Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu
|
|
- Jaan Sillaste
- 4 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 Eesti koolioorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil a. Lahedused ja vastused IX klass 1. Vastus: 45. Olgu M tipust A lõigule KL tõmmatud ristlõigu aluspukt (vt. jooist 1). Täisurksed kolmurgad AK ja AM K o kogruetsed, sest eil o ühie hüpoteuus AK ja üks paar võrdse suurusega teravurki. Seega AM = A = AD, s.t. täisurksed kolmurgad AML ja ADL o samuti kogruetsed ig kust KAL = KAM + LAM = KA + LAD, 2 KAL = KAM + LAM + KA + LAD = 90 ig KAL = 45. D L M C K A Joois 1 2. Vastus: ei. Kui üks ülesade tigimusi rahuldavatest umbritest a, b ja c o paaris, siis peavad eed umbrid kõik olema paaris (tõepoolest, kui äiteks c o paaris, siis peab ab olema paaris, kust b o paaris; üüd 1
2 peab ka ca olema paaris, kust a o samuti paaris). Siis aga o ka a 2, b 2 ja c ülesade tigimusi rahuldavad umbrid. Seega võime üldisust 2 kitsedamata eeldada, et eed umbrid o kõik paaritud. Paeme ka tähele, et ükski eist umbritest ei saa olla 5, sest siis peaksid ka kaks ülejääut olema 5. Niisiis piisab vaadelda umbreid 1, 3, 7 ja 9 ig üks umbritest a, b ja c peab olema 3 või 9. Ülejääud kahest umbrist moodustatud arv peab seega jaguma 3-ga, mis aga o võimalik aiult juhul, kui eed kaks umbrit o 3 ja 9. Saadud vastuolu äitab, et ülesade tigimustele vastavaid umbreid a, b ja c ei leidu. 3. Vastus: 2 3. Üldisust kitsedamata võime eeldada, et a 1 < a 2 <... < a. Siis a 1 + a 2 < a 1 + a 3 <... < a 1 + a < a 2 + a <... < a 1 + a, s.t. erievaid summasid o igal juhul vähemalt 2 3. Võttes arvudeks a i arvud 1, 2,..., äeme, et miimaale summa o = 3 ja maksimaale ( 1)+ = 2 1, s.t. erievaid summasid o sel juhul täpselt Vastus: jah. Olgu Mari kirjutatud arvud a, b, c, d ja e (eed ei tarvitse olla kõik erievad). Kõigepealt saab Jüri arvud a ja b asedada võrdsete arvudega x = c + d e. Seejärel saab ta arvud c ja d asedada arvudega e + x x = e ig lõpuks arvud x asedada arvudega e + e e = e: (a, b, c, d, e) (x, x, c, d, e) (x, x, e, e, e) (e, e, e, e, e). 5. Vastus: hukati tõerääkija ja seejärel jäid saarele aiult valetajad, s.t. valetajaid o pärast hukkamist rohkem kui tõerääkijaid. Kui alguses oleksid saarel olud aiult valetajad, oleksid ka ede sõbrad olud kõik valetajad, s.t. ede ütlused esimesel küsitlusel oleksid olud tõesed vastuolu. Kui aga pärast hukkamist oleks saarel mõi tõerääkija, siis pidauks tema ütlused ii esimesel kui ka teisel küsitlusel olema tõesed see pole aga võimalik, sest ühe pärismaalase hukkamise tulemusea ei saa kellegi valetajatest ja tõerääkijatest sõprade arvude vahe muuta märki. 2
3 X klass 1. Olgu m = dm ja = d, kus SÜT (m, ) = 1. Siis v = m d ig ülesade tigimusest saame 3m d + d = 3m d + d, kust 3m + = 3m + 1 ehk (3m 1)( 1) = 0. Et 3m 1 0, siis 1 = 0 ig seega = d o arvu m jagaja. 2. Kui H o kolmurga AC kõrguste lõikepukt, siis AC H ja C AH, s.t. C o kolmurga AH kõrguste lõikepukt. Vaatleme üüd kolme võimalikku juhtu. (1) Kolmurk AC o teravurke (vt. jooist 2). Siis pukt H asub kolmurga AC sees ig seega pukt C asub kolmurgast AH väljaspool, mistõttu kolmurk AH o üriurke. (2) Kolmurk AC o üriurke ja AC o teravurk. Üldisust kitsedamata eeldame, et üriurk o tipu juures (vt. jooist 3). Et pukt H asub kolmurga AC pikimale küljele AC tõmmatud kõrguse pikedusel üle tipu, siis puktid C ja H asuvad sirgest A erieval pool. Seega pukt C asub kolmurgast AH väljaspool, mistõttu kolmurk AH o üriurke. (3) Kolmurk AC o üriurke ja AC o üriurk (vt. jooist 4). Siis pukt H asub kolmurga AC küljele A tõmmatud kõrguse pikedusel üle tipu C. Seega pukt C asub kolmurga AH sees, mistõttu kolmurk AH o teravurke. H C H H C A A C A Joois 2 Joois 3 Joois 4 3. Vastus: 30. Kui arvude a i hulgas o m paaritut arvu, siis Juku leitud paarituid arve o maksimaalselt f(m) = m(m 1) m(7 m) = 1 2 (m2 m + 28m 4m 2 ) = 3
