Füüsika: sissejuhatus

Suurus: px
Alustada lehe näitamist:

Download "Füüsika: sissejuhatus"

Väljavõte

1 . Peaükk. Sissejuhaus füüsikalisse mõlemisse.. Füüsika aine See, millega füüsikud egelevad hilja õhul. Range definisiooni on raske anda. Võib küll üles lugeda, millise küsimusega füüsika egeleb ja millisega mie (a la mis on õnn?). Me ei ea looduses paljusid asju. Me näieks ei ea kas ja kuidas universum ekkis ja kas a kunagi ka osa saab ja kui saab, siis kuidas saab. Ja kui ekkis siis miks a ekkis. Nende küsimusega egeleb füüsika haru nimega kosmoloogia. Me ei ea ka miks ja kuidas äpsel ekkis elu. Mõned eadlased räägivad elu kosmilis päriolus, mõned aga, e elu on unikaalne ainul maaga seoud nähus. Nende küsimusega egeleb füüsikaga lähedal seoud kosmosebioloogia. Me ei ea isegi seda, kas meile seda kõike vaja eada on. Kas meie elu muuub selles paremaks, e me rohkem eame või mie? Kas ürginimene, kes ei lugenud ajalehe ja ei vaadanud eleviisori ning seeõu kahlemaa oli vähem informeeriud selles, mis oimus kaugemal ruumis ja ajas, kui oli vaheul ema meelega unneaav, oli vähem õnnelik kui änane keskkoolilõpeaja? Ei ea. Tavalisel me neid küsimusi endale ei esia. Me lihsal oleme sellised uudishimulikud olevused, kes ei lepi sellega mida me äna eame ja püüdleme kogu aeg uue poole. Küllap on ka see üks looduse seadusi, mille olemus me veel häsi ei mõisa. Ja kuigi üks füüsika olulisemaid ülesandeid on ümbriseva maailma üldisaud unneamine, kindlaks egemine, millise seaduse järgi a oimib, need viimased küsimused kohe kindlasi ei kuulu füüsika valda, vähemasi minu eada mie. Niisiis, füüsika nagu igasuguse eadusharu olulisemaid ülesandeid on ümbriseva maailma üldisaud unneamine, kindlaks egemine, millise seaduse järgi a oimib. Milleks meile need üldisused ja seadused? Aga sellepäras, e vasasel korral me ei suudaks igapäevases infoulvas enam milleski aru saada. Meie aju oleks igasuguses fakides küllasunud nagu Guinessi rekordie raama, kuid me ei suudaks neid fake omavahel seosada, ega nendes vajalikke järeldusi eha. Ei näeks puude aga mesa. Näieks juba Galilei kasees ja Newoni üldisuses miu sajandi agasi me eame, e kõik kehad Maa raskusväljas maapinna lähedal liiguvad kiirendusega g. Kui me seda ei eaks, siis iga uue aine puhul, mida keemikud süneesivad peaksime Galileo kaseid kordama... Teaduslik meeod: Vaalus ja kase (eksperimen), analüüs ja hüpoees, mudel ja eooria ning ennusus ja konroll eaduses Kuidas neid seadusi ja üldisusi siis kindlaks ehakse? Selleks on ajapikku välja kujunenud eaud süseem, mis sai alguse Ticho Brahes, Joann Kepleris, Galileo Galileis ja Isaac Newonis (kõik änapäeva mõises (asro)füüsikud) ja mida nimeaakse eaduslikuks meeodiks. Süseemi elemenideks on Vaalus ja kase (eksperimen), analüüs ja hüpoees, mudel ja eooria ning ennusus ja konroll. Vaalus ja kase (eksperimen). Me saame oma eadmised looduses vaaluse ja kasee (eksperimenide) ulemusena. Vaalused, näieks asronoomilised, ilmavaalus või ökoloogilised, on looduses iseeneses oimuvae prosesside passiivne regisreerimine, jälgimine. Eksperimen on akiivne vahelesegamine looduslikesse prosessidesse, ahlikul muues nende oimumise ingimusi. Eksperimen ja vaalus annab meile eadmise, mis

2 oimub eaud objekidega anud ingimuses. Näieks saame eada, e eaud äh kiirgab mingi inensiivsusega ja mingi spekraaljaousega valgus, või e bakerirakk kasvab mingi kiirusega. Need on fakid, mis iseloomusavad seda ja ainul seda konkreese siuasiooni milles kase või vaalus ehi. Kui aga on arvis eada, millal see äh (näi. meie Päike) plahvaab supernoovana või kui kiiresi bakerid poolduvad, siis nendes kasees vasus ei saa. Kuigi bakerie paljunemise koha saaks ju eha ka vasava kase, siis Päikese plahvause puhul oleks seda hilja vaadelda. Kui me oleme õepooles mõisnud ähe evolusiooni ja raku elusükli, siis peaksime olema võimelised eoreeilisel ee ennusama nii pooldumis kui plahvaus. Ennusada saab eooria baasil, eksrapoleerides seda kas ainul loogilise mudeli või siis ka maemaailise mudeli abil. Teooria ongi egelikul loodusliku prosessi peegeldus, loodusliku prosessi mudel meie mõlemises. Teooria on unneuse, mõismise äiuslikem eapp. Vaalus ja kase annavad eadmise, mudel ja eooria annavad mõismise. Vaaluse- ja kaseulemuse võrreldavuse huvide uleb kokku leppida mõõmisühikues. Mõõmine on egelikul ühikuga võrdlemine. Vanasi olid lokaalsed ühikud, kuid eadmise levides oli arvis ühlusada. Analüüs ja hüpoees. Kuidas aga ekib eooria meie käsuuses olevae kaseja vaalusulemuse kaudu? Vaalused ja eksperimendid esiavad ulemusena eaud fake, mis on õesed nendes olukordades, milles need kased ehi. Peaks egema lõpmau palju kaseid, e saada vasused kõigi võimalike olukordade koha, ja ikka jääks veel lõpmau palju olukordi, mille koha kase ehud ei ole. Näieks küsimusele kui kaugele jõuab anud kiirusega liikuv auo vasaes uleks niisuguse empiirilise (kaselise) lähenemise korral mõõa auo asukoh igal ajahekel, ses ilma adekvaase eooriaa/mudelia ei või ju kuidagi eada, kus a saab asuma järgmise sekundi, kümnendiku, sajandiku jne päras. Kui meil on aga eooria, e auo liigub ühlasel ja sirgjoonelisel kiirusega 5 km/h, siis saame ee ennusada, kus a saab asuma näieks.6 sekundi päras. Kuidas ekkis aga ühlase ja sirgjoonelise liikumise eoreeiline eekujuus, kas selleks ehi lõpmau palju mõõmisi iga ajaheke jaoks? Ei, oli vaja mõõa keha asukoh ja aeg ainul kolmes punkis ja avasada seaduspärasus, e võrdsee eepikkuse läbimiseks kulus võrdne aeg. Ühlase sirgjoonelise liikumise üldis seaduspärasus aga mõõmisulemused meile ee ei üle, see uleb endal avasada ulemusi analüüsides, hüpoeese püsiades ning neid uues kasees konrollides. Kase ja eksimuse meeod aiab erad sõkaldes eraldada. Mudeli ja eooria jaoks on seega vajalik andmee loogiline analüüs ja süsemaiseerimine. Näieks võiks olla Mendelejevi keemilise elemenide abel või Linne liikide süsemaiseerimine. Selles mões on ka Guinessi rekordie raamaus eaduse elemene: fakid on eluvaldkondade järgi juba süsemaiseeriud. Teooria on niisugune loogiline (või maemaailine) nähuse mudel/üldisus, mis on kooskõlas kõigi olemasolevae kaseulemusega. Tuleb rõhuada eksperimenaalse ja eoreeilise eadusliku unneuse dialekika: ühel pool baseerub eooria eksperimenide ulemusel, eisel pool ei ole olemas reegli ega seaduspära, mille järgi eksperimenide ulemuse põhjal luua eooria. Teooria võib luua ka siis, kui on olemas kas või üksainus kase, aga avalisel ei ole see eooria siis võimeline rahuldama eise kase ulemus (ei lange sellega kokku). Teooria, mis rahuldab paljude eksperimenide ulemusi, iseeneses ei ulene aga nendes eksperimenides, vaid on omaee sõlumau loogiline mudel, mis sünnib mõeöö ulemusena. Tavalisel arvaakse, e eadlasel on mingi eriline inuisioon, mis aiab neil leida õige eooria. Näieks, kuidas küll Mendelejev aipas, e elemendid grupeeruvad perioodilisel kaheksa kaupa? Darwin nägi ainul liikide lõpuu mimekesisus, kuid kuidas a seleas seda loodusliku valiku ulemusena? Tegelikul ei ole olemas mingi

