elastsus_opetus_2015_ptk5.dvi

Väljavõte

1 Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni mõistet. Pinguse puhul eristatatkse järgmist kolme juhtu: ruumpingus kõik kolm peapinget on nullist erinevad; tasandpingus kaks peapinget on nullist erinevad; joonpingus vaid üks peapinge on nullist erinev. Analoogiliselt, st. läbi peadeformatsioonide, defineeritakse ruum-, tasand- ja joondeformatsiooni. Üldjuhul võib nii pinguse kui deformatsiooni iseloom olla keha erinevates punktides erinev. Kui igas keha punktis on pingus (deformatsioon) sama iseloomuga siis öeldakse, et kehas on ühtlane pingus (deformatsioon). Elastsusteooria ülesannet nimetatakse tasandülesandeks (ehk tasapinnaliseks ülesandeks) kui deformatsioon või pinge on kogu keha ulatuses tasapinnaline.

2 5.. Tasanddeformatsioon Tasanddeformatsioon Vaadeldaval juhul on kõigis keha punktides deformatsioon tasapinnaline, st. üks peadeformatsioonidest on null. Tasanddeformatsioon saab tekkida kui siirded u = u(,), v = v(,), w =. (5.) Vastavalt Cauch seostele (4.) ε = u, ε = v, ε z = w z =, γ = u + v, γ z = v z + w =, γ z = u z + w =. (5.) Selline deformatsiooniseisund tekib pikas kehas, millele mõjub keha pinnaga (z-teljega) ristuv koormus. Näiteks: pikk tugisein;(metroo)tunnel; pikk radiaalselt surutud võll; pika plaadi silindriline paine (NB! Saint Venant i printsiip). pildid 5.. Tasanddeformatsioon 5-4 Pingete leidmiseks kasutame üldistatud Hooke i seadust nn. pöördkujul (4.4): σ = λθ+µε = (λ+µ)ε +λε, τ = µγ, σ = λθ+µε = λε +(λ+µ)ε, τ z = µγ z =, (5.3) σ z = λθ+µε z = λ(ε +ε ), τ z = µγ z =. Teisest küljest, arvestades Hooke i seadust kujul (4.3), peab ε z = E [σ z ν(σ +σ )] =, kust saame σ z = ν(σ +σ ). Kuna siirded u ja v sõltuvad vaid koordinaatidest ja, siis avaldiste (5.) ja (5.3) põhjal ka pinge σ z sõltub vaid koordinaatidest ja.

3 5.. Tasanddeformatsioon 5-5 Tasakaaluvõrrandid (4.): σ + τ + τ z +X =, z τ + σ + τ z +Y =, z τ z + τ z + σ z +Z =. z Arvestades ülesande sisu jääb järgi kaks võrrandit σ + τ +X =, τ + σ (5.4) +Y =, kusjuures ka mahujõud Z =. 5.. Tasanddeformatsioon 5-6 Rajatingimustest (4.5) p ν = σ l+τ m+τ z n, p ν = τ l+σ m+τ z n, p νz = τ z l+τ z m+σ z n jääb samuti alles esimest võrrandit { pν = σ l+τ m, p ν = τ l+σ m; (5.5) keha külgpind on paralleelne z-tejega ning seetõttu normaali suunakoosinus n = ; p νz = kuna muidu poleks meil tasanddeformatsiooni.

4 5.. Tasanddeformatsioon 5-7 Pidevusvõrranditest deformatsioonides (4.6) ε + ε = γ, ε z + ε z = γ z z, ε z + ε z = γ z z, ( γz + γ z γ ) z ( γ z + γ z γ ) z ( γz z + γ z γ ) z jääb alles vaid esimene = ε z, = ε z, = ε z ε + ε = γ. (5.6) 5.3. Tasandpingus Tasandpingus Vaatleme olukorda, kus kõigis keha punktides üks peapingetest on null. Sellisel juhul saame valida Descartes i ristkoordinaadid nii, et σ = σ (,), σ = σ (,), τ = τ (,), σ z = τ z = τ z =. (5.7) Selline pingus tekib näiteks õhukeses plaadis, millele mõjub servades rakendatud koormus, mis on risti z-teljega. Üldistatud Hooke i seadusest (4.4) saame ε = E [σ ν(σ +σ z )] = σ νσ, γ = τ E G, ε = E [σ ν(σ z +σ )] = σ νσ, γ z = τ z E G =, ε z = E [σ z ν(σ +σ )] = ν σ +σ E, γ z = τ z G =. (5.8) Tasakaaluvõrrandid on tasandpinguse korral samad kui olid tasanddeformatsiooni korral, st. esitatud kujul (5.4). joonis

5 5.4. Tasandülesande lahendamine pingetes Tasandülesande lahendamine pingetes Väga sageli lahendatakse elastsusteooria ülesanded pingetes, sest sellel meetodil on võrreldes siiretes lahendamisega mõned eelised: sageli ongi ülesande lahendina vaja leida vaid pingeid, siirded on teisejärgulise tähtsusega ning neid polegi vaja leida; üldjuhul on siirete avaldised võrreldes pingete avaldisega tunduvalt keerukamad. Tundmatud: pingetensori komponendid σ,σ ja τ Tasandülesande lahendamine pingetes 5 - Esmalt peame pidevustingimuse (5.6) ε + ε = γ. avaldama pingetes. Selleks kasutame üldistatud Hooke i seadust kujul(5.8) kust leiame vajalikud osatuletised läbi pingete: ε = ( ) σ σ E ν, ε = ( ) σ σ E ν, (5.9) γ = τ G = (+ν) τ E. Seega saab pidevustingimus kuju ( ) ( σ σ ) σ σ ν + ν = (+ν) τ. (5.)

6 5.4. Tasandülesande lahendamine pingetes 5 - Viimasest avaldisest saab tasakaaluvõrrandite (5.4) abil ellimineerida nihkepinge. Selleks diferentseerime (5.4) järgi ja (5.4) järgi τ = σ X, τ = σ Y (5.). Eeldades, et mahujõu on konstantsed, saame viimaste liitmise tulemusena τ = σ σ. (5.) Asendades viimase tulemuse pidevustingimusse (5.) saame peale teisendusi (σ +σ ) + (σ +σ ) =. (5.3) Kasutades Laplace i operaatorit saame väljendada tasandülesande pidevustingimuse pingetes kujul (σ +σ ) =. (5.4) 5.4. Tasandülesande lahendamine pingetes 5 - Tasandülesande lahendamine pingetes lihtsustub oluliselt kui tuua sisse Air pingefunktsioon ϕ(, ), mis on seotud pingekomponentidega järgmisel kujul: σ = ϕ ; σ = ϕ ; τ = ϕ X Y, (5.5) kus X ja Y on konstantsed mahujõud. Alternatiivne võimalus siduda pingekomponendid ja pingefunktsioon: σ = ϕ X; σ = ϕ Y; τ = ϕ. (5.6) Nii (5.5) kui (5.6) korral on tasakaaluvõrrandid (5.4) automaatselt rahuldatud. Pannes selliselt defineeritud pingekomponendid pidevustingimusse (5.4) saame biharmoonilise võrrandi ( ϕ + ϕ ) = ( ϕ ) =. (5.7)

