12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1
|
|
- Kristiina Tuulik
- 5 aastad tagasi
- Vaatused:
Väljavõte
1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus Algfunktsioon Määramata integraal Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Tehetega seotud integreerimisreeglid Muutuja vahetamine Ositi integreerimine Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Kontrolltöö teemad. Määramata integraali seos kiirenduse, kiiruse ja teepikkusega. 2. Põhiliste elementaarfunktsioonide algfunktsioonid. 3. Muutuja vahetuse võte määramata integraali leidmisel.. Ositi integreerimise reegel ja selle kasutamine. Eksamiteemad. Algfunktsiooni mõiste. 2. Määramata integraali mõiste. 3. Määramata integraali seos kiirenduse, kiiruse ja teepikkusega.. Põhiliste elementaarfunktsioonide algfunktsioonid. 5. Muutuja vahetuse võte määramata integraali leidmisel. 6. Ositi integreerimise reegel ja selle kasutamine. 9
2 2. Algfunktsioon 2. Sissejuhatus Vaatleme objekti liikumist seaduse s = s(t) alusel, kus s näitab läbitud teepikkust ajahetkel t. Funktsiooni s tuletis andis meile hetkkiiruse v(t) = s (t) hetkel t ja teine tuletis kiirenduse a(t) = s (t), a(t) = v (t) = s (t). Vaatleme nüüd olukorda, kus me näiteks teame objekti kiirust v(t) igal ajamomendil. Meid huvitab, kas kiiruse v(t) alusel saab teada objekti asukoha s(t) igal ajahetkel t. Osutub, et teatud tingimustel on see võimalik. Sellist vastupidise suunaga info leidmist me nimetamegi määramata integraali leidmiseks (sõnastame täpsemalt all pool). Kohe me näeme, et kiirenduse või kiiruse teadmisel kehtivad järgmised omadused: v(t) = v (t) dt = a(t) dt, s(t) = s (t) dt = v(t) dt. 2.2 Algfunktsioon Definitsioon 2. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a, b), kui F (x) = f(x) iga x (a, b) korral. Funktsiooni f algfunktsiooni leidmine on sama, mis leida diferentsiaalvõrrandi y = f(x) Näide 2. Funktsiooni y = x 3 üheks algfunktsiooniks on funktsioon y = x, üldiselt iga funktsioon kujul y = x + C, lahend y = y(x). Diferentsiaalvõrrandid on looduse modelleerimisel üks väga levinud vahend. kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, ( ) x F (x) = + C = x 3. Näide 2.2 Arvestades sissejuhatuses toodud kommentaare, on lihtne näha, et kiirenduse a(t) algfunktsiooniks on kiirus v(t) ja kiiruse algfunktsiooniks on teepikkus s(t). Matemaatiliselt kehtib väide vähemalt siis, kui a ja v on pidevad funktsioonid aja t järgi. Olgu näiteks punkti liikumise kiirus konstantne v(t) =. Sel juhul v algfunktsiooniks on s(t) = t + C (kuna (t + C) = ). Kui me liikumise kohta rohkem infot ei tea, siis v algfunktsiooniks võib olla iga sirge t+c, mille tõus on üks, kuid lõikepunkt y-teljega suvaline (s.t. kõik sirged, mille tõus on üks). 50
3 2. Määramata integraal Te sõidate autoga maanteel kiirusega 90 km/h. Kui suur peab olema auto konstante aeglustus (negatiivne kiirendus, a), et auto peatuks 73 meetri pärast? Tähistame auto liikumise seaduse s = s(t). Siis saame diferentsiaalvõrrandi s (t) = a Kui me näiteks teame, et alghetkel t = 0 objekti asukoht oli punktis, siis võrdustest s(0) = 0 + C = saame, et C = ja punkti liikumisseaduseks on üks konkreetne sirge s(t) = t +. Kui s(0) oli midagi muud, siis saame mingi teise paralleelse sirge. Märkus 2. Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F (x) + C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. 2.3 Määramata integraal tingimustega v(0) = s (0) = 60 ja s(0) = 0. Viimase lahendamine taandub algfunktsiooni leidmise peale. Seega v(t) = s (t) = at + C. Kuna v(0) = 60, siis C = 60 ja kiiruse avaldiseks tuleb v(t) = at Edasi, s(t) = a t t+C, millest algtingimuse s(0) korral saame C = 0 ja s(t) = a t t. Kiirus v = 0, kui t = 60 a. Jääb veel asendada see aeg võrrandisse = a t t. Pärast ühikutega opereerimist saame vastuseks a.9 m/s 2. Definitsioon 2.2 Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F (x) +C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Siin F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. Tähistame f(x) dx = F (x) + C. (2.) Definitsioon 2.3 Funktsiooni määramata integraali leidmist nimetatakse selle funktsiooni integreerimiseks. Näide 2.3 Leiame 2x dx = x 2 + C. 5
4 2. Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Märkus 2.2 Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed:. ( f(x) dx ) = f(x), 2. d ( f(x) dx ) = f(x) dx, 3. df (x) = F (x) + C. Seega diferentseerimine ja integreerimine on teineteise pöördoperatsioonid (konstantse liidetava täpsusega). Inglise keeles kasutatakse tuletise jaoks väljendit derivative ja määramata integraali jaoks väljendit antiderivative, mis on tegelikult täpsem, kui eesti keelne integreerimine. Miks, seda selgitame siis, kui tutvume määratud integraali mõistega. Märkus 2.3 Funktsioonil f on olemas määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon. Igal vahemikus (a, b) pideval funktsioonil on olemas algfunktsioon selles vahemikus. 2. Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Astmefunktsioonid c dx = c x + C x dx = x2 2 + C x α dx = xα+ α + + C dx = ln x + C x x 2 dx = x + C 2 x dx = x + C Eksponentfunktsioonid e x dx = e x + C a x dx = ax ln(a) + C Trigonomeetrilised funktsioonid sin(x) dx = cos(x) + C cos(x) dx = sin(x) + C cos 2 dx = tan(x) + C (x) sin 2 dx = cot(x) + C (x) 52
5 2. Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid dx = arcsin(x) + C dx = arccos(x) + C x 2 x 2 dx = arctan(x) + C + x2 dx = arccot(x) + C + x2 Hüperboolsed funktsioonid sh(x) dx = ch(x) + C ch(x) dx = sh(x) + C ch 2 dx = th(x) + C (x) sh 2 dx = cth(x) + C (x) Hüperboolsete funktsioonide pöördfunktsioonid dx = arsh(x) + C dx = arch(x) + C x2 + x2 dx = arth(x) + C x2 dx = arcth(x) + C x2 Märkus 2. Kõikidel funktsioonidel ei pruugi leiduda algfunktsiooni elemetaarfunktsioonide kujul (selliseid funktsioone saab leida ainult ligikaudsete meetoditega). Näiteks järgmisi integraale ei saa esitada elementaarfunktsioonide abil: e x2 dx, cos ( x 2) sin(x) dx, dx. x 2.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid Teoreem 2. Kui on olemas integraalid f(x) dx ja g(x) dx, siis kõikide reaalarvude α, β R korral on olemas integraal (α f(x) + β g(x)) dx, kusjuures (α f(x) + β g(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. (2.2) 53
6 2. Tehetega seotud integreerimisreeglid Tõestus. Eelduse järgi leiduvad algfunktsioonid F ja G, nii et F (x) = f(x) ja G (x) = g(x) ja α f(x) dx + β Tuletise leidmiste omadustest kehtib g(x) dx = α F (x) + β G(x). (α F (x) + β G(x)) = α F (x) + β G (x) = α f(x) + β g(x). Viimane ütlebki, et (α f(x) + β g(x)) algfunktsiooniks on (α F (x) + β G(x)). Näide 2. Leiame määramata integraali ( x sin(x) 2 ) dx = x 5 dx + 0 x 0 cos(x) 2 ln x + C. = x6 6 sin(x) dx 2 x dx Näide 2.5 Auto sõidab konstantse kiirendusega a. Leida läbitud teepikkuse seadus, kui auto algkiirus oli v(0) = v 0 ja esialgne asukoht s(0) = s 0. If there is a chance that something can go wrong, then 9 times out of ten it will. (Paul Harvey News, 979) I gather, young man, that you wish to be a Member of Parliament. The first lesson that you must learn is, when I call for statistics about the rate of infant mortality, what I want is proof that fewer babies died when I was Prime Minister than when anyone else was Prime Minister. That is a political statistic. (Winston Churchill) If you torture data enough it will confess, öeldud ühe statistikaprofessori poolt. Leiame kiiruse v(t) = a dt = a t + C, kus tingimusest v(0) = v 0 saame, et C = v 0. Leiame teepikkuse s(t) = v(t) dt = (a t + v 0 ) dt = a t2 2 + v 0 t + C, kus tingimusest s(0) = s 0 saame, et C = s 0. Seega auto liigub seaduse s(t) = 2 a t2 + v 0 t + s 0 alusel. Kui liikumine ei ole konstantse kiirendusega, siis saaksime mingi muu liikumise seaduse. 2.6 Muutuja vahetamine Integreerimine on üldjuhul raske tehe. Tuletise leidmisel kasutasime korrutamise ja jagamise reegleid, liitfunktsiooni leidmise reeglit jne. Integraali leidmisel selliseid universaalseid reegleid eriti palju ei ole. Enamasti taandub integreerimine algfunktsiooni ära arvamisele, mille järel saab teatud abitulemustega näidata, et vastus tuleb see, mis ta peab tulema. Seoses sellega on integreerimise jaoks välja töötatud palju erivõtteid (mõnikord ainult kindlat tüüpi funktsioonide jaoks), millest tutvustame siinkohal ainult kahte kõige olulisemat: muutujate vahetamine ja ositi integreerimine. 5
7 2. Muutuja vahetamine Lause 2. [5]. Kui funktsioonil f on intervallis X olemas algfunktsioon F ja ϕ on intervallis T diferentseeruv funktsioon muutumispiirkonnaga X, siis kehtib valem f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. (2.3) Tõestus. Funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon ja järelikult f(x) dx = F (x) + C. Meie eeldustel eksisteerib funktsioonide F ja ϕ liitfunktsioon F ϕ määramispiirkonnaga T. Liitfunktsioon F ϕ on toodud eeldustel diferentseeruv, kusjuures iga t T korral kehtib seos (F ϕ) (t) = F (ϕ(t)) ϕ (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t). Saime, et funktsiooni (f ϕ) ϕ algfunktsiooniks intervallis T on F ϕ, mistõttu f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = (F ϕ)(t) + C = F (ϕ(t)) + C. Kuna funktsiooni ϕ muutumispiirkond on intervall X, võime võtta x = ϕ(t) ja seega f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = F (x) + C. Kasutades eelnevaid seoseid, saamegi võrduse (2.3). Näide 2.6 Leiame integraali e 2x 3 dx. Teeme muutujavahetuse y = 2x 3. Sel juhul dy = d(2x 3) = 2dx ja dx = dy 2. Järelikult e 2x 3 dx = e y 2 dy = ey 2 + C. Asendades y = 2x 3 tagasi, saame e 2x 3 dx = e2x 3 + C. 2 Märkus 2.5 Muutuja vahetamise võtte erijuhuks on diferentsiaali märgi alla viimise võte. Sel juhul on enamasti lihtne leida diferentsiaali dv(t) = v (t) dt. 55
8 2. Muutuja vahetamine Näide 2.7 Leiame integraali cos(x) dx. Me teame, et koosinuse algfunktsiooniks on siinus. On lihtne näha, et d(x) = dx. Seega võime kirjutada cos( x) dx = cos(x) d( x) = sin( x) + C, devil = evil + C mille võib leida ka muutuja vahetamise y = x abil cos( x) dx = cos(y) dy = sin(y) + C = sin( x) + C. Näide 2.8 Leiame integraali (x 3) 2 dx. Me teame, et ruutfunktsiooni algfunktsiooniks on teatav kuupfunktsioon. On lihtne näha, et d(x 3) = dx. Seega võime kirjutada (x 3) 2 dx = (x 3) 2 d(x 3) = (x 3)3 3 mille võib leida ka muutuja vahetamise y = x 3 abil (x 3) 2 dx = y 2 dy = y3 (x 3)3 + C = C, + C. Näide 2.9 Leiame integraali sin 2 (x) cos(x) dx. Märkame, et d sin(x) = cos(x) dx. Seega võime kirjutada sin 2 (x) cos(x) dx = Kontrolliks võib leida, et ( sin 3 (x) 3 sin 2 (x) d sin(x) = sin3 (x) 3 + C. ) + C = 3 sin2 (x) cos(x) = sin 2 (x) cos(x). 3 56
9 2. Ositi integreerimine 2.7 Ositi integreerimine Lause 2.2 [5]. Olgu funktsioonid u ja v mingis intervallis X diferentseeruvad funktsioonid ja eksisteerigu integraal v(x) u (x) dx. Siis eksisteerib ka integraal u(x) v (x) dx ja kehtib seos u(x) v (x) dx = u(x) v(x) v(x) u (x) dx. (2.) Tõestus. Tehtud eelduste korral on korrutis u v diferentseeruv, [u(x) v(x)] = u (x) v(x) + u(x) v (x). Kuna on olemas integraal v(x) u (x) dx, siis leidub funktsiooni v u algfunktsioon F. Järelikult [u(x) v(x)] = F (x) + u(x) v (x), millest saame u(x) v (x) = [u(x) v(x)] F (x) = [u(x) v(x) F (x)]. Saime, et (u v F ) on funktsiooni u v algfunktsioon. Tulemus ütlebki, et u(x) v (x) dx = u(x) v(x) F (x) + C = u(x) v(x) v(x) u (x) dx. Märkus 2.6 Valemit (2.) nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemikis. Kuna u (x) dx = du ja v (x) dx = dv, siis esitatakse seos sageli kujul u dv = u v v du. (2.5) Näide 2.0 Leiame integraali 57
10 2. Ositi integreerimine Näide 2. Leiame integraali x cos(x) dx. Kui meil on integraali märgi all polünoom korda teine funktsioon, siis on tihti lootust leida vastus ositi integreerimise teel. Üldiselt võetakse funktsiooniks v selline funktsioon, millest on lihtne leida integraali ja funktsiooniks u selline, et u tuletis lihtsustab avaldist. Kuna tuletis alandab polünoomi järku ja integreerimine tõstab, siis kasulik on valida u(x) = x, dv(x) = cos(x) dx. Siit u (x) = x = du = dx ja võrduse dv(x) = cos(x) dx integreerimisel saame dv(x) = cos(x) dx v(x) = sin(x). Seega ositi integreerimise valemi abil leiame x cos(x) dx = x sin(x) sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C. Näide 2.2 Vaatleme ühte sageli esinevat integraali sin 2 (x) dx. Leiame selle integraali mitmel erineval moel. Esiteks ositi integreerimisega, võttes u = sin(x) ja dv = sin(x) dx. Siis du = cos(x) dx, v(x) = cos(x). Saame sin 2 (x) dx = sin(x) cos(x) + cos 2 (x) dx = 2 sin(2x) + ( sin 2 (x)) dx. Siit saab leida, et sin 2 (x) dx = 2 sin(2x) + x sin 2 (x) dx. Viies sin 2 (x) dx paremalt poolt vasakule, tekib võrrand sin 2 (x) dx suhtes. Järelikult sin 2 (x) dx = x 2 sin(2x) + C. 58
11 2. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Näide 2.3 Teine võimalus sin 2 (x) dx leidmiseks on kasutada trigonomeetrilist valemit sin 2 x = ( cos(2x)). 2 Siis sin 2 (x) dx = 2 2 sin 2 (x) dx = 2 ( cos(2x)) dx = x 2 sin(2x) + C. Allikas: Näide 2. Kolmas võimalus on kasutada siinuse kompleksarvulist esitust (imaginaarühik i käitub siin kui konstant), ( e sin 2 i x e i x ) 2 ( e i (2x) + e i (2x) ) 2 (x) dx = dx = dx. 2i Arvestades, et e i (2x) dx = 2i ei (2x) d(2ix) = ei (2x) + C, 2i siis sin 2 (x) dx = ( e i (2x) e 2i i (2x) ) + x 2 + C = x 2 sin(2x) + C. Analoogiliselt leitakse eraldi cos 2 (x) dx, kuid praegu saaksime otse leida cos 2 (x) dx = ( sin 2 (x)) dx = x x 2 + sin(2x) + C = x 2 + sin(2x) + C. 2.8 Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Vaatleme järgnevalt lihtsamaid juhte polünoomide P (x) ja Q(x) jagatise P (x) Q(x) integreerimisel. Näide 2.5 Leiame integraali 5x x 2 x 2 dx. Antud polünoomi 5x x 2 x 2 5x x 2 x 2 = Seega 5x x 2 x 2 dx = saab lahutada teguriteks A x x + dx+ B x 2 = 2 x x 2. 3 dx = 2 ln x+ +3 ln x 2 +C. x 2 59
12 2. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine Näide 2.6 Leiame integraali x (x 2 + ) dx. Antud polünoomi x (x 2 +) saab lahutada teguriteks x (x 2 + ) = A x + Bx + C x 2 +. Võttes tegurid uuesti ühisele nimetajale A x + Bx + C x 2 + = Ax2 + A + Bx 2 + Cx x (x 2 = (A + B)x2 + Cx + A + ) x (x 2 + ) saame konstantide A, B ja C jaoks võrrandid A + B = 0, C = 0, A =. Seega A =, B = ja C = 0. Kokkuvõtteks x (x 2 + ) dx = ( x x ) x 2 dx = + ln x 8 ln x2 + + C. Näide 2.7 Leiame integraali 2x 2 + x 2 (x ) dx. 2x Antud polünoomi 2 + x2 (x ) saab lahutada teguriteks 2x 2 + x 2 (x ) = A x + B x 2 + C x. Võttes tegurid uuesti ühisele nimetajale A x + B x 2 + C x = Ax2 Ax + Bx B + Cx 2 x 2 (x ) = (A + C)x2 + (B A)x B x 2 (x ) saame konstantide A, B ja C jaoks võrrandid A + C = 2, B A = 0, B =. Seega A =, B = ja C = 3. Kokkuvõtteks 2x 2 ( + x 2 (x ) dx = x x ) dx x = ln x ln x + C. x Mõningaid erijuhte vaatleme veel lisaks praktikumides. 60
13 2. Viited Viited [] M. M. Dougherty, J. Gieringer. First Year Calculus For Students of Mathematics and Related Disciplines (veebikonspekt). [2] D. Hoffman. Contemporary Calculus (veebikonspekt). Bellevue College. [3] A. D. Hwang. Calculus for Mathematicians, Computer Scientists, and Physicists. An Introduction to Abstract Mathematics (loengukonspekt). College of the Holy Cross, [] J. Knisley, K. Shirley. Calculus: A Modern Approach (veebikonspekt) [5] L. Loone, V. Soomer. Matemaatilise analüüsi algkursus. Tartu Ülikooli Kirjastus [6] G. B. Thomas, M. D. Weir, J. Hass. Thomas Calculus th. Pearson, [7] A. J. Washington. Basic Technical Mathematics with Calculus. 0th ed. Pearson, 20. 6
19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat
9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i
RohkemMatemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo
Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib
RohkemMatemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p
Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu
RohkemSügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur
Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek
Rohkemvv05lah.dvi
IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1
RohkemPolünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x
1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi
RohkemMATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond
RohkemIMO 2000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, aprillil a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a 2, a 3,
IMO 000 Eesti võistkonna valikvõistlus Tartus, 19. 0. aprillil 000. a. Ülesannete lahendused Esimene päev 1. Olgu vaadeldavad arvud a 1, a, a 3, a 4, a 5. Paneme tähele, et (a 1 + a + a 3 a 4 a 5 ) (a
RohkemKM 1 Ülesannete kogu, 2018, s
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2018 sügis Ülesannete kogu 1. osa Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised (Const) = 0 (sinx) = cosx (arcsinx) = 1 1 x 2 (x α ) = α x α 1, α 0 (cosx) = sinx (arccosx)
Rohkemma1p1.dvi
Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.
RohkemXV kursus
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga
RohkemRuutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1
Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi
Rohkemlvk04lah.dvi
Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,
Rohkemraamat5_2013.pdf
Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva
RohkemTALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA
TALLINNA PAE GÜMNAASIUMI AINEKAVAD GÜMNAASIUM AINEVALDKOND: MATEMAATIKA SISUKORD 1. AINEVALDKOND: MATEMAATIKA 4 1.1. MATEMAATIKAPÄDEVUS JA ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE 4 1.1.1. ÜLDPÄDEVUSTE KUJUNDAMINE MATEMAATIKA
RohkemSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk
RohkemAutomaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2
Automaatjuhtimise alused Automaatjuhtimissüsteemi kirjeldamine Loeng 2 Laplace'i teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ilma tarkvara toeta on keeruline Üheks lahendamisvõtteks on Laplace'i teisendus
RohkemWord Pro - diskmatTUND.lwp
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
/ näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)
RohkemMatemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d
Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja
RohkemTartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi M
Tartu Ülikool Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta Matemaatika Instituut Algebra õppetool Riivo Must Mõned katsed üldistada inversseid poolrühmi Magistritöö Juhendaja: prof. Mati Kilp Tartu 2004 Sisukord
RohkemDiskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni a.
Diskreetne matemaatika I Kevad 2019 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 20. juuni 2019. a. 2 Sisukord 1 Matemaatiline loogika 7 1.1 Lausearvutus.................................. 7 1.1.1 Põhimõistete meeldetuletamine....................
Rohkem(Tõrked ja töökindlus \(2\))
Elektriseadmete tõrked ja töökindlus Click to edit Master title style 2016 sügis 2 Prof. Tõnu Lehtla VII-403, tel.6203 700 http://www.ttu.ee/energeetikateaduskond/elektrotehnika-instituut/ Kursuse sisu
Rohkem8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine
8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.
Rohkemefo03v2pkl.dvi
Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.
RohkemMatemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet
Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab
RohkemAntennide vastastikune takistus
Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni
RohkemKITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kas
KITSAS JA LAI MATEMAATIKA Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset tundmist, samuti suutlikkust kasutada matemaatikat temale omase keele, sümbolite ja
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige
Rohkemelastsus_opetus_2005_14.dvi
7.4. Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. 298 7.4 Näiteid ümar- ja rõngasplaatide paindeülesannetest. Rajatingimused: jäik kinnitus vaba toetus vaba serv w = 0, dw dr = 0; (7.43) w = 0,
RohkemITI Loogika arvutiteaduses
Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
RohkemTreeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu
Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust
RohkemMicrosoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06
Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide
RohkemMatemaatiline maailmapilt MTMM Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis
Matemaatiline maailmapilt MTMM.00.342 Terje Hõim Johann Langemets Kaido Lätt 2018/19 sügis Sisukord *** 1 Sissejuhatus 1 1.1 Kursuse eesmärk.................................... 2 1.2 Matemaatika kui keel.................................
Rohkemprakt8.dvi
Diskreetne matemaatika 2012 8. praktikum Reimo Palm Praktikumiülesanded 1. Kas järgmised graafid on tasandilised? a) b) Lahendus. a) Jah. Vahetades kahe parempoolse tipu asukohad, saame graafi joonistada
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]
Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8
Rohkem6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas
6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade
Rohkem3D mänguarenduse kursus (MTAT ) Loeng 3 Jaanus Uri 2013
3D mänguarenduse kursus (MTAT.03.283) Loeng 3 Jaanus Uri 2013 Teemad Tee leidmine ja navigatsioon Andmete protseduuriline genereerimine Projektijuhtimine Tee leidmine Navigatsiooni võrgustik (navigation
RohkemVL1_praks6_2010k
Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage
Rohkemloeng7.key
Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise
Rohkempkm_2010_ptk6_ko_ja_kontravariantsus.dvi
Peatükk 6 Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes i ristkoordinaadid 1 6.1. Sissejuhatus 6-2 6.1 Sissejuhatus Seni oleme kasutanud DRK, kuid üldjuhul ei pruugi
RohkemRelatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng
Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud
RohkemRemote Desktop Redirected Printer Doc
VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus
RohkemPimeda ajal sõitmine
Sõidueksamitel tehtud vead www.mnt.ee 1 Vasakpöörde sooritamine Sõiduteel paiknemine. Enne vasak- või tagasipööret peab juht aegsasti suunduma sõidutee pärisuunavööndi vasaku ääre lähedale või selle pöörde
RohkemProgrammeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai a.
Programmeerimiskeel APL Raivo Laanemets 17. mai 2009. a. Sissejuhatus I APL - A Programming Language I Kenneth E. Iverson (1920-2004) I Elukutselt matemaatik I Uuris matemaatilist notatsiooni I 1960 -
RohkemDIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü
DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
RohkemIII teema
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos α = sin tanα = cos cos cotα = sin + tan = cos tanα cotα = ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α tan
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi
Rohkem7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade
7 KODEERIMISTEOORIA 7.1 Sissejuhatus Me vaatleme teadete edastamist läbi kanali, mis sisaldab müra ja võib seetõttu moonutada lähteteadet. Lähteteade kodeeritakse, st esitatakse sümbolite kujul, edastatakse
RohkemE-õppe ajalugu
Koolituskeskkonnad MTAT.03.142 avaloeng Anne Villems September 2014.a. Põhiterminid Koolituskeskkonnad (Learning environments) IKT hariduses (ICT in education) E-õpe (e-learning) Kaugõpe (distance learning)
RohkemMicrosoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc
Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse
Rohkem6
TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi
RohkemMicrosoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc
7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus
RohkemFailiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimu
Failiotsing: find paljude võimalustega otsingukäsk find kataloog tingimused kataloog - otsitakse sellest kataloogist ja tema alamkataloogidest tingimused: faili nimi faili vanus faili tüüp... 1 Failiotsing:
RohkemMicrosoft PowerPoint - Keskkonnamoju_rus.ppt
Keskkonnakonverents 07.01.2011 Keskkonnamõju hindamine ja keskkonnamõju strateegiline hindamine on avalik protsess kuidas osaleda? Elar Põldvere (keskkonnaekspert, Alkranel OÜ) Kõik, mis me õpime täna,
RohkemOsakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine.
Osakogumite kitsendustega hinnang Kaja Sõstra 1 Eesti Statistikaamet Sissejuhatus Valikuuringute üheks oluliseks ülesandeks on osakogumite hindamine. Kasvanud on nõudmine usaldusväärsete ja kooskõlaliste
RohkemPraks 1
Biomeetria praks 3 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, 3. nimetage see ümber leheküljeks Praks3 ja
RohkemMittekorrektsed ülesanded 2008
Mittekorrektsed ülesanded 008 Sisukord 1 Näiteid mittekorrektsetest ül.-test ja iseregulariseerimisest 5 1.1 Sissejuhatus............................. 5 1.1.1 Lineaarne võrrand ruumis R...............
RohkemKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π aseme
Kontrollijate kommentaarid 1999. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta 7. klass (Elts Abel, Mart Abel) Test Ül. 6: Mitmes töös oli π asemel antud vastuseks 3,14. Kontrollijad olid mõnel juhul
RohkemQUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN
1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP
RohkemDiskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Diskreetne matemaatika I praktikumiülesannete kogu 2019. a. kevadsemester Sisukord 1 Tingimuste ja olukordade analüüsimine 3 2 Tõesuspuu meetod 5 3 Valemite teisendamine 7 4 Normaalkujud 7 5 Predikaadid
RohkemScala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtusta
Scala ülevaade 1 Meetodid, muutujad ja väärtused. Süntaks 2 Lihtsad tüübid ja väärtused. 3 OOP, case-klassid ja mustrisobitus. 4 Puhta Scala väärtustamine. 5 Keerulisemad tüübid. 6 Nähtavus, implitsiitsus.
RohkemMicrosoft Word - Lisa 3 PK matemaatika.docx
Lisa 3 Pärnu Täiskasvanute Gümnaasiumi õppekava juurde Põhikooli ainekavad Ainevaldkond Matemaatika Ainevaldkonna kohustuslikud kursused: Ainevaldkonda kuulub matemaatika, mida õpitakse alates IV klassist.
RohkemEesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgne
Eesti koolinoorte LIII matemaatikaolümpiaad 28. jaanuar 2006 Piirkonnavoor Hindamisjuhised Lp hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7. 9. klasside olümpiaadi I osa (testi) ning
Rohkemelastsus_opetus_2013_ptk2.dvi
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
RohkemMicrosoft PowerPoint - IRZ0020_praktikum4.pptx
IRZ0020 Kodeerimine i ja krüpteerimine praktikum 4 Julia Berdnikova, julia.berdnikova@ttu.ee www.lr.ttu.ee/~juliad l 1 Infoedastussüsteemi struktuurskeem Saatja Vastuvõtja Infoallikas Kooder Modulaator
Rohkemelastsus_opetus_2015_ptk5.dvi
Peatükk 5 Elastsusteooria tasandülesanne 5.. Tasandülesande mõiste 5-5. Tasandülesande mõiste Selleks, et iseloomustada pingust või deformatsiooni elastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Rohkem6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE
6 tsooniga keskus WFHC MASTER RF 868MHz & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC RF keskus & 4 või 6 tsooniga alaseade SLAVE RF 868MHz 3-6 EE 1. KASUTUSJUHEND 6 tsooniga WFHC
RohkemKuidas hoida tervist töökohal?
Kuidas hoida tervist töökohal? Kristjan Port, TLU 25.04.2017 Tööinspektsiooni konverents Kas aeg tapab?. Mis on tervis? Teadmatus võib olla ratsionaalne. On olukordi milles teadmiste hankimise kulud ületavad
RohkemKUULA & KORDA INGLISE KEEL 1
KUULA & KORDA INGLISE KEEL 1 KUULA JA KORDA Inglise keel 1 Koostanud Kaidi Peets Teksti lugenud Sheila Süda (eesti keel) Michael Haagensen (inglise keel) Kujundanud Kertu Peet OÜ Adelante Koolitus, 2018
RohkemNR-2.CDR
2. Sõidutee on koht, kus sõidavad sõidukid. Jalakäija jaoks on kõnnitee. Kõnnitee paikneb tavaliselt mõlemal pool sõiduteed. Kõige ohutum on sõiduteed ületada seal, kus on jalakäijate tunnel, valgusfoor
RohkemTARTU ÜLIKOOL
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatika instituut Matemaatika eriala Liina Uurman Mehaaniliste võnkumiste ja majanduse mudelid Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Ella Puman Tartu 2014
RohkemKuidas ärgitada loovust?
Harjumaa ettevõtluspäev äriideed : elluviimine : edulood : turundus : eksport Äriideede genereerimine Harald Lepisk OPPORTUNITYISNOWHERE Ideed on nagu lapsed Kas tead kedagi, kelle vastsündinud laps on
RohkemÕppematerjalide esitamine Moodle is (alustajatele) seminar sarjas Lõunatund e-õppega 12. septembril 2017 õppedisainerid Ly Sõõrd (LT valdkond) ja Dian
Õppematerjalide esitamine Moodle is (alustajatele) seminar sarjas Lõunatund e-õppega 12. septembril 2017 õppedisainerid Ly Sõõrd (LT valdkond) ja Diana Lõvi (SV valdkond) Järgmised e-lõunad: 10. oktoober
RohkemRaili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa
Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Raili Veelmaa Eve Värv Ivi Madison Meelika Maila Matemaatika tööraamat 6. klassile I osa Minu nimi on... Õpin......
RohkemAINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpi
AINE NIMETUS: MATEMAATIKA AINEKAVA I-III KOOLIASMTES ÜLDOSA Põhikooli riiklik õppekava: Õppe- ja kasvatuseesmärgid Õppeaine kirjeldus Kooliastmete õpitulemused Nädalatundide jaotumine klassiti Hindamine
Rohkem(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)
TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg
Rohkemlcs05-l3.dvi
LAUSELOOGIKA: LOOMULIK TULETUS Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilberti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (introduction) ja väljaviimise (elimination)
RohkemNeurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k
Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.
Rohkemelastsus_opetus_2017_ptk3
1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.1. Siire ja deformatsioon 3-2 3.1 Siire ja deformatsioon 3.1.1 Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid
RohkemMicrosoft PowerPoint - Loeng6ver2.ppt
Admeaalüüs molekulaarbioloogias LOMR.10.007 6. loeg Regressiooaalüüs. Regressiooseose tugevus (korrelatsiooikordaja, determatsiooikordaja) Märt Möls martm@ut.ee Kas Argetiias elavad õelikud iimesed? eadmestik:
RohkemMicrosoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor
1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on
RohkemImbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Ta
Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 E-kursuse Bayesi statistika Markovi ahelatega materjalid Aine maht 6 EAP Imbi Traat, Natalja Lepik (Tartu Ülikool), 2013 Bayesi statistika Markovi ahelatega,
RohkemTehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad ko
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) VRG 2 2-tee ventiil, väliskeermega VRG 3 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Ventiilid on kasutatavad koos AMV(E) 335, AMV(E) 435 ja AMV(E) 438 SU täiturmootoritega.
RohkemDVD_8_Klasteranalüüs
Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar IX: Objektide grupeerimine hierarhiline klasteranalüüs Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Objektide grupeerimine Eesmärk (ehk miks objekte
RohkemI Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Kons
I Generaatori mõiste (Java) 1. Variantide läbivaatamine Generaator (ehk generaator-klass) on klass, milles leidub (vähemalt) isendimeetod next(). Konstruktorile antakse andmed, mis iseloomustavad mingit
RohkemWord Pro - digiTUNDkaug.lwp
ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad neile ettenähtud kindlatel asukohtadel arvujärkudes a i : a a a a a a a - a - a - a - a i Ainus üldtuntud mittepositsiooniline
RohkemMicrosoft Word - polkaudio 2010 hinnakiri
polkaudio 2010 hinnakiri HINNAKIRI 2010 Kirjeldus Viimistlus Hinna Hind EEK Hind ühik 20%km 20%km naturaalne LSi SEEERIA spoon LSi 15 Põrandakõlar või kirss tk. 11344 725 LSi 9 Riiulikõlar või kirss paar
RohkemVRG 2, VRG 3
Tehniline andmeleht Sadulventiilid (PN 16) 2-tee ventiil, väliskeermega 3-tee ventiil, väliskeermega Kirjeldus Omadused Mullikindel konstruktsioon Mehhaaniline snepperühendus täiturmootoriga MV(E) 335,
RohkemExcel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et
Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o
RohkemMicrosoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne
MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine
RohkemSAF 7 demo paigaldus. 1.Eeldused SAF 7 demo vajab 32- või 64-bitist Windows 7, Window 8, Windows 10, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2012, Wind
SAF 7 demo paigaldus. 1.Eeldused SAF 7 demo vajab 32- või 64-bitist Windows 7, Window 8, Windows 10, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2012, Windows Server 2012 R2, Windows Server 2016 või Windows
RohkemProgrammi Pattern kasutusjuhend
6.. VEKTOR. TEHTE VEKTORITEG Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 6... VEKTORI MÕISTE rvudega iseloomustatakse paljusid suurusi. Mõne suuruse määramiseks piisa ühest arvust ja mõõtühikust. Näiteks
RohkemFJT p6hivara 2019
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid
RohkemУ : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986
У : Ш& illi ELEMENTAARMATEMAATIKA I 1986 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL ELEMENTAARMATEMAATIKA Algpraktikum Ülesannete kogu matemaatikateaduskonna üliõpilastele ja ettevalmistusosakonna kuulajatele Viies trükk TARTU
Rohkem