3 erilis inuisiooni, vaid visa pingeline mõeöö. Muidugi, nii nagu malemängugi puhul head mängijad ei vaagi kaugelki kõiki võimalikke käike vaid valivad kiiresi kõige perspekiivikamad, sellega kompuuermaleajas erinedes, niisamui head eadlased ei vaagi kaugelki mie kõiki võimalikke eooria variane vaid valivad kiiresi perspekiivikamad. Selles ehk väljendubki inuisioon, mis egelikul on kogemus ja laiad eadmised. Konroll ja ennusus. Mida rohkem on eksperimene, mida anud eooria rahuldab, seda õenäosem on, e a rahuldab ka uusi, veel egemaa eksperimene, seega, - on võimeline ulemusi õigesi ee ennusama. Tuleb läbi mõelda ja loogilisel käiviada palju erinevaid mudeleid, milles suurem osa ei rahulda mõnda eksperimeni ja uleb seega kõrvale heia, kuni leiakse üks või isegi miu mudeli, mis rahuldavad kõiki eadaolevaid eksperimene. Näide graviasiooniseaduse seleamise koha hüpoeeilise nähamaue osakese rõhuga (Feynman, 8), mis on väär, ses osakesed akisaksid ka aevakeha liikumis orbiidil, mida pole äheldaud. Teooriae esimine ei lõpe kunagi. Kui leidub kasvõi üks õsikindel fak, mis ei ole eooriaga kooskõlas on eooria audis. Muide, mõne eooria loomise puhul on juhunud, e üks või paar eksperimeni kangekaelsel ei sobi sellesse, sel ajal kui ülejäänud kõik sobivad. Siis võib õsa ka küsimuse nende eksperimenide korreksuse koha. Sii uleneb veel üks dialekiline seos eksperimendi ja eooria vahel: kase konrollib küll eooria, kuid hea eooria võib konrollida ka eksperimendi korreksus. Näide Uraani liikumise iseärasuse seleamises Nepuni mõjuga, mille ulemusel viimane ka avasai (Feynman, ). Kõrgee energiae füüsika eksperimen järgib põhilisel eooria juhnööre. Väga üldised seaduspärasused, mis on kaua aega vasu pidanud kõikidele esidele on õseud seaduse ausse: energia jäävuse seadus j. jäävusseadused, Newoni seadused jne. Teooriae rakenduspiirid. Reeglina on eooria kasee/vaaluse üldisus. Igasugune üldisus aga ka paraamaul lihsusab. Seepäras õuseub anud kaselise maerjali baasil ehud eooriae rakenduspiiride küsimus. Näide: Ühlane sirgjooneline liikumine. Kolm venda käekellaga ja Uskumau Toomas sopperiga. Mõõmise äpsuse olulisus. Suur osa füüsika progressis on seoud mõõmise äpsuse suurendamisega. Tähede kauguse mõõmine mikroskoobiga (Shwarz, 9). Kvanmehaanika näias, e mõõmisäpsusel on piirid. Teadmise ja arusaamise kihiline srukuur. Kaine mõisus ja eaduslik eadmine. Einsein: Kaine mõisus on need eelarvamused, mis kujunevad välja enne 8. eluaasa. (i) Newoni graviasiooniseadus. Kuni. saj. alguseni kõikidele konrollidele vasu pidanud, kuid mikromaailmas äiesi kõlbmau. (ii) Kiiruse liimine +=6 km/s, aga km/s+ km/s= km/s.

4 vi Relaivislik kiiruse liimise valem + c=c. v + v v = vv + c, kus muuhulgas järgneb, e (iii) Elekronide difraksioon: +=-8. Elekron on osake. Iga mõõmine annab äiesi konkreese asukoha. Aga leiuõenäosus laineab. See on klassikalise füüsika paradigma muuus. Heisenbergi relasioon. Igale küsimusele ei saa äpse ja korduva vasus nagu klassikalises füüsikas. (iv) Gödeli ebaäielikkuse eoreem (9) maemaaika/eooria ebaäielikkuse koha. Misahes formaalses süseemis jääb alai probleeme, mida ei saa süseemi aksioomide põhjal ei õesada ega ümber lükaa. Gödeli eoreem, Heisenbergi määramause prinsiip ja egelik võimaus jälgida isegi deerminisliku süseemi arengu, kui a muuub kaooiliseks, moodusavad eaduslike eadmise põhipiirangue kogumi. See programm Füüsika on suur ja lai hõlmaes nii mikro- kui makrokosmose. Meie käsuuses olev aeg lubab käsileda ainul murdosa kogu füüsikas. Põhilisel me konsenreerume sellele, mida võiks nimeada aine ehiuseks. Pole ähis kas see aine on orgaanilis või anorgaanilis päriolu. Ikka a koosneb aaomies ja/või molekulides, mis eaud viisil inerakeerudes 4

5 moodusavad silmaga nähava ja käega kasuava avaaine. Käsileme nende ainee omadusi erinevaes agregaaolekues: gaasilises, vedelas ja ahkes. Ainel nagu eadmiselgi on kihiline srukuur. Molekulid koosnevad aaomies ja need omakorda elekronides ja uumades. Tuumad koosnevad nukleonides (elekrilisel neuraalsed neuronid ja posiiivsel laeud prooonid) ja need omakorda murdarvulise elekrilaenguga kvarkides. Kvargid eksiseerivad vaid nukleonide sees, mie vabal. Seega on kehiv väide, e väikseim vabal esinev elekrilaeng on elekroni laeng. Kvargid (mida on kokku 6) ja elekronid kuuluvad nn. alusosakese (fundamanal paricles) hulka (neid on kokku, koos müüoni, auoni ja neuriinoga). Alusosakesed eadaoleval sisesrukuuri ei oma. Edasi uvume jõududega, mis mõjuvad kehade vahel, hoiavad neid koos ja mõjusavad nende liikumisoleku. Füüsikas erisaakse nelja fundamenaalse vasasikmõju: ugev, elekromagneiline, nõrk ja graviasiooniline (ugevuse järjekorras, mis hõlmab rohkem kui 4 suurusjärku). Nendes vasasikmõjudes käsileme selles kursuses vaid eis ja neljanda, mis mõlemad on kaugmõjud erineval ülejäänues, mis haaravad vaid aaomiuumi. Joonis.. Kehasid ümbrisevad väljad, elekriväli ja graviasiooniväli, mida võib kujuada jõujoonena. Jõuväljad põhjusavad muuusi kehade liikumises, n. vasasikus õmme. Kuidas kaasaegne füüsika seleab kehadevahelis vasasikmõju? Kõigepeal uleb endale selgel aru anda, e kehad ei eksiseeri ühjuses. Neid ümbrisevad alai väljad. Keha unneme ära selles, e al on olemas mass, mis samaaegsel väljendub nii liikumise inersis kui ka keha ümbrisevas graviasiooniväljas. Kehal võib olla ka elekrilaeng, mis ekiab eda ümbriseva elekrivälja. Igasugus välja iseloomusab välja energia, äpsemini poensiaal, mis üldjuhul ruumis muuub. Vasasikmõju ekib, kui eine keha saub anud keha ümbrisevasse välja. Näieks Kuu Maa 5

6 graviasioonivälja või elekron proooni elekrivälja. Mõju on seda suurem, ehk kehale avalduv jõud on seda ugevam, mida kiiremini muuub välja energia anud ruumipunkis. Jõu mõjub suunas, mis viib energia vähenemisele. Näieks kivi kukub Maa poole (üleval alla) sellepäras, e ema poensiaalne energia väheneb selles suunas. Seega, kehade vasasikmõju avaldub jõuväljana ruumis, millel on nii suurus kui suund (egemis on vekorväljaga). Kehad mõjuavad ükseis vaid kaugel, jõuväljade kaudu. Graviasiooniline kaugmõju on silmaga nähav universumi ehiuses, elekromagneiline kaugmõju aga domineerib aaomie ja molekulide vahel, ka siis kui kehad silmnähaval kokku puuuvad. Kehade kokkupuude selle sõna oseses ähenduses looduses ei oimu. Maksimaalses läheduses aaomie välised elekronkihid sauvad lähesikku ja negaiivsed laengud õukuvad ükseise jõuväljas, akisades kehade edasis lähenemis. Joonis.. Kehade maksimaalsel lähenemisel kokkupuude ei oimu, vaid pinnakihi aaomid õukuvad nende elekronkaee elekriväljade vasasmõju õu Veel üks oluline aspek. Kehad mie ainul ekiavad välju, vaid ka ekivad väljades. Üheks näieks on nn. suur pauk 4-5 miljardi aasa agasi. Väli ja aine on maeeria eksiseerimise kaks võrdväärse vormi. Välja kvanidel näieks fooonil on samui mass, mida kirjeldab ema energia. Kaugee ähede valgus kaldub Päikeses möödudes Päikese poole nagu komeeki. Selles väljendub massi ja energia ekvivalensus, mida esmakordsel näias Einsein. Eelöeldu on kvanväljaeooria aine, mida me selles kursuses küll ei käsile, kuid seda on hea eada. Tasuks võib-olla samui eada, e kui elekromagneilise välja kvandid ehk fooonid vahendavad elekromagneilis vasasikmõju, siis ugeva mõju vahendavad glüoonid, ja nõrka vasasikmõju nn. vahebosonid. Sama väljaeoreeilise idealoogia kohasel peaks graviasioonilis vasasikmõju vahendama gravionid, kuid neid pole veel kaselisel avasaud. Kogu looduse srukuur alaes aaomies ja lõpeades universumiga, kaasa arvaud eluslooduse srukuur, saab palju mõiseavamaks kui unneme füüsikaseadusi, mis määravad liikuvae kehade käiumise ükseise jõuväljades. Suhelisel väike arv põhilisi füüsikaseadusi määrab elekronide paiguuse aaomis, aaomie paiguuse molekulis, molekulide paiguuse kehas. Selge, e srukuuri keerukamaks muuudes, elemenaarkehade arvu suurenedes, nende vasasikus mõju analüüsida ei ole lihne. Füüsika on võimeline äpsel kirjeldama ainul suhelisel lihsaid srukuure. Keerukamael juhudel uleb rakendada loogilise eksrapolasiooni meeodi, püüdes ee kujuada kuidas lihsaid srukuure valisevad seadused kombineeruvad keerukamaes srukuurides. See ongi mõlemine, mida ooan eil, kui e asue rakendama käesolevas kursuses omandau oma erialal. Füüsika mõismiseks ei ohi mie valemeid ega konspekilehedel asesevaid lauseid endale vaimusilma ee manada, vaid uleb kujuleda prosesse, kehasid ja nende liikumisi. Ei ole suur häda, kui e aaomi või molekuli kujulee eissugusena kui a egelikul on, suurem on häda kui e eda üldse ee ei kujua. Tõesi, suure hulga aaomie-molekulide liikumise eekujuamine võib olla raske, aga veel raskem oleks nende maemaailine kirjeldamine. Näieks kvanmehaanilisel on äpsel lahenduv vaid kahe keha vasasikmõju probleem. Kolme või rohkema keha puhul uleb juba 6

