prakt9.dvi

Väljavõte

1 ikreene maemaaika prakikum Reimo Palm Prakikumiüleanded Järgmii üleandeid aub püüda lahendada kõigepeal ilma näidilahendui vaaamaa. 1. Olgu G idu graaf, mille makimaalne ipuae on 2. Tõeada, e G on ka lihahel või lihükkel. Lahendu. Vaaleme graafi G makimaale pikkuega ahela. Selle ühelgi ieipul ei ole muid naabreid, e muidu olek ipu ae vähemal. Kui elle makimaale ahela kummalgi oipul ei ole naabreid, ii on G ie lihahel. Kui aga elle ahela mingil oipul on naaber, ii ei aa oipu lähuv erv minna ahela ieippu, e ee olek ii amega vähemal. inukee võimaluena aab ee erv minna ahela eie oippu. Sii aga G on lihükkel. 2. Teha kindlak, ka leidub Euleri graaf, mille a) ippude arv on paariu ja ervade arv paari; b) ippude arv on paari ja ervade arv paariu. Kui elline graaf leidub, ii jooniada ee. Kui graafi ei leidu, ii põhjendada. Lahendu. Mõlemad graafid leiduvad. Jooniel 1 kujuaud graafil on 5 ippu ja 6 erva, jooniel 2 kujuaud graafil aga 6 ippu ja 7 erva. Jooni 1. Jooni 2. 1

2 . a) Tõeada, e paariu ippude arvuga Euleri graafi leidub kolm ama amega ippu. b) Tõeada, e iga paariu n korral leidub n-ipuline Euleri graaf, mille on äpel kolm ippu ama amega ja ülimal kak ippu iga ülejäänud amega. Lahendu. a) Olgu 2k+1 graafi ippude arv. E Euleri graaf on idu ja eal on iga ipu ae paari, ii anud graafi ipuamed aavad olla ainul arvud 2,,..., 2k. Seega on 2k + 1 ipu ameek ühekokku k erineva variani. Järelikul eineb mingi nende arvude ippude amee ea rohkem kui 2 korda. b) Kui n =, ii graafik obib K, elle graafi ippude amed on 2, 2, 2. Kui n = 5, ii graafik obib graaf, mi on aadud graafi K 5 kolme ükli mooduava erva eemaldamiel; elle graafi ippude amed on,, 2, 2, 2. Olgu nüüd G mingi üleande ingimui rahuldav n-ipuline graaf. Liame graafile G kõigepeal kak ioleeriud ippu ning eejärel veel kak ippu, mille kummagi ühendame graafi kõigi ülejäänud ippudega (h eelneval liaud ioleeriud ippudega). Tekib (n + )-ipuline graaf. Seni graafi G olnud ippude ae on nüüd uurenenud 2 võrra, nende amee ea on ikka äpel kolm võrde, eejuure on makimaalne ae n + 1 ja minimaalne. Uue ippude on kahe ipu ae makimaalne ehk n + ning kahe ipu ae minimaalne ehk 2. Graaf on idu, e iga ipp on ühendaud makimaale amega ipuga, ning eal leidub Euleri ükkel, e iga ipu ae on paariarv. Järelikul rahuldab ka aadud graaf üleande ingimui. Lähude graafide n = ja n = 5 korral aame ellie konrukiooniga ükkõik millie paariu ippude arvuga obiva graafi.. Tõeada, e kui G = (X Y,E) on kahealueline Hamiloni graaf, ii X = Y. Lahendu. Vaaleme elle graafi uvali Hamiloni ükli. E kahealuelie graafi on ervad ainul erinevae alue vahel, ii paiknevad ellel üklil alue X ja alue Y ipud vaheldumii. Järelikul on ellel üklil alue X ippe amapalju kui alue Y ippe. E ee ükkel haarab kõik graaf ipud, ii X = Y. 5. Tõeada, e n-mõõmeline kuupq n on Hamiloni graaf igan 2 korral. Lahendu. Graaf Q 2 on ilmel Hamiloni graaf. Eeldame, e Q n 1 on Hamiloni graaf, ning vaaleme graafi Q n. Selle graafi ipud kujul (0,a), ku a on uvaline (n 1)-kohaline kahendarv, indueerivad alamgraafi, mi on iomorfne graafiga Q n 1. Leiame elle alamgraafi Hamiloni ükli. Graafi Q n ülejäänud ipud ülejäänud ipud, mi on kujul (1,a), mooduavad amui graafiga Q n 1 iomorfe alamgraafi. Eelneva leiud Hamiloni ükkel, 2

