ITI Loogika arvutiteaduses

Väljavõte

1 Lauseloogika: Loomulik tuletus Loomuliku tuletuse süsteemid on liik tõestussüsteeme nagu Hilbeti süsteemidki. Neile on omane, et igal konnektiivil on oma sissetoomise (intoduction) ja väljaviimise (elimination) eeglid. Loomuliku tuletuse süsteeme võib esitada mitmel moel, siin vaatame standadesitust (à la Pawitz) ja sekventsiesitust (à la Gentzen). Standadesituse omapäaks on, et eeglite eeldused võivad olla tingimuslikud: esinevad eeglid kujul H H. 1m 1. A 1... B H n1.. H. nmn. A n

2 Siin valemid H 11,..., H 1m 1,..., H n1,..., H nmn on eegli einevate eelduste eeldused (hüpoteesid). Sellise tuletuseegli sisu on, et kui D 1 A 1 valemitehulgast Γ {H 11,..., H 1m 1 } ja... ja on valemi A tuletus D n A n on valemi A D 1 A 1... tuletus valemitehulgast Γ {H n1,..., H nmn }, siis B on valemi B tuletus valemitehulgast Γ. Seega: kasutadaolevad hüpoteesid on tuletuse alamtuletustes einevad. D n A n

3 Lauseloogika loomuliku tuletuse standadesitus: Aksioomiskeeme pole, tuletuseeglid on jägmised: I E (EFQ) A B A I A B B A E L A B B E R Ạ... Ḅ... A A B I L B A B I R A B E Ạ... B A I A B A B B E (MP)

4 Eitust vaadatakse sisuliselt kui eikujulist implikatsiooni ( A = A ): Ạ... A I A A Lisaks on tavis veel üht eeglit (selle äajätmisega saaksime tuletussüsteemi intuitsionistlikule lauseloogikale): E Ạ... A. dil. Altenatiive viimasele eeglile: A A TND A. A RAA A DNE A

5 Nimede seletusi: EFQ: ex falso quodlibet, vääusest mida tahes MP: modus ponens dil.: dilemma TND: tetium non datu, kolmandat pole antud (välistatud kolmanda seadus) RAA: eductio ad absudum, taandamine absudile DNE: double negation elimination

6 Näiteid: +2 p +1 (p q) ( s) p q q q s E L +3 p I L q s p q s E +1 (p q) ( s) I, 2 (p q) ( s) (p q s) s I, 1 s q s E R +4 I E R E, 3, 4 +1 q p q I, 3 +2 q +4 q E E I, 4 q (p q) (q ) I L (p q) (q ) I R Dilemma, 1, 2 (p q) (q )

7 Loomuliku tuletuse sekventsiesituse idee on muuta avepidamine paajasti kasutada olevate hüpoteeside üle ilmutatuks. Tõestatavateks/tuletatavateks objektideks pole mitte valemid, vaid nn sekventsid, so guuid kujul Γ A, kus Γ on lõplik (võibolla tühi) hulk valemeid (NB! hulk, mitte list või multihulk, st jäjestus, kodsus ei loe) ning A on valem. (Hulkade kijutamiseks kasutame lihtsustatud süntaksit: A 1,..., A n tähistab hulka {A 1,..., A n }; Γ, A tähistab hulka Γ {A}.) Sekventsi Γ A tõestatavus on sama, mis valemi A tuletatavus valemihulgast Γ loomuliku tuletuse vaemantud esituses. Valem A loetatakse tõestatavaks, kui on tõestatav sekvents A. Sekventsi A 1,..., A n B võib samastada valemiga A 1... A n B; meenutame, et 0 valemi konjuktsioon on.

8 Sekventsiesituse aksioomiskeemid ja tuletuseeglid: (Paneme tähele, et tingimuslike eeldustega eegleid enam pole.) Γ, A hyp. A Γ I Γ Γ E Γ A Γ B Γ A B Γ A B I E Γ A B Γ L E A Γ R B Γ A Γ A I Γ B L B Γ A I Γ A B Γ, A Γ, B R E B Γ Γ, A B Γ A I Γ A B Γ A E B Γ B Γ, A Γ I Γ A Γ A E A Γ Γ, A Γ, A Γ dil.

9 Lauseloogika: Sekventsiavutus Sekventsiavutused on kolmas altenatiiv tõestussüsteeme Hilbeti süsteemide ja loomuliku tuletuse süsteemide kõval. Neid ei tohi segamini ajada loomuliku tuletuse sekventsiesitustega. Kui loomulikus tuletuses olid igal konnektiivil oma sissetoomise ja väljaviimise eeglid, siis sekventsiavutustes on igal konnektiivil oma paema ja vasaku poole eeglid. Sekventsid on sedapuhku nö mitmejäelduselised: sekvents on guu kujul Γ, kus nii Γ kui ka on lõplikud (võibolla tühjad) hulgad valemeid (taas hulgad, mitte listid või multihulgad, st jäjestus, kodsus ei loe). Valem A loetatakse tõestatavaks, kui on tõestatav sekvents A. Sekventsi A 1,..., A n B 1,..., B m võib samastada valemiga A 1... A n B 1... B m ; meenutame, et 0 valemi konjuktsioon on ja 0 valemi disjunktsioon on.

10 Sekventsiavutuse aksioomiskeemid ja tuletuseeglid (tagasisuunalisele otsimisele häälestatud vesiooni jaoks): Γ, R Γ Γ, R Γ A, Γ B, R Γ A B, Γ, A A, hyp Γ Γ, L Γ, L Γ, A, B Γ, A B L Γ A, B, Γ A B, R Γ, A Γ, B Γ, A B Γ, A B, Γ A B, R Γ A, Γ, B Γ, A B Γ, A Γ A, R Γ A, Γ, A L L L

11 Näiteid: q, p p, hyp. q, p q, hyp. p q, p p, hyp. q, p p q, R q,, p hyp. q, p q, p L p q, p q, p L p q, p q p R (p q) (p q ) p L (p q) (p q ) (p ) R

12 p p, q hyp. q, p q hyp. L p q, p q p q, q, p L p q, q p R p q q p R (p q) ( q p) R hyp. hyp. q, p p,, q, p L p, q q, hyp. p,, q p, q, p p, q, q p, q, p q L R p, q p q p (q ) (p q ) R (p ) ((q ) (p q )) R hyp. L