7 kasuada mimesuguseid lähendusvõeid, milles maemaaika ja loogiline eekujuus põimuvad. Niisiis, asjade mõismiseks uleb jus neidsamu asju modelleerida, ee kujuada, mie aga meelde uleada valemeid või lauseid, mis nende koha käivad. Selles väljendubki erinevus mõisee ean ja mõisan vahel. Teaakse fake. Tüüpiline näide on siin mälumängurie kiired vasused Kuldvillaku urniiril. Mnemourniiril aga anakse aega ja ilus on peal kuulaa, kuidas loogilise aruelu, mõlemise eel jõuakse õige vasuseni ka siis, kui seda mie ükski osavõja alguses ei ea. Vasus, mida ei eaa, mõeldakse välja. Õige vasuse, õige käiumise väljamõlemine igal elujuhumil ongi asjade mõismine. Füüsikas on heaks mõismise konrolliks ülesannee lahendamine. Ilma ülesandeid lahendamaa ei ole e seda füüsikakursus kindlasi mie mõisnud. Miks bioloogiline füüsika? Käesoleva kursuse üks kaugemaleulauvaid eesmärke on mõisa, missugused molekulides ja rakkudes oimuvad liikumised on aluseks eluprosessidele. Rakkudes on suurusjärk või rohkem molekuli. Suur molekulide arv põhjusab uusi nähusi, mis üksikue molekulide asemel ei esine. Seepäras enne kui jõuame bioenergeeikani, peame uvuma lihsae kehade, sh. aaomie ja molekulide füüsikalise omadusega ja õppima kirjeldama nende liikumis... Osad kokku Üriame lõpuks näieks analüüsida ühe lihsa kase. Ma usun, e ka kõige lihsama bioloogilis prosessi on selles kases uhandeid kordi keerulisem analüüsida. See kase aiab mõisa, mis suunas oimuvad loomulikud/iseeneslikud/sponaansed muuused keerulises süseemides, näieks keemilised reaksioonid..4. Kirjandus hp://planphys.u.ee/kursused/fyysika.hml H. Käämbre. Füüsika XII klassile: Aaom, molekul, krisall. Koolibri 998 A. I. Kiaigorodski. Sissejuhaus füüsikasse. Nauka 97. (vene k.) J. Orear. Fundamenal physics. John Wiley 967 (Tõlge vene k.: Mir 969) P.R. Bergehon. The physical basis of biochemisry: The foundaions of molecular biophysics. Springer 998 7

8 M. Mansfield & C. O Sullivan. Undersanding physics. John Wiley & Sons 998 I. Asimov. Life and energy. Avon Books 96 J. A. Campbell. Why do chemical reacions occur? Englewood Cliffs, NY 965 (õlge vene k., 967) P. W. Akins. The Second Law. Scienific American Books 984 (Tõlge vene k. 987) J. Lõhmus, R. Veskimäe. Universumi mikromaailm, Tallinn. M. Volkenshein. Teaduse riseedel. Nauka 97 (Tõlge eesi k.: Valgus 975) P. Bak. How Naure Works. Springer 996 R.P. Feynman e al. The Faynman lecures in Physics, v.-9. Addison-Wesley 96 (Tõlge vene k.: Mir 976) Physics Today Feb. 994 (Special Issue: Physics and biology) J.S. Richardson e al. Looking a proeins: represenaion, folding, packing, and design. Biophysical Journal 6 (99) 86-9 (koos demonsrasioonikeaga) Scienific American March 99 (Self-organized criicaliy) Scienific American Oc. 985 (Special Issue: Molecules of life) Teadus ja Tänapäev (Koosaja J. Kivi), Eesi Raama, 979 R.E. Blankenship. Molecular mechanisms of phoosynhesis. Blackwell Science R.K. Clayon. Phoosynhesis. Physical Mechanisms and Chemical paerns. Cambridge Universiy Press 98 (Tõlge vene k., 984)D. Eisenberg & D. Crohers. Physical Chemisry wih Applicaions o he Life Sciences. Benjamin/Cummings 979 H.J. Jensen. Self-Organized Criicaliy. Cambridge Universiy Press, 998 A. B. Rubin. Biofizika. Võshaja Shkola T.-, 987 Tinoco & Sauer. Physical Chemisry: Principles and Applicaions in Biological Sciences. Prenice-Hall 985M.V. Volkenshein. Biofizika. Nauka 98Canor &Schimmel. Biophysical Chemisry. Freeman Publicaion 98I.D. Campbell & R.A. Dwek. Biological Specroscopy. Benjamin/Cummings 987 A. S. Davõdov. Biologija i Kvanovaja Mehanika. Haykovo Dumka 979H. Haken. Synergeics. Springer 978 (Tõlge vene k. 98) Nossal & Lecar Molecular and Cell Biophysics. Addison-Wesley 99 8

9 . Peaükk. Sissejuhaus maemaailisse mõlemisse.. Maemaailine ja loogiline eooria Teooria on maailmapil ehk maailma mudel, mis käiviub meie mõlemises. Mõlemise ugev külg on suhelisel keerukae süseemide kiire kvaliaiivne analüüs. Kuid mõõmise ulemuseks on arvulised väärused ja hinnaa uleb seega kvaniaiivseid suurusi ja nende suheid. Tuleame meelde, e mõõmine on mingi sandardiga/ühikuga võrdlemine. Siin jääb mõlemine üsna varsi jänni ja kusub appi maemaaika. Maemaailised valemid ei ole midagi muud kui lühidal kirjapandud reeglid numbrilise suurusega opereerimiseks, seega on maemaaika abivahend mudeli (eooria) kvaniaiivseks analüüsiks. Maemaaika kasuamise eelis seisneb selles, e ühe ja sellesama valemiga võib kirjeldada väga erinevaid nähusi, mis on oma käiumisel sarnased, kuigi sisul äiesi erinevad. Seega on vajalike maemaailise valemie arv unduval väiksem kui analüüsiavae nähuse või prosesside arv. Teades nähuse või prosessi funksionaalse sõluvus võime siis puhal maemaailise analüüsi abil ee ennusada prosessi kulgu ilma sellele prosessi konkreeseele iseärasusele ähelepanu pööramaa. Aga see on jus see, mida me ühel heal eoorial ooame: võimalus ee ennusada süseemi käiumis ingimuses mida pole veel kaselisel konrolliud või mida mingiel põhjusel polegi võimalik konrollida. Viimasel juhul peab eooria muidugi väga usaldusväärne olema. Järgnevas vaalemegi peamisi maemaailise avaldise üüpe, mis kursuses käsileavae füüsikalise nähuse ja prosesside analüüsil ee võivad ulla... Funksioonid y= +.5 y = Joonis.. Lineaarfunksioon ja proporsionaalne sõluvus. Lineaarfunksiooni iseloomusavad kaks parameeri: õus/langus (mis on konsan) ja lõikepunk eljega a. Funksioon on maemaailine seos mime suuruse vahel, mille järgi saab arvuada undmau suuruse (nimeaakse ka funksiooniks, y) vääruse kui argumenide i väärused on eada: y = f(,... n ), kus f ähisab mingi maemaailis arvuusreegli (eheid ja nende kombinasioone). Lihsaim on ühe muuuja funksioon y = f( ). Andmee esiamise võimalusi: abel, graafik (ülevaalik), valem (sobiv maemaailiseks manipulasioonideks) Asmefunksioon: n on asmenäiaja) n y = a+ b (kus -asme funksioon on konsan ses suvaline arv asmel =. Levinuim asmefunksioon on lineaarne (sirge) ehk esimese asme 9

10 sõluvus: y = a+ b, kus a on mingi algseis milles prosess algab ja b ähisab funksiooni õusu ehk y kasvu suhelis kiirus võrreldes kasvuga: y y a = = b= cons Lineaarfunksiooni erijuh on proporsionaalne sõluvus, kus a = ja mõlemad, nii kui y alusavad muuumis nullis. Lineaarse/proporsionaalse sõluvuse näieks olgu sellised oma füüsikalisel sisul erinevad nähused/prosessid nagu läbikäidud ee sõluvus ajas vooluugevuse sõluvus pinges I U R π r s = s + v, = (Ohmi seadus, kas unnee ära?), ringjoone pikkuse sõluvus raadiuses: L=, veevoolu kiiruse sõluvus rõhkude vahes, difusioonivoo kiiruse sõluvus konsenrasioonide vahes jne y = Joonis. Ruuparabool lähub nullis horisonaalsel (nullõusuga) ja jäkab lineaarsel kiireneva õusuga Joonis.. Kuup-parabool lähub nullis horisonaalsel ja jäkab kiireneval suureneva algõusuga (ruusõluvuses). Teise asme funksioon on ruusõluvus, mis võib sisaldada osana ka lineaarsõluvus, kuid lihsuse mões jäame selle praegu välja: y = b Näieks pindala sõluvus lineaarmõõdus. Pange ähele, e kõik pindala valemid sisaldavad argumendi (lineaarmõõdu) ruuu. Ruudu pindala s = a kus a on ruudu külje pikkus. Ringi pindala s = πr kus r on raadius. Kera pindala s = 4πr. Ruusõluvus on ka ühlasel kiireneva liikumise korral läbiud eepikkuse sõluvus ajas: a s = (a on siin kiirendus ja liikumis alusai paigalseisus). Ruusõluvus eemaldub nullis horisonaalsel (väärusel = on õus ) ja jäkab lineaarsel kiireneva õusuga y b =. Kolmanda asme funksiooni ehk kuupsõluvuse y = b näieks oleks ruumala sõluvus lineaarmõõdus. Kuubi ruumala V = a y = ; kera ruumala b kui funksiooni puuuja õusu anud argumendi väärusel. V 4 = π. Tõus kasvab argumendi kasvades proporsionaalsel argumendi ruuduga. Funksiooni õusu y r arvuaakse