4 = 3 2 m(9 m) = 3 ( 81 ( 9 ) ) m ig f(m) maksimaale väärtus o f(4) = f(5) = 30. Jääb üle äidata, et eed paaritud arvud võivad olla kõik erievad. Selleks võime võtta äiteks a 1 = 2, a 2 = 4 ja a 3 = 6 ig a 4 = 25 = 5 2, a 5 = 125 = 5 3, a 6 = = 5 6 ja a 7 = = Siis ede arvude paaritud vahed o 19, 21, 23, 119, 121, 123, 15619, 15621, 15623, , , ; ede arvude paaritud summad o 27, 29, 31, 127, 129, 131, 15627, 15629, 15631, , , ig ede arvude paaritud korrutised o 5 5, 5 8, 5 9, 5 12, 5 13, A D C A D Joois 5 Joois 6 C 4. Vastus: Vaadeldava murdjooe lülideks o kuubi servad pikkusega 1 ja kuubi tahkude diagoaalid pikkusega 2. Et kuubil o 8 tippu ig murdjoo ei läbi ühtegi tippu rohkem kui üks kord, siis saab tal olla ülimalt 7 lüli. Värvides kuubi tipud kahe värviga ii, et aabertipud oleksid erievat värvi (vt. jooist 5), äeme, et kuubi vastastipud o erievat värvi ig mistahes tahu vastastipud o sama värvi seega peab 4
5 murdjoo sisaldama paaritu arvu kuubi servi. Ülaltoodud värvimisest järeldub ka, et murdjoo ei saa sisaldada järjest üle kolme lüli, mis o kuubi tahkude diagoaalid (kua ede otspuktid oleksid siis kõik ühte värvi ja kuubil o aiult 4 üht värvi tippu). Kui üüd murdjoo sisaldaks ühe kuubi serva ja kuus tahkude diagoaali, siis peaks selle kummaski otsas olema kolm lüli, mis o kuubi tahkude diagoaalid o lihte kotrollida, et ede lülide paigutamiseks o sümmeetria täpsusega üksaius võimalus ig saadavad murdjooe osad ei ole ühedatavad kuubi servaga. Seega ei saa vaadeldav murdjoo olla pikem kui ; sellise pikkusega sobiv murdjoo o äidatud jooisel Vastus: Olgu S pärast -dat õpilast tahvlil olevate arvude summa. Tõestame iduktsiooiga, et S = Kui = 0, siis S 0 = 2 = Eeldame üüd, et k õpilase järel o tahvlil olevate arvude summa 3 k + 1. Siis k + 1 õpilase järel o tahvlil kõik k õpilase järel tahvlil olud arvud ig lisaks (k + 1). õpilase kirjutatud summad seejuures iga k õpilase järel tahvlil olud arv kuulub täpselt kahe sellise summa koosseisu, välja arvatud kaks äärmist arvu 1, mis kuuluvad aiult ühe sellise summa koosseisu. Seega XI klass S k+1 = S k + 2S k 2 = 3(3 k + 1) 2 = 3 k Vastus: a = Paeme tähele, et muutuja vahetusega t = x 4 saame ruutvõrradi t suhtes, ig võrradil x 4 = t 0 o ülimalt kaks lahedit, mis o sel juhul teieteise vastadarvud. Seega juhul, kui võrradil x 8 +ax 4 +1 = 0 o eli lahedit, peavad eed olema kujul ±x 0 ja ±x 1. Eeldades üldisust kitsedamata, et x 1 > x 0, äeme, et eed lahedid o aritmeetilise jada järjestikusteks liikmeteks siis ja aiult siis, kui x 1 = 3x 0. Võrradi t 2 + at + 1 lahediteks o siis x 4 0 ja 81x 4 0 ig Viete i valemitest saame, et 81x 8 0 = 1, kust x 4 0 = 1 9, ig a = 82x4 0 = Vastus:
6 Olgu vaatluse all kolmurk AC ja pukt P ig olgu P A = 3, P = 4 ja P C = 5. Pöörame kolmurka 60 võrra ümber tipu C, ii et tipp A asetub tipu kohale ja tipp kujutub puktiks (vt. jooist 7). Pukt P kujutub siis puktiks P, kusjuures P = P A = 3, P = P = 4 ja P C = P C = 5. Et lõikude CP ja CP vahelie urk o 60, siis o kolmurk CP P võrdkülge, s.t. P P = 5. Nüüd P 2 + P 2 = = 5 2 = P P 2, mistõttu P P = 90. Et kolmurgad AP ja P o kogruetsed, siis AP + AP = AP + P = = 30 ig AP = = 150. Koosiusteoreemist kolmurgas AP saame üüd A 2 = AP 2 + P 2 2 AP P cos AP = 3 = = ig otsitav pidala o S = 3 4 A 2 = C P P Joois 7 A 3. Vastus: ei. Alguses tahvlile kirjutatud 2002-kohalie arv aab 4-ga jagamisel jäägi 3, arv 9 aga jäägi 1. Kui N = ab ig N aab 4-ga 6
7 jagamisel jäägi 3, siis üks arvudest a ja b aab 4-ga jagamisel jäägi 1 ja teie jäägi 3 ig arvu N asemele tahvlile kirjutatavatest arvudest a ja b (kus a a = 2 ja b b = 2) aab samuti üks 4-ga jagamisel jäägi 1 ja teie jäägi 3. Seega o iga sammu järel tahvlil vähemalt üks arv, mis aab 4-ga jagamisel jäägi 3, mistõttu ei ole võimalik, et migi arvu sammude järel oleksid seal aiult arvud Vastus: 6. Võttes arvudeks a i eli täisarvu ja ühe mitte-täisarvu, saame 6 täisarvulist ja 4 mitte-täisarvulist summat. Tähistagu edaspidi {c} arvu c murdosa, s.t. c = c [c], kus c o arvu c täisosa, ig 0 {c} < 1. Et tõestada N = 6 maksimaalsust, paeme tähele, et: (a) kui {a} {b} ja c o suvalie reaalarv, siis summadest c + a ja c + b ülimalt üks võib olla täisarv; (b) kui a = b, siis a + b o täisarv siis ja aiult siis, kui {a} = 0 või {a} = 0,5; (c) kui {a} {b} ja a + b o täisarv, siis {a} ja {b} ei ole 0 ega 0,5. Vaatleme üüd 5-elemedilise hulga erievaid võimalikke tükeldusi alamhulkadeks, kus ühte