7 5.4. Tasandülesande lahendamine pingetes 5-3 Lahti kirjutatult saab viimane kuju 4 ϕ + 4 ϕ ϕ =. (5.8) 4 Funktsiooni, mis rahuldab biharmoonilist võrrandit (5.7) või (5.8) nimetatakse biharmooniliseks funktsiooniks. Kuna tasakaaluvõrrandid on antud juhul automaatselt rahuldatud, siis taandub tasandülesande lahendamine pingetes neljandat järku osatuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendamisele. Siinjuures tuleb loomulikult arvesse võtta pingetes antud ääretingimusi. Peale pingefunktsiooni leidmist määratakse pingetensori komponendid (näiteks avaldistest (5.5)). Seejärel saab üldistatud Hooke i seaduse abil leida deformatsioonikomponendid ja Cauch seostest siirdekomponendid. Tegelikult on pingefunktsiooni leidmine mitmel juhul suhteliselt lihtne. Vastavat meetodit võib nimetada poolvastupidiseks meetodiks. Selle põhjal antakse pingefunktsioon ette kas polünoomina või trigonomeetrilise reana, mis sisaldavad määramata konstante. Viimased määratakse ülesande lahendamise käigus ääretingimuste ja biharmoonilise võrrandi abil Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides Kui väljendada Air funktsioon polünoomina ϕ = ( a + ( a b 3 + c 3 + d 3 +b + c ) + ( a b c 4 + d e ) ) +... (5.9) saab konstrueerida terve rea tasandülesande lahendusi. Vaadeldav lähenemisviis on rakendatav kui uuritakse ristkülikulisi plaate või talasid. Mahujõud, k.a. keha kaal, hülgame. Käesolevas alajaotuses vaatleme talasid, mille pikkus on l, kõrgus c ja laius. Tala teljeks on -telg ja telg on suunatud alla. Kuna joonis lineaarses elastsusteoorias kehtib superpositsiooni printsiip, siis vaatleme algul polünoome kuni 5. astmeni eraldi. Järgmises alajaotuses konstrueerime saadud tulemuste abil erinevaid lahendeid.

8 5.5. Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5-5 A) Ruutpolünoom ϕ = a +b + c. (5.) Sellise valiku puhul on biharmooniline võrrand (5.8) automaatselt rahuldatud. Mahujõude hülgamise puhul saame avaldistest (5.5) pingekomponendid kujul σ = c ; σ = a ; τ = b. (5.) Selline pingeseisund tähendab a >, b > ja c > puhul ühtlast tõmmet kahes ristuvas sihis koos ühtlase nihkega. Vastavad rajatingimused on esitatud joonisel 5.. Võttes osa polünoomi koefitsente võrdseks nulliga, saab rajatingimusi varieerida. σ = a τ = b τ = b τ = b σ = c σ = c τ = b σ = a Joonis 5.: Ruutpolünoomile vastavad rajatingimused Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5-6 B) Kuuppolünoom ϕ 3 = a b 3 + c 3 + d (5.) Ka antud juhul on biharmooniline võrrand (5.8) automaatselt rahuldatud. Pingete avaldiste (5.5) põhjal aga σ = c 3 +d 3 ; σ = a 3 +b 3 ; τ = b 3 c 3. (5.3) σ = d 3 c σ = d 3 c c c l σ = d 3 c σ = d 3 c Joonis 5.: Kuuppolünoomile vastavad rajatingimused: d 3, a 3 = b 3 = c 3 =. Valides vaid d 3 saame puhtale paindele vastava pingeseisundi. Rajatingimused, mis vastavad juhule d 3 > on esitatud joonisel 5.. Valides vaid b 3 saame pingeseisundi, mille korral pindadel = ±c mõjuvad pinged σ = ±b 3 c ja τ = b 3 ning pinnal = l pinge τ = b 3 l. Juhu b 3 > jaoks on vastavad rajatingimused esitatud joonisel 5.3.

9 5.5. Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5-7 c c l σ = b 3 c σ = b 3 c c c l τ = b 3 l τ = b 3 l τ = b 3 l Joonis 5.3: Kuuppolünoomile vastavad rajatingimused: b 3, a 3 = c 3 = d 3 =. Muud võimalused: Vaid c 3... Vaid a 3... Jne Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5-8 Teist ja kolmandat järku polünoomide puhul polnud vaja esitada täiendavaid kitsendusi polünoomide koefitsentidele, sest biharmooniline võrrand oli automaatselt rahuldatud. Kõrgemat järku polünoomide puhul pole asi aga enam nii lihtne. C) Neljandat järku polünoom ϕ 4 = a b c 4 + d e (5.4) Nüüd on biharmooniline võrrand (5.8) rahuldatud vaid juhul kui e 4 = (c 4 +a 4 ) (5.5) ning pingekomponendid (5.5) saavad kuju σ = c 4 +d 4 (c 4 +a 4 ) ; σ = a 4 +b 4 +c 4 ; τ = b 4 c 4 d 4. (5.6) Kuna koefitsentide a 4,...,d 4 valik on vaba, siis on (5.6) abil võimalik kirjeldada mitmesuguseid rajatingimusi.

10 5.5. Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5-9 Näiteks kui vaid d 4 on nullist erinev polünoomi koefitsent, siis σ = d 4 ; σ = ; τ = d 4. (5.7) c c l σ = d 4 lc σ = d 4 lc τ =,5d 4 c c c l τ =,5d 4 c τ =,5d 4 c τ =,5d 4 c Joonis 5.4: Neljandat järku polünoomile vastavad rajatingimused juhul kui d 4 > ja a 4 = b 4 = c 4 =. Juhule d 4 > vastavad rajatingimused τ = d 4 c, kui = ±c; τ = d 4, kui = ; τ = d 4, σ = d 4 l, kui = l; on kujutatud joonisel 5.4. (5.8) 5.5. Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5 - Kui vaid c 4 > oleks nullist erinev polünoomi koefitsent, siis saaksime avaldistest (5.6) Jne., jne. σ = c 4 c 4 ; σ = c 4 ; τ = c 4. (5.9) D) Viiendat järku polünoom ϕ 5 = a b c d e f (5.3) Nüüd on biharmooniline võrrand (5.8) rahuldatud kui e 5 = (c 5 +3a 5 ) ja f 5 = 3 (b 5 +d 5 ). (5.3) Pingekomponendid σ = ϕ 5 =... σ = ϕ 5 =... τ = ϕ 5 =... (5.3)

11 5.5. Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5 - Valides vaid d 5 > nullist erinevaks polünoomikoefitsendiks, saame pingejaotuse σ = d 5 ( 3 3 ), σ = 3 d 5 3, τ = d 5. (5.33) Viimasele vastavad rajatingimused = ±c, σ = ± 3 d 5c 3, τ = d 5 c =, σ = d 5 3 3, τ =, = l, σ = d 5 (l 3 3 ), τ = d 5 l. (5.34) Kuna biharmooniline võrrand (5.8) on lineaarne diferentsiaalvõrrand, siis on tema lahendiks ka suvaline lahendite superpositsioon. Seega, liites eespool leitud elementaarlahendeid, saame leida meid huvitava probleemi lahendi Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5 - Tala pinnal mõjuvate pingete (pindjõudude) peavektori ja peamomendi leidmine Vaatleme tala, mille pikkus on l, kõrgus c ja laius. Eeldame, et tala kontuuril mõjuvad normaal- ja nihkepinged on positiivsed. Valime taandamistsentriks koordinaatide alguse. Peavektori projektsioonid koordinaattelgedel ja : R = R (σ ) =l + R (σ ) = + R (τ ) =c + R (τ ) = c = = c c σ =l d c c σ = d + l τ =c d l τ = c d; R = R (σ ) =c + R (σ ) = c + R (τ ) = + R (τ ) =l = = l σ =c d l σ = c d c c τ = d + c c τ =l d. (5.35) (5.36)

12 5.5. Biharmoonilise võrrandi lahendamine polünoomides 5-3 Peamoment koordinaatide alguse suhtes M O = M O (σ ) = + M O (σ ) =l + M O (σ ) =c + M O (σ ) = c + + M O (τ ) =c + M O (τ ) = c + M O (τ ) =l = = + c c l l σ = d σ =c d τ =c cd c c l l σ =l d+ σ = c d τ = c cd+ c c τ =l ld. (5.37) Kuna telg on suunatud alla, siis on positiivne moment päripäeva Konsooli paine Konsooli paine Vaatleme kitsa ristkülikulise ristlõikega konsooli, mille vabas otsas ( = ) on rakendatud jõud P, mida võib vaadelda kui otspinnal mõjuvate nihkepingete peavektorit (joonis 5.5). Konsooli pikkus on l, kõrgus c ja laius. Konsooli pealmine ja alumine pind on pingevabad ja ots = l jäigalt kinnitatud. l c c P Joonis 5.5: Kitsa ristkülikulise ristlõikega konsool; pikkus l, kõrgus c ja laius.