3 ku iga ipu on eimene arv 0 muudeud arvuk 1, mooduab Hamiloni ükli eie alamgraafi Q n 1. Vaaleme nüüd eimee Hamiloni ükli mingi erva (0, x) (0, y) ning eie Hamiloni ükli vaava erva (1, x) (1,y), ku x ja y on mingid (n 1)-kohalied kahendarvud. Kui need ervad üklie ära jäa ja aendada nad ervadega (0,x) (1,x) ja (0,y) (1,y), ii aame Hamiloni ükli graafi Q n. Tõepoole, aluade ipu (0,x), aame mööda eimee alamgraafi Hamiloni ükli ervi liikude aame läbida kõik eimee alamgraafi Q n 1 ipud, ii liikuda mööda erva (0,y) (1,y) eie alamgraafi Q n 1 ning läbida eie alamgraafi Hamiloni ükli mööda kõik eie alamgraafi ervad, jõude ippu (1,x) ja eal agai ippu (0,x). 6. Leida makimaalne voog võrgu Lahendu. Kauame Ford-Fulkeroni algorimi. Lähume nullvoo jooniel ja leiame uurendava ahela, ku ε =. Tulemu on kujuaud jooniel. Seal leiame uurendava ahela, ku ε =. Saame voo jooniel 5. Edai leiame uurendava ahela, mille korral ε =, ning aame voo jooniel 6. Suunaud uurendava ahela enam ei leidu, küll aga leidub uunamaa uurendav ahel, ku ε =, aame voo jooniel 7. See voog vääruega 1 on makimaalne, e võrgu leidub lõige vääruega 1, ee on kujuaud jooniel Iga k > 1 korral leida idu k-regulaarne graaf, mille puudub äielik kookõla. Lahendu. Kui k on paariarv, ii ellek graafik obib K k+1. See graaf on regulaarne amega k ning ema puudub äielik kookõla, e al on paariu arv ippe. Eeldame nüüd, e k on paariu arv. Vaaleme graafi K k+2. Selle on k+2 ippu amega k+1. Valime graafi K k+2 välja ühe ipu ning eemaldame kak elle lähuva erva. Tipud, mi ei ole väljavaliud ipp ega kummagi erva oipud, jaoame paaridee ning eemaldame kõik paari liikmeid ühendavad ervad. Tekib graaf, ku k + 1 ippu on amega k ning ük ipp amega k 1.

4 0/15 0/12 0/7 0/ 0/ 0/ 0/5 0/ Jooni. 0/15 /12 /7 / / 0/ /5 0/ Jooni. /15 7/12 /7 / 7/ / /5 / Jooni 5. 6/15 /12 7/7 / 7/ / /5 / Jooni 6. /15 /12 7/7 / 7/ 7/ 0/5 / Jooni Jooni 8.

5 Nüüd võame ühe uue ipu v, ku lähub k erva, ja k ekemplari eelkonrueeriud graafi. Ühendame iga ipu v lähuva erva ühe ekemplari elle ipu külge, mille ae on k 1. Sellega ekib graaf, ku kõikide ippude ae on k. Tekkinud graafi ei leidu äielikku kookõla, e ühe ipu v eemaldamiel ekib k ehk rohkem kui ük idua komponeni, mille igaühe ippude arv k +2 on paariu. See on vauolu Tue i eoreemiga. Teine võimalu näha, e ekkinud graafi ei leidu äielikku kookõla, on panna ähele, e kui ipp v on kookõla erva oipp, ii igaük ema ülejäänud k 1 naabri kuuluvad ühe paariu ippude arvuga komponeni, mida ei ole võimalik kaa äieliku kookõlaga. 8. Olgu k uvaline poiiivne äiarv. Tõeada, e kui G on k-regulaarne kahealueline graaf, ii graafi G ervade hulga E(G) aab eiada paarikaupa lõikumaue hulkade ühendina E(G) = M 1 M 2... M k, ku iga M i on graafi G äielik kookõla. Lahendu. Kurue on õeaud (v Graafid, lk 56, järeldu 7.), e kahealuelie graafi, mi ei ole nullgraaf, leidub äielik kookõla. Leiame ühe äieliku kookõla graafi G. Loeme elle kookõla ervad hulgak M 1 ning eemaldame need ervad graafi. E kookõla on äielik, ii väheneb graafi G iga ipu ae 1 võrra. Tulemuek on regulaarne graaf amega k 1. Kui k 1 > 0, ii kordame eelneva ja leiame ervade hulga M 2 jne. Igal ammul väheneb iga ipu ae 1 võrra, eega ekib lõpuk kokku k elli ervade hulka, mi on kõik omavahel lõikumaud. 9. a) Tõeada, e kui G on kahealueline, ii a on mingi (G)-regulaare kahealuelie graafi alamgraaf. b) Kauade punki a) ja üleanne 8, õeada, e kui G on kahealueline, ii χ (G) = (G). Lahendu. a) Olgu G kahealueline graaf aluega X ja Y. Kui X Y, ii liame väikemae aluee juurde nii palju ioleeriud ippe, e olek X = Y. E kummagi alue ipuamee umma võrdub graafi ervade arvuga, ii on ainul kak võimalu: ka kummaki alue on iga ipu ae (G) või kummaki alue leidub ipp, mille ae on väikem kui (G). Eimeel juhul on G ie (G)-regulaarne kahealueline graaf. Teiel juhul valime kummaki alue ühe ipu, mille ae on väikem kui (G), ja liame nende vahele erva. Saadud graafi on jällegi kak eelnimeaud võimalu. Vajaduel ühekaupa ervi liade jõuame lõpuk graafini, ku iga ipu ae on (G). Saadud graaf on kahealueline ja ialdab alamgraafina graafi G. b) Üleande 8 põhjal aab punki a) konrueeriud graafi ervade hulga ükeldada (G) lõikumauk äielikuk kookõlak. Kui värvida ühe kookõlae kuuluvad ervad alai ühe värvi (ja erinevae kookõlade ervad eri- 5