alamhulka kuuluvad sama murdosaga arvud. (1) Kui {a 1 } = {a 2 } = {a 3 } = {a 4 } = {a 5 } ig summade a i + a j hulgas o täisarve, siis vastavalt puktile (b) o eed summad kõik täisarvud. (2) Kui {a 1 } = {a 2 } = {a 3 } = {a 4 } = x ig {a 5 } x, siis juhul, kui x ei ole 0 ega 0,5, o meil vastavalt puktile (b) ülimalt 4 täisarvulist summat, vastasel juhul aga vastavalt puktile (c) ülimalt 4 3 = 6 2 täisarvulist summat. (3) Kui {a 1 } = {a 2 } = {a 3 } = x ig {a 4 } = {a 5 } = y x, siis juhul, kui x ega y ei ole 0 ega 0,5, o meil vastavalt puktile (b) ülimalt 2 3 = 6 täisarvulist summat, vastasel juhul aga vastavalt puktile (c) ülimalt = 5 täisarvulist summat. (4) Kui {a 1 } = {a 2 } = {a 3 } = x ig {a 4 } = y ja {a 5 } = z (kus x, y ja z o kõik erievad), siis juhul, kui x ei ole 0 ega 0,5, o meil vastavalt puktidele (a) ja (b) ülimalt 3 täisarvulist summat, vastasel juhul aga vastavalt puktile (c) ülimalt 1+3 = 4 täisarvulist summat. (5) Kui {a 1 } = {a 2 } = x ig {a 3 } = {a 4 } = y ja {a 5 } = z (kus x, y ja z o kõik erievad), siis juhul, kui x ega y ei ole 0 ega 0,5, 7
8 o meil vastavalt puktidele (a) ja (b) ülimalt 2 2 = 4 täisarvulist summat, vastasel juhul aga vastavalt puktile (c) ülimalt = 4 täisarvulist summat. (6) Kui {a 1 } = {a 2 } = x ig {a 3 } = y, {a 4 } = z ja {a 5 } = t (kus x, y, z ja t o kõik erievad), siis juhul, kui x ei ole 0 ega 0,5, o meil vastavalt puktidele (a) ja (b) ülimalt = 3 täisarvulist summat, vastasel juhul aga vastavalt puktidele (a) ja (c) ülimalt = 2 täisarvulist summat. (7) Kui arvud a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 o kõik erieva murdosaga, siis o meil vastavalt puktile (a) ülimalt 2 täisarvulist summat. Kokkuvõttes ägime, et rohkem kui 6 täisarvulist summat a i +a j saab olla aiult juhul (1), ig sel juhul o kõik summad a i + a j täisarvud. 5. Vastus: kui =, siis 2 k 1 (2 k 1 1); kui = + 1, siis 0. Lahedus 1. Värvime kaheksaurga tipud vaheldumisi mustaks ja valgeks. Kua tipud A ja o ühte värvi ig iga miutiga liigub robot üht värvi tipust teist värvi tippu, siis peab roboti teekod tipust A tippu kestma paarisarvu miuteid. Nummerdame tipud päripäeva 1-st 8-i, alustades tipust A (tippu tähistab siis arv 5), ja märgime järjedia a (k) = (a (k) 1, a(k) 2,..., a(k) 8 ) võimaluste arvud, kuidas robot võib k miutiga jõuda tippudesse 1, 2,..., 8. Tõestame iduktsiooiga m järgi, et iga m 1 korral a (2m) = (2 2m m 1, 0, 2 2m 2, 0, 2 2m 2 2 m 1, 0, 2 2m 2, 0). Kui m = 1, siis o robot läbiud 2 lõiku. Ta võib läbida eed kaks lõiku ühes suuas või alustada ükskõik kummas suuas ig pöörata vahepeal ümber ja jõuda tippu 1 tagasi. Järelikult a (2) = (2, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0), mis o kooskõlas tõestatava väitega. Eeldame üüd, et väide kehtib juhul m = k. Tähistame lühiduse mõttes 2 k 1 = s, siis a () = (s 2 + s, 0, s 2, 0, s 2 s, 0, s 2, 0). Järgmisele miutile vastava võimaluste järjedi leidmiseks tuleb iga tipu M puhul liita tema aabertippudele vastavad arvud eelmisel mi- 8
9 util, sest tippu M võib robot liikuda aiult kummmagi aabertipu kaudu. Järelikult a (+1) = (0, 2s 2 + s, 0, 2s 2 s, 0, 2s 2 s, 0, 2s 2 + s) ig aaloogiliselt a (+2) = (4s 2 + 2s, 0, 4s 2, 0, 4s 2 2s, 0, 4s 2, 0). Kua 4s 2 = 2 ja 2s = 2 k, siis oleme tõestaud, et väide kehtib ka juhul m = k + 1. Võimaluste arv, kuidas robot võib jõuda = miutiga tippu = 5, o iisiis k 1 = 2 k 1 (2 k 1 1). Lahedus 2. Nummerdame kaheksaurga tipud päripäeva 0-st 7-i, ii et tipu A juures o 0 ja tipu juures 4 (edaspidi vaatleme tippude umbreid igal pool modulo 8). Paeme tähele, et kui robot asub k. miutil tipus T k, siis (k+1). miutil asub ta tipus T k + 1 või T k 1 modulo 8 iisiis iga miutiga liitub tipu umbrile, kus robot parajasti o, kas 1 või 1 modulo 8. Seame roboti igale miutit kestvale liikumisele vastavusse summa S, mis kooseb liidetavast 1 või 1. Näiteks S = tähedab, et robot liikus kaks miutit päripäeva, siis ühe miuti vastupäeva ja seejärel uuesti ühe miuti päripäeva. Seejuures miuti järel asub robot tipus S modulo 8 ig roboti erievate liikumiste ja summade S vahel o üksühee vastavus. Robot jõuab miutiga tipust A = 0 tippu = 4 parajasti siis, kui