13 5.6. Konsooli paine 5-5 Sellist olukorda saab vaadelda kui superpositsiooni puhtast nihkest (alajaotus 5.5 A valemid (5.) a = c = ja b ) ja valemitega (5.7) esitatud juhust (alajaotus 5.5 C a 4 = b 4 = c 4 = e 4 = ja d 4 ). Saame σ = d 4, σ =, τ = b d 4 = τ. (5.38) Rajatingimused τ =±c = d 4 = b c, (5.39) Fi = = P = c c τ d = c c ( b b ) d b c = 3P 4c. (5.4) Pannes nüüd konstandid b ja d 4 valemitest (5.39) ja (5.4) pingete avaldisse (5.38) saame σ = 3P c 3, σ =, τ = 3P ) (. (5.4) 4c c 5.6. Konsooli paine 5-6 Arvestades, et inertsimoment I I z = c 3 /3, siis σ = P I, σ =, τ = P I (c ). (5.4) Lahend on täpne Saint-Venanti printsiibi mõttes, st., 5.5 C puhul on tala otsas nihkepinged paraboolse jaotusega. Leiame nüüd siirdekomponendid u ja v. Lähtume Hooke i seadusest ja Chauch seostest, mille põhjal ε = u = σ E = P EI, ε = v = νσ E = νp EI, γ = u + v = τ G = P GI (c ). Integreerime (5.43) koordinaadi järgi ja (5.43) koordinaadi järgi: (5.43) u = P EI +f(), v = νp EI +f (), (5.44) kus funktsioonid f() ja f () on integreerimiskonstantide analoogid.

14 5.6. Konsooli paine 5-7 Pannes (5.44) valemisse (5.43) 3 saame P EI + df() d Viimane on esitatav kujul + νp EI + df () d = P GI (c ). (5.45) F()+G() = K, (5.46) kus F() = df () d P EI, G() = df() ( νp d + EI P ), K = P GI GI c. (5.47) KunaF()+G() = K = const.,siispeavadkaf()jag()olemakonstantsed. Tähistades F() = d ja G() = e saame valemitest (5.46) tingimuse d+e = P GI c (5.48) ja diferentsiaalvõrrandid df() d = ( P GI νp EI ) +e, df () d = P EI +d. (5.49) 5.6. Konsooli paine 5-8 Viimaste integreerimisel saame ( P f() = 6GI νp ) 3 +e +g, 6EI f () = P 6EI 3 +d+h. (5.5) Seega saavad siirete avaldised (5.44) kuju u = P ( P EI + 6GI νp ) 3 +e+g, v = νp 6EI EI + P 6EI 3 +d+h. (5.5) Konstandid d, e, g ja h määratakse tingimusest (5.48) ja kolmest rajatingimustest siiretele. Olgu punkt A tala ristlõike = l kese. Jäiga kinnituse tõttu peab see punkt olema fikseeritud tema siirded on nullid ja ristlõige = l ei saa pöörduda ümber punkti A. Seega kui = l ja =, siis u = v = ning g = ja h = Pl3 6EI dl. (5.5) Võttes valemis (5.5) =, saame konsooli kõverdunud telje võrrandi (enne

15 5.6. Konsooli paine 5-9 deformatsiooni on teljeks -telg, st. sirge = ): v = = P 6EI 3 Pl3 d(l ). (5.53) 6EI Konstandi d määramiseks kasutame kolmandat rajatingimust, mis ei luba vaadeldaval ristlõikel pöörelda ümber punkti A. Seda tingimust võib ette anda mitmel viisil. Vaatleme kahte: a) tala telje element on punktis A fikseeritud, st., v = ; (5.54) = l = b) tala ristlõike vertikaalne element on punktis A fikseeritud, st., u =. (5.55) = l = Juhul a) saame avaldiste (5.54), (5.53) ja (5.48) põhjal d = Pl EI ja e = Pl EI Pc GI. (5.56) 5.6. Konsooli paine 5-3 Joonis 5.6: Rajatingimused otsas = l. Seega saavad siirdekomponentide avaldised (5.5) ja kõverdunud telje võrrand (5.53) kuju u = P EI νp 6EI 3 + P 6GI 3 + v = νp EI + P 6EI 3 Pl Pl3 + EI 3EI, v = = P 6EI 3 Pl Pl3 + EI 3EI. ( ) Pl EI Pc, GI (5.57)

16 5.6. Konsooli paine 5-3 Võrrand (5.57) 3 annab konsooli vaba otsa = läbipaindeks Pl 3 /3EI, mis ühtib tugevusõpetusest tuntud tulemustega. Juhul b) saame konstantidele väärtused e = Pl ja d = Pl EI EI Pc GI ning siirdekomponentide ja tala kõverdunud telje jaoks avaldised u = P EI νp 6EI 3 + P 6GI 3 + Pl EI, v = νp EI + P 6EI 3 ( Pl EI + Pc GI v = = P 6EI 3 Pl Pl3 + EI 3EI + Pc GI (l ). ) + Pc l GI + Pl3 3EI, Seega saame võrrandi (5.59) 3 kasutamise puhul tala teljele (5.58) (5.59) Pc 3P (l ) = (l ) (5.6) GI 4Gc võrra suuremad läbipainded kui võrrandi (5.57) 3 puhul. Põhjus on selles, et rajatingimused (5.54) keelavad tala telje pöörded kuid lubavad otspinna pöördeid 5.6. Konsooli paine 5-3 punktis A (vt. joonis 5.6 a). Rajatingimused (5.55) keelavad aga tala otspinna pöörded kuid lubavad telje pöördeid (vt. joonis 5.6 b). Mõlemal juhul toimuvad pöörded ühe ja sama nurga α võrra kuigi pöörduvad erinevad elemendid: α tanα = Pc GI = 3P 4cG kui b =, 3P 4cbG kui b. (5.6) Tegelikult jääb aga kogu otspind = l paigale ja õiget tulemust ei anna ei juht a) ega b) ning kinnituskoha läheduses ei vasta ka pingejaotus valemitega (5.4) antule. Avaldise (5.4) puhul tuleb rakendada Saint-Venant i printsiipi, st., et (5.4) annaks tõepärasema tulemuse, peame olema otsast = l piisavalt kaugel. Seega pikkade konsoolide puhul on tulemus täpsem, st. vastab enam tegelikkusele, kui lühikeste puhul.

17 5.6. Konsooli paine 5-33 Näited Joonistada:. tala kõverdunud telg (elastne joon) ja. ristlõigete = ;,5l;l deformeerunud kuju erinevate c, l ja P väärtuste jaoks mõlema ülalvaadeldud ääretingimuse korral. Tala materjal on teras, mille elastsuskonstant E = GPa ja ν =,3 ning tala laius b =, m. Järgnevateljoonisteltähistavadα telg jaα ots vastavaltkõverdunudteljejaotspinna numbriliselt leitud tõusunurka kraadidespunktis A. Nurk α teor, mis on leitud avaldisest tanα teor = 3P/(4cbG), vastab rajatingimuste a) korral kõverdunud otspinna tõusule ja rajatingimuste b) korral kõverdunud telje tõusule punktis A (võrdle joon. 5.6) Konsooli paine 5-34 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.m; l = m; P = 5 kn) Joonis 5.7: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon.

18 5.6. Konsooli paine 5-35 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.m; l = m; P = 5 kn) a) α ots =.66.4 b) α telg = c) α =.66 teor. Joonis 5.8: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon Konsooli paine 5-36 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.m; l = m; P = kn) Joonis 5.9: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon.

19 5.6. Konsooli paine 5-37 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.m; l = m; P = kn) a) α ots = b) α telg = c) α =.533 teor Joonis 5.: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon Konsooli paine 5-38 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.m; l =.5m; P = kn) Joonis 5.: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon.