6 neva värvi), ii aame graafi ervade korreke värvimie (G) värviga. E G on konrueeriud graafi alamgraaf, ii annab ee värvimine ka G ervade korreke värvimie (G) värviga. Seejuure uleb G värvimiek kauada kindlai amui (G) värvi, mie vähem, e graafi G leidub ipp, mille ae on (G). Märku. Käeolev üleanne ja üleanne 8 kokku on ama mi eoreem 8.1 õpiku Graafid lk 66. Küimu. Ka punki a) väide kehib ka lihgraafide puhul, iga kahealueline lihgraaf G on mingi (G)-regulaare kahealuelie lihgraafi alamgraaf?. Olgu G aandiline lihgraaf. a) Tõeada, e G minimaalne ipuae ei ole uurem kui 5. b) Tõeada, e kuigippude arv on väikem kui 12, iigminimaalne ipuae ei ole uurem kui. c) Tõeada, e kuigervade arv on väikem kui 0, iigminimaalne ipuae ei ole uurem kui. Lahendu. Olgu n ja m vaaval graafi G ippude ja ervade arv ning S graafi G ipuamee umma. a) E S = 2m ja m n 6, ii S 6n 12. Järelkul leidub graafi ipp, mille ae on ülimal 5, e kui iga ipu ae olek vähemal 6, ii olek ipuamee umma S vähemal 6n. b) Kui iga ipu ae olek vähemal 5, ii olek S 5n. Teiel pool punki a) põhjal S 6n 12. Järelikul 5n 6n 12, mille n 12. Seega kui n < 12, ii leidub ipp, mille ae on väikem kui 5. c) Kui iga ipu ae olek vähemal 5, ii olek S 5n. Teiel pool S = 2m < 60. Järelikul 5n < 60, mille n < 12. Üleande väide järeldub nüüd punki b). 11. Leida kõik aandilied regulaared graafid amega, mi ühe erva liamiel muuuvad mieaandiliek. Lahendu. Kõigepeal, graaf peab olema idu, e kahe idua komponendi vahele erva liamine ei muuda aandili graafi mieaandiliek. Olgu n, m ja vaaval graafi G ippude, ervade ja ahkude arv. E graaf on regulaarne amega, ii ema ipuamee umma ehk kahekordne ervade arv on n = 2m, mille m = 2n. Taandilie graafi, mi ühe erva liamiel muuub mieaandiliek, on kõik ahud kolmnurked, e vaael korral aakime erva liada mingi ahu diagonaalina. E iga erv kuulub kahele ahule, ii = 2m, mille = 2 m = n. 6

7 Jooni 9. eade need väärued Euleri valemie n m+ = 2, aame n 2n+ n = 2, mille n = 6. Järelikul on egemi 6-ipulie graafiga, mille iga ipu ae on. Selle graafi äiend on 6-ipuline graaf, mille iga ipu ae on 1. Niiugueid graafe on ainul ük: a kooneb kolme idua komponendi K 2. inuke üleande ingimuele vaav graaf on elle graafi äiend (jooni 9). Niiugune graaf rahuldab õepoole üleande ingimui, e a on aandiline, aga kui ük erv liada, ii ekib graaf, millel on 6 ippu ja 1 erva, el juhul aga võrrau ei kehi. 12. Tõeada, e kui G on idu graaf, mille ervade arv ei ülea ippude arvu, ii χ(g). Lahendu. Olgu n graafi G ippude arv ja m ervade arv. Üleande ingimue põhjal m n. Teiel pool, e G on idu, ii m n 1. Kui m = n 1, ii arveade, e G on ka idu, aame, e G on puu. Puu ipud aab värvida kahe värviga: vaaval ellele, ka ipu kaugu mingi fikeeriud ipu (juure) on paari või paariu. Kui m = n, ii eineb graafi ükkel. Rohkem ükleid graafi ei ole, e kui ükli erv eemaldada, ii jääb järele idu graaf, ku m = n 1, ehk puu. Tükli ipud aab värvida 2 või värviga õluval elle, ka ükli on paariarv või paariu arv ippe. Kui nüüd kõik ükli ervad graafi eemaldada, ii jääb kogum iduaid ükliea graafe. Igaühe nende on ipud värviavad 2 värviga, eejuure ainul üklile kuuluva ipu värv on fikeeriud. Kokkuvõe piiab graafi G ippude värvimiek igal juhul ülimal värvi. 7