vastav summa S kooseb liidetavast ig S 4 (mod 8). Olgu S kõigi liidetavaga summade S hulk, siis S = 2. Olgu S (i) selliste liidetavaga summade hulk, mis aavad 8-ga jagamisel jäägi i (i = 0, 1,..., 7). Uurime, kuidas sõltub S (4) arvust. Ilmselt S (4) = 0, kui o paaritu (üldisemalt S m (k) = 0, kui m ja k o erieva paarsusega, sest kõik summad hulgas S m o sama paarsusega agu arv m). Ilmselt S (4) 4 = 2 = 2 1 ja S(4) 6 = 6 2 = 12 = 4 3 (esimesel juhul o sobivas summas kõik liidetavad samamärgilised; teisel juhul peame valima ühe, mis o teistest erieva märgiga: selle liidetava valikuks o 6 võimalust ja tema märgi valikuks 2 võimalust). Tõestame iduktsiooiga, et S (4) = 1 (2 k 1 1). Paeme tähele, et igast summast hulgas S (i) saame kahe liidetava jääk ei saame lõppu lisamisel täpselt kaks erievat summat hulgast S (i) +2 muutu, kui lisame +1 1 või 1+1. Igast summast hulgas S (i) 9
10 ka täpselt ühe summa hulgas S (i+2) +2, lisades , ja ühe summa hulgas S (i 2) +2, lisades 1 1 (idekseid vaatleme modulo 8). Ühestki summast hulgas S (i) S (m) +2 ei saa kahe liidetava lisamisel summat hulgast, kus m = i ± 1 või m i > 2. Seega S (0) +2 = 2 S(0) + S (2) + S (6), S (2) +2 = 2 S(2) + S (0) + S (4), S (4) +2 = 2 S(4) + S (2) + S (6), S (6) +2 = 2 S(6) + S (0) + S (4). Nüüd = korral S (4) +2 = 2 S(4) + S (2) + S (6) = = 2 S (4) + (2 S (2) 2 + S(0) 2 + S(4) 2 ) + + (2 S (6) 2 + S(0) 2 + S(4) 2 ) = = 2 S (4) + 2 S 2 (sest S (1) 2 = S(3) 2 = S(5) 2 = S(7) 2 = 0) ig seega vastavalt iduktsiooi eeldusele S (4) +2 = 2 1 (2 k 1 1) = k = = 2 2 k = 2 k (2 k 1). Lahedus 3. Samuti agu eelmises laheduses ummerdame kaheksaurga tipud päripäeva 0-st 7-i (käsitledes tippude umbreid modulo 8) ig vaatleme roboti liikumistele üksüheselt vastavaid summasid S, kus liidetavateks o 1 ja 1. Robot jõuab miutiga tipust A = 0 tippu = 4 parajasti siis, kui vastav summa S kooseb liidetavast ja S 4 (mod 8). See tigimus aga kehtib parajasti siis, kui = 4 ja summas S o parajasti k+2+4i liidetavat +1, kus i o migi täisarv seega võime vabalt valida..., k 6, k 2, k+2, k + 6,... liidetavat, mille ette paeme plussi, ig ülejääute ette paeme miiuse. (Tõepoolest, olgu s liidetavat plussmärgiga, siis s liidetavat o miiusmärgiga ja S = s ( s) = 2s 4 (mod 8) ehk samaväärselt s k 2 (mod 4).) Võimalusi roboti tee valimiseks ii, et ta miutiga jõuaks puk- 10
11 tist A pukti, o iisiis... + C k 6 + C k 2 + C k+2 + C k , kus Ct s tähistab kombiatsiooide arvu t elemedist s kaupa ig Ct s = 0, kui s < 0 või s > t. Märkus. Näitame iduktsiooiga k järgi, et Σ =... + C k 6 + C k 2 + C k+2 + C k = 2 k 1 (2 k 1 1). Kui k = 2, siis C C 4 4 = 2 = 2 1 (2 1 1). Kehtigu üüd väide k korral, siis k + 1 jaoks saame (kasutades seost C s t+1 = C s 1 t + C s t ) Σ +2 =... + C k Ck Ck Ck = =... + C k Ck Ck Ck C k Ck Ck Ck = =... + C k 7 + 2C k 2 + 2C k 6 + C k 5 + C k C k 1 + C k+1 + 2C k C k+3 + C k+5 + 2C k+6 + C k = =... + C k 7 + C k 5 + C k 3 + C k 1 + C k+1 + C k C k+5 + C k k 1 (2 k 1 1) = =... + C k Ck Ck Ck C k Ck Ck Ck C k 1 + C k Ck Ck C k Ck Ck Ck k 1 (2 k 1 1) = = k 1 (2 k 1 1) = 2 k (2 k k 1 1) = = 2 k (2 k 1). XII klass 1. Vastus: 17 miutit. Veedume kõigepealt, et kogu seltskoal o võimalik tuel läbida 17 miutiga: 1) Peeter ja Jüri läbivad tueli (2 miutit); 11
12 2) Peeter toob tõrviku tagasi (1 miut); 3) Kati ja Mari läbivad tueli (10 miutit); 4) Jüri toob tõrviku tagasi (2 miutit); 5) Peeter ja Jüri läbivad tueli (2 miutit). Näitame üüd, et vähem kui 17 miutiga pole kõigil võimalik tuelit läbida. Ilmselt tuleb tuel kokku läbida paaritu arv kordi ig vähemalt 5 korda: 3 korda pärisuuas ja 2 korda vastassuuas tõrviku tagasitoomiseks (ühest tõrviku tagasitoomisest ei piisa, kua selle järel o tueli alguses vähemalt 3 iimest, kes ei saa korraga tuelit läbida). Kui tuel läbitakse 7 või rohkem korda, siis kulub selleks mitte vähem kui = 17 miutit. Kui tuel läbitakse 5 korda, siis pärisuualiselt miakse iga kord kahekesi ja see võtab aega vähemalt 2 miutit, kusjuures üks kord (kui läbimiejaks o Mari) kulub aega 10 miutit. Kui tõrviku tagasitoojaks o mõlemal korral Peeter, siis peab Peeter osalema ka igas tuelit pärisuualiselt läbivas paaris, mistõttu Kati ja Mari peavad tueli läbima eraldi ig kokku kulub mitte vähem kui = 19 miutit. Kui aga ühel korral ei ole tõrviku tagasitoojaks Peeter, siis kulub kokku mitte vähem kui = 17 miutit. 2. Vastus: ei. Olgu N aiult umbritest 2 ja 0 koosev arv, mis lõpeb t ulliga (t 0), siis N = t = t+1 5 t, kus arvus puktiiriga äidatud osa kooseb umbritest 2 ja 0 (arvus vastavalt 1 ja 0). Kua tegur ei jagu 2-ga ega 5-ga, siis juhul, kui N = k, peavad ii t + 1 kui ka t olema arvu k kordsed, mistõttu k = Viies kõik liikmed ühele poole, avades sulud ja koodades sarased liikmed saame, et ülesades atud võrratus o samavääre võrratusega a 4 + b 4 + c 4 2a 2 b 2 2b 2 c 2 2c 2 a 2 < 0. Teisedame selle võrratuse vasakut poolt: a 4 + b 4 + c 4 2a 2 b 2 2b 2 c 2 2c 2 a 2 = 12
13 = (a 2 + b 2 c 2 ) 2 4a 2 b 2 = = (a 2 + b 2 c 2 2ab)(a 2 + b 2 c 2 + 2ab) = = ( (a b) 2 c 2 ) )( (a + b) 2 c 2) = = (a b + c)(a b c)(a + b + c)(a + b c). Ülesades atud võrratus o iisiis samavääre võrratusega (a + b + c)(a + b c)(b + c a)(c + a b) > 0. (1) Sii esimee tegur o positiive ig ülejääud teguritest ei saa rohkem kui üks korraga olla egatiive (olgu äiteks a + b c < 0 ja b + c a < 0, siis ede võrratuste liitmisel saame 2b < 0 vastuolu). Seega kehtib võrratus (1) siis ja aiult siis, kui arvudest a, b ja c mistahes kahe summa o suurem kolmadast, s.t. eed arvud o migi kolmurga külgede pikkusteks. l 2 D K C A ω L ω 2 l 1 ω 1 Joois 8 4. Lahedus 1. Olgu ω 1 ja ω 2 vastavalt kolmurkade AKL ja CKL ümberrigjooed (vt. jooist 8). Oletame, et rigjooed ω ja ω 2 puutuvad teieteist puktis C, ig olgu l 2 ede ühie puutuja. Et kõõlule toetuv piirdeurk o võrde urgaga selle kõõlu ja tema otspuktis 13
14 rigjooele tõmmatud puutuja vahel, siis KLC = KCl 2 = Cl 2 = DC, mistõttu KL D. Seega AD = AKL ig järelikult rigjooele ω puktis A tõmmatud puutuja moodustab kõõluga A sama suure urga agu rigjooele ω 1 puktis A tõmmatud puutuja moodustab kõõluga AL. Et puktid A, ja L o ühel sirgel, siis rigjootel ω ja ω 1 o puktis A ühie puutuja l 1, s.t. eed rigjooed puutuvad teieteist puktis A. Rakedades sama arutelu vastassuuas äitame, et rigjoote ω ja ω 1 puutumisest puktis A järeldub rigjoote ω ja ω 2 puutumie puktis C. Lahedus 2. Samuti agu esimeses laheduses olgu ω 1 ja ω 2 vastavalt kolmurkade AKL ja CKL ümberrigjooed. Kui rigjooed ω ja ω 1 puutuvad teieteist puktis A, siis leidub sellie homoteetiateisedus keskpuktiga puktis A, mis viib rigjooe ω rigjooeks ω 1. Et K o sirge AD lõikepukt rigjooega ω 1 ja L o sirge A lõikepukt rigjooega ω 1 ig puktid ja D paikevad rigjooel ω, siis see homoteetia viib pukti D puktiks K ig pukti puktiks L, mistõttu KL D. Et seejuures lõigud K ja DL lõikuvad puktis C, siis leidub homoteetiateisedus keskpuktiga C, mis viib pukti puktiks K ig pukti D puktiks L. See homoteetia viib siis kolmurga CD ümberrigjooe ω kolmurga CKL ümberrigjooeks ω 2, mistõttu rigjooed ω ja ω 2 puutuvad teieteist puktis C. Aaloogiliselt äitame, et rigjoote ω ja ω 2 puutumisest puktis C järeldub rigjoote ω ja ω 1 puutumie puktis A. 5. Vastus: Lahedus. Tähistame k võidu võimalike jaotumiste arvu külalise vahel sümboliga C k. Paeme tähele, et mistahes k võidu jaotumise külalise vahel saab ühe lisavõidu väljaloosimisega ülejääud k külalise seas täiedada k erievaks k + 1 võidu jaotumiseks. Iga k +1 võidu jaotumie o iimoodi saadav aga k +1 erievast k võidu jaotumisest ( k + 1 võidust ükskõik millise võime lugeda lisavõiduks). Seega mistahes > 0 ja 0 k korral kehtib valem C k+1 = k k + 1 Ck. (2) 14
15 Tähistagu järgevas ja m vastavalt külaliste arvu ja tegelikku võitude arvu. Ülesade tigimustest saame võrradisüsteemi C m C m+1 = 2 C m 1 = 3 2 Cm. (3) Asedades sii võrduste vasakud pooled valemi (2) järgi, saame m + 1 m C m 1 m m + 1 Cm = 2 C m 1 = 3 2 Cm Et ülesade tigimuste järgi ilmselt C m > 0 ja C m 1 > 0, saame esimesest võrradist m + 1 = 2m, kust = 3m 1, ig teisest võrradist 2( m) = 3(m + 1). Asedades sii = 3m 1, saame 4m 2 = 3m + 3, kust m = 5 ja = 14. Jääb veel leida võitude jaotumiste arv 14 külalise ja 5 võidu korral: C 5 14 = C = =
lvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemMicrosoft Word doc
LEA LEPMANN TIIT LEPMANN KALLE VELSKER MATEMAATIKA 5. TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATE- MAATILISE STATISTIKA ELEMENTE 5.. KOMBINATOORIKA Põhikoolis oleme õppiud ja 0. klassis korraud, et südmuse A toimumise tõeäosuseks
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemSegamudelid2010.pdf
Peatükk 5 Dispersiooimaatriksi V hidamisest Üldistatud vähimruutude meetodit saame kasutada siis, kui teame vaatluste kovariatsiooimaatriksit V. Paraku eamasti pole uural sellist iformatsiooi. Seega tekib
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
RohkemPIDEVSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE
5. Lõpliku siirdega filtrid (I) SIGNAALITÖÖTLUS II Loegumaterjal 5 (I/II) Toomas uube I filter omab lõpliku pikkusega diskreetset impulsskaja hi iltri väljudsigaal y o kovolutsioo impulsskajast ja diskreetsest
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
RohkemStatistiline andmetöötlus
Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemloogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd
. Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemTants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.
Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemAndmed arvuti mälus Bitid ja baidid
Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
Rohkem19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemSlide 1
Koolist väljalangenute endi vaatenurk (...) see et ma ei viitsind õppida. (...) oli raskusi midagi tunnis teha ka, kui keegi seal seljataga midagi möliseb Sul seal. Helen Toming Et jah kui klassiga nagu
Rohkemmy_lauluema
Lauluema Lehiste toomisel A. Annisti tekst rahvaluule õhjal Ester Mägi (1983) Soran Alt q = 144 Oh se da ke na ke va de ta, ae ga i lust üü ri kes ta! üü ri kes ta! 3 Ju ba on leh tis lei na kas ke, hal
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemTuustep
TUUSTEPP Eesti tants segarühmale Tantsu on loonud Roland Landing 2011. a. Pärnus, kirjeldanud Erika Põlendik. Rahvalik muusika, esitab Väikeste Lõõtspillide Ühing (CD Kui on kuraasi ). Tantsus on käed
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemPIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As
PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta
RohkemPintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers)
Pintsli otsade juurde tegemine Esiteks Looge pilt suurusega 64x64 ja tema taustaks olgu läbipaistev kiht (Transparent). Teiseks Minge kihtide (Layers) aknasse ja looge kaks läbipaistvat kihti juurde. Pange
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemMicrosoft PowerPoint - loeng2.pptx
Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute
Rohkem01_loomade tundmaõppimine
Tunnikava vorm Õppeaine ja -valdkond: Mina ja keskkond Klass, vanuse- või haridusaste: alusharidus Tunni kestvus: 30+15minutit Tunni teema (sh alateemad): Loomade tundmaõppimine, maal elavad loomad Tase:
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemTartu Kutsehariduskeskus Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärg
Teksti sisestamine Suurem osa andmetest saab sisestatud klaviatuuril leiduvate sümbolite abil - tähed, numbrid, kirjavahemärgid jne. Suurte tähtede sisestamiseks hoia all Shift-klahvi. Kolmandate märkide
RohkemEesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirju
Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirjuta sõna vastandsõna ehk antonüüm, nii et sõna tüvi
Rohkem(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)
TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg
RohkemSaksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigi
Saksa keele riigieksamit asendavate eksamite tulemuste lühianalüüs 2014 1. Ülevaade saksa keele riigieksamit asendavatest eksamitest Saksa keele riigieksam on alates 2014. a asendatud Goethe-Zertifikat
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
Rohkem6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE
6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF 868MHz 3-6 EE 1. KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC
RohkemMida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier
Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.
RohkemAINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi
AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine
RohkemPuitpõrandad
Vanajamaja koostöös Muinsuskaitseametiga Puitpõrandad Andres Uus ja Jan Varet Mooste 9 mai 2014 Puitpõrandad Talumajade põrandad toetuvad tihti otse kividele, liivale, kruusale. Vahed on täidetud kuiva
RohkemÜlesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased
Ülesanne #5: Käik objektile Kooli ümberkujundamist vajava koha analüüs. Ülesanne #5 juhatab sisse teise poole ülesandeid, mille käigus loovad õpilased oma kujunduse ühele kohale koolis. 5.1 Kohavalik Tiimi
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemVana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi
Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi 22.02.2019 Rasmus Kask SA Eesti Vabaõhumuuseum teadur Mis on väärtus? 1) hrl paljude inimeste, eriti asjatundjate (püsiv) hinnang asja, nähtuse või olendi
RohkemMicrosoft Word - MKM74_lisa2.doc
Majandus- ja kommunikatsiooniministri 6. oktoobri 2010. a määruse nr 74 Avaliku konkursi läbiviimise kord sageduslubade andmiseks televisiooni ringhäälingusaadete ja -programmide digitaalse edastamise
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
RohkemTala dimensioonimine vildakpaindel
Tala dimensioonimine vildakpaindel Ülesanne Joonisel 9 kujutatud okaspuidust konsool on koormatud vertikaaltasandis ühtlase lauskoormusega p ning varda teljega risti mõjuva kaldjõuga (-jõududega) F =pl.
RohkemValik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapo
Valik harjutusi eesti keele postkaartide jaoks Tervitused ja hüvastijätud Grupp töötab paarides, harjutab fraase ja täiendab kaardil olevat veel omapoolsete tervitus- ja hüvastijätufraasidega. Saab arutleda,
Rohkem12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
Rohkem(geomeetria3_0000.eps)
Analüütilise geomeetria praktikum III L. Tuulmets Tartu 1980 3 4 Eessõna Käesolev analüütilise geomeetria praktikum on koostatud eeskätt TRÜ matemaatikateaduskonna vajadusi arvestades ning on mõeldud kasutamiseks
RohkemSINU UKS DIGITAALSESSE MAAILMA Ruuter Zyxel LTE3302 JUHEND INTERNETI ÜHENDAMISEKS
SINU UKS DIGITAALSESSE MAAILMA Ruuter Zyxel LTE3302 JUHEND INTERNETI ÜHENDAMISEKS OLULINE TEAVE: LOE ENNE RUUTERI ÜHENDAMIST! Ruuter on sinu uks digitaalsesse maailma. Siit saavad alguse kõik Telia teenused
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemMathcad - Operaatorid.xmct
Marek Kolk, Tartu Ülikool MathCa (lühem versioo) Viimati muuetu :.. Operaatori Aritmeetilise operaatori Nee leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja erali kommeteerimist. Tehete järjekorraks o asteamie,
RohkemKiekim mees kirjeldus.docx
KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad
RohkemPowerPoint Presentation
Mahara võimalused Marju Piir Triin Marandi Tartu Ülikool 2016 E-portfoolio Kogumik õppija poolt loodud, valitud, järjestatud, reflekteeritud ja esitletud materjalidest, tõendamaks õpitust arusaamist ja
Rohkem1. klassi eesti keele tasemetöö Nimi: Kuupäev:. 1. Leia lause lõppu harjutuse alt veel üks sõna! Lõpeta lause! Lapsed mängivad... Polla närib... Õde r
1 klassi eesti keele tasemetöö Nimi: Kuupäev: 1 Leia lause lõppu harjutuse alt veel üks sõna! Lõpeta lause! Lapsed mängivad Polla närib Õde riputab Lilled lõhnavad Päike rõõmustab ( pesu, õues, peenral,
RohkemLõppvoor 2016
Lõppvoor 016 Ülesanded 9. klass.............. 10. klass............. 3 11. klass............. 4 1. klass............. 5 Ülesanded vene keeles 6 9 класс.............. 6 10 класс............. 7 11 класс.............
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
RohkemPAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage sei
PAIGALDUSJUHEND DUŠINURK VESTA 1. Enne paigaldustööde alustamist veenduge, et elektrikaablid, veetorud vms ei jääks kruviaukude alla! 2. Puhastage seinad ja põrand enne dušinurga paigaldamist! 3. Kasutage
RohkemPangalingi spetsifikatsioon Pocopay pangalingilt makse algatamiseks tuleb kasutada teenust Kaupmees teeb päringu Pocopayle aadressile
Pangalingi spetsifikatsioon Pocopay pangalingilt makse algatamiseks tuleb kasutada teenust 1011. Kaupmees teeb päringu Pocopayle aadressile https://my.pocopay.com/banklink. Vastuspäring tehakse makse õnnestumise
RohkemG aiasoft Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon ja hilisemad K
Programmi VERP ja Omniva Arvekeskuse liidese häälestamine ja arvete saatmine-lugemine VERP 6.3 ja VERP 6.3E Versioon 6.3.1.51 ja hilisemad Kasutaja juhend 2016 Sisukord 1. Sissejuhatus...3 2. Liidese häälestus...3
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng6ver2.ppt
Admeaalüüs molekulaarbioloogias LOMR.10.007 6. loeg Regressiooaalüüs. Regressiooseose tugevus (korrelatsiooikordaja, determatsiooikordaja) Märt Möls martm@ut.ee Kas Argetiias elavad õelikud iimesed? eadmestik:
RohkemArcGIS Online Konto loomine Veebikaardi loomine Rakenduste tegemine - esitlus
PILVI TAUER Tallinna Tehnikagümnaasium ArcGIS Online 1.Konto loomine 2.Veebikaardi loomine 3.Rakenduste tegemine - esitlus Avaliku konto loomine Ava ArcGIS Online keskkond http://www.arcgis.com/ ning logi
RohkemKIIRJUHEND Lugege kiirjuhend enne seadme kasutamist hoolikalt läbi. Kõik tärniga (*) märgitud juhised kehtivad WLAN + 3G mudelitele (Lenovo B6000-H(V)
KIIRJUHEND Lugege kiirjuhend enne seadme kasutamist hoolikalt läbi. Kõik tärniga (*) märgitud juhised kehtivad WLAN + 3G mudelitele (Lenovo B6000-H(V) / Lenovo B8000-H). Tehnilised andmed Mudeli nimetus
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Lauseloogika: Loomulik tuletus Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilbeti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (intoduction) ja väljaviimise (elimination)
Rohkem1 Keskkonnamõju analüüs Koostajad: Koostamise aeg: metsaparandusspetsialist Jüri Koort algus: bioloogilise mitmekesisuse spetsialist Toomas
1 Keskkonnamõju analüüs Koostajad: Koostamise aeg: metsaparandusspetsialist Jüri Koort algus: 04.04.2016 bioloogilise mitmekesisuse spetsialist Toomas Hirse lõpp: 08.12.2017 Tabel 1. Objekti üldandmed
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
RohkemLisa I_Müra modelleerimine
LISA I MÜRA MODELLEERIMINE Lähteandmed ja metoodika Lähteandmetena kasutatakse AS K-Projekt poolt koostatud võimalikke eskiislahendusi (trassivariandid A ja B) ning liiklusprognoosi aastaks 2025. Kuna
Rohkemloeng2
Automaadid, keeled, translaatorid Kompilaatori struktuur Leksiline analüüs Regulaaravaldised Leksiline analüüs Süntaks analüüs Semantiline analüüs Analüüs Masinkoodi genereerimine Teisendamine (opt, registrid)
RohkemPeafail3_2.dvi
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 3.2 13. märts 2017. a. 09:45 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2017 Käesoleva õppevahendi
RohkemPimeda ajal sõitmine
Sõidueksamitel tehtud vead www.mnt.ee 1 Vasakpöörde sooritamine Sõiduteel paiknemine. Enne vasak- või tagasipööret peab juht aegsasti suunduma sõidutee pärisuunavööndi vasaku ääre lähedale või selle pöörde
RohkemVilistlaste esindajate koosolek
13.04.2012 VILISTLASKOGU ÜLDKOGU ÕPILASTE KÜSITLUSE TULEMUSTEST UURING Uuringus osalesid 8 kooli 8. ja 9.klasside õpilased: Räpina ÜG, Mikitamäe, Mehikoorma, Kauksi, Ruusa, Orava, Viluste, Värska Küsimustiku
RohkemMicrosoft PowerPoint - Kliiniliste auditite kogemused [Read-Only] [Compatibility Mode]
Anneli Rätsep TÜ Peremeditsiini õppetool vanemteadur 25.04.2013 Alates 2002. aastast "Haigete ravi pikkuse põhjendatus sisehaiguste profiiliga osakondades 3-5 auditit aastas Müokardiinfarkti haige käsitlus
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
RohkemSigne Leht Õpetaja juhendmaterjal Matemaatika III Arvutamine Töölehtede komplekti juurde kuuluv õpetaja juhendmaterjal Toimetulekuõppe II ja III areng
Signe Leht Matemaatika III Arvutamine Töölehtede komplekti juurde kuuluv õpetaja juhendmaterjal Toimetulekuõppe II ja III arengutase 1 Signe Leht. Matemaatika III. Arvutamine Signe Leht Matemaatika III.
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
Rohkem