11 Kuivõrd funksiooni õus sõlub argumendi vääruses, siis uleb õusu arvuada võimalikul väikese argumendi muuuse korral, piiril lõpmaa väikese muuuse korral: y dy lim d dy = y = = ' = y '( ) d d n y '( ) = a = na d n uleis. Tuleise leidmise proseduuri s.. funksiooni jagamis sirglõikudeks ja vasavae õusude leidmis nimeaakse funksiooni diferenseerimiseks. Iga sile s.. ilma murdekohadea funksioon on lühikeseks puuujasuunaliseks sirglõikudeks jagaav ja seega diferenseeriav. Mida rohkem on lõike, seda äpsemini on funksioon lähendaud. Kui eame funksiooni uleis, siis eame ka kui kiiresi funksiooni anud argumendi väärusel muuub. Funksiooni juurdekasv argumendi muuumisel d võrra avaldub kui dy nimeaakse funksiooni diferensiaaliks. Esimes järku asmefunksiooni õus on cons (ei muuu -ga), seega võime kirjuada, mis kehib iga y ja korral. y = y' = cons Asmefunksiooni diferenseerimise reegel Mime muuuja funksiooni korral nimeaakse funksiooni kiireima kasvamise suunda ja kiirus anud punkis iseloomusava vekori gradiendiks. Pöördvõrdeline sõluvus. Ka pöördvõrdeline sõluvus on asmefunksioon, kus asmenäiaja on -: a y = = a. U Näieks vooluugevuse sõluvus juhme akisuses I R s = v Ze mm E = k. Analoogiline on graviasioonienergia sõluvus kauguses E = k. e g r r sõluvus kiiruses =, liikumiseks kuluaud aja, elekroni poensiaalse energia sõluvus kauguses uumas Esimese asme pöördvõrdelis sõluvus nimeaakse ka hüperboolseks sõluvuseks. Sellele sõluvusele on iseloomulik, e ema õus on lõpmau suur väikesel argumenide väärusel ja läheneb asümpooilisel ( r ) -le suurel argumendi väärusel. Sellise keerulisel ja järsul muuuva funksiooni päras räägiaksegi näieks kosmoselendude puhul, e eaud lennu eapil (eaud kaugusel) saus kosmoselaev ühe või eise aevakeha mõjuvälja. Tegelikul ulaub graviasiooni mõju lõpmausse, kuid suurel kaugusel on välja muuumise kiirus väike. See ähendab jõud, mis laevale selle aevakeha pool avaldaakse on veel väike. Teaud lähenemiskaugusel hakkab poensiaalne energia kiiresi muuuma. Laevale mõjuv jõud nagu me eelmises loengus rääkisime on aga jus välja muuumise kiirusega proporsionaalne ja see jõud võib nüüd laeva liikumis ugeval mõjuada.

12 Bioloogias on ähsaim alguses (kui on väike) kiiresi ja hiljem järjes aeglasemal õusev kombineeriud hüperboolne sõluvus, mille abil kirjeldaakse näi. ensümaailise reaksioonide kiirus sõluval subsraadi konsenrasioonis v = a / ( b + ). See eemaldub nullis õusuga a/b, saavuab poole maksimaalvääruses siis kui = b ja küllasub kõrgusel a siis kui (läheneb lõpmausele). Pöördvõrdelise ruusõluvuse näieks on funksioon y a =. Sellis sõluvus omab näieks punkikujulise laengu või massi elekri- või graviasioonivälja ugevuse (jõu) sõluvus kauguses masside või laengue keskpunkides. Pöördvõrdelise sõluvuse ja pöördvõrdelise ruusõluvuse õusud on vaid ühes kohas (argumendi väärusel ) võrdsed. Väiksemael argumendi väärusel muuub pöördvõrdeline ruusõluvus kiiremini kui pöördvõrdeline sõluvus. Suuremael argumendi väärusel muuub see vahekord vasupidiseks. Väga ähis funksioon on eksponensiaalne sõluvus. Posiiivne eksponen y = y e a (e =.78 ) kirjeldab näi. bakerikoloonia kasvu ajas (alguses, aga hiljem see küllasub sarnasel ensümaailise reaksiooni kiiruse valemiga), kapiali suurenemis firmas (ka see võib küllasuda). Negaiivne eksponen y = y e a kirjeldab näi. radioakiivsel lagunevae uumade arvu, valguskvanide arvu vähenemis neelava keskkonda läbides, kondensaaori laeng ühjenemis läbi akisi, edukae üliõpilase arvu kahanemis õpiaja jooksul Joonis.4. Posiiivse asendajaga eksponenfunksioon (A) algab väarusel y = ja kasvab kiireneval. Negaiivse asendajaga eksponen (B) lähub algvääruses ja langeb algõusuga, mis sihib eksponendiegurile (τ = selles näies) Eksponenesiaalsõluvuses a nimeaakse kiiruskonsandiks. Kui see on esiaud /τ pöördväärusena y = ye siis τ nimeaakse eksponendi eguriks (näi. radioakiivse lagunemise või kondensaaori ühjenemise puhul ajaegur). Mõnikord kasuaakse eksponenfunksiooni alusena e asemel ka. Eksponensiaalfunksiooni defineeriakse kui lõpmau jada e = !! Sii siis ka arvu e numbriline väärus: e = =.78...!! Eksponenfunksiooni uleis on võrdeline iseendaga dy d ± a = ± ay e =± ay. See ähendab, e mida suuremaks funksioon kasvab, seda kiiremini muuub ema väärus (seda suurem on ema juurdekasv). Mida rohkem on sul kapiali, seda suurem on su kasum. Ja vasupidi,

13 mida väiksemaks muuub funksiooni väärus, seda aeglasemal a kahaneb. Argumendi väärusel on nii kasvav kui ka kahanev eksponenfunksioon võrdsed, ses e =. Argumendi negaiivsel lõpmaul väärusel on kasvava eksponendi õus. Sul peab algkapiali olema, e eevõe mõisliku ajaga kasumi ooma panna. Kahaneval eksponendil on aga algne vääruse kahanemine kiire. Päris nullini ei kahane eksponen aga kunagi, see võaks lihsal lõpmaa kaua aega. Eksponenfunksiooni kõige iseloomulikumaks jooneks on, e nii kasvu kui ka kahanemise suheline kiirus ei muuu olles võrdne y ( ± ) y ( ) ± a = = Vaaame kahaneva eksponensiaalse prosessi, mida kirjeldab ajaegur τ : A= A e τ. Aja τ möödudes on prosessi kirjeldav ampliuud vähenenud e - =.68 korda ehk ~7% peale esialgses vääruses A. Kahe ajaeguri möödudes e - =.5 ehk.5% peale ja kolme ajaeguri möödudes e - =.5 ehk 5% peale. Näeme, e eksponensiaalsee prosesside prakilise lõppemiseni kulub vähemal τ kuni 5τ. Eksponendi pöördfunksioon on logarim. Funksiooni y f( ) = f ( y) y = e ln y = funksioon. Näieks kui, siis e e ± τ = pöördfunksioon on. Loomulik logarim arvus y on arv, millega uleb asendada e, e saada y: Kümnendlogarim arvus y on arv, millega uleb asendada, e saada y: Kui y = siis y = ja ln y =. lg y. lg ln y = ln =.. Asendades -i saame, e Kuidas näeb välja logarimfunksiooni graafik? Nii ln kui ka lg =, ses iga arv (sh. e ja ) asmel =. Ühes suuremae arvude logarimid on posiiivsed, ühes väiksemae arvude logarimid on negaiivsed. ln =... Diferensiaalvõrrandid Diferensiaalvõrrandid on maemaailised seosed mie suuruse enese vahel (nagu funksioonid), vaid suuruse muuuse vahel. Näieks võiks olla ühlasel liikumisel läbiud eepikkus. Liikumisel kiirusega v on igas lõpmau lühikeses ajavahemikus d läbiud eepikkus ds = vd. See valem kirjeldabki lihsaima ehk esimes järku diferensiaalvõrrandi. Diferensiaalvõrrandi järgu määrab osiava funksiooni uleise kõrgeim järk selles võrrandis. Konsanse kiiruse korral võime v inegraali ee uua: ds = v d ehk s = v + s, kus s ähisab liikumise alguspunki. See on näide esimes järku diferensiaalvõrrandi inegreerimises, mis annab lahendina osiava argumendi, s.o. aja, funksiooni (s). Tuleame meelde, e ds = vd = s'( ) d Seega on inegreerimine uleise kaudu funksiooni osimine. Osiakse sellis funksiooni, mille uleis oleks võrdne inegraalialuse avaldisega.

14 Vaaame veelkord eelpool juba nähud joonis esimese asme funksioonides ja kujuame ee, e horisonaalelg on aja-elg ja verikaalelg on kauguse-elg. Tuleise e. liikumise kiiruse vääruseks on siis.5 m/s, mida ähisab horisonaalne jäme joon y= +.5 y = s = vd = s'( ) d s = s'( ) d (i) Inegraal ähisab geomeerilisel inegraalialuse funksiooni pindala. (ii) Võrrandi ds = vd rahuldab iga sirge, mille õus on.5 m/s. Seega jääb ülaloodud inegraali äpne väärus kindlaks egemaa. Prakilises ülesannees määraakse inegreerimiskonsan mingis lisaeabes, nn. alg- või ääreingimuses. Näieks ülaoodud näies nõuame, e ajahekel = oleks funksiooni väärus s =. Inegreerimiskonsan s siis näiab, e liikumis alusai kohal ja s on siis lõpp-punki egelik asukoh ning see jälgib ülemise funksiooni graafiku. Veidi keerukam on juh kui inegreeriav suurus, anud juhul kiirus v, ei ole konsanne, vaid muuub koos ajaga, näieks kui on egemis ühlasel kiireneva liikumisega, siis a, kus a on kiirendus (algkiiruse loeme -ks). Sel juhul ds = ad = a d ja v = inegreerides saame allpool. s = a + s. Asmefunksioonide inegreerimise reeglies räägime Väga ihi on egu järgmise esimes järku diferensiaalvõrrandiga, mis põhineb eadmisel, e suuruse A muuumise kiirus (n. ajas, või ka ruumis, eepikkuse läbimisel) on võrdeline suuruse A enesega. Ülapool nägime, e see on omane eksponefunksiooni uleisele (seega osiav funksioon on eksponenfunksioon). Nii on see näi. vedeliku väljavoolamisel reservuaaris, elekrimahuvuse ühjenemisel, radioakiivse aine lagunemisel, valguskvanide liikumisel läbi neelava aine, igal juhul kui võime kirjuada ` da d = ka ; (.) Proporsionaalsusegur k ehk kiiruskonsan on siin konsan Võrrandi inegreerimiseks rakendame muuujae eraldamise reegli, viies A ühele poole ja eisele poole võrdusmärki ning inegreerides da A = kd (.) da A = kd. (.) Tulemuseks saame ln A= k + ln A ehk ln A A = k, (.4) 4

15 milles A= A e k (.5) Nagu panie ähele, inegreerimiskonsan kirjuai seekord logarimi kujul, lna, e muuuse alguspunk viia sisse suhena, mie vahena lõpp-punki suhes. Viimase valemi võib kirjuada ka kujul A= A e τ. (.6) kus τ =/k on nn. eksponendi egur (anud juhul ajaegur). Nagu eelpool juba märgiud, aja τ möödudes saavuab eksponensiaalsel kahanev prosess vääruse, mis moodusab ~7% esialgses vääruses (e - =.68). Kahe ajaeguri möödudes on suhe e - =.5 ja kolme möödudes e - =.5. Aja asemel võib esineda ka eepikkus, näieks kui valguskvandid läbivad neelava aine või juhuslikul aseaud neelavaid objeke (aimkae lehesik). Siis konsan k näiab valguse (või aine läbiva radioakiivse kiirguse) nõrgenemis eepikkuse ühiku koha. Kui diferensiaalvõrrand näiab, e suurus mie ei kahane, vaid kasvab iseendaga võrdelisel (valemi. parem pool on posiiivne), saame samasuguse eksponensiaalse lahendi, aga posiiivse asendajaga. Posiiivse eksponendiga kirjeldub näieks populasiooni (bakerie koloonia) kasv, aime kasv, majanduse (kapiali) kasv ec. algfaasis, siis kui süseemi iga elemen suureneb (paljuneb) veel ilma eise pool mõjuamaa. Prosess küllasub, kui koloonia muuub nii ihedaks, e naaber-rakud peavad oidu (valguse, jne.) peale konkureerima. Kui esimes järku diferensiaalvõrrand sidus omavahel argumendi ja funksiooni muuumise (sisaldades esimes järku uleisi), siis eis järku diferensiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funksiooni muuumise muuumised (eis järku uleisi). f f f ' '' = f( ) df = d d df d f = ( ) = d d d Teis järku diferensiaalvõrrandi laial kasuaavaks näieks on võnkumise võrrand, mis põhineb eadmisel, e vedru (või pendli) agasiõmbav jõud on võrdeline hälbega A asakaaluasendis. Kuna jõud põhjusab kiiruse muuumise ehk kiirenduse, siis väidab see võrrand, e võnkuva massi kiiruse muuumise kiirus (kiirendus) on võrdeline hälbega asakaaluseisus ja on suunaud asakaaluasendi poole (viimasele viiab miinusmärk elassuskoefisiendi k ees): da F = m = ka (.7) d Saab näidaa, e selle võrrandi lahendiks on perioodilisel võnkuv siinusfunksioon, mille võnkeperiood T avaldub järgmisel: k m 4π T 4π m k = ehk T = = π (.8) m k 5

16 Pendli puhul k/m=g/l ja mass aandub valemis välja T = π. Selleks, e määraa, missuguses siinusfunksiooni punkis asub võnkuv keha eaud ajahekel, on lisaks võrrandi lahendiks olevale siinusfunksioonile arvis eada veel juba kahe algingimus: algkoordinaai, milles liikumine algab ja liikumise algsuunda, kas asakaalupunki poole või selles eemale. l g.. Asmefunksioonide inegreerimise reeglid Inegraali on lihne leida kui inegreeriav on asmefunksioon: n n d = n + +, (.9) näieks kui v=a, siis a ad =. (.) Veel näieid: d= ; d = ; d = (.; ; ) Aga peame meeles e erandiks on inegraal, mis annaks ulemuseks null-asme d = ln. (.4) Eksponenfunksiooni inegraal avaldub samui väga lihsal e a a a e d= (.5).4. Määramaud ja määraud inegraalid Kui diferensiaalvõrrand on kirjuaud üldisel kujul, siis ema lahendina ei osia mie arvu (mingi funksiooni väärus), vaid funksiooni ennas maemaailisel kujul. Diferensiaalvõrrandi inegreerimise ulemusena leiaksegi niisugune funksioon, nn. määramau inegraal, näi eelmise lõigu reeglie järgi. Kui aheakse aga leida selle funksiooni mingeid arv-väärusi, siis peab eadma inegreerimiskonsani (algväärus, kus prosess lähus) ja kui kaua või kui kaugele see oimus. Nende nn. ääreingimuse arvesamine oimub määraud inegraali arvuamise eel. Näieks kui keha alusab liikumis nullkiiruses ja liigub ühlasel kiireneval kiirendusega a m s -, siis aja möödudes ema kiirus on v() =a (ähisus v() ähendab, e suurus v on aja funksioon). Selleks, e leida aga, kui kaugele keha jõudis sellesama aja jooksul, ei saa lihsal lõppkiirus ajaga korruada, vaid uleb arvesada, e igal ajahekel oli keha kiirus erinev. Võib eeldada, e iga väga lühikese ajavahemiku d jooksul läbiud eepikkus d = v() d. Keha asukoha muuuse leidmiseks pika ajavahemiku - jooksul uleb kasuada määraud inegraali: 6

17 = v( ) d ehk anud juhul = ad (.6) Seda arvuaakse nii, e leiakse määramau inegraali väärus ülemisel rajal ja lahuaakse selles määramau inegraali väärus alumisel rajal : Kui = siis a a a( ) = ad = = (.7) a = iga aja jaoks, ses =. Kursuse jooksul kasuame inegreerimis lisaks ebaühlase kiirusega liikumisel läbiava eepikkuse arvuamisele veel näieks aaomiuuma ümbriseva elekrivälja poensiaalse energia arvuamiseks ja gaasi paisumisel ehava öö arvuamiseks. Funksiooni miinimum ja maksimum. E leida funksiooni eksreemum (kas miinimum või maksimum) uleb leida need kohad funksioonil, kus funksiooni muuumise kiirus ehk uleis on. E leida kas eksreemum vasab funksiooni maksimumväärusele või miinimumile, uleb arvuada funksiooni eine uleis. Kui eine uleis on >, on egemis miinimumiga ja vasupidi. Tee joonis. Vekorid ja skalaarid. Skalaarid on suurused, mida iseloomusab eaud arvväärus (ja ühik). Skalaarid liiuvad algebralisel. Vekorid on suurused, mida iseloomusab ruumis sih, suund ja pikkus. Vekorid liiuvad geomeerilisel. Tee joonis rohkem kui kahe vekoriga. Füüsikas iseloomusab vekori veel ka ühik. Vekorid on kiirus, kiirendus, jõud, impulss, impulssmomen, jõumomen. Kuid energia nagu ka mass või emperauur on skalaarid (on äielikul määraud vasava arvväärusega ning kasuaud ühikuga). Vekor on suunaga lõik (nool) ruumis Vekorid on võrdsed, kui neil on sama sih, suund (+ või miinus anud sihis) ja pikkus Vekori koordinaadid on ema lõpp- ja algpunkide vahed Suvaline vekor on avaldaav koordinaaelgede suunalise ühikvekorie kui baasi kaudu. Tasapinnal asuva vekori jaoks on vaja kahe baasvekori, ruumis asuva jaoks kolme (, y, z). Erisaaakse vekorie skalaar- ja vekorkorruis. a b = abcosα Esimese ulemuseks on skalaar väärusega skalaarkorruis = Teisel vekor, mis on esimese kahega risuvas asapinnas. Selle vekori pikkus on a b = absinα. Risiolevae vekorie. Samasuunalise vekorie vekorkorruis=. 7

Microsoft Word - Pt4.doc

Microsoft Word - Pt4.doc 4 OSTSILLOGRAAF 4.1 STRUKTUUR Ossillograaf seade elekrivõnkumise (pinge) ajalise kuju jälgimiseks ja mõõmiseks. Liigius: analoogossillograafid ja digiaalossillograafid. a) Analoogossillograaf S CRT S&K

Rohkem

vv05lah.dvi

vv05lah.dvi IMO 05 Eesti võistkonna valikvõistlus 3. 4. aprill 005 Lahendused ja vastused Esimene päev 1. Vastus: π. Vaatleme esiteks juhtu, kus ringjooned c 1 ja c asuvad sirgest l samal pool (joonis 1). Olgu O 1

Rohkem

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. I Kontrolltöö I järeltöö I variant 1. On antud neli vektorit: a = (2; 1; 0), b = ( 2; 1; 2), c = (1; 0; 2), d Matemaatilised meetodid loodusteadustes I Kontrolltöö I järeltöö I variant On antud neli vektorit: a (; ; ), b ( ; ; ), c (; ; ), d (; ; ) Leida vektorite a ja b vaheline nurk α ning vekoritele a, b ja

Rohkem

Microsoft Word - Pt6min

Microsoft Word - Pt6min 1 6 DIGIAALMODULASIOON 6.1 Üldis Digiaalmodulasiooni korral moduleeriakse pideva kandevõnkumis cos(ω c ) digiaalsümoleid kandva signaaliga. Signaal olene sümolies a k, millel on piiraud arv võimalikke

Rohkem

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo

Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul ühe muutuja funktsioo Matemaatiline analüüs IV 1 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 1. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Üleminekul üe muutuja funktsioonidelt m muutuja funktsioonidele, kus m, 3,..., kerkib

Rohkem

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse  MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 5. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Pöördliikumine Kulgliikumine Kohavektor Ԧr Kiirus Ԧv = d Ԧr dt Kiirendus Ԧa = dv dt Pöördliikumine Pöördenurk

Rohkem

efo03v2pkl.dvi

efo03v2pkl.dvi Eesti koolinoorte 50. füüsikaolümpiaad 1. veebruar 2003. a. Piirkondlik voor Põhikooli ülesannete lahendused NB! Käesoleval lahendustelehel on toodud iga ülesande üks õige lahenduskäik. Kõik alternatiivsed

Rohkem

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur

Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luur Sügis 2018 Kõrgema matemaatika 2. kontrolltöö tagasiside Üle 20 punkti kogus tervelt viis üliõpilast: Robert Johannes Sarap, Enely Ernits, August Luure, Urmi Tari ja Miriam Nurm. Ka teistel oli edasiminek

Rohkem

lvk04lah.dvi

lvk04lah.dvi Lahtine matemaatikaülesannete lahendamise võistlus. veebruaril 004. a. Lahendused ja vastused Noorem rühm 1. Vastus: a) jah; b) ei. Lahendus 1. a) Kuna (3m+k) 3 7m 3 +7m k+9mk +k 3 3M +k 3 ning 0 3 0,

Rohkem

Remote Desktop Redirected Printer Doc

Remote Desktop Redirected Printer Doc VI OSA, 10. klass füüsika Ühtlaselt muutuv liikumine ja kiirendus Ühtlaselt muutuv liikumine on mitteühtlase liikumise eriliik. Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mille puhul keha kiirus

Rohkem

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN

QUANTUM SPIN-OFF - Experiment UNIVERSITEIT ANTWERPEN 1 Kvantfüüsika Tillukeste asjade füüsika, millel on hiiglaslikud rakendusvõimalused 3. osa: PRAKTILISED TEGEVUSED Elektronide difraktsioon Projekti Quantum Spin-Off rahastab Euroopa Liit programmi LLP

Rohkem

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas

6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tas 6. KLASSI MATEMAATIKA E-TASEMETÖÖ ERISTUSKIRI Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 54, vastu võetud 15. detsembril 2015. E-TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga läbiviimise eesmärk on hinnata riiklike õppekavade

Rohkem

XV kursus

XV kursus KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD. TULETISE RAKENDUSED.. Funktsiooni määramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi () väärtused, mille korral funktsiooni väärtus (y) on eeskirjaga

Rohkem

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega \374lesanded)

(10. kl. I kursus, Teisendamine, kiirusega, kesk.kiirusega  \374lesanded) TEISENDAMINE Koostanud: Janno Puks 1. Massiühikute teisendamine Eesmärk: vajalik osata teisendada tonne, kilogramme, gramme ja milligramme. Teisenda antud massiühikud etteantud ühikusse: a) 0,25 t = kg

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kahes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

Fyysika 8(kodune).indd

Fyysika 8(kodune).indd Joonis 3.49. Nõgusläätses tekib esemest näiv kujutis Seega tekitab nõguslääts esemest kujutise, mis on näiv, samapidine, vähendatud. Ülesandeid 1. Kas nõgusläätsega saab seinale Päikese kujutist tekitada?

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3.

Rohkem

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor

Microsoft Word - 56ylesanded1415_lõppvoor 1. 1) Iga tärnike tuleb asendada ühe numbriga nii, et tehe oleks õige. (Kolmekohaline arv on korrutatud ühekohalise arvuga ja tulemuseks on neljakohaline arv.) * * 3 * = 2 * 1 5 Kas on õige, et nii on

Rohkem

Image segmentation

Image segmentation Image segmentation Mihkel Heidelberg Karl Tarbe Image segmentation Image segmentation Thresholding Watershed Region splitting and merging Motion segmentation Muud meetodid Thresholding Lihtne Intuitiivne

Rohkem

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei

Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad sei Eesti koolinoorte 66. füüsikaolümpiaad 06. aprill 2019. a. Vabariiklik voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (AUTOD) (6 p.) Kuna autod jäävad seisma samaaegselt, siis läheme ühe ühe autoga seotud

Rohkem

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc

Microsoft Word - A-mf-7_Pidev_vorr.doc 7. PIDEVUE VÕRRAND, LIANDITE DIFUIOON 7.1. Põhivalemi tuletamine Pidevuse võrrand kirjeldab liikuva vedeliku- või gaasimassi jäävust ruumielementi sisseja väljavoolava massi erinevus väljendub ruumiühikus

Rohkem

PISA 2015 tagasiside koolile Tallinna Rahumäe Põhikool

PISA 2015 tagasiside koolile Tallinna Rahumäe Põhikool PISA 215 tagasiside ile Tallinna Rahumäe Põhi PISA 215 põhiuuringus osales ist 37 õpilast. Allpool on esitatud ülevaade i õpilaste testisoorituse tulemustest. Võrdluseks on ära toodud vastavad näitajad

Rohkem

VL1_praks6_2010k

VL1_praks6_2010k Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is oma kursuse ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht (Insert / Lisa -> Worksheet / Tööleht), nimetage

Rohkem

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx

Microsoft PowerPoint - loeng2.pptx Kirjeldavad statistikud ja graafikud pidevatele tunnustele Krista Fischer Pidevad tunnused ja nende kirjeldamine Pidevaid (tihti ka diskreetseid) tunnuseid iseloomustatakse tavaliselt kirjeldavate statistikute

Rohkem

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p

Matemaatiline analüüs III 1 4. Diferentseeruvad funktsioonid 1. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles p Matemaatiline analüüs III 4. Diferentseeruvad funktsioonid. Diferentseeruvus antud punktis. Olgu funktsiooni f : D R määramispiirkond D R selles paragravis mingi (lõplik või lõpmatu) intervall ning olgu

Rohkem

6

6 TALLINNA ÕISMÄE GÜMNAASIUMI ÕPPESUUNDADE KIRJELDUSED JA NENDE TUNNIJAOTUSPLAAN GÜMNAASIUMIS Õppesuundade kirjeldused Kool on valikkursustest kujundanud õppesuunad, võimaldades õppe kolmes õppesuunas. Gümnaasiumi

Rohkem

efo09v2pke.dvi

efo09v2pke.dvi Eesti koolinoorte 56. füüsikaolümpiaad 17. jaanuar 2009. a. Piirkondlik voor. Põhikooli ülesanded 1. (VÄRVITILGAD LAUAL) Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva horisontaalse laua kohal on kaks paigalseisvat

Rohkem

Praks 1

Praks 1 Biomeetria praks 6 Illustreeritud (mittetäielik) tööjuhend Eeltöö 1. Avage MS Excel is ankeedivastuseid sisaldav andmestik, 2. lisage uus tööleht, nimetage see ümber leheküljeks Praks6 ja 3. kopeerige

Rohkem

2016 aasta märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme,

2016 aasta märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme, 2016 märtsi tulumaksu laekumine omavalitsustele See ei olnud ette arvatav Tõesti ei olnud, seda pole juhtunud juba tükk aega. Graafikult näeme, et märtsis laekus tulumaksu eelmise märtsist vähem ka 2009

Rohkem

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng

Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 6. Loeng Relatsiooniline andmebaaside teooria II. 5. Loeng Anne Villems ATI Loengu plaan Sõltuvuste pere Relatsiooni dekompositsioon Kadudeta ühendi omadus Sõltuvuste pere säilitamine Kui jõuame, siis ka normaalkujud

Rohkem

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine

8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Õppesisu Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Hulkliikmed ( 45 tundi) Hulkliige. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine ning korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme tegurdamine ühise teguri sulgudest väljatoomisega.

Rohkem

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid

Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid Andmed arvuti mälus Bitid ja baidid A bit about bit Bitt, (ingl k bit) on info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut

Rohkem

Keemia koolieksami näidistöö

Keemia koolieksami näidistöö PÕLVA ÜHISGÜMNAASIUMI KEEMIA KOOLIEKSAM Keemia koolieksami läbiviimise eesmärgiks on kontrollida gümnaasiumilõpetaja keemiaalaste teadmiste ja oskuste taset kehtiva ainekava ulatuses järgmistes valdkondades:

Rohkem

ISS0010_5osa_2018

ISS0010_5osa_2018 Süeemieooria ISS E 5 EP Juhiavu, jälgiavu, raendued hp://www.alab.ee/edu/i Eduard Pelenov eduard.pelenov@u.ee, TTÜ IT5b, el. 64 TTÜ rvuiüeemide iniuu ruae üeemide eu Juhiavu, jälgiavu Juharvui Süeem JUHITVUS!

Rohkem

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y =

MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED (1) Leida funktsiooni y = sin x + ln(16 x 2 ) määramispiirkond. (2) Leida funktsiooni y = MATEMAATILINE ANALÜÜS I. ESIMESE KONTROLLTÖÖ NÄITEÜLESANDED () Leida funktsiooni y = sin + ln(6 ) määramispiirkond. () Leida funktsiooni y = arcsin( 5 + 5) + 9 määramispiirkond. () Leida funktsiooni määramispiirkond

Rohkem

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü

DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA Arvusüsteemid Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkü DIGITAALTEHNIKA DIGITAALTEHNIKA... 1 1. Arvusüsteemid.... 2 1.1.Kümnendsüsteem....2 1.2.Kahendsüsteem.... 2 1.3.Kaheksandsüsteem.... 2 1.4.Kuueteistkümnendsüsteem....2 1.5.Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Rohkem

Word Pro - diskmatTUND.lwp

Word Pro - diskmatTUND.lwp Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) George Boole (85 864) Sündinud Inglismaal Lincolnis. 6-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, keskendudes hiljem

Rohkem

ma1p1.dvi

ma1p1.dvi Peatükk 1 Funktsioonid ja nendega seotud mõisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu mõiste käsitlemist toome sisse mõned hulkadega seotud tähised.

Rohkem

Õppeprogramm „vesi-hoiame ja austame seda, mis meil on“

Õppeprogramm „vesi-hoiame ja austame seda, mis meil on“ ÕPPEPROGRAMM VESI-HOIAME JA AUSTAME SEDA, MIS MEIL ON PROGRAMMI LÄBIVIIJA AS TALLINNA VESI SPETSIALIST LIISI LIIVLAID; ESITUS JA FOTOD: ÕPPEALAJUHATAJA REELI SIMANSON 19.05.2016 ÕPPEPROGRAMMI RAHASTAS:

Rohkem

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet

Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Kuu Õpitulemus Õppesisu Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppet Matemaatika ainekava 8.klass 4 tundi nädalas, kokku 140 tundi Algebra (65 t.) Geomeetria (60 t.) Ajavaru kordamiseks (15 õppetundi) septembernovember korrastab hulkliikmeid Hulkliige. Tehted liidab, lahutab

Rohkem

raamat5_2013.pdf

raamat5_2013.pdf Peatükk 5 Prognoosiintervall ja Usaldusintervall 5.1 Prognoosiintervall Unustame hetkeks populatsiooni parameetrite hindamise ja pöördume tagasi üksikvaatluste juurde. On raske ennustada, milline on huvipakkuva

Rohkem

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp

Word Pro - digiTUNDkaug.lwp / näide: \ neeldumisseadusest x w x y = x tuleneb, et neeldumine toimub ka näiteks avaldises x 2 w x 2 x 5 : x 2 w x 2 x 5 = ( x 2 ) w ( x 2 ) [ x 5 ] = x 2 Digitaalskeemide optimeerimine (lihtsustamine)

Rohkem

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat

19. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Arvridade koonduvustunnused Sisukord 19 Arvridade koonduvustunnused Vahelduvat 9. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-4. 9 Arvridade koonduvustunnused Sisukord 9 Arvridade koonduvustunnused 23 9. Vahelduvate märkidega read.......................... 24 9.2 Leibniz i

Rohkem

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu

Treeningvõistlus Balti tee 2014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 2014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu Treeningvõistlus Balti tee 014 võistkonnale Tartus, 4. novembril 014 Vastused ja lahendused 1. Vastus: 15, 18, 45 ja kõik 0-ga lõppevad arvud. Olgu b arvu k üheliste number ning a arv, mille saame arvust

Rohkem

10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018

10 kl, IX osa Newtoni seadused 2018 IX OSA, 10. klass füüsika NEWTONI SEADUSED Kehade vastastikmõju on nähtus, kus ühe keha kiirus muutub mingi teise keha mõju tõttu. Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha ja ühe keha mõjul võib juhtuda

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Tartu_seminar_2008_1 [Read-Only]

Microsoft PowerPoint - Tartu_seminar_2008_1 [Read-Only] Fundamentaalne analüüs Sten Pisang Tartu 2008 Täna tuleb juttu Fundamentaalse analüüsi olemusest Erinevatest meetoditest Näidetest 2 www.lhv.ee Mis on fundamentaalne analüüs? Fundamentaalseks analüüsiks

Rohkem

Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi

Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi Vana talumaja väärtustest taastaja pilgu läbi 22.02.2019 Rasmus Kask SA Eesti Vabaõhumuuseum teadur Mis on väärtus? 1) hrl paljude inimeste, eriti asjatundjate (püsiv) hinnang asja, nähtuse või olendi

Rohkem

FJT p6hivara 2019

FJT p6hivara 2019 Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Loeng2www.ppt [Compatibility Mode] Biomeetria 2. loeng Lihtne lineaarne regressioon mudeli hindamisest; usaldusintervall; prognoosiintervall; determinatsioonikordaja; Märt Möls martm@ut.ee Y X=x~ N(μ=10+x; σ=2) y 10 15 20 2 3 4 5 6 7 8

Rohkem

Microsoft Word - VG loodus

Microsoft Word - VG loodus Loodusteaduste õppesuund Loodusteaduste õppesuund annab lisateadmisi loodusprotsesside toimemehhanismide paremaks mõistmiseks ja igapäevaeluliste probleemide lahendamiseks. Uusi teadmisi saadakse loodusteaduslikke

Rohkem

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k

Neurovõrgud. Praktikum aprill a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust k Neurovõrgud. Praktikum 11. 29. aprill 2005. a. 1 Stohhastilised võrgud Selles praktikumis vaatleme põhilisi stohhastilisi võrke ning nende rakendust kombinatoorsete optimiseerimisülesannete lahendamiseks.

Rohkem

Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirju

Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirju Eesti keele võõrkeelena olümpiaadi lõppvoor 2013 Kõik ülesanded on siin lühendatult. Valikus on küsimusi mõlema vanuserühma töödest. Ülesanne 1. Kirjuta sõna vastandsõna ehk antonüüm, nii et sõna tüvi

Rohkem

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu

Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Eu Euroopa Liidu Nõukogu Brüssel, 24. september 2015 (OR. en) 12353/15 ADD 2 ENV 586 ENT 199 MI 583 SAATEMÄRKUSED Saatja: Kättesaamise kuupäev: Saaja: Euroopa Komisjon 23. september 2015 Nõukogu peasekretariaat

Rohkem

Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega.

Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja Sõlesepad tantsurühma meestega. Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta tantsupeoks täpsustused ja täiendused tehtud

Rohkem

Microsoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt

Microsoft PowerPoint - Loodusteaduslik uurimismeetod.ppt Bioloogia Loodusteaduslik uurimismeetod Tiina Kapten Bioloogia Teadus, mis uurib elu. bios - elu logos - teadmised Algselt võib rääkida kolmest teadusharust: Botaanika Teadus taimedest Zooloogia Teadus

Rohkem

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne

Microsoft Word - P6_metsamasinate juhtimine ja seadistamine FOP kutsekeskharidus statsionaarne MOODULI RAKENDUSKAVA Sihtrühm: forvarderioperaatori 4. taseme kutsekeskhariduse taotlejad Õppevorm: statsionaarne Moodul nr 6 Mooduli vastutaja: Mooduli õpetajad: Metsamasinate juhtimine ja seadistamine

Rohkem

Statistiline andmetöötlus

Statistiline andmetöötlus Biomeetria Kahe arvtuuse ühie käitumie, regressiooaalüüs Lieaare regressiooaalüüs Millal kasutada ja mida äitab? Kasutatakse progoosimaks ühe arvtuuse väärtusi teis(t)e järgi. Rümba hid, EEK/kg ( y ) Regressiooivõrrad:

Rohkem

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx

Microsoft Word - essee_CVE ___KASVANDIK_MARKKO.docx Tartu Ülikool CVE-2013-7040 Referaat aines Andmeturve Autor: Markko Kasvandik Juhendaja : Meelis Roos Tartu 2015 1.CVE 2013 7040 olemus. CVE 2013 7040 sisu seisneb krüptograafilises nõrkuses. Turvaaugu

Rohkem

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal

Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal Võistlusülesanne Vastutuulelaev Finaal CADrina 2016 võistlusülesannete näol on tegemist tekst-pilt ülesannetega, milliste lahendamiseks ei piisa ainult jooniste ülevaatamisest, vaid lisaks piltidele tuleb

Rohkem

Sorb_LC_Est.smu

Sorb_LC_Est.smu Meetod baseerub Põhjamaade Toiduanalüüsi Komitee (Nordic Committee of Food Analyses) standardil nr. 124(87) KASUTUSALA: Bensoehappe ja sorbiinhappe määramine, mis on lisatud toiduainetele konservandina.

Rohkem

prakt9.dvi

prakt9.dvi ikreene maemaaika 2012 9. prakikum Reimo Palm Prakikumiüleanded Järgmii üleandeid aub püüda lahendada kõigepeal ilma näidilahendui vaaamaa. 1. Olgu G idu graaf, mille makimaalne ipuae on 2. Tõeada, e G

Rohkem

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1

12. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 12 Algfunktsioon ja määramata integraal 1 2. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 203-. 2 Algfunktsioon ja määramata integraal Sisukord 2 Algfunktsioon ja määramata integraal 9 2. Sissejuhatus................................... 50 2.2

Rohkem

Side 2006

Side 2006 SIDE (IRT 3930) Loeng 3 Sõnumid ja signaalid Teema - signaalid õhipunkid Sidesüseemi ükeldus Analoog- ja digisõnum Signaalide liigius Digiaalsignaali ülekanne Shannoni valem Avo Os elekommunikasiooni õppeool,

Rohkem

Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vasta

Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vasta Abiarstide tagasiside 2016 Küsimustikule vastas 137 tudengit, kellest 81 (60%) olid V kursuse ning 56 (40%) VI kursuse tudengid. Abiarstina olid vastanutest töötanud 87 tudengit ehk 64%, kellest 79 (91%)

Rohkem

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As

PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- As PIKSELOITS Täpsustused 15.oktoobri 2018 seisuga Tants on loodud 1985.aasta tantsupeoks Muusika Lepo Sumra Koreograafia Helju Mikkel koostöös Lille- Astra Arraste ja "Sõlesepad" tantsurühma meestega. 2019.aasta

Rohkem

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et

Excel Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et Excel2016 - Valemite koostamine (HARJUTUS 3) Selles peatükis vaatame millistest osadest koosnevad valemid ning kuidas panna need Excelis kirja nii, et programm suudaks anda tulemusi. Mõisted VALEM - s.o

Rohkem

Portfoolio Edgar Volkov Ehtekunsti eriala 2015

Portfoolio Edgar Volkov Ehtekunsti eriala 2015 Portfoolio Edgar Volkov Ehtekunsti eriala 2015 Curriculum vitae Edgar Volkov Sündinud 1992 Tallinnas edgar.volkov@hotmail.com Haridus Tallinna Kunstigümnaasium (2009-2012) Eesti Kunstiakadeemia Ehte- ja

Rohkem

prakt4.dvi

prakt4.dvi Dikreene maemaaika 0. prakikum Reimo Palm Prakikumiüleanded Tranpordivõrke, mille abil aadeake kaupu oomikohade uruamikohadee, aab kõige efekiivemal analüüida nii, e vaadeldake neid eaava liarukuuriga

Rohkem

Kiekim mees kirjeldus.docx

Kiekim mees kirjeldus.docx KULLAKERA KANDJAD XII noorte tantsupeo ühitants Tantsu on loonud Margus Toomla ja Karmen Ong 2016. aasta detsembris 2017. aasta noorte tantsupeoks MINA JÄÄN, kirjeldanud Margus Toomla. Muusika ja sõnad

Rohkem

Antennide vastastikune takistus

Antennide vastastikune takistus Antennide vastastikune takistus Eelmises peatükis leidsime antenni kiirgustakistuse arvestamata antenni lähedal teisi objekte. Teised objektid, näiteks teised antennielemendid, võivad aga mõjutada antenni

Rohkem

my_lauluema

my_lauluema Lauluema Lehiste toomisel A. Annisti tekst rahvaluule õhjal Ester Mägi (1983) Soran Alt q = 144 Oh se da ke na ke va de ta, ae ga i lust üü ri kes ta! üü ri kes ta! 3 Ju ba on leh tis lei na kas ke, hal

Rohkem

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd

loogikaYL_netis_2018_NAIDISED.indd . Lihtne nagu AB Igas reas ja veerus peavad tähed A, B ja esinema vaid korra. Väljaspool ruudustikku antud tähed näitavad, mis täht on selles suunas esimene. Vastuseks kirjutage ringidesse sattuvad tähed

Rohkem

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc

Microsoft Word - Sobitusahelate_projekteerimine.doc Sobitusahelate projekteerimine Vaatleme 3 erinevat meetodit: koondparameetitega elementidel sobitamine häälestusribaga sobitamine veerandlainelõiguga sobitamine Sobitust võib vaadelda koormustakistuse

Rohkem

Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava

Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava Tallinna Õismäe Gümnaasiumi põhikooli ainekava Õppeaine: Füüsika Eesmärgid: Klass: 8 1) kasutab füüsika mõisteid, füüsikalisi suurusi, seoseid ning rakendusi loodus- ja tehnikanähtuste kirjeldamisel, selgitamisel

Rohkem

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT

M16 Final Decision_Recalculation of MTR for EMT 1 OTSUS Tallinn 22.juuni 2007 J.1-45/07/7 Mobiiltelefonivõrgus häälkõne lõpetamise hinnakohustuse kehtestamine AS EMT- le Sideameti 21. märtsi 2006. a otsusega nr J.1-50/06/2 tunnistati AS EMT (edaspidi

Rohkem

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend

I klassi õlipüüdur kasutusjuhend I-KLASSI ÕLIPÜÜDURITE PAIGALDUS- JA HOOLDUSJUHEND PÜÜDURI DEFINITSIOON JPR -i õlipüüdurite ülesandeks on sadevee või tööstusliku heitvee puhastamine heljumist ja õlijääkproduktidest. Püüduri ülesehitus

Rohkem

Side loeng 3

Side loeng 3 SIDE (IRT 393) Loeng 3/7 Sõnumid ja signaalid Teema - signaalid õhipunkid Sidesüseemi ükeldus Analoog- ja digisõnum Signaalide liigius Digiaalsignaali ülekanne Shannoni valem Avo Os elekommunikasiooni

Rohkem

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (

10/12/2018 Riigieksamite statistika 2017 Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine ( Riigieksamite statistika 2017 Selgitused N - eksaminandide arv; Keskmine - tulemuste aritmeetiline keskmine (punktide kogusumma jagatud sooritajate koguarvuga); Mediaan - statistiline keskmine, mis jaotab

Rohkem

Pealkiri on selline

Pealkiri on selline Kuidas keerulisemad alluvad muudaksid oma käitumist, kui juht seda soovib? Jaana S. Liigand-Juhkam Millest tuleb juttu? - Kuidas enesekehtestamist suhtlemises kasutada? - Miks kardetakse ennast kehtestada?

Rohkem

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06

Microsoft Word - Errata_Andmebaaside_projekteerimine_2013_06 Andmebaaside projekteerimine Erki Eessaar Esimene trükk Teadaolevate vigade nimekiri seisuga 24. juuni 2013 Lehekülg 37 (viimane lõik, teine lause). Korrektne lause on järgnev. Üheks tänapäeva infosüsteemide

Rohkem

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x

Polünoomi juured Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x 1 5.5. Polünoomi juured 5.5.1. Juure definitsioon ja Bézout teoreem Vaadelgem polünoomi kus K on mingi korpus. f = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n K[x], (1) Definitsioon 1. Olgu c K. Polünoomi

Rohkem

Eetika kui tulevikuvaluuta tarbimiskeskkonnas!? Dr. Mari Kooskora Dotsent, EBS Ärieetikakeskuse juhataja Pilt: Mari Kooskora Sügis

Eetika kui tulevikuvaluuta tarbimiskeskkonnas!? Dr. Mari Kooskora Dotsent, EBS Ärieetikakeskuse juhataja Pilt:   Mari Kooskora Sügis Eetika kui tulevikuvaluuta tarbimiskeskkonnas!? Dr. Mari Kooskora Dotsent, EBS Ärieetikakeskuse juhataja Pilt: www.aaii.com Mari Kooskora Sügis 2013 1 Pisut taustast (EPL, H. Mets, nov 2005) Mari Kooskora

Rohkem

Side

Side SIDE (IRT 90) Loeng Signaalid sidekanalis Teema - signaalid Signaaliülekanne üüsilises kanalies Põhiriba signaal ja selle esius Kisaribalised ja laiaribalised signaalid vs kanalid Häirekindluse agamine

Rohkem

Microsoft Word _Seletuskiri

Microsoft Word _Seletuskiri 1/16 SISUKORD SELETUSKIRI 1 ÜLDOSA... 3 2 TEEDEEHITUSLIK OSA... 5 2.1 Olemasolev olukord... 5 2.2 Normdokumendid ja juhendid... 5 2.3 Liikluskorraldus ja plaanilahendus... 6 2.4 Verikaalplaneering... 8

Rohkem

Lisa I_Müra modelleerimine

Lisa I_Müra modelleerimine LISA I MÜRA MODELLEERIMINE Lähteandmed ja metoodika Lähteandmetena kasutatakse AS K-Projekt poolt koostatud võimalikke eskiislahendusi (trassivariandid A ja B) ning liiklusprognoosi aastaks 2025. Kuna

Rohkem

Tootmine_ja_tootlikkus

Tootmine_ja_tootlikkus TOOTMINE JA TOOTLIKKUS Juhan Lehepuu Leiame vastused küsimustele: Mis on sisemajanduse koguprodukt ja kuidas seda mõõdetakse? Kuidas mõjutavad sisemajanduse koguprodukti muutused elatustaset? Miks sõltub

Rohkem

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1

Ruutvormid Denitsioon 1. P n Ütleme, et avaldis i;j=1 a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij 2 K ja K on korpus, on ruutvorm üle korpuse K muutujate x 1 Ruutvormid Denitsioon. P n Ütleme, et avaldis i;j= a ijx i x j ; kus a ij = a ji ; a ij K ja K on korus, on ruutvorm üle koruse K muutujate x ;;x n suhtes. Maatriksit =(a ij ) nimetame selle ruutvormi

Rohkem

Eesti kõrgusmudel

Eesti kõrgusmudel Meie: 04.06.2002 nr 4-3/3740 Küsimustik Eesti maapinna kõrgusmudeli spetsifikatsioonide selgitamiseks Eestis on juba aastaid tõstatatud küsimus täpse maapinna kõrgusmudeli (edaspidi mudel) koostamisest

Rohkem

loeng7.key

loeng7.key Grammatikate elustamine JFLAPiga Vesal Vojdani (TÜ Arvutiteaduse Instituut) Otse Elust: Java Spec https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/html/ jls-14.html#jls-14.9 Kodutöö (2. nädalat) 1. Avaldise

Rohkem

(Microsoft PowerPoint - seminar_6_n\365uded-ainemudel tagasiside.ppt [Compatibility Mode])

(Microsoft PowerPoint - seminar_6_n\365uded-ainemudel tagasiside.ppt [Compatibility Mode]) Tarkvara projekt seminar VI Eelmise iteratsiooni tagasivaade, testimine, installatsioonijuhend, järgmise iteratsiooni näited. Karel Kravik Administratiivset:protestid Probleem: protestide hulk ja kvaliteet

Rohkem

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019

PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 PÄRNU TÄISKASVANUTE GÜMNAASIUM ESITLUSE KOOSTAMISE JUHEND Pärnu 2019 SISUKORD 1. SLAIDIESITLUS... 3 1.1. Esitlustarkvara... 3 1.2. Slaidiesitluse sisu... 3 1.3. Slaidiesitluse vormistamine... 4 1.3.1 Slaidid...

Rohkem

Akadeemilise personali tööstressi ja läbipõlemise ohjamise meetmed (AcadOSI) Tallinna Tehnikaülikool psühholoogia õppetool professor Mare Teichmann 12

Akadeemilise personali tööstressi ja läbipõlemise ohjamise meetmed (AcadOSI) Tallinna Tehnikaülikool psühholoogia õppetool professor Mare Teichmann 12 Akadeemilise personali tööstressi ja läbipõlemise ohjamise meetmed (AcadOSI) Tallinna Tehnikaülikool psühholoogia õppetool professor Mare Teichmann 12. veebruar 2009 TÖÖSTRESS on pingeseisund, mille on

Rohkem

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier

Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier Mida räägivad logid programmeerimisülesande lahendamise kohta? Heidi Meier 09.02.2019 Miks on ülesannete lahendamise käigu kohta info kogumine oluline? Üha rohkem erinevas eas inimesi õpib programmeerimist.

Rohkem

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa

Kontrollijate kommentaarid a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime klasside esimesed 2 ülesa Kontrollijate kommentaarid 2004. a. matemaatikaolümpiaadi piirkonnavooru tööde kohta Kokkuvõtteks Ka tänavu püüdsime 10.-12. klasside esimesed 2 ülesannet koostada nii, et nad kasutaksid koolis hiljuti

Rohkem

(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc)

(Microsoft Word - FMP p\365hivara1.doc) Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult

Rohkem

Kuidas coaching aitab juhil tiimiliikmeid aktiivsemalt tööprotsessi kaasata?

Kuidas coaching aitab juhil tiimiliikmeid aktiivsemalt tööprotsessi kaasata? Kuidas coaching aitab juhil tiimiliikmeid aktiivsemalt tööprotsessi kaasata? Tiina Merkuljeva superviisor coach, ISCI juhataja tiina.merkuljeva@isci.ee www.isci.ee Töötajate kaasamispraktika areng Inspireeriv

Rohkem

ITI Loogika arvutiteaduses

ITI Loogika arvutiteaduses Predikaatloogika Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Rohkem

Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus

Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus Ruumipõhiste ventilatsiooniseadmete Click to edit toimivus Master title style korterelamutes Alo Mikola Tallinn Tehnikaülikool Teadmistepõhine ehitus 2014 Peamised kortermajade ventilatsiooni renoveerimislahendused!

Rohkem

EVANGEELIUMI JAGAMINE MIKS JA KUIDAS RÄÄKIDA JEESUSEST TEISTELE? Kas Sa oled kunagi kellelegi rääkinud Jumalast/Jeesusest? Inimestele Jeesuse

EVANGEELIUMI JAGAMINE MIKS JA KUIDAS RÄÄKIDA JEESUSEST TEISTELE? Kas Sa oled kunagi kellelegi rääkinud Jumalast/Jeesusest? Inimestele Jeesuse EVANGEELIUMI JAGAMINE MIKS JA KUIDAS RÄÄKIDA JEESUSEST TEISTELE? Kas Sa oled kunagi kellelegi rääkinud Jumalast/Jeesusest? Inimestele Jeesuse pakutavast päästest rääkimine ongi see, mida nimetatakse evangeeliumi

Rohkem