

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for Elisa

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for Elisa OTSUS Tallinn 20.06.2007 J.1-45/07/4 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine Elisa Eesti AS- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi

Rohkem

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi

Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat

Rohkem

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine

Rohkem

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Kick-off 30.06.2014 Toetuse kasutamise leping Kadri Klaos 30.06.2014 Lepingu struktuur Eritingimused Üldtingimused Lisa I, Projekti sisukirjeldus Lisa II, Projekti eelarve Lisa III, Projekti rahastamis-

Rohkem

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx

Microsoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

EUPL v 1 1-all versions _4_

EUPL v 1 1-all versions _4_ Euroopa Liidu tarkvara vaba kasutuse litsents V.1.1 EUPL Euroopa Ühendus 2007 Euroopa Liidu tarkvara vaba kasutuse litsents ("EUPL") 1 kehtib allpool määratletud teose või tarkvara suhtes, mida levitatakse

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

Microsoft Word - MKM74_lisa2.doc

Microsoft Word - MKM74_lisa2.doc Majandus- ja kommunikatsiooniministri 6. oktoobri 2010. a määruse nr 74 Avaliku konkursi läbiviimise kord sageduslubade andmiseks televisiooni ringhäälingusaadete ja -programmide digitaalse edastamise

Rohkem

Microsoft Word - QOS_2008_Tallinn_OK.doc

Microsoft Word - QOS_2008_Tallinn_OK.doc GSM mobiiltelefoniteenuse kvaliteet Tallinnas, juuni 2008 Sideteenuste osakond 2008 Kvaliteedist üldiselt GSM mobiiltelefonivõrgus saab mõõta kümneid erinevaid tehnilisi parameetreid ja nende kaudu võrku

Rohkem

Eesti kõrgusmudel

Eesti kõrgusmudel Meie: 04.06.2002 nr 4-3/3740 Küsimustik Eesti maapinna kõrgusmudeli spetsifikatsioonide selgitamiseks Eestis on juba aastaid tõstatatud küsimus täpse maapinna kõrgusmudeli (edaspidi mudel) koostamisest

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons

I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit

Rohkem

Mida me teame? Margus Niitsoo

Mida me teame? Margus Niitsoo Mida me teame? Margus Niitsoo Tänased teemad Tagasisidest Õppimisest TÜ informaatika esmakursuslased Väljalangevusest Üle kogu Ülikooli TÜ informaatika + IT Kokkuvõte Tagasisidest NB! Tagasiside Tagasiside

Rohkem

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

Tartu Kutsehariduskeskus IKT osakond Merlis Karja-Kännaste ASUTUSE DOKUMENDIREGISTRI AVALIK VAADE Analüüs Juhendaja Mirjam-Merike Sõmer Tartu 2015

Tartu Kutsehariduskeskus IKT osakond Merlis Karja-Kännaste ASUTUSE DOKUMENDIREGISTRI AVALIK VAADE Analüüs Juhendaja Mirjam-Merike Sõmer Tartu 2015 Tartu Kutsehariduskeskus IKT osakond Merlis Karja-Kännaste ASUTUSE DOKUMENDIREGISTRI AVALIK VAADE Analüüs Juhendaja Mirjam-Merike Sõmer Tartu 2015 SISUKORD SISSEJUHATUS... 3 1. VILJANDI LINNAVALITSUSE

Rohkem

EVS standardi alusfail

EVS standardi alusfail EESTI STANDARD PÕLEVKIVI Niiskuse määramine Oil shale Determination of moisture EESTI STANDARDI EESSÕNA See Eesti standard on standardi EVS 668:1996 uustöötlus; jõustunud sellekohase teate avaldamisega

Rohkem

EELNÕU

EELNÕU Keskkonnaministri 4. jaanuari 2007. a määruse nr 2 Vääriselupaiga klassifikaator, valiku juhend, vääriselupaiga kaitseks lepingu sõlmimine ja vääriselupaiga kasutusõiguse arvutamise täpsustatud alused

Rohkem

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu

Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:

Rohkem

Taskuprinter KASUTUSJUHEND

Taskuprinter KASUTUSJUHEND Taskuprinter KASUTUSJUHEND Täname, et ostsite taskuprinteri Polaroid Mint. Käesoleva kasutusjuhendi eesmärk on anda teile juhiseid toote ohutuks kasutamiseks ja et see ei kujutaks endast kasutajale mingit

Rohkem

Eetika kui tulevikuvaluuta tarbimiskeskkonnas!? Dr. Mari Kooskora Dotsent, EBS Ärieetikakeskuse juhataja Pilt: Mari Kooskora Sügis

Eetika kui tulevikuvaluuta tarbimiskeskkonnas!? Dr. Mari Kooskora Dotsent, EBS Ärieetikakeskuse juhataja Pilt:   Mari Kooskora Sügis Eetika kui tulevikuvaluuta tarbimiskeskkonnas!? Dr. Mari Kooskora Dotsent, EBS Ärieetikakeskuse juhataja Pilt: www.aaii.com Mari Kooskora Sügis 2013 1 Pisut taustast (EPL, H. Mets, nov 2005) Mari Kooskora

Rohkem

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend

Microsoft Word - Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi juhend Toetuste veebikaardi ülesehitus Joonis 1 Toetuste veebikaardi vaade Toetuste veebikaardi vaade jaguneb tinglikult kaheks: 1) Statistika valikute osa 2) Kaardiaken Statistika

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline

Rohkem

Microsoft Word - Karu 15 TERMO nr 527.doc

Microsoft Word - Karu 15 TERMO nr 527.doc Termoülevaatus nr.57 (57/1. Märts 8) Hoone andmed Aadress Lühikirjeldus Karu 15, Tallinn Termopildid Kuupäev 6.1.8 Tuule kiirus Õhutemperatuur -1,1 o C Tuule suund Osalesid Kaamera operaator Telefoni nr.

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Kindlustuskelmus [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Kindlustuskelmus [Compatibility Mode] Olavi-Jüri Luik Vandeadvokaat Advokaadibüroo LEXTAL 21.veebruar 2014 i iseloomustab Robin Hood ilik käitumine kindlustus on rikas ja temalt raha võtmine ei ole kuritegu. Näiteks näitavad Saksamaal ja USA-s

Rohkem

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine ( Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (punktide kogusumma jagatud sooritajate koguarvuga); Mediaan - statistiline keskmine, mis jaotab

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Sularahateenuse hinnastamise põhimõtted SRK 3 12_

Sularahateenuse hinnastamise põhimõtted SRK 3 12_ Koostas: E. Vinni (sularahateenuste müügijuht) Kinnitas: P. Sarapuu (juhatuse esimees) Vers.: 2 Lk: 1/7 Sularahateenuse hinnastamise põhimõtted Koostas: E. Vinni (sularahateenuste müügijuht) Kinnitas:

Rohkem

Statistikatarkvara

Statistikatarkvara Sissejuhatus statistika erialasse, sissejuhatus matemaatika erialasse, 20. september 2018 Statistikatarkvara põgus ülevaade Krista Fischer Statistikatarkvara kategooriad Võib jagada mitut moodi: Tarkvara,

Rohkem

EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj

EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja EDL Liiga tulemuste põhj EDL Liiga reeglid 1. ÜLDSÄTTED 1.1. EDL Liiga toimub individuaalse arvestuse alusel, kus mängijad on jagatud hooaja 2017-2018 EDL Liiga tulemuste põhjal nelja liigasse. a. Premium Liiga (9 osalejat) b.

Rohkem

SQL

SQL SQL Kuues loeng 3GL inside 4GL Protseduurid Funktsioonid Tavalised Funktsioonid (üks väljund) Ilma väljundita Protseduurid Viitargumentide kasutamise võimalus Tabel-väljundiga Protseduurid Create function

Rohkem

VL1_praks2_2009s

VL1_praks2_2009s Biomeetria praks 2 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik (see, mida 1. praktikumiski analüüsisite), 2. nimetage Sheet3 ümber

Rohkem

EESTI STANDARD EVS 927:2017 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade EHITUSLIK PÕLETATUD PÕLEVKIVI Spetsifikatsioon, toimivus ja vastavus Burnt sha

EESTI STANDARD EVS 927:2017 See dokument on EVS-i poolt loodud eelvaade EHITUSLIK PÕLETATUD PÕLEVKIVI Spetsifikatsioon, toimivus ja vastavus Burnt sha EESTI STANDARD EHITUSLIK PÕLETATUD PÕLEVKIVI Spetsifikatsioon, toimivus ja vastavus Burnt shale for building materials Specification, performance and conformity EESTI STANDARDI EESSÕNA See Eesti standard

Rohkem

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad

1 / loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 1 / 16 7. loeng Tekstitöötlus Sisend/väljund Teksti lugemine Sõnad 2 / 16 Sisend/väljund vaikimisi: Termid: read, write?-read(x). : 2+3. X = 2+3.?-write(2+3). 2+3 true. Jooksva sisendi vaatamine: seeing?-

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi

Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi Infix Operaatorid I Infix operaatorid (näiteks +) ja tüübid (näiteks ->) kirjutatakse argumentide vahele, mitte argumentide ette. Näiteks: 5 + 2, 2*pi*r^2, Float -> Int Infixoperaatori kasutamiseks prefix-vormis

Rohkem

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala

Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakala Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatilise statistika instituut Ann-Mari Koppel Determinatsioonikordaja ja prognoosikordaja Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ene Käärik, PhD Tartu

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

Microsoft Word - Praks1.doc

Microsoft Word - Praks1.doc Segamudelid 1. praktikum Mida vähem andmeid, seda parem? (Üldistatud vähimruutude meetod ja heteroskedastilised andmed) Segamudelite praktikumides kasutame R-tarkvara. Kahel aastal on teostatud ühe füüsikalise

Rohkem

01_loomade tundmaõppimine

01_loomade tundmaõppimine Tunnikava vorm Õppeaine ja -valdkond: Mina ja keskkond Klass, vanuse- või haridusaste: alusharidus Tunni kestvus: 30+15minutit Tunni teema (sh alateemad): Loomade tundmaõppimine, maal elavad loomad Tase:

Rohkem

Tiia Salm 2011 Online kirjastus CALAMÉO Calameo kujutab endast on-line kirjastust, mis võimaldab oma dokumente avaldada e-raamatuna tasuta. Failid (Pd

Tiia Salm 2011 Online kirjastus CALAMÉO Calameo kujutab endast on-line kirjastust, mis võimaldab oma dokumente avaldada e-raamatuna tasuta. Failid (Pd Online kirjastus CALAMÉO Calameo kujutab endast on-line kirjastust, mis võimaldab oma dokumente avaldada e-raamatuna tasuta. Failid (Pdf, Word, Excel, PowerPoint, Open Office) tuleb esmalt keskkonda üles

Rohkem

(Microsoft Word - ÜP küsimustiku kokkuvõte kevad 2019)

(Microsoft Word - ÜP küsimustiku kokkuvõte kevad 2019) Ümbrikupalkade küsimustiku kokkuvõte Ülevaade on koostatud alates 2017. aasta kevadest korraldatud küsitluste põhjal, võimalusel on võrdlusesse lisatud ka 2016. aasta küsitluse tulemused, kui vastava aasta

Rohkem

Monitooring

Monitooring IT infrastruktuuri teenused Monitooring Margus Ernits margus.ernits@itcollege.ee 1 Miks? Arvutisüsteemid töötavad tõrgetega Pole olemas 100% veakindlaid ja keerulisi arvutisüsteeme Tõrgetest võib teada

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

ÕPETAJATE OSKUSED PIAAC ANDMETE BAASIL Aune Valk PIAAC (Programme for the International Assessment of Adult Competencies) uuringu raames va

ÕPETAJATE OSKUSED PIAAC ANDMETE BAASIL Aune Valk PIAAC (Programme for the International Assessment of Adult Competencies) uuringu raames va ÕPETAJATE OSKUSED PIAAC ANDMETE BAASIL 10.12.2013 Aune Valk PIAAC (Programme for the International Assessment of Adult Competencies) uuringu raames valmis väga rikas andmebaas, mis annab võimaluse uurida

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem