prakt4.dvi

Väljavõte

1 Dikreene maemaaika 0. prakikum Reimo Palm Prakikumiüleanded Tranpordivõrke, mille abil aadeake kaupu oomikohade uruamikohadee, aab kõige efekiivemal analüüida nii, e vaadeldake neid eaava liarukuuriga uunaud graafidena. Vaav põhieooria on käeoleva nädala eemak. Sellel on lai valik olulii rakendui ja järeldui.. Jooniel kujuaud graafi on iga kaare läbilakevõime. Ka elle graafi leidub voog, mille vääru igal kaarel on nulli erinev? Lahendu. Tähiame voo väärued kaarel nii, nagu kujuaud jooniel. E iga ipu peab iendvoog võrduma väljundvooga, ii peavad kehima võrdued k + k = k, k + k = k, k = k + k, k = k + k. Sii k = k ning k = k +k, k = k +k +k, k = k +k. Seega võime võa k = k = k = k =, ii k = = k = ja k = (jooni ). k/ k/ k / k / k / k / k / k / / / / / / / / / Jooni. Jooni.

2 . Leida võrgu a) kõik äiarvulied vood; b) makimaale voo vääru. Lahendu. a) Kokku on elle võrgu erineva äiarvuli voogu (äiarvuline voog on voog, mille vääru igal kaarel on äiarv). b) Makimaale voo vääru on.. Leida võrgu a) kõik lõiked; b) minimaale lõike läbilakevõime. Lahendu. a) Kokku on elle võrgu erineva lõige. E ja on kak paarikaupa ühie ervadea ahela, ii peab iga lõige ialdama vähemal ühe kaar eimee ja vähemal ühe kaar eie ahela. b) Minimaale lõike läbilakevõime on.. Leida a) üleande minimaalne lõige; b) üleande makimaalne voog. Lahendu. a) Minimaalne lõige kooneb kahe erva läbilakevõimega. Selle lõike läbilakevõime on võrdne makimaale voo vääruega. b) Makimaalne voog on kujuaud jooniel. Selle vääru on võrdne minimaale lõike läbilakevõimega.

3 / / / 0/ / / / Jooni.. Vaaleme graafide õpiku (A. Bulda, P. Laud, J. Willemon. Graafid. Taru 00) lk defineeriud funkiooni ϕ võrgul (G,ψ). Tõeada, e ϕ on õepoole voog ning e voo ϕ vääru on ε võrra uurem kui voo ϕ vääru. Lahendu. Konrollime, e ϕ rahuldab voo definiiooni ingimui, e iga kaare e korral kehib 0 ϕ (e) ψ(e) ning e iga ipu v korral, ku v, v kehib deg ϕ (v) = deg ϕ (v). Kui eoreemi õeue e {e,...,e m }, ii ϕ (e) = ϕ(e) ning 0 ϕ (e) ψ(e) kehib eeõu, e ϕ on voog. Kui mingi i korral e = e i = (v i,v i ), ii ühel pool ϕ (e) = ϕ(e)+ε > ϕ(e) 0, e ε > 0. Teiel pool aga ϕ (e) = ϕ (e i ) = ϕ(e i ) + ε ϕ(e i )+δ i = ϕ(e i )+(ψ(e i ) ϕ(e i )) = ψ(e i ), e ε δ i. Kui mingi i korral e = e i = (v i,v i ), ii ühel pool ϕ (e) = ϕ (e i ) = ϕ(e i ) ε δ i ε 0 ning eiel pool ϕ (e) = ϕ(e) ε < ϕ(e) ψ(e). Kui ipp v ei kuulu eoreemi õeue vaadeldud uurendavale ahelale, ii deg ϕ (v) = deg ϕ (v) = deg ϕ (v) = deg ϕ (v). Kui v aga kuulub ellele uurendavale ahelale ipuna v i, ii leidub äpel kak kaar, millel voo vääru muuub voo ϕ vääruega võrrelde. Kui ük nei kaare on ienev ja eine väljuv, ii muuuvad ipu ϕ-iendae kui ka ϕ-väljundae ama uurue võrra. Kui aga mõlemad kaared on ienevad või mõlemad väljuvad, ii aakaaluavad need muuued eineei ja nii ϕ-iendae kui ka ϕ-väljundae jäävad amak (jooni ). +ε +ε +ε ε ε +ε ε ε v i v i v i+ v i v i v i+ v i v i v i+ v i v i v i+ Jooni.

4 E ipu kaared ainul väljuvad, ii ka uurendav ahel algab ipu väljuva kaarega. Sellel kaarel muuub voo vääru ε võrra uuremak, ülejäänud ipu väljuvael kaarel aga jääb amak. Seega uureneb voo vääru kokkuvõe ε võrra.. Anud on uunaud graaf G. Defineerime graafi G kaarel määraud funkioonide ω: E(G) R umma ja kalaariga korruie avaliel viiil, funkioonide ω : E(G) R ja ω : E(G) R umma rahuldab eo (ω +ω )(e) = ω (e)+ω (e) ning funkiooniω: E(G) R korrui reaalarvuga a eo (aϕ)(e) = a Tõeada, e võrgu (G, ψ) voogude hulk on kumer, kui ϕ ja ϕ on vood, ii iga reaalarvu a [0,] korral on ka aϕ +( a)ϕ voog. Lahendu. Konrollime voo definiiooni ingimui. Suvalie erva e E(G) korral (aϕ + ( a)ϕ )(e) = aϕ (e) + ( a)ϕ (e) 0, e ϕ (e) 0, ϕ (e) 0 ja a [0,]. Samui (aϕ +( a)ϕ )(e) = aϕ (e)+( a)ϕ (e) aψ(e)+( a)ψ(e) = ψ(e), e ϕ (e) ψ(e), ϕ (e) ψ(e) ja a [0,]. Iga ipu v, v, v korral deg aϕ +( a)ϕ (v) = (aϕ +( a)ϕ )(v) = e V (G) {v} e V (G) {v} = (aϕ (v)+( a)ϕ (v)) = e V (G) {v} = a ϕ (v)+( a) ϕ (v) = a deg ϕ (v)+( a) deg ϕ (v). e V (G) {v} Analoogiliel aame deg aϕ +( a)ϕ (v) = a deg ϕ (v)+( a) deg ϕ (v). E deg ϕ (v) = deg ϕ (v) ja deg ϕ (v) = deg ϕ (v), ii ka deg aϕ +( a)ϕ (v) = deg aϕ +( a)ϕ (v).. Tihipeale defineeriake lõige kui võrgu ippude hulga alamhulk, mi ialdab võrgu iendi, aga ei ialda võrgu väljundi. Lõike X läbilakevõime on kõigi ellie kaare läbilakevõimee umma, mille algipp kuulub hulka X ja lõppipp ei kuulu hulka X. Niiugue lähenemie ühek eeliek on võimalu eha lõigeega hulgaeoreeilii eheid. Tõeada, e kui X, Y V(G) on võrgu (G,ψ) minimaaled ( minimaale läbilakevõimega) lõiked, ii ka X Y ja X Y on võrgu (G, ψ) minimaaled lõiked. (See ähendab, võrgu minimaalee lõigee hulk mooduab häiunud maemaailie rukuuri, võre.)

5 Lahendu. Kõigepeal, X Y ja X Y on amui lõiked, e nad on võrgu ippude hulga alamhulgad, mi ialdavad võrgu iendi, aga mie väljundi. Tähiagu ümbol c(z) lõike Z kaalu ning olgu Z = V(G) \ Z. Samui ähiame d(u,v) = ψ(e). Sii e U V c(x) = d(x,x ) = d(x Y,X Y)+d(X Y,X Y )+ +d(x Y,X Y)+d(X Y,X Y ), c(y) = d(y,y ) = d(x Y,X Y )+d(x Y,X Y )+ +d(x Y,X Y )+d(x Y,X Y ), c(x Y) = d(x Y,(X Y) ) = d(x Y,X Y )+ +d(x Y,X Y )+d(x Y,X Y ), c(x Y) = d(x Y,(X Y) ) = d(x Y,X Y )+ Järelikul +d(x Y,X Y)+d(X Y,X Y ) c(x)+c(y) c(x Y) c(x Y) = d(x Y,X Y)+d(X Y,X Y ) 0. Seega c(x) + c(y) c(x Y) + c(x Y). E X ja Y on lõiked, mille läbilakevõimed on minimaaled, ii peavad olema ka lõigee X Y ja X Y läbilakevõimed minimaaled.. Olgu (G, ψ) võrk, millel on miu iendi ja miu väljundi, ning X ja Y vaaval elle graafi iendie hulk ning väljundie hulk. Olgu ϕ mingi voog ellel võrgul. a) Tõeada, e ummaarne voog hulga X välja ja ummaarne voog hulka Y ie on võrded. b) Defineerida voo ϕ vääru võrgul (G, ψ). c) Taandada mime iendi ja mime väljundiga võrk ühe iendi ja ühe väljundiga võrguk, liade võrgule (G, ψ) kak ippu obivae läbilakevõimeega. d) Defineerida voole ϕ vaav voog ellel ühe iendi ja ühe väljundiga võrgul. Lahendu. a) Tähiame lühidue mõe V(G)\(X Y) = Z. Hulgad X, Y ja Z on lõikumaud. E ϕ on voog, ii hulga Z iga ipu ϕ-iendae võrdub ema ϕ-väljundamega. Seega iga ipu v Z korral ϕ(e) = e {v} V e V {v}

6 Summeeride üle hulga Z, aame ϕ(e) = e Z V e V Z Arveade, e võrgu puuduvad kaared, mi ienevad hulga X ippudee, ning kaared, mi väljuvad hulga Y ippude, on elle võrdue vaak ja parem pool vaaval ϕ(e) = ϕ(e)+ ϕ(e), ϕ(e) = ϕ(e)+ e Z V e Z Y e Z Z e V Z e X Z e Z Z E mõlema umma paremal poolel on eied liikmed võrded, ii on võrded ka eimeed liikmed: ϕ(e) = Nüüd aga e X V ϕ(e) = e X (Y Z) = e X Y e Z Y ϕ(e) = ϕ(e)+ e Z Y e X Y e X Z ϕ(e)+ ϕ(e) = e X Z e (X Z) Y ϕ(e) = ϕ(e) = e V Y ϕ(e), mida oligi arvi õeada. b) Mime iendiga võrgul määraud voo ϕ vääru on võrgu iendie ϕ-väljundamee umma. c) Liame graafile ipu ja õmbame kaare ipu igae hulga X ippu. Iga kaare läbilakevõimek loeme ema lõppipu väljuvae kaare läbilakevõimee umma. Analoogiliel liame graafile eie ipu ning õmbame kaare iga hulga Y ipu ippu. Iga ellie kaare läbilakevõimek loeme ema algippu uubuvae kaare läbilakevõimee umma. d) Kui on anud voog ϕ mime iendi ja väljundiga võrgul (G,ψ), ii äiendade eda voogu nii, e igale ipu väljuvale kaarele eada vaavue kaare lõppipu ϕ-väljundae ning igale ippu uubuvale kaarele eada vaavue kaare algipu ϕ-iendae, ii aame voo vaaval ühe iendi ja ühe väljundiga graafil. Lihne on konrollida, e ee voog rahuldab voo definiiooni nõudeid.. Järgnev plaan kujuab linna builiine peamie buipeaue vahel. Buid õidavad ainul noole uundade. Kaare läbilakevõimed näiavad, miu bui unni makimaalel võib igal eelõigul õia. Igal eelõigul peab unni õima vähemal ük bu. Ük bu uudab vedada

7 kuni 0 reiija. Leida makimaalne reiijae arv, mi võib unni liikuda punki A (elamurajooni) punki B (keklinna). A 0 B Märku. Tegemi on graafiga, ku puuduvad iendid ja väljundid. Buide koguarv üeemi peab igal ajahekel jääma amak. Lahendu. Meil on vaja määraa graafi kaare läbilakevõimed nii, e ) iga kaare läbilakevõime jääb lubaud piiridee, ) iga ipu iendae võrdub väljundamega ning ) kui graafile liada ipud ja koo piiramau läbilakevõimega kaarega A ja B, ii on aadava võrgu makimaalne voog võimalikul uur. Sellied läblakevõimed on kujuaud jooniel. Selle võrgu makimaalne voog on : näiek voog, mille vääru võrgu ülemie ääre kaare kooneval ahelal on ning ülejäänud kaarel 0. Läbilakevõimeid, mille puhul võrgu makimaale voo vääru olek, graafi kaarele omiada ei aa, e ülemie vaakpoole ipu ippu B viiva kaare läbilakevõime on ülimal, ipu B inna agai oova kaare läbilakevõime aga vähemal. Seega aab eie ellee ippu ieneva kaare läbilakevõime olla ülimal. Sama ee kaar on võrgu lõige. A B Jooni.

8 Koduüleanded Valida järgmie üleannee (vähemal) kak ja eiada nende lahendued. 0. Leida võrgu makimaalne voog ja minimaalne lõige. Lahendu. Kauame Fordi-Fulkeroni algorimi (Edmondi-Karpi äienduega). Algorimi ammude ulemued on kujuaud jooniel. Lõppulemuek jooniel on voog vääruega. Jooniel on kujuaud lõige läbilakevõimega amui. Järelikul on egemi makimaale vooga (ja minimaale lõikega).. Olgu (G,ψ) võrk ja ϕ voog ellel. Olgu S V(G) elline hulk, e S ja S ning S = V(G)\S. Tõeada, e ϕ(e) = e S S e S S 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ / 0/ / 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ / 0/ 0/ 0/ Jooni. Jooni.

9 / 0/ 0/ 0/ / / 0/ 0/ 0/ 0/ / 0/ 0/ / 0/ Jooni. / 0/ / 0/ / / 0/ 0/ 0/ / / 0/ 0/ / / Jooni. / / / 0/ / / 0/ / 0/ / / 0/ / / / Jooni 0. / / / 0/ / / 0/ / 0/ / / / / / / Jooni. / / / 0/ / / 0/ / / / / / / / / Jooni. Jooni.

10 Lahendu. E vaaval voo definiioonile on iga ipu ϕ-iendae võrdne ipu ϕ-väljundamega, ii iga ipu v V(G) korral ϕ(e) = e {v} V(G) e V (G) {v} Summeeride need võrdued üle hulga S, aame ϕ(e) = e S V(G) E V(G) = S S, ii järelikul ϕ(e)+ e S S ϕ(e) = e S S e V (G) S e S S ϕ(e)+ e S S Koondade vaakul ja paremal võrded liikmed, jõuamegi võrdueni ϕ(e) = e S S e S S. Olgu (G,ψ) võrk, ku ψ(e) = iga e E(G) korral, ning ja vaaval võrgu iend ja väljund. Tõeada, e elle võrgu makimaale voo vääru võrdub paarikaupa ühie kaarea uunaud ahelae arvuga ipu ippu. Lahendu. Olgu n paarikaupa ühie kaarea ahelae makimaalne arv ipu ippu elle võrgu. Vaaleme mingi n elli ahela. Defineerime voo ϕ nii, e iga nendee ahelaee kuuluva kaare e korral ϕ(e) = ning ülejäänud kaare korral ϕ(e) = 0. See on õei voog, e arveade, e ahelad on ühie kaarea, on iga ipu v, ku mõned nei ahelae omavahel lõikuvad, nende ahelae kaare ea ippu v ienevaid kaari ama palju kui väljuvaid. Selle voo vääru on n. Järelikul on võrgu makimaale voo vääru vähemal n. E võrgu(g, ψ) kaare läbilakevõimed on äiarvud, ii Fordi-Fulkeroni algorim peaub ja annab ulemuek makimaale voo ϕ, mille vääru igal kaarel on amui äiarv. Üleande ingimue kohael aavad need äiarvud olla ainul 0 või. Vaaleme uvali uunaud ahela p ipu ippu, mille iga erva e korral ϕ(e) =. Kui voo ϕ vääru on nulli uurem, ii elline ahel leidub. Muudame nüüd elle ahela kaare väärued 0-k. Tulemuek aame amui voo, e iga ippude ja erineva ipu ϕ-iendae ja ϕ-väljundae ka väheneid mõlemad ühe võrra või jäid mõlemad amak. 0

11 Saadud voo vääru on võrra väikem kui eialge voo vääru. Analoogiliel eelnevaga leiame nüüd uue ahela ipu ippu. Seda egevu kordame kuni voo vääru kahaneb nullik. Tulemuek aame eaud arvu paarikaupa ühie kaarea ahelaid ipu ippu. Nende ahelae arv võrdub voo ϕ vääruega. Järelikul on võrgu makimaale voo vääru ülimal nii uur kui ellie ahelae makimaalne arv n. Kahe eelneva lõigu ulemui kokku võe aamegi, e võrgu makimaale voo vääru on n.