20 5.6. Konsooli paine 5-39 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.m; l =.5m; P = kn) a) α =.533 ots.6..4 b) α.8 telg = c) α teor = Joonis 5.: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon Konsooli paine 5-4 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.4m; l = 3m; P = kn) Joonis 5.3: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon.

21 5.6. Konsooli paine 5-4 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.4m; l = 3m; P = kn) a) α ots =.66. b) α telg = c) α =.66 teor Joonis 5.4: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon Konsooli paine 5-4 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.8m; l = m; P = 5 kn) Joonis 5.5: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon.

22 5.6. Konsooli paine 5-43 Tala telje ja lõigete = [ ;,5l; l] deformeerunud kuju. ( b =.m; c =.8m; l = m; P = 5 kn) a) α ots = b) α telg = c) α teor = Joonis 5.6: Rajatingimused a) sinine pidev joon; rajatingimused b) punane kriipsjoon Ühtlaselt koormatud tala paine Ühtlaselt koormatud tala paine Vaatleme kitsa ristkülikulise ristlõikega tala (joonis 5.7). Tala on otstes vabalt toetatud ja talle mõjub ühtlaselt jaotatud koormus intensiivsusega q. Joonisel on tugede asemel kujutatud juba toereaktsioonid. q c c ql l l ql Joonis 5.7: Ühtlaselt koormatud kitsas ristkülikulise ristlõikega tala; pikkus l, kõrgus c ja laius.

23 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-45 Rajatingimused: a) külgpindadel = ±c τ =±c =, σ =+c =, σ = c = q; (5.6) b) otspindadel = ±l c c c c c c τ =±l d = ql, σ =±l d =, σ =±l d =, põikjõud tala otstes, pikijõud tala otstes, paindemoment tala otstes. (5.63) Rajatingimusi (5.6) ja (5.63) saab rahuldada kui kombineerida alajaotuses 5.5 leitud lahendeid. Lähtume lahendist (5.33) (lk. ) σ = d 5 ( 3 3 ), σ = 3 d 5 3, τ = d 5, millele vastavad rajatingimused on kujutatud joonisel Ühtlaselt koormatud tala paine 5-46 σ = d c 3 /3 5 σ = d c 3 /3 5 c c l σ = d c 3 /3 5 σ = d ( l c + c 3 /3) 5 σ = d (l c c 3 /3) 5 σ = d c 3 /3 5 τ = d lc 5 τ = d lc 5 τ = d lc 5 Joonis 5.8: Viiendat järku polünoomile vastavad rajatingimused d 5 ja a 5 = b 5 = c 5 = e 5 = f 5 = puhul. Et vabaneda tõmbepingetest küljel = c ja nihkepingetest külgedel = ±c lisame tõmbe σ = a lahendist (5.) ja pinged σ = b 3 ning τ = b 3 lahendist (5.3). Kokku saame σ = d 5 ( 3 3 ), σ = 3 d 5 3 +b 3 +a, (5.64) τ = d 5 b 3. Rajatingimustest (5.6) määrame a = q, b 3 = 3 4 q c, d 5 = 3 q 4c3. (5.65)

24 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-47 Arvestades, et I = I z = c 3 /3 saame valemitest (5.64) ja (5.65) σ = q I ( 3 3 ), σ = q I ( 3 3 c + 3 c3 ), τ = q I (c ). (5.66) Leitud pingekomponendid rahuldavad lisaks rajatingimustele (5.6) ka (5.63). Et oleks rahuldatud ka (5.63) 3 lisame puhtale paindele vastavad pinged σ = d 3 ja σ = τ = lahendist (5.3). Rajatingimusest (5.63) 3 leiame d 3 = 3 4 q c ( b c ). (5.67) 5 Seega avaldub normaalpinge σ lõpuks kujul σ = q ( l ) + q ( I I 3 3 ) 5 c. (5.68) 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-48 Avaldise (5.68) esimene liige vastab elementaarsele paindeteooriale ning teist saab vaadelda kui parandusliiget ja ta on väike võrreldes esimesega. Parandusliige on põhjustatud sellest, et elementaarteooria puhul eeldatakse, et σ, kuid (5.66) põhjal pole see nii. Lisaks on valemite (5.66) ja (5.68) põhjal selge, et σ ja σ avaldise parandusliige ei sõltu koordinaadist. Joonistel5.9ja5.onesitatudpingeteσ jaσ epüüridvõrdlusemõttessamas mõõtkavas. Sinine pidevjoon vastab σ puhul summaarsele pingele vastavalt valemile (5.68), punane kriipsjoon esitab nn. põhiliiget ja roheline punktiirjoon parandusliiget. Nendelt joonistelt selgub, et mida suurem on tala pikkuse ja kõrgusesuhel/c,sedatühisemonparandusliikmemõjujapingeσ maksimaalne väärtus võrreldes σ maksimaalse väärtusega.

25 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine c = 3 l = σ c = 3 l = c = 3 l = σ c = 3 l = σ σ Joonis 5.9: Pinged σ ja σ ühtlaselt koormatud talas vastavalt valemitele (5.66) ja (5.68). Tala laius on ja kõrgus c = 6. Ülemistel joonistel on tala pikkus l = ja alumistel joonistel l = 3. Pinge σ on esitatud tala keskel kohal =. Punane kriipsjoon vastab elementaarteooriast pärit põhiliikmele ja roheline punktiirjoon parandusliikmele Ühtlaselt koormatud tala paine 5-5 c = l = 5 c = l = σ σ c = l = 5 c = l = σ σ Joonis 5.: Pinged σ ja σ ühtlaselt koormatud talas vastavalt valemitele (5.66) ja (5.68). Tala laius on ja kõrgus c = 4. Ülemistel joonistel on tala pikkus l = ja alumistel joonistel l = 3. Pinge σ on esitatud tala keskel kohal =. Punane kriipsjoon vastab elementaarteooriast pärit põhiliikmele ja roheline punktiirjoon parandusliikmele.

26 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-5 σ ja parandusliikme osatähtsus protsentides parandusiige σ l/c Joonis 5.: Pinge σ ja parandusliikme osatähtsus protsentides sõltuvana tala pikkuse ja kõrguse suhtest Ühtlaselt koormatud tala paine 5-5 Valemi (5.68) parandusliikme ja pinge σ osatähtsuse hindamiseks on joonisel 5. esitatud suhted ( q ma I c ) ma σ ja. ma σ ma σ Selle joonise põhjal on selge, et parandusliikme osatähtsus on alla 5 % juba siis kui suhe l/c >,5 ja pingete σ ja σ maksimaalsete väärtuste suhe on 5 % väiksem kui suhe l/c > 5,5. Avaldisega (5.68) esitatud pinged annavad otspindadel nulliga võrduva peavektori ja peamomendi. Lahend on täpne vaid juhul kui otspindadel = ±l mõjuks pindjõud t = ± 3 ( q 4c ) 5 c. (5.69) Saint-Venaint i printsiibi põhjal loetakse lahend täpseks punktides, mis on otstest = ±l kaugemal kui tala kõrgus, st. c, ka t = puhul.

27 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-53 Tala punktide siirded u ja v leitakse analoogiliselt alajaotusele 5.6. Nüüd eeldatakse, et punktis = = on horisontaalsed siirded võrdsed nulliga ja vertikaalsed siirded võrdsed läbipaindega δ. Kokku saame, et u = q EI v = q EI q EI ) ( [(l ) ( 5 c +ν 3 3 c + )] 3 c3, { 4 c + [ (l 3 c3 +ν ) ]} 5 c [ l 4 5 c + (+ ] )c ν +δ. (5.7) Kuna (5.7) põhjal horisontaalsed siirded tala keskjoonel u = = νq E, (5.7) siis ei osutu keskjoon neutraalseks jooneks. Tala keskjoone punktide vertikaalne siire v = = δ q EI [ l 4 5 c + (+ ] )c ν. (5.7) 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-54 Kuna tala otsad on vabalt toetatud, siis v =±l = ja δ = 5 ql 4 [ + c ( 4 4EI 5 l 5 + ν )]. (5.73) Avaldises (5.73) nurksulgude ees olev kordaja esitab elementaarteooriale vastavat läbipainet (eeldades, et tala ristlõiked jäävad deformatsioonil tasapinnalisteks). Teine liige nurksulgudes esitab parandust, st. arvestab põikjõu mõju läbipaindele. Diferentseerides(5.7) kaks korda saame keskjoone kõverust iseloomustava avaldise v = q [ l ( 4 +c = EI 5 + ν )]. (5.74) Ka selles avaldises vastab esimene liige elementaarteooria valemile ning on proportsionaalne paindemomendiga q(l )/. Kui soovitakse arvesse võtta ka omakaalu, tuleb lisada pinge σ = ρg(c ), (5.75) mis annab tala ülemisel pinnal = c pingeks σ = ρg(c) ja alumisel pinnal = c vastavalt σ =.

28 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-55 Näide Tala pikkus l = m, kõrgus c =,8 m ja laius b =, m, koormus q = kn/m. Materjalid: Teras: ρ = 78 kg/m 3, E = GPa, ν =.3, omakaal 6,44 kn. Alumiinium: ρ = 6 kg/m 3, E = 7 GPa, ν =.35, omakaal,448 kn. Vask: ρ = 89 kg/m 3, E = GPa, ν =.3, omakaal 69,847 kn. Joonistada tala kõverdunud keskjoon vastavalt valemile (5.7) ja elementaarteooria valemile v = q [ ] (+l) 4 l(+l)3 + l3 (+l) (5.76) EI ning hinnata valemi (5.73) nn. parandusliikme osatähtsust sõltuvana tala kõrguse ja pikkuse suhtest. Parnes, Ramond. Solid mechanics in engineering. Wile, Chichester, Ühtlaselt koormatud tala paine teras v..5 vask alumiinium Joonis 5.: Vabalt toetatud tala telje siirded. Punane kriipsjoon vastab nn. elementaarteooriale ja sinine pidevjoon valemile (5.7).

29 5.7. Ühtlaselt koormatud tala paine 5-57 parandus võrreldes elementaarteooriaga protsentides tala kõrguse c ja pikkuse l suhe Joonis 5.3: Vabalt toetatud tala paine. Valemi (5.73) parandusliikme osatähtsus protsentides sõltuvana tala kõrguse ja pikkuse suhtest (vt. alajaotus 5.7 lk. 54) Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus. Joonis 5.4: Hüdrostaatiliselt koormatud kolmurkse ristlõikega tugisein. β Vaatleme kolmurkse ristlõikega tugiseina, millele mõjub hüdrostaatiline surve (joon 5.4). Olgu vedeliku tihedus ρ, tugiseina kaldenurk β ja seina materjali erikaal γ. Seega on seinale mõjuvateks välisjõududeks vedelikust põhjustatud hüdrostaatiline surve p = ρg ja mahujõud Y = γ (seina erikaal). Hülgame seina ja vundamendi vahelised mõjud, st., vaatleme <.

30 5.8. Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus Sellistel eeldustel on tegu tasapinnalise ülesandega ja rajatingimused { pν = σ l+τ m, p ν = τ l+σ m. Vertikaalsel küljel = ja pinnanormaali suunakoosinused l = ning m =. Kuna sellele seinale mõjub hüdrostaatiline surve p, siis vastavalt rajatingimustele {ρg { = σ ( )+τ, σ = ρg, (5.77) = τ ( )+σ, τ =. Kaldküljel = tanβ, l = cosβ, m = cos(9 β) = sinβ. Kuna kaldkülg on koormusest vaba, siis saavad rajatingimused kuju { = σ cosβ +τ ( sinβ), = τ cosβ +σ ( sinβ), { σ = τ tanβ, τ = σ tanβ. (5.78) Lahendi leidmisel lähtume kuuppolünoomist (5.) ϕ 3 = a b 3 + c 3 + d Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus. 5-6 Vastavalt valemitele (5.5) avalduvad pingekomponendid kujul σ = c 3 +d 3 ; σ = a 3 +b 3 ; τ = b 3 c 3 γ. (5.79) Alternatiivsete valemite (5.6) kaudu aga kujul σ = c 3 +d 3 ; σ = a 3 +b 3 γ; τ = b 3 c 3. (5.8) Järgnevalt näeme, et mõlemal juhul saame pärast rajatingimuste(5.77) ja(5.78) rahuldamist sama tulemuse. Lähtume esiteks valemeist (5.79). Rajatingimused vertikaalküljel (5.77) annavad d 3 = ρg ja c 3 =. (5.8) Kaldküljel = tanβ ja rajatingimused (5.78) saavad kuju { c3 tanβ +b 3 tan β +d 3 +γtan β = a 3 tan β +b 3 tanβ +c 3 +γtanβ = Arvestades (5.8) saame viimastest avaldada a 3 = γ tanβ ρg tan 3 β, b 3 = ρg tan β (5.8) γ. (5.83)

31 5.8. Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus. 5-6 Sellega ongi neli tundmatut konstanti määratud ning pingete avaldised (5.79) saavad kuju σ = ρg; σ = (γ A) kus konstant tanβ +(A γ); τ = A, (5.84) A = ρg tan β. (5.85) Kui teha sama protseduur läbi alternatiivsete pingeavaldiste (5.8) jaoks, siis saame rajatingimustest (5.77) tulemuseks avaldised (5.8). Rajatingimused kaldküljel annavad aga valemeist (5.83) erineva tulemuse konstandi b 3 jaoks a 3 = γ tanβ ρg tan 3 β, b 3 = ρg tan β. (5.86) Pannesagaavaldistega(5.8)ja(5.86)esitatudkonstantidea 3,...,d 3 väärtused pingete avaldistesse (5.8) saame sama tulemuse, mis eelmiselgi juhul. Seega võime kokkuvõttes öelda, et vaadeldava ülesande korral on pinged tugiseinas leitavad valemite (5.84) abil Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus. 5-6 Valemi (5.84) põhjal vertikaalküljel σ = (A γ). Seega selleks, et vältida tõmbepingeid (σ > ) peab A < γ, kust saame kaldenurga jaoks kriitilise väärtuse ρg β = arctan γ. (5.87) Kuiβ > β,siisonvertikaalkülgsurutud.võttesveetiheduseksρ = kg/m 3 ja seina materjaliks betooni erikaaluga γ = 4g N/m 3 saame β = arctan /4 = 3,8. Erikaalu γ = g N/m 3 korral saame aga β = 35,. Vaatlemenüüdtugiseinalõiget =.Onselge,etselleslõikes tanβ. Vastavalt valemeile (5.84) on normaalpinge σ = ρg, st. konstantne. Teine normaalpinge, st. σ, muutub aga väärtusest σ = = (A γ) väärtuseni σ = = A. Nihkepinge τ = = τ τ = = A tanβ. Tugevusõpetuse kursuse raames saadud valemid, nn. -järku lahend, erineb saadust oluliselt pingete σ ja τ osas, kusjuures σ langeb kokku: σ = ; σ = σ τ = 3ρg ) (tanβ tan 3. (5.88) β epüürid

32 5.8. Hüdrostaatiliselt koormatud tugiseina arvutus Nihkepinge avaldise puhul on -järku teoorias lähtutud samadest eeldustest, mis talade paindel ja saadud paraboolne jaotus. Märkused: Vaadeldava ülesande lahendusele ei anna polünoomi järgu tõstmine mitte mingeid lisaliikmeid kõik kõrgemat järku liikmed peavad vaadeldavate rajatingimuste korral olema nullid. Käesoleva lahendi puhul pole arvestatud vundamendi mõju tugiseina alumisel osal on lubatud vabalt deformeeruda. Tegelikkuses sõltub aga suuremate väärtuste korral vertikaalne deformatsioon vundamendi jäikusest. Kui me sooviksime arvestada ka rajatingimusi tugiseina alumisel osal(seina ja vundamendi kinnituskohas), siis muutuks ülesanne tunduvalt keerukamaks ja teda poleks võimalik lahendada polünoomides. Võttes kasutusele kuuendat järku polünoomid, saab leida lahendi ristkülikulise tugiseina (vertikaalse konsooli) jaoks. Seda vaadeldakse järgmises alajaotuses Hüdrostaatiliselt koormatud vertikaalne konsool Hüdrostaatiliselt koormatud vertikaalne konsool c c l Joonis 5.5: Vertikaalsele konsoolile mõjuv hüdrostaatiline surve. Kui üldistada alajaotuses 5.5 esitatud lahendusmetoodikat ja vaadelda 6. järku polünoomi, siis saame leida pingejaotuse hüdrostaatiliselt koormatud vertikaalse konsooli jaoks 3 : 3 Vaadeldav lahend pärineb Timoshenko ja Goodier õpikust ning tegelikult pole ka siin arvesse võetud vundamendi mõju.

33 5.9. Hüdrostaatiliselt koormatud vertikaalne konsool 5-65 σ = ρg ( 3 +ρg 4c 3 ), σ 3 = ρg3 + ρg ( ) 4c 4c 3 4c 3 5 c, τ = 3ρg 8c 3 (c ) ρg 8c 3(c4 4 )+ ρg 4c c (c ). (5.89) Siin tähistab ρ vedeliku tihedust (kg/m 3 ) ja seega on koormuse intensiivsus sügavusel võrdne ρg, põikjõud ρg / ja paindemoment ρg 3 /6. σ ja τ avaldiste esimesed liikmed vastavad jällegi elementaarteooriale. Konsooli vabal otsal = on leitud lahendi põhjal normaalpinged nullid. Nihkepinged τ = ρg 8c 3(c4 4 )+ ρg 4c c (c ) (5.9) pole nullid, kuid on väikesed üle kogu pinna ning nende peavektor on ligikaudu null. See võimaldab lugeda väliskoormuse kohal = nulliks. Kuitahetaksearvessevõttakakonsoolimaterjaliomakaal,siistulebσ avaldisse lisada liige γ, kus γ on konsooli materjali erikaal. 5.. Tasapinnalised ülesanded polaarkoordinaatides Tasapinnalised ülesanded polaarkoordinaatides 5.. Tasakaaluvõrrandid ja Air pingefunktsioon ϑ dϑ τ rϑ σ r A C τ ϑr +dτ ϑr D σ r +dσ r σ ϑ +dσ ϑ τ rϑ +dτ rϑ B σ ϑ τ ϑr Joonis 5.6: Väikese elemendi ABCD tasakaal. DRK-s esitatud tasakaaluvõrrandite analoog saadakse kui vaadeldakse elemendi ABCD tasakaalu ja projekteeritakse tema külgedel mõjuvad summaarsed jõud

34 5... Tasakaaluvõrrandid ja Air pingefunktsioon 5-67 ja mahujõud ϑ ja r sihile. Minnes üle piirile dϑ ja dr saame σ r +f r =, r τ rϑ ϑ + σ r σ ϑ r r + r σ ϑ ϑ + τ rϑ r + τ rϑ r +f ϑ =. (5.9) Siin tähistavad f r ja f ϑ mahujõudude projektsioone radiaal ja tangentsiaal suunale (r ja ϑ kasvamise suunale). Ka siin saab mahujõudude puudumisel sisse tuua Air pingefunktsiooni ϕ = ϕ(ϑ,r), nii et σ r = r ϕ r + ϕ r ϑ, τ rϑ = r ϕ ϑ r ϕ r ϑ = r σ ϑ = ϕ ( r, ϕ r ϑ ). Nüüd Laplace i operaator ( ) ( = + = r + r r + ) r ϑ (5.9) (5.93) 5... Deformatsioonikomponendid polaarkoordinaatides 5-68 ja biharmooniline võrrand ( 4 ϕ = r + r r + ) ϕ =. (5.94) r ϑ Kui pingekomponendid ja seega ka ϕ sõltuvad vaid koordinaadist r, siis saab võrrandi (5.94) üldlahendi esitada kujul ϕ = Alnr+Br lnr+cr +D. (5.95) 5.. Deformatsioonikomponendid polaarkoordinaatides ε r = u r, ε ϑ = u r + v r ϑ, γ rϑ = u r ϑ + v r v (5.96) r. Siin mõistetakse suurusi u ja v kui radiaalset ja tangentsiaalset siirdekomponenti. Hooke i seaduse kuju jääb endiseks: ε r = E (σ r νσ ϑ ), ε ϑ = E (σ ϑ νσ r ), γ rϑ = τ rϑ G. (5.97) Siirete määramine toimub analoogiliselt DRK-ga.

35 5.. Kõvera tala paine Kõvera tala paine M r ϑ a b M Joonis 5.7: Kõvera tala paine. Näitena vaatleme kõvera tala puhast painet, st. vaatleme tala, mis paindub kõverustasapinnas otstesse rakendatud momentide M mõjul. Sel juhul jääb paindemoment konstantseks kogu varda pikkuse ulatuses, järelikult sõltub pinge vaid radiaalkoordinaadist r. Seega saab kasutada lahendit (5.95). 5.. Kõvera tala paine 5-7 Rajatingimused: σ r =, r = a, r = b, b b σ ϑ dr =, σ ϑ rdr = M a a τ rϑ =, kõigil rajapindadel. Pärast rajatingimuste (5.98) rahuldamist ja tähistuse N = (b a ) 4a b ln b a (5.98) (5.99) sissetoomist saame σ r = 4M ( a b ln b N r a +b ln r b +a ln a ), r σ ϑ = 4M ( a b ln b N r a +b ln r b +a ln a ) r +b a, τ rϑ =. (5.) Lahendontäpnevaidsiiskuipingejaotusotspindadelvastabavaldisele(5.). Muil juhtudel tuleb rakendada Saint-Venanti printsiipi.

36 5.. Kõvera tala paine 5-7 Joonisel 5.8 on esitatud suurused σ ϑ a /M ja σ r a /M sõltuvana suhtest r/a juhul kui b/a =. σ ϑ a /M (,443; ) r/a Joonis 5.8: Pingete jaotus kõvera tala paindel. σ r a /M (,36;,699) r/a Järeldused: ) σ r > iga r puhul vaadeldavas piirkonnas; ) neutraalne telg vastab r/a =,443 ja maσ ϑ > minσ ϑ ; 3) σ r maksimum ei asu neutraalsel teljel. 5.. Pöörlev ketas Pöörlev ketas Teiseks näiteks polaarkoordinaatide puhul on pöörleva ketta ülesanne. Vaatleme ketast, mille välisraadius on b ja mis pöörleb jääva nurkkiirusega ω. Ketta paksuse loeme raadiusega võrreldes väikeseks. Ainsaks mahujõuks (mida arvesse võtame) on inertsjõud, st. f r = ρω r ja f ϑ =. Antud juhul on tegu nn. polaarsümmeetrilise ülesandega, kus σ r ja σ ϑ sõltuvad vaid koordinaadist r ja seega valemi (5.9) põhjal τ rϑ =. Teine tasakaaluvõrrandeist (5.9) on antud juhul automaatselt rahuldatud ja esimesele saab anda kuju d dr (rσ r) σ ϑ +ρω r =. (5.) Kuna ka ε r ja ε ϑ on vaid r funktsioonid, siis (5.96) põhjal ε r = u r, ε ϑ = u r. (5.) Hooke i seadusest (5.97) σ r = E ν (ε r νε ϑ ), σ ϑ = E ν (ε ϑ νε r ). (5.3)

37 5.. Pöörlev ketas 5-73 Asendades nüüd deformatsioonikomponendid (5.) Hooke i seadusse (5.3) ning viimase omakorda tasakaaluvõrrandisse (5.) saame diferentsiaalvõrrandi siirdekomponendi u määramiseks: r d u dr +rdu u = ν dr E ρω r 3. (5.4) Selle diferentsiaalvõrrandi üldlahend avaldub kujul u = [ ] ( ν)cr (+ν)c E r ν ρω r 3. (5.5) 8 Vastavad pingekomponendid σ r = C +C r 3+ν 8 ρω r, σ ϑ = C C r +3ν ρω r. 8 Konstandid C ja C määratakse rajatingimustest. (5.6) Täisketta (ilma auguta keskel) puhul vastab r = siire u =, seega C =. Ketta serval r = b jõudude puudumisel σ r =, seega C = 3+ν 8 ρω b. (5.7) 5.. Pöörlev ketas 5-74 Seega pingekomponendid σ r = 3+ν 8 ρω (b r ) σ ϑ = 3+ν 8 ρω b +3ν (5.8) ρω r 8 Plaadi keskel on neil pingetel maksimaalne väärtus σ r = σ ϑ = 3+ν 8 ρω b. (5.9) Kui ketta keskel on ava raadiusega a, siis konstandid C ja C määratakse rajatingimustest σ r r=a = σ r r=b = C = 3+ν 8 ρω (a +b ), C = 3+ν 8 ρω a b. (5.) Pingekomponendid σ r = 3+ν (b 8 ρω +a a b ) r, r σ ϑ = 3+ν 8 ρω (b +a + a b r +3ν 3+ν r ). (5.)

38 5.. Pöörlev ketas 5-75 Radiaalpinge σ r on nüüd maksimaalne kohal r = ab ja tangentsiaalpinge (rõngaspinge, i.k. hoop stress) σ ϑ sisemisel serval maσ r = 3+ν 8 ρω (b a), maσ ϑ = 3+ν 4 ρω ( b + ν 3+ν a ). (5.) Kui a, siis maσ ϑ läheneb väärtusele, mis on kaks korda suurem kui avaldisega (5.9) esitatud väärtus. Seega kui teha täisketta tsentrisse väike ava, siis suureneb tangentsiaalpinge plaadi tsentris kaks korda Radiaalne pingus Radiaalne pingus. Küllaltki tihti esineb ülesandeid, kus igas keha punktis on nullist erinev vaid radiaalne pinge σ r. Sellist pingust nimetatakse radiaalseks pinguseks. Antud juhul saab esitada pinge σ r (r,ϑ) kahe funktsiooni korrutisena: σ r (r,ϑ) = ϕ(r)ψ(ϑ). (5.3) Pannes viimase tasakaalu- ja pidevusvõrrandeisse ning integreerides, saame radiaalse pinguse jaoks pingekomponentide avaldised σ r (r,ϑ) = k r cos(ϑ ϑ ), σ ϑ = τ rϑ =, (5.4) kus integreerimiskonstandid k ja ϑ määratakse rajatingimustest.

39 5.4. Kiilu surve Kiilu surve. F α α z Vaatleme lõpmata pikka sümmeetrilist kiilu (joonis 5.9), mille sümmeetriatasandis mõjub joonkoormus F. Kiilu tipunurga tähistame α. Analoogiliselt tugiseina arvutusega, hülgame rajatingimused kiilualaservasjavaatleme. Joonis 5.9: Sümmeertiline kiil ja tema sümmeetriatasandis mõjuv jõud Kiilu surve Joonis 5.3: Sümmeertilisele kiilule mõjuv jõud, radiaalne pinge, polaar ja ristkoordinaadid. Võtame kasutusele polaarkoordinaadid r ja ϑ (joonis 5.3). Sellisel juhul on tegu radiaalse pingusega ja pingekomponendid on esitatavad kujul (5.4). Konstantide k ja ϑ määrmiseks tuleb kõik joonisel 5.3 kujutatud jõud (ja pinged) projekteerida koordinaatide r ja ϑ (või ja sihile). Kuna välisjõud on vaadeldaval juhul vertikaalne (ja mõjub sümmeetriatasandis), siis on konstant ϑ =. Konstandi k määramiseks projekteeritakse F ja σ r -teljele: F α α σ r (cosϑ)rdϑ =, (5.5)

40 5.4. Kiilu surve kust arvestades (5.4) saame F α α k r cos ϑrdϑ =, k = Kokku saame seega lahendi kujul: F σ r = α+sinα F α+sinα. (5.6) cosϑ, σ ϑ = τ rϑ =. (5.7) r Kuna valemite (5.4) tuletamisel kasutati nii tasakaalu kui pidevuse võrrandeid, siis rahuldab ka vaadeldava ülesande lahend (5.7) nii tasakaalu kui pidevuse võrrandeid Kiilu surve. 5-8 Praktiliste probleemide korral (vt. näiteks järgmist alajaotust) on siiski otstarbekas kasutada koordinaate ja. Üleminekuks on järgmised valemid: σ =σ r l +σ ϑ m +τ rϑ lm, σ =σ r l +σ ϑ m +τ rϑ l m, (5.8) τ =σ r ll +σ ϑ mm +τ rϑ (lm +l m), l =cos(r,) = sinϑ, r = +, m =cos(ϑ,) = cosϑ, sinϑ = + l =cos(r,) = cosϑ,, (5.9) m =cos(ϑ,) = sinϑ cosϑ = +. Kokku saame kolm koordinaatidele ja vastavat pingekomponenti σ = k ( + ), σ = k3 ( + ), τ = k ( + ). (5.)

41 5.5. Joonkoormuse mõju poolruumile Joonkoormuse mõju poolruumile F Joonis 5.3: Elastsele poolruumile mõjuv joonkoormus. ning ristkoordinaatides z Vaatleme elastset keskkonda, mis on piiratud koordinaattasandiga (, z) ja millele mõjub piki z telge rakendatud jõud F. Selline ülesanne on tuntud Flamant ülesandena ja ta kujutab endast eelmises alajaotuses vaadeldud kiilu ülesande erijuhtu, kus nurk α = π/. Järelikult konstant k = F/π ja pingekomponendid polaarkoordinaatides σ r = F cosϑ, σ ϑ = τ rϑ = (5.) πr σ = F π( + ), σ = F3 π( + ), τ = F π( + ). (5.) 5.5. Joonkoormuse mõju poolruumile 5-8 ja σ epüürid F = kohal = 5 5 ja τ epüürid F = kohal = 5 5 Joonis 5.3: Normaapinge σ ja nihkepinge τ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtuste jaoks kohal = mõjuva ühikulise jõu F korral. On selge, et vaadeldavas piirkonnas on normaalpinged negatiivsed iga ja korral, nihkepinge τ aga muudab jõu rakenduspunkti kohal oma märki: negatiivsete korral on τ > ja positiivsete korral on τ <. Joonisel 5.3 on esitatud normaalpinge σ ja nihkepinge τ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtustel =,,...,5.

42 5.5. Joonkoormuse mõju poolruumile F = kohal = ja σ epüürid Joonis 5.33: Normaapinge σ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtuste jaoks kohal = mõjuva ühikulise jõu F korral. Joonisel 5.33 on esitatud normaalpinge σ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtuste = 3,,,,,3 jaoks. Fikseeritud korral omab normaalpinge σ ekstremaalset väärtust kohal =, ja nihkepinge τ kohal = / 3. Analoogiliselt, fikseeritud = korral omab normaalpinge σ ekstremaalset väärtust kohal = / Joonkoormuse mõju poolruumile 5-84 Samapinge jooned radiaalpingele σ r ; F = Joonis 5.34: Radiaalpinge σ r samapinge jooned kohal = mõjuva ühikjõu F korral. Joonisel 5.34 on esitatud radiaalpinge σ r samapinge jooned ringjoonel raadiusega r on radiaalpinge σ r = F/πr. Kõik sellised ringjooned puutuvad -telge jõu F rakenduspunktis. Sellise graafilise radiaalpingte esituse andis esmakordselt Joseph Boussinesq ning seetõttu nimetatakse neid ringe Boussinesqi ringideks.

43 5.5. Joonkoormuse mõju poolruumile 5-85 radiaalpinge σ r samapinge ringjoone raadius r Joonis 5.35: Radiaalpinge σ r sõltuvana samapinge joone raadiusest r kui F =. Joonisel 5.35 on näidatud kuidas jõu F = korral sõltub radiaalpinge σ r samapinge joone raadiusest r Joonkoormuse mõju poolruumile 5-86 Valemeid (5.) ja (5.) võib kasutada selleks, et hinnata vundamendialuseid pingeid pinnases. Kuigi pinnas üldiselt ei käitu elastselt, on siiski leitud, et väikeste sisepingete korral on kõigil pinnastel rakendatav lineaarne elastsusteooria. Eelpool vaadeldud lahend on lihtsalt üldistatav suvalise joonkoormuse p() jaoks, mis mõjub lõigul [a, b]. Esmalt vaatleme juhtu, kus koondatud jõud F ei mõju mitte koordinaatide alguses, vaid punktis =. Sel juhul saavad valemid (5.) kuju σ = Fξ π(ξ + ), σ = F3 π(ξ + ), τ = Fξ π(ξ + ) (5.3) kus ξ =. Selleks, et arvutada lõigul a b mõjuvast joonkoormusest p() põhjustatud pingeid, tuleb saadud valemites teha asendus F = p(ξ)dξ ja integreerida lõigul [a,b].

44 5.5. Joonkoormuse mõju poolruumile 5-87 Juhul kui p = const., saame σ = p π = p π =b =a [ arctan ( b) ξ ( (ξ + ) dξ = p arctan ξ π ξ ) =b ξ + =a arctan ( a) = ( b) ( b) + + ( a) ] ( a), + (5.4) σ = p π =b =a 3 ( (ξ + ) dξ = p arctan ξ π + ξ ) =b ξ + =a = = p π [ arctan ( b) arctan ( a) + ( b) ( b) + ( a) ] ( a), + (5.5) 5.5. Joonkoormuse mõju poolruumile 5-88 =b ξ =b τ = p π =a (ξ + ) dξ = p πξ + = p [ π =a = ( b) + ( a) + ]. (5.6) Saadud valemite (5.4) (5.6) abil on võimalik hinnata pingeid vundamendialuses pinnases. JaanMetsaveerekoostatudõppevahendis 4 onväljapakutudalternatiivnevalem σ p = π (5.7) a, kus p on alusmüüri pikkusühikule mõjuv koormus, a vundamendi pikkus ja a a. See valem baseerub ideel määrata vundamendi ja pinnase vaheline rõhk, mis põhjustab ühtlase vertikaalsiirde kogu vundamendi ulatuses. Viimase valemi põhjal peaks vundamendi servades = ±a tekkima lõpmata suured pinged. Tegelikkuses selline olukord ei realiseeru juba suhteliselt väikeste pingete juures tekkivad = ±a ümbruses plastsed deformatsioonid ning tegelik pingejaotus on tunduvalt ühtlasem. 4 J. Metsaveer, Plaatide arvutus ja tasandülesanne, Tallinn, 987

45 5.6. Näide: joonkoormuse mõju poolruumile Näide: joonkoormuse mõju poolruumile Ülesanne. Poolruumile mõjub lõigul 5 5 kontsantne joonkoormus p =. Leida normaalpinged σ, σ ja τ koordinaatide ja fikseeritud väärtuste jaoks kasutades eelmises alajaotuses toodud valemeid. Lahendus.. Normaalpinge σ arvutamiseks saab kasutada valemeid (5.5), (5.3) või (5.7). Valem (5.5) võimaldab leida pinge σ väärtusi iga ja jaoks. Valemi (5.3) rakendamiseks tuleb lõik 5 5 jagada n võrdseks osalõiguks pikkusega = a/n ja joonkoormus n+ koondatud jõuks. Osalõikude otstes i = a+i, (i =,...,n) mõjuvad sel juhul koondatud jõud F i = ap/(n+). Iga jõud F i põhjustab pinge σ (F i ). Seega, rakendades superpositsiooni printsiipi, avaldub n+ jõust põhjustatud pinge summana σ = n i= σ (F i ). Valem (5.7) on mõeldud pingete arvutamiseks vahetult vundamendi all ning seetõttu pole seal koordinaati Näide: joonkoormuse mõju poolruumile 5-9 Tulemused on esitatud joonistel Joonisel 5.36 on osalõikude arv n =, joonisel 5.37 n = ja joonisel 5.38 n =. Punane punktiirjoon vastab valemile (5.5), violetne kriipsjoon valemile (5.7) ja sinine pidev joon valemile (5.3).. Nihkepinge τ arvutamiseks saab kasutada valemeid (5.6) või (5.3) 3. Valemi (5.6) abil leida pinge τ väärtusi iga ja jaoks. Analoogiliseltnormaalpingegaσ,tulebvalemi(5.3) 3 rakendamiseks lõik 5 5 jagada n võrdseks osalõiguks ja joonkoormus n + koondatud jõuks. Kokku saame nüüd τ = n i= τ (F i ). Tulemused on esitatud joonistel Joonisel 5.36 on osalõikude arv n =, joonisel 5.37 n = ja joonisel 5.38 n =. Punane punktiirjoon vastab valemile (5.6) ja sinine pidev joon valemile (5.3) 3.

46 5.6. Näide: joonkoormuse mõju poolruumile Normaalpinge σ arvutamiseks saab kasutada valemeid (5.4) või (5.3). Valemite (5.4) ja (5.3) kasutamise põhimõtted on samad, mis eelnevatel juhtudel. Tulemused on esitatud joonistel Joonisel 5.39 on osalõikude arv n =, joonisel 5.4 n = ja joonisel 5.4 n =. Punane punktiirjoon vastab valemile (5.4) ja sinine pidev joon valemile (5.3). 4. Joonistel on lisaks esitatud samapingejooned pingetele σ, σ ja τ piirkonnas, < Näide: joonkoormuse mõju poolruumile 5-9 ja σ 3 ja τ Joonis5.36:Normaapingeσ janihkepingeτ epüüridkoordinaadi fikseeritudväärtustejaoks lõigul 5 5 mõjuva ühikulise joonkoormuse korral, osalõikude arv n =.

47 5.6. Näide: joonkoormuse mõju poolruumile 5-93 ja σ 3 ja τ Joonis5.37:Normaapingeσ janihkepingeτ epüüridkoordinaadi fikseeritudväärtustejaoks lõigul 5 5 mõjuva ühikulise joonkoormuse korral, osalõikude arv n = Näide: joonkoormuse mõju poolruumile 5-94 ja σ 3 ja τ Joonis5.38:Normaapingeσ janihkepingeτ epüüridkoordinaadi fikseeritudväärtustejaoks lõigul 5 5 mõjuva ühikulise joonkoormuse korral, osalõikude arv n =.

48 5.6. Näide: joonkoormuse mõju poolruumile ja σ epüürid Joonis 5.39: Normaapinge σ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtuste jaoks lõigul 5 5 mõjuva ühikulise joonkoormuse korral, osalõikude arv n = Näide: joonkoormuse mõju poolruumile ja σ epüürid Joonis 5.4: Normaapinge σ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtuste jaoks lõigul 5 5 mõjuva ühikulise joonkoormuse korral, osalõikude arv n =.

49 5.6. Näide: joonkoormuse mõju poolruumile ja σ epüürid Joonis 5.4: Normaapinge σ epüürid koordinaadi fikseeritud väärtuste jaoks lõigul 5 5 mõjuva ühikulise joonkoormuse korral, osalõikude arv n = Näide: joonkoormuse mõju poolruumile Joonis 5.4: Samapingejooned normaapinge σ jaoks.

50 5.6. Näide: joonkoormuse mõju poolruumile Joonis 5.43: Samapingejooned normaapinge σ jaoks Näide: joonkoormuse mõju poolruumile Joonis 5.44: Samapingejooned nihkepinge